4. 歐式期貨選擇權評價公式與避險
5.3 期貨選擇權訂價誤差
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重覆步驟 1.，並將各個訂價誤差取平均值，可以得到一段期間內各模型的 訂價誤差。
根據以上步驟，計算五種模型與 5.1 節中對資料的分類可以整理成表(見表 16~表 19)。例如：在 2007/7~2008/12 年間價外選擇權距到期日為 0~30 天期，
此期間 BS、MR、MRJD、MR 加季節性、MRJD 加季節性等模型的絕對誤差值 分別為$0.1860、$0.1204、$0.1217、$0.0895、$0.0936，從表中可以很清楚的觀 察各模型在不同價內外程度和距到期日間的絕對誤差情況。
在 2007/7~2008/12 年金融風暴期間(表 16 與表 17)，價外選擇權絕對誤差 以 MR 加季節性在距到期日為 0~90 期間的誤差值較小、90~180 天期以 MRJD 加季節性的誤差最小、180 天以上則以 MRJD 為最小；選擇權為價平時，距到 期日為 0~30 天期和 60~90 天期以 MR 加季節性模型絕對誤差值為最小，30~60 天期以 MRJD 模型誤差最小，90 天期以上則以 MRJD 加季節性的模型有最小 誤差；價內選擇權則距到期日為 0~60 天期的以 MR 加季節性絕對誤差值為最 小，60 天期以上則以 MRJD 加季節性的絕對誤差為最小。在訂價絕對誤差中，
我們可以觀察到 MRJD 加季節性的誤差雖然不完全是最小值，卻與各期間最小 誤差模型的誤差值相差不多，以價外選擇權為例，MRJD 加季節性與 MR 加季 節性在 0~180 天期間的誤差值大約相距 1%左右，但到了 180 天以上絕對誤差 則相差了 3%，因此，在金融風暴期間不論距到期日多久在選擇模型的時候可 以選擇 MRJD 加季節性做為評價模型。2009~2012 年間(表 18 與表 19)，價外選 擇權距到期日為 0~90 天期以 MR 加季節性絕對誤差值為最小；價平買權距到 期日為 0~60 天以 MR 加季節性估出的誤差最小，60 天期以上以 MR 的誤差值 為最小，價內選擇權距到期日為 0~30 天期以 MRJD 加季節性為佳 30~120 天期 和 180 天上則以 MR 加季節性模型為佳，120~180 天期則以 MR 模型為佳。觀 察非金融風暴期間，可以發現在這段期間模型中不加入跳躍項的訂價誤差比較
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小，在這段期間的價格跳躍現象不明顯，所以加入跳躍項的模型在這段期間配 適的能力比未加入跳躍項的模型差。
從資料當中可以觀察到訂價相對誤差在非金融風暴期間，BS 模型在價外的 誤差值不論距到期日多久皆為負數，表示價外選擇權市價比理論價格低，在價 平則誤差範圍有變小的趨勢，價內的誤差值則皆為正值，表示價內買權市價比 理論價高。Bakshi et al. (2010)將這種在訂價誤差上出現的現象稱為系統性偏差 (Systematic Biases)，其中 MR 模型與 MR 延伸性模型的系統性偏差相對於 BS 較小很多，顯示出在能源市場中 MR 模型與 MR 延伸模型的配適能力較佳，這 種結果與 Schwartz (1997)提出能源價格變動為均數回歸動態過程一致。Bakshi et al. (2010)表示在股票市場中系統性偏差的現象與選擇權波動度微笑(Volatility Smile)有關。波動度微笑是選擇權市場中常見的現象，意指價外買權的波動度 容易被低估，此時價外買權市場價格會比理論價低，而價內買權的波動度容易 被高估，所以市場價格則高於理論價，本研究在非金融風暴期間(見表 18)可以 發現此時訂價誤差與前述一致，代表原油市場在非金融風暴期間與股票市場的 系統性偏差有相同的結論。觀察表 16 可以發現在金融風暴期間這種系統性偏差 與正常市場下的情況相反，價外選擇權的訂價誤差為正數，價內選擇權訂價誤 差為負數，這種現象可能是因為在金融風暴期間價格波動大，使得市場上的投 資人認為價外買權轉變為價內買權的機會很大，因此在這段期間反而是價外買 權的價格容易被高估。