投資組合避險價格誤差

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5.4 投資組合避險價格誤差

本篇避險投資組合參考 Bakshi et al. (2010)避險方法，建構一個避險投資組 合包含即期價格與現金部位，數學表示如下：

0 ( )

t X Delta t St

  

其中_t表示在第t期的投資組合價值；X 為現金部位，若₀ X₀ 0可以視為將現 金以無風險利率r借出，若X₀ 0可以視為將現金以無風險利率r存入銀行；

( )

Delta t 第t期的 Delta 避險比率；S 表示為第_t t期的即期價格。則以 Delta 進行 投資組合避險的變動如下：

1. 將第t期的 Delta 計算出來，代入投資組合中，此時投資組合為：

0 ( )

t X Delta t St

  

2. 當時間來到第 t t期，則此時投資組合的價值為：

0 ^{r t} ( )

t_t X e ^ Delta t St_t

  

此時的 Delta 仍為第t期的 Delta。則避險產生的價格誤差可以表示為：

( , ; ) ( 0 ^{r t} ( ) )

t t t t t t

H_ C_ t t   t K  X e^ Delta t S_

計算出訂價誤差後接著計算在第 t t期的 Delta；若H 0，表示選擇權實 際價格比避險投資組合高，模型中低估了價格變化的風險；若H 0，表示 選擇權實際價格比避險投資組合低，模型中高估了價格變化的風險。

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平均價格誤差有兩種表示方法，第一種為絕對避險誤差(Average Absolute Hedging Error)，將誤差值取絕對值後相加平均，

為平均價格避險誤差(Average Dollar-Value Hedging Error)，

1

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l C h engchi U ni ve rs it y 6. 結論

能源價格波動度變大的時候，市場上規避價格風險的需求會增加，此時能 源衍生性商品的交易量就會增加，那該如何選擇出適當的模型來計算衍生性商 品的價格，從文獻可以發現到能源價格長期具有回歸到平均水準，則可以使用 均數回歸模型描述能源價格特性，當市場上發生重大事件，則可以在 MR 模型 中加入跳躍項，最後因為價格具有時間趨勢的特性，我們可以加入季節性去捕 捉價格特性。

根據過去對能源期貨選擇權研究的文獻，能源價格具有均數回歸、季節性 和價格跳躍等特性，因此統整了 Black-Scholes、MR、MRJD、MR 加季節性和 MRJD 加季節性等五種常見能源訂價模型和推導各模型假設下的期貨選擇權封 閉解，並分析 WTI 原油期貨選擇權在這 5 種模型下根據不同價內外程度與不同 距到期日，理論價格與實際價格間的誤差值，結果顯示出在金融風暴期間我們 可以將價格劇烈變動的部分以 MRJD 加入季節性的模型來描述，因為在這段期 間內 MRJD 加季節型模型訂價誤差相對於另外 4 種模型小；然而在非金融風暴 期間，則以 MR 加入季節性的訂價誤差較小，表示在非金融風暴期間由於價格 波動不在那麼劇烈因此用 MR 加入季節性因子即可，且不論在哪一期間均數回 歸相關的模型對能源市場皆有較好的配適。

為了探討選擇權在避險方面的實際功能，建構一個選擇權、即期價格與現 金部位的投資組合，在未考慮交易成本下使用選擇權進行避險策略分析，討論 選擇權避險參數的調整天數對避險訂價誤差的影響。實證結果中發現，不論在 哪一個時期，每日調整避險參數的避險誤差比每 5 日調整避險參數的誤差小了 將近 2 倍，避險者可以根據本身的避險成本考量調整避險參數的期間。

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Publications and Enron Capital & Trade Resources, 57-70.

Bakshi, G., Cao, C. and Che, Z. (2010), “Option pricing and hedging performance under stochastic volatility and stochastic interest rates,” Handbook of Quantitative Finance and Risk Management, ch.37.

Benth, F. E., Ekeland, L., Hauge, R. and Nielsen, B. F. (2003), “A note on arbitrage-free pricing of forward contracts in energy markets,” Applied Mathematical Finance, 10(4), 325-336.

Bjerksund, P., and Ekern, S. (1995), “Contingent claims evaluation of mean-reverting cash flows in shipping,” in L. Trigeorgis, (Ed.), Real Options in Capital Investment: Models, Strategies, and Applications, Preager.

Black, F. and Scholes, M. (1973), “The pricing of options and corporate liabilities,”

Journal of Political Economy, 81, 637-654.

Brennan, M. J. and Schwartz, E. S. (1985), “Evaluating natural resource investments,” The Journal of Business , 58, 135-157.

Carr, P. R, and Jarrow, R. A. (1995), “A discrete time synthesis of derivative security valuation using a term structure of futures prices,” The Netherlands:

North-Holland Publishing Co., 225-249.

Clewlow, L. and Strickland, C. (2000), “Energy derivatives: pricing and risk management,” Lacima Pupblications.

Cortazar, G. and Schwartz. E. S. (1994), “The valuation of commodity-contingent claims,” Journal of Derivatives, 1, 27-39.

Dritschel, M. and Protter, P. (1999), “Complete markets with discontinuous security price,” Finance and Stochastics, 3, 203-214.

Hilliard, J. E., and Reis, J. A. (1999), “Jump processes in commodity futures prices and options pricing,” American Journal of Agricultural Economics, 81, 273-286.

‧

Jensen, B., (1999), “Option pricing in the jump-diffusion model with a random jump amplitude: A complete market approach,” Working paper.

Koekebakker, S., and G. Lien, (2004), “Volatility and price jumps in agricultural futures prices-evidence from wheat options,” American Journal of Agricultural Economics, 86, 1018-1031.

Kou, S. G. (2001), “A jump diffusion model for option pricing,” Working paper.

Kou, S. G. (2008), “Jump-diffusion models for asset pricing in financial engineering,” Handbooks in Operations Research and Management Science, 15, ch.2.

Mayer, K., Schmid, T. and Weber, F. (2011), “Modeling electricity spot prices- combining mean-reversion, spikes and stochastic volatility,” Working Paper.

Merton, R. C. (1973), “Theory of rational option pricing,” Journal of Economics and Management Science, 4(1), 141-183.

Merton, R. C. (1976), “Option pricing when underlying stock returns are discontinuous,” Journal of Financial Economics, 3, 125-144.

Pilipovic, D. (1997), “Energy risk: valuating and managing energy derivatives,”

McGraw-Hill.

Reismann, H. (1992), “Movements of the term structure of commodity futures and pricing of commodity claims,” Working Paper.

Rubinstein, M. (1985), “Nonparametric tests of alternative option pricing models using all reported trades and quotes on the 30 most active CBOE options classes from August 23, 1976 through August 31,1978.” Journal of Finance, 40, 455-480.

Schwartz, E. S. (1997), “The Stochastic Behaviour of Commodity Prices:

Implications for Pricing and Hedging”, Journal of Finance, 52, 923 - 973.

Weron, R. (2006), "Modeling and forecasting electricity loads and prices: a statistical approach," Wiley Finance.

‧

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exp exp exp exp

4 4

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整理後可以得到在 Black-Scholes 模型下的避險參數 Delta：

( )1

C N d

 



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Futures Option Time Periods

10 100 1000

模擬次數 sim 誤差 sim 誤差 sim 誤差

1,000 5.4123 0.0410 5.8593 0.0382 5.5823 0.0109 10,000 5.5688 0.0133 5.6244 0.0034 5.6655 0.0039 100,000 5.6217 0.0039 5.6594 0.0028 5.6433 0.0001

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Futures Option Time Periods

10 100 1000

Futures MR Time Periods

10 100 1000

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Futures Time Periods

10 100 1000 Futures Option Time Periods

10 100 1000

模擬次數 sim 誤差 sim 誤差 sim 誤差

1,000 81.4636 0.006783 81.5138 0.006171 82.5115 0.005993 10,000 81.8255 0.00237 82.1291 0.001331 82.0109 0.00011 100,000 81.9124 0.001311 81.9584 0.00075 82.0129 8.58E-05 表 10. MR 加季節性模型下期貨蒙地卡羅模擬結果(理論價=109.4252)

Futures MR Time Periods

10 100 1000

模擬次數 sim 誤差 sim 誤差 sim 誤差

1,000 108.8404 0.005345 108.8931 0.0048 109.3672 0.00053 10,000 109.2209 0.001868 109.5400 0.0011 109.4157 8.71E-05 100,000 109.3122 0.001033 109.3605 0.0005 109.4178 6.76E-05 表 11. MRJD 加季節性模型下期貨選擇權蒙地卡羅模擬結果(理論價=97.76253)

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Futures Time Periods

10 100 1000

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表 14. 2007/7~2008/12 年 WTI 原油期貨選擇權參數估計值

  _{m *   } a ₁ a ₂ a ₃ a ₄

BS 0.2621 － － － － － － － － －

(0.1871) － － － － － － － － －

MR 0.3512 0.6518 4.1135 － － － － － － － (0.1471) (0.4633) (1.1725) － － － － － － －

MRJD 0.1819 0.4608 3.5233 0.4465 0.1890 0.2959 － － － － (0.1696) (0.3068) (1.2826) (0.2433) (0.1913) (0.1902) － － － －

MR Season 0.3789 0.7270 2.2838 － － － 1.7759 0.0413 0.3909 25.6226 (0.1885) (0.4886) (0.5616) － － － (0.3706) (0.1766) (0.1709) (33.7006)

MRJD Season 0.1486 0.4054 1.6552 0.2868 0.3294 0.3056 0.8867 0.1919 0.7632 2.4800 (0.2095) (0.5203) (1.3825) (0.1919) (0.6729) (0.2614) (1.7898) (0.1940) (0.6593) (7.3855)

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表 15. 2009/1~2012/4 年 WTI 期貨選擇權參數估計值

  _{m *   } a ₁ a ₂ a ₃ a ₄

BS 0.3739 － － － － － － － － －

(0.1234) － － － － － － － － －

MR 0.3270 0.4721 4.9845 － － － － － － － (0.1088) (0.4220) (1.5571) － － － － － － －

MRJD 0.1760 0.3424 3.4497 0.4466 0.2037 0.2931 － － － － (0.1229) (0.3171) (1.5999) (0.1832) (0.1779) (0.1854) － － － －

MR Season 0.3350 0.5003 2.3234 － － － 1.6264 0.0330 0.5674 16.0735 (0.1231) (0.4265) (0.6222) － － － (0.5886) (0.3001) (0.1842) (30.7495)

MRJD Season 0.1192 0.3779 1.4162 0.1620 0.6300 0.3942 1.4025 0.1490 0.5002 3.4738 (0.1111) (0.4118) (0.8542) (0.1232) (0.5884) (0.2527) (1.5363) (0.3330) (0.3942) (12.6209)

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0 10 20 30 40 50 60 70

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

期貨選擇權交易量(百萬)

交易年度 Natural Gas

WTI

圖 1. 紐約商品交易所各年度期貨選擇權總交易量

圖 2. 2006~2012 年期間 WTI 原油即期價格

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Jul 02, 2007 Oct 02, 2007 Jan 02, 2008 Apr 02, 2008 Jul 02, 2008 Oct 02, 2008 Jan 02, 2009 Apr 02, 2009 Jul 02, 2009 Oct 02, 2009 Jan 02, 2010 Apr 02, 2010 Jul 02, 2010 Oct 02, 2010 Jan 02, 2011 Apr 02, 2011 Jul 02, 2011 Oct 02, 2011 Jan 02, 2012 Apr 02, 2012

在文檔中 歐式能源期貨選擇權評價： 以WTI原油為例 - 政大學術集成 (頁 41-0)