填蛋糕圓盤遊戲

壹、幻方

《繫辭》雲：「河出圖，洛出書，聖人則之。」在宋朝之前，洛書的記述只 有文字。《禮記‧禮運》：「河出馬圖。」因此從孔子於古籍中記載得知河圖為伏 羲時代黃河出現一匹龍馬，其身上有文彩圖案，謂之龍馬負圖，伏羲將其文字記 載下來，因出於黃河，謂之河圖。另外於《論語‧子罕》：「子曰，鳳鳥不至，河 不出圖，吾已矣夫！」《尚書》則記述：「大玉，夷玉，天球，河圖在東序。」而 洛書則傳說於黃帝時代時，在洛水浮出一隻神龜，其背甲有九宮花紋上有數字，

黃帝記之謂之洛書。

九宮圖實物最早發現於西漢，1977 年中國考古學家在安徽阜陽縣雙古堆西 漢古墓中發現漢文帝七年（前 173 年）的太乙九宮佔盤，乃是中國漢代幻方的實 物。東漢《數術記遺》也有記載。在宋朝之前，太極與河圖洛書的記述只有文字，

一直到道家一代宗師陳摶才提出了太極、河圖、洛書的圖案。陳摶首創「龍圖易」

融合了漢朝至唐朝的九宮學說以及五行生成數的理論，提出圖像，名之為龍圖。

之後北宋的劉牧又將陳摶的龍圖區分為「河圖」「洛書」兩種圖式：將九宮圖稱 為「河圖」，五行生成圖稱為「洛書」。南宋時蔡元定則將它改變過來，反將九宮 圖稱之為「洛書」而五行生成圖稱之為「河圖」。

南宋大學者朱熹則支持蔡元定的學說，並將記於《周易本義》卷首，確立了

「圖九書十」「書九圖十」之分歧，「圖十書九」成為南宋以來之通用理論。後來 陳摶以降認為河圖洛書的洛書代表九宮圖，為 1，…，9 這 9 個數，幻方之數字 排列極為奧妙──邊行數之和相等，邊列數之和相等，邊行數之和+邊列數之和=

中行數之和+中列數之和，參照洛書的數字運行規則，按“始於中下，右下斜行，

出外轉內，遇阻降二＂之法，可以組合其餘奇數幻方。將數列依其序號排列，則 會發現：邊行數之和相等，上下次行數之和相等，餘此類推；邊列數之和相等，

上下次列數之和相等，餘此類推；邊行數之和+邊列數之和 = 次行數之和+次列 數之和（餘此類推）= 中行數之和+中列數之和，而三行、三列以及兩對角線上 各自的數之和均為十五。

南宋數學家楊輝著《續古摘奇演算法》把類似於九宮圖的圖形命名為縱橫 圖 ，書中列舉 3、4、5、6、7、8、9、10 階幻方。 其中所述三階幻方構造法：

「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，戴九履一，左三右七，二四為肩，

六八為足」，比法國數學家 Claude Gaspar Bachet 提出的方法早三百餘年。

幻方常數或幻方和是指一個幻方中任一行、任一列或對角線的和。 例如以 下的三階幻方的幻方常數是 15。「幻方常數」或「幻方和」一詞也可以延伸到幻 星 （ Magic star ）或幻立方 （ Magic cube ）中。若一 n 階幻方是由 1 到 n 2 的整數組成，則其幻方常數只和 n 有關，

其數值為 以下是整數 1 到 k 的和

若要計算幻方中所有數字的和，令 k = n 2 ，因此和為 n 2 (n 2 +1)/2，

因為幻方共有 n 列，每列的和相同，和除以 n 就是幻方常數。 以下是 n 為 3，4，

5……時，由整數 1 到 n 2 組成 n 階幻方的幻方常數：15 ， 34 ， 65 ， 111 ， 175 ， 260 ， 369， 505， 671， 870， …

一個將幻方改變而成的遊戲叫「搶十五」，為兩人對戰遊戲。玩家輪流從 1

～9 中選擇一個數字，被挑走的數字不能再被選擇，看誰可以從自己所選的數字 中挑三個加起來等於 15，誰就獲勝。在遊戲中 1 到 9 中的三個數字加起來要等 於 15，總共有下列八種方式：

1+5+9=15； 1+6+8=15； 2+4+9=15； 2+5+8=15；

2+6+7=15； 3+4+8=15； 3+5+7=15； 4+5+6=15。

玩家要獲勝的條件是所選的數當中，有三個數加起來的和等於15，也就是要看誰 可以先在九宮格中連成一線。

貳、圈叉遊戲 一、遊戲介紹

圈叉棋，英文：tic－tac－toe，別名：圈叉遊戲。是一種遊戲，3*3 的 9 個方格子，先下者畫圈，後下者畫叉，每人可以在任意沒有對方棋子的封閉方格 裡下一次，看誰先連成一行（一列，斜線）三個就判勝。由於圈叉棋規則簡單，

在任何地方都可以玩，所以是打發時間的有效的休閒遊戲。現在幾乎全球人都了 解圈叉棋。這種遊戲實際上是由第一位玩家所控制，第一位玩家是攻，第二位玩 家是守。第一位玩家在角位行第一子的話贏面最大（見圖一），第二位玩家若是 在邊，角位下子，第一位玩家就可以以兩粒連線牽制著第二位玩家，然後製造「兩 頭蛇」。

圈叉棋 圖一

先玩者經常誤以為「將第一個圓圈畫在正中央」是最佳的策略，事實上並非 如此，而是應該將第一個圓圈畫在角落才有最大的勝算。例如以下四種開局，先 玩者都可以製造出雙頭蛇

而取勝：

因此，在這種開局之下（含另外三種對稱性的開局），後玩者只能以下列方 式（將 × 落在正中央）來對應既使是這樣的對應，先玩者還是可以在下一手誘 導對手犯錯，下圖就是最常見的犯錯模式：將 × 落在左上角是合乎直覺的想法，

但這樣反讓先玩者取得雙頭蛇。

(引自許志農，2012，p3) 這種遊戲的變化簡單，常成為博弈論和遊戲樹搜尋的教學例子。這個遊戲只 有765個可能局面，26830個棋局。如果將對稱的棋局視作不同，則有255168個棋 局。由於這種遊戲的結構簡單，早期這遊戲就成為了人工智慧的一個好題目。學 生都要從既有的玩法中，歸納出遊戲的致勝之道，並將策略演繹成為程式，讓電 腦與用戶對弈。世界上第一個電腦遊戲，1952年為EDSAC電腦製作的OXO遊戲，就 是以該遊戲為題材，可以正確無誤地與人類對手下棋。

將洛書的邊去掉就成為井字上填有1到9數字的圖形，且行、列與對角線的和 總是15。當我們將這個圖形與一盤圈叉遊戲對照時，不難發現：連線的三個○所 對應的數字和8+1+6等於15。因此，可以將圈叉遊戲想成從1， 2， 3， 4， 5，

6， 7， 8， 9 的九個數字中輪流取數，誰先取到有三個數字的和為15 者勝（和 為15 代表連線的意思）。(引自許志農，2012，p4)

二、製作數位化圈叉遊戲

胡炳生(1994)認為特殊化原則是解題思考的三原則之一，解題初步可先把大 問題變成幾個簡單的小問題，並考慮最簡單的特殊狀況或是將問題分成幾種不同 狀況討論。而Flash在程式設計時使用函數，也和這個想法相符和。接下來我們 介紹「圈叉遊戲」時如何將一個遊戲分成許多小問題，並使用函數將這些小問題 一一解決，統整成為我們的遊戲。茲將「圈叉遊戲」分成四個大功能來設計：

(一)玩家點選九宮格子可以分別顯示圈或叉

每次玩家點選時，將總計數參數加 1，再將總計數參數除以 2 的餘數來 判 斷是甲或是乙，控制指導語影片。並利用參數使點選的格子內顯示出甲選的 為圈，乙選的為叉。

(二)檢查玩家選了哪些九宮格子以判斷是否勝利

此功能還可再細分為兩個小功能，分別利用兩個函數來達成。

1.使用陣列儲存甲、乙所選的九宮格子數字及九宮格子的物件名稱，當中 儲存的數字可用來比較大小，並做九宮格子比序排列時的依據，而另一 陣列當中儲存的物件名稱，則作為控制元件動作時函數呼叫的依據，利 用參數及陣列的值決定如何控制九宮格子元件的動作。

2.利用玩家所選九宮格子數參數來看玩家的遊戲進行程度，以作為遊戲是 否進行勝利判斷的依據。

(三)勝利判斷

利用前面填蛋糕圓盤時所提過，九宮格子內填入幻方數字時，有 8 種勝利情 況，比對甲、乙所選九宮格子數字陣列，分為 3 個格子和 4 個格子兩種狀況。

在程式設計時使用「或」邏輯閘及巢狀 if 語法來達成 8 種勝利情況的判斷，

判斷屬於何種勝利狀況之後，再使用 8 種勝利專屬函數，配合前述判斷函數 及計時器將連線的九宮格子顯示不同顏色來表示勝利。

(四)其他功能函數

1.返回：配合返回鈕，將全部參數及陣列回歸初始狀態，並跳回前一頁。

2.重玩：配合重玩鈕，將全部參數、指導語影片、返回鈕、重玩鈕、九宮 格子及陣列回歸初始狀態，重新設定所有物件的監聽。

3.勝利和平手：和前述判別甲、乙的功能一起控制指導語影片，為達成程 式設計內部順暢，使用繞道的概念，利用計時器於 20 毫秒後控制指導語 影片，並關閉所有九宮格子的監聽，甲、乙勝利時，分別加上甲、乙方

的勝利煙火施放。

4.關閉所有九宮格子監聽:為避免遊戲結束後玩家仍可點選操控九宮格子 元件，故獨立一個函數來控制關閉所有九宮格子監聽，之後有任何地方 要用到時，只要呼叫此函數即可。

5.隱藏或顯示幻方數字：為了破解填蛋糕圓盤遊戲的遊戲致勝技巧，需要 幻方與圈叉遊戲的對照，故於此遊戲面板右上角指導教授與遊戲設計者 處，製作一隱藏按鈕，並設定一函數當每次玩家點選時，將計數參數加 一，再將計數參數除以二的餘數，來作為隱藏或顯示九宮格子中的幻方 數字的控制依據。

參、填蛋糕圓盤遊戲 一、遊戲介紹

有了幻方與圈叉遊戲的對照，我們來介紹「填蛋糕圓盤」遊戲。有編號 1

～9 的九塊扇形蛋糕，如下圖所示，第一塊蛋糕的頂角為 24 度，第二塊蛋糕的 頂角為 48 度，第三塊蛋糕的頂角為 72 度，依此類推，也就是說，最小的第一 塊蛋糕只包含一片蛋糕，…，而最大的第九塊蛋糕由九片蛋糕組成：遊戲開始時 對戰雙方甲、乙兩人各擁有一個空的圓形蛋糕拼盤，其半徑與每塊蛋糕半徑一 致，如下圖所示：

當某人所挑選的蛋糕中，可以選出三塊，而且剛好填滿他的空圓盤，此人就 是勝利者。三塊蛋糕剛好可以填滿空圓盤是指「這三塊蛋糕總共有十五片」的意 思。如果在遊戲的過程中，你想要的蛋糕塊已經被拿走，那麼你必須找到另外的 蛋糕組合方式，用你已經選擇的蛋糕塊和剩下的蛋糕塊，湊成十五片。但是一定

當某人所挑選的蛋糕中，可以選出三塊，而且剛好填滿他的空圓盤，此人就 是勝利者。三塊蛋糕剛好可以填滿空圓盤是指「這三塊蛋糕總共有十五片」的意 思。如果在遊戲的過程中，你想要的蛋糕塊已經被拿走，那麼你必須找到另外的 蛋糕組合方式，用你已經選擇的蛋糕塊和剩下的蛋糕塊，湊成十五片。但是一定