老馬識途遊戲

壹、老馬識途遊戲 一、遊戲介紹

老馬識途遊戲其實和西洋棋盤上的騎士循環漫遊同構。只是原本西洋棋盤上 走在格子中換成中國象棋走在交點上，而中國象棋馬的走法和西洋棋盤上騎士的 走法相同，都是走日。但是在棋盤的大小上，西洋棋盤為8×8共64格，而中國象 棋盤為5×9共45個交點。循環漫遊的定義是把騎士棋子放在棋盤上任何一格， 漫 遊64步後， 返回起點， 途中經過每一方格正好一次。而老馬識途遊戲途中經過 每一交點正好一次，走45步後即獲得勝利，不一定要回到起點。

我們先來介紹一下騎士循環漫遊，18世紀時，Euler首先提出下列問題：「在 8×8西洋棋盤上置一騎士，是否能找到63次的移動，使該騎士走遍棋盤上每一方 格呢？」，在8×8西洋棋盤上的騎士循環漫遊發現有1245種走法，騎士循環漫遊 有一特點， 即途中任何一格， 都可選為起點， 若把沿途經過的每一個方格的 中點和下一個方格的中點畫一直線相連， 就得到一條閉合曲線。凡是沿同一條 曲線上的漫遊， 不論起點在那一格， 也不論漫遊的方向(前進或後退)， 都視 為等價。一條代表循環漫遊的閉合曲線， 一般情形下將棋盤任意旋轉或翻面後 一共可產生八條不同的曲線， 彼此視為等價。因此在計算不等價的循環漫遊的 數目時， 要先研究曲線的對稱性。

循環漫遊只有在階數是偶數(比四大) 的方形棋盤上才出現， 理由如下: 先 把棋盤上某一角落上的方格塗上黑色， 再把相鄰兩方格塗上白色， 依此類推把 全部格子塗上黑白兩色， 使相鄰二格顏色不同。騎士漫遊時， 每一步都是由黑

格走到白格， 或白格到黑格。階數為奇數的棋盤，格子總數也是奇數， 騎士由 角上的黑格出發， 走遍全部格子後， 最後一格又是黑格， 若要回到起點(黑格) 是不可能的事。

在中國象棋的棋盤上，馬能否從某些點出發，可以不重複地跳遍半個棋盤；

而從另外一些點出發，卻不能完成。如下圖(圖一)半個棋盤裏，紅點有22 個，

藍點有23 個，若馬步由紅點開始，下一步必須走到藍點，很明顯的最後會有一 個藍點落單，無法完成馬步走完半個棋盤，所以必須由藍點出發。

圖一 圖二 圖三

給一圖G(圖二)，以V 來表示所有頂點的集合，E 表示所有邊的集合，記成 G=(V，E)，通過途中的每一頂點且只通過一次的路徑稱為漢米爾頓路徑;若是要 求必須再回到起始頂點的回路，則稱為漢米爾頓迴圈(圖三)。也就是說老馬識途 遊戲的解為漢米爾頓路徑而騎士循環漫遊則為漢米爾頓迴圈。

老馬識途遊戲對一般的國中來說，算是較難的遊戲，也因此在設計遊戲時增 加了一些設定來讓學生趣味度增加及更有效率：

(一)起手有回

考量到學生可以用試誤的方法來找到答案或靈感，特地增加回手的設計，遊 戲進行時，學生每走一步，前一步將被標上代表那是第幾步的號碼，而學生走到 死路時，可以思考並決定要從中途哪一步再開始換方式走，而不用每次全部重頭 走。

(二)限時完成

由許志農教授建議遊戲設計120秒倒數計時，增加在課程中可以遊玩的學生 人數，提升教學效率，而有的學生在看別人玩的時候有靈感，也很容易有機會可 以上台發揮。

經研究者本身於課堂中實施的狀況，大部份的學生無法一次走完。而大部份 的學生積極尋找解題方法的時間約在30秒內到90秒內，過了這段時間，學生比較 容易放棄或是遇到瓶頸無法突破，這時候120秒倒數完換另一位同學來試試讓全 班可以保持專注，也容易在度激發其他人的靈感。

二、製作數位化老馬識途遊戲

我們介紹「老馬識途遊戲」時如何將一個遊戲分成許多小問題，並使用函數 將這些小問題一一解決，統整成為我們的遊戲。茲將「老馬識途遊戲」分成五個 大功能來設計：

(一)棋盤上的布置

本遊戲需要在 5×9 個棋盤交點上布置可與玩家互動的元件，使用陣列來達 成，但因為馬走日步，為了讓玩家點選到最邊的元件時，遊戲內部程式依然 有走日步的 8 個元件陣列值可存取，故於程式設計上的方便我們在棋盤外另 外加了兩圈，使得陣列擴增成為(2+5+2)×(2+9+2)的 9×13 二維陣列。此外依 功能我們還分兩個陣列互相搭配來控制可與玩家互動的元件，分別為：

1.元件顯示陣列：控制棋盤上的圖樣影片元件，遊戲一開始，讓棋盤最右 上方的交點上顯示「馬」；其他所有的交點顯示空交點，待玩家於遊戲 中點選時顯示「馬」。此陣列中在「馬」位置上的圖樣影片元件所對應 的陣列值顯示為 1，棋盤上其他的圖樣影片元件對應的陣列值顯示為 2，

而我們在棋盤外另外加了的兩圈所對應的陣列值顯示為 0，即在布置遊 戲面板時棋盤外的兩圈不布置圖樣影片元件。

2.元件動作陣列：此陣列所顯示的是棋盤上的圖樣影片元件可不可點選，

只有在「馬」的日步上的圖樣影片元件所對應的陣列值顯示為 1，棋盤 上其他不可走的圖樣影片元件對應的陣列值顯示為 2，而我們在棋盤外 另外加了的兩圈所對應的陣列值顯示為 0，而其在布置遊戲面板時棋盤

外的兩圈不布置圖樣影片元件，故點不會產生玩家點錯的情況。

(四)勝利判斷

於函數中設定利用步數記錄變數值是否達到 45 步，來判斷玩家是否得到勝 利。

(五)其他功能函數

1.返回：配合返回鈕，將全部參數及陣列回歸初始狀態，並跳回前一頁。

2.重玩：配合重玩鈕，將全部參數、計時器、返回鈕、重玩鈕、棋盤上的 布置及陣列回歸初始狀態，重新設定所有物件的監聽。

3.勝利和平手：和計時器搭配控制失敗影片、勝利影片及煙火。

4.關閉所有圖樣影片元件:為避免遊戲結束後玩家仍可點選操控圖樣影片 元件，故獨立一個函數利用用巢狀 for 迴圈和 if 語法，來控制關閉所有 圖樣影片元件監聽和關閉按鈕模式，之後有任何地方要用到時，只要呼 叫此函數即可。

5.隱藏版解答：老馬識途遊戲對一般的國中來說，算是較難的遊戲，考量 到教學時的方便，故於此遊戲面板右上角指導教授與遊戲設計者處，製 作一隱藏按鈕，來作為隱藏版解答控制依據，按下之後會跳到解答頁，

呈現兩個版本的解答，分別是分兩邊繞圈的解和繞整圈的解法。

6.倒數計時：為了增加遊戲的趣味及增加遊戲時的效率，本遊戲加入了倒 數計時，每次遊戲限時120秒，時間到時玩家若未走完45步則失敗。

貳、馬不停蹄遊戲 一、遊戲介紹

馬不停蹄遊戲其實是將老馬識途遊戲改變成兩人對戰版本，一個人玩老馬識 途遊戲時目標是要能找到一條能走完 45 個點的路徑，而兩人玩時則是要讓對方 無路可走，如下圖所示：

相較於前者找出完整答案的高難度，兩人對戰就顯得較為簡單一些，而要讓 對方無路可走，自己有路可走所應用到的策略除了嘗試錯誤的方法之外，也可採 用老馬識途遊戲的解題思考再加以變化，然而兩個遊戲都有互相找解題策略的用 處。

在馬不停蹄遊戲設計時由許志農教授建議遊戲設計加上坐標，則在實際課堂 實施時，可以由對戰學生唸坐標老師操作的方式來執行，除了遊戲內容之外，亦 可使用在國中七年級下學期直角坐標教學中的應用，讓學生藉著唸出坐標點來熟 悉直角坐標的思考方式。

二、製作數位化馬不停蹄遊戲

我們介紹設計「馬不停蹄遊戲」時如何將一個遊戲分成許多小問題，並使用 函數將這些小問題一一解決，統整成為我們的遊戲。茲將「馬不停蹄遊戲」分成 五個大功能來設計：

(一)棋盤上的布置

本遊戲需要在 5×9 個棋盤交點上布置可與玩家互動的元件，使用陣列來 達成，但因為馬走日步，為了讓玩家點選到最邊的元件時，遊戲內部程式依 然有走日步的 8 個元件陣列值可存取，故於程式設計上的方便我們在棋盤外 另外加了兩圈，使得陣列擴增成為(2+5+2)×(2+9+2)的 9×13 二維陣列。此外 依功能我們還分兩個陣列互相搭配來控制可與玩家互動的元件，分別為：

1.元件顯示陣列：控制棋盤上的圖樣影片元件，遊戲一開始，讓棋盤最右 上方的交點上顯示「馬」；其他所有的交點顯示空交點，待玩家於遊戲 中點選時顯示「馬」。此陣列中在「馬」位置上的圖樣影片元件所對應 的陣列值顯示為 1，棋盤上其他的圖樣影片元件對應的陣列值顯示為 2，

而我們在棋盤外另外加了的兩圈所對應的陣列值顯示為 0，即在布置遊 戲面板時棋盤外的兩圈不布置圖樣影片元件。

2.元件動作陣列：此陣列所顯示的是棋盤上的圖樣影片元件可不可點選，

只有在「馬」的日步上的圖樣影片元件所對應的陣列值顯示為 1，棋盤 上其他不可走的圖樣影片元件對應的陣列值顯示為 2，而我們在棋盤外 另外加了的兩圈所對應的陣列值顯示為 0，而其在布置遊戲面板時棋盤 外的兩圈不布置圖樣影片元件，故點不會產生玩家點錯的情況。

(二)馬步的移動

再將計數參數除以 2 的餘數，來作為隱藏或顯示類似十字坐標行、列名 稱對照的控制依據。