運用Flash軟體於數位化數學遊戲之製作與教學運用

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(1) . 國立臺灣師範大學數學系教學碩士班論文. 指導教授: 許志農博士. 運用 Flash 軟體於數位化數學遊戲之製作與教學運用. 研究生: 蔣介民. 中華民國一百零二年一月. .

(2)   . 誌. 謝. 經過一年的探索孕釀期及半年多來龜速進步期，在去年暑假論文的進度開始有著突破性地進展，在教學工作、家庭及學業三方面夾擠之下，匆忙與疲累己成常態；通過論文口考的當天，心中有著滿滿的感動與感謝，謝謝這一路上指導提攜、協助陪伴我的許多師長、親友，因為有你們，我才能堅定地向前；因為有你們，我才能無後顧之憂逐步地自我實現。首先，特別感謝我的指導教授許志農教授，在教學及研究繁忙之際，您仍耐心仔細地指導我的論文，不僅引領我在學術上精益求精，更讓我在待人處事上受益良多；其次感謝口考委員黃森山教授及李華介教授在論文實施及撰寫上提供具體的建議及修正，使我的論文更佳完整，並對於研究的意義、內涵有更多的思索；從民國九十九年暑假至今，更感謝洪有情系主任、黃文達老師、陳創義老師、蔡蓉青老師、洪萬生老師、郭君逸老師、謝豐瑞老師、曹博盛老師、楊凱琳老師、趙文敏老師及呂翠珊老師的諄諄教誨，有幸如沐春風，也藉由課堂的實作及紮實的訓練協助我對自我有更多的省思，在數學專業及教育研究上有更多的琢磨。由衷地感謝陳裕鍚學長的建議及鼓勵、師大數學系的學長姐及同學們的努力精神，讓我從自身的學習心態、學習習慣有了徹底改變。幸運地能和師大數學教碩班善良敦厚的同學友民、鈺祺共同學習、互相鼓勵，在每兩到三週一次的聚會中，認真地討論、互相給真誠的建議、以及滿室地咖啡香是讓我努力向前的原動力，而在論文寫作時的彼此激勵、分享陪伴更是我論文撰寫上不可或缺的好伙伴！我最愛的家人爸爸蔣榮樟先生、媽媽陳雪珠女士、岳父趙瑞錡先生、岳母鄭翠祝女士、太太趙榆茹、女兒蔣家榕，陪伴我度過低潮、傾聽我的牢騷，你們總能給我滿滿的能量及勇氣。擁有你們無條件的關愛與支持，讓我能充滿信心地迎接挑戰，毫無後顧之憂的在學業上努力，說不盡對你們的感謝。而經歷了超額分發及小孩出生，家庭、工作與論文撰寫並進，更要感謝北市濱江國中、介壽國中的工作伙伴們的協助，讓我有所磨練卻也能充分的發揮所長。僅以此論文獻給所有曾幫助我的人，及對 Flash 程式開發有興趣的教育同仁們，也期許自己未來能繼續加油，貢獻所學！. I .

(3)   . 摘要遊戲學習理論(Game-based learning)發展至今已超過一百年，遊戲常常被用來做為學習上引發動機的要素之一，站在教育的觀點上來看，將遊戲與教育整合起來，也就是「寓教於樂」的概念，這個概念一直是許多教育工作者期望所能達到的終極目標，研究者利用 Flash CS5 將所找到的數學遊戲數位化，論文中介紹了「金庫密碼」遊戲，及包含幾何、分數、代數、組織及推理的「填蛋糕圓盤」及「圈叉」遊戲，應用直角坐標及推理的「老馬識途」及「馬不停蹄」遊戲。關鍵字：數學遊戲、數位遊戲、直角坐標、推理、Flash CS5. II .

(4)   . 目次誌. 謝 .........................................................................I. 摘要 ...........................................................................II 目次 .........................................................................III 第一章緒論 .....................................................................1 第一節研究動機與背景 .......................................................... 1 第二節研究目的 ................................................................ 3 第三節名詞解釋 ................................................................ 3 壹、數學遊戲 ................................................................ 3 貳、數位遊戲 ................................................................ 3 參、Flash 軟體 .............................................................. 4 第二章文獻探討 .................................................................5 第一節數學遊戲在教學上的意義 .................................................. 5 壹、遊戲在教育上的功效 ...................................................... 5 貳、數學和數學遊戲 .......................................................... 9 參、數學遊戲的教育價值 ..................................................... 12 肆、數位化數學遊戲 ......................................................... 15 第二節數學電腦遊戲類型的精神與設計 ........................................... 16 壹、數學遊戲的類型 ......................................................... 16 貳、電腦遊戲的類型 ......................................................... 18 參、本研究所選用的數學電腦遊戲之特質 ....................................... 21 第三節電腦遊戲開發工具 ....................................................... 22 壹、C/C++程式語言 .......................................................... 22 貳、Visual Basic 程式語言 ................................................... 23 參、Java 程式語言........................................................... 23 肆、RPG 遊戲製作大師 ....................................................... 24 伍、Game Maker ............................................................. 25 陸、Flash 與 ActionScript ................................................... 25 第三章數位化數學遊戲介紹 ......................................................29 第一節填蛋糕圓盤遊戲 ......................................................... 29 壹、幻方 ................................................................... 29 貳、圈叉遊戲 ............................................................... 31 參、填蛋糕圓盤遊戲 ......................................................... 34 第二節老馬識途遊戲 ........................................................... 38 III .

(5)    壹、老馬識途遊戲 ........................................................... 38 貳、馬不停蹄遊戲 ........................................................... 43 第三節金庫密碼遊戲 ........................................................... 46 壹、遊戲介紹 ............................................................... 46 貳、製作數位化金庫密碼遊戲 ................................................. 48 第四章數位化數學遊戲程式設計說明 ..............................................51 第一節填蛋糕圓盤遊戲 ......................................................... 51 壹、數學遊戲模式架構 ....................................................... 51 貳、數學遊戲設計重點 ....................................................... 52 第二節圈叉遊戲 .............................................................. 114 壹、數學遊戲模式架構 ...................................................... 114 貳、數學遊戲設計重點 ...................................................... 115 第三節老馬識途遊戲 .......................................................... 148 壹、數學遊戲模式架構 ...................................................... 148 貳、數學遊戲設計重點 ...................................................... 149 第四節馬不停蹄遊戲 .......................................................... 166 壹、數學遊戲模式架構 ...................................................... 166 貳、數學遊戲設計重點 ...................................................... 167 第五節金庫密碼遊戲 .......................................................... 180 壹、數學遊戲模式架構 ...................................................... 180 貳、數學遊戲設計重點 ...................................................... 181 參考文獻 ......................................................................193 壹、中文文獻 .............................................................. 193 貳、英文文獻 .............................................................. 194 參、網路資源 .............................................................. 195. IV .

(6)   . 第一章緒論本研究旨在利用 Flash CS5 將所找到的數學遊戲數位化，有包含幾何、分數、代數、組織及推理的「填蛋糕圓盤」與「圈叉」遊戲，應用直角坐標及推理的「老馬識途」和「馬不停蹄」遊戲，及「金庫密碼」遊戲。全章共分為三節，第一節先說明本研究的動機與目的，第二節再提出研究問題，第三節則對本研究的相關名詞作解釋與明確界定。 . 第一節研究動機與背景研究者歷任服務學校從北到南，從鄉村到都市(新北市金山高中國中部為教育優先區、新竹縣竹東國中、新北市光榮國中、高雄市福山國中、台北市濱江國中、台北市介壽國中)，在數學教學生涯中，最常聽到或感受到學生對於數學缺乏興趣，甚至在數學教師研習時，新北市中山國中數學資深教師李春男，在歷經三個小時精彩的現埸直播教學(全市參與研習教師於演講廳現埸收看)之後的分享，也談到在他的教學生涯中，不只數學差的學生對數學沒有興趣，連他教過數學成績從小到大一路滿分的學生，在畢業多年後回來拜訪他時都談到自己並不喜歡數學。師大教授楊榮祥的研究也指出，即使是數學競試優異的學生，也是「十分痛恨數學」（引自陳淑美， 1998， p85）。這是一個震撼!不只是新手教師，連數學名師都面臨這個問題，而且學生不論數學成績好或是成績差，都有可能對數學學習沒有興趣。令研究者對能引起學生數學學習興趣的方法感到十分好奇。長久以來，遊戲一直是人類用來享受樂趣、抒解壓力的重要工具，研究者本身也是電腦遊戲愛好者，人們為了從遊戲中獲得樂趣，從靜態的遊戲活動到動態的各類遊戲競賽，在過去一直以不同的型態存在社會文化中。而拜科技進步所賜，電玩遊戲也在人類社會中佔有一席之地，而且對人類社會的影響也愈趨顯著。有研究者指出電腦遊戲可以大幅增進孩童數學上的學習成效和趣味性 (Klawe，1998 ; Randel，Morris，Wetzel and Whitehill，1992)，電腦遊戲已經被視為一個可以增加學生學習動機、培養解決問題的能力的工具(Sivin-Kachala & Bialo，1999)，而好的電腦遊戲設計則可符合孩童的心理層面上的需求並且引發他們學習動機增加學習成就。 Vigotsky提出遊戲是建構孩童學習能力很重要的行動方式，因為遊戲進行往往比日常生活更複雜，這也正好是讓孩童構成抽象思考的第一步，近年來遊戲式學習開始被專家學者重視並且得到廣泛的應用，許多相關研究也紛紛指出遊戲不但有增進學習動機的效果，更能讓孩童從與他人遊戲的過程中得到溝通與協調的能力（蔡崇仁，2005）。 1 .

(7)   . 遊戲學習的特點有三個，首先遊戲能夠引發學生的學習動機，再者能讓學生在沉浸中增進學習成效，最後學生在遊戲中即使發生錯誤依然具有信心，而可以重複不斷學習(Teed，2004)。站在教育的觀點上來看，將遊戲與教育整合起來，也就是「寓教於樂」的概念，這個概念一直是許多教育工作者期望所能達到的終極目標；因為在遊戲當中融入一些教材，不但可以在遊戲的過程當中學習一些知識，更可以藉由遊戲的力量來提高學習者的興趣與注意力(楊斐羽、梁朝雲， 2004)。Terrell和Rendulic在1996年也提到電腦遊戲式學習可增加學生的內在動機與學習成就（Terrell & Rendulic， 1996）。因此研究者腦中閃過一絲靈光－有沒有可能結合電腦遊戲與數學遊戲來輔助數學教學活動呢？結合電腦遊戲與數學遊戲來輔助數學教學活動有沒有增加學生的學習意願呢？Sedighian (1997)的研究指出要幫助學生去學習數學有雙重的困難:一個為如何激發學生花時間在數學活動上，另一個困難為如何幫助學生建構他們的數學知識。一個設計良好的電腦遊戲可以激發學生想要去學習(Sedighian ＆Sedighian， 1996) 。將數位遊戲當做教學的工具會有幾個正面的效果：1.學生整體的學習成就會比傳統的學習方式來的高，2.可以培養學生去思考解決問題及計畫策略的能力，3.讓學生有更多的動機去學習，4.學生會願意花比較多的時間在學習上 (Rosas et al.，2003) 。因此有些學者提議電腦遊戲可以快速的增加學生學習數學的興趣(Klawe， 1998; Randel et al.， 1992)。電腦遊戲已經被視為一個可以增加學生學習動機、培養解決問題的能力的工具(Sivin-Kachala & Bialo， 1999)。如果能將電子遊戲當做教學的工具，可以提升學生的學習成效，一些學者提出了一些電子遊戲的特色：挑戰(Challenge)、夢想(Fantasy)、好奇心(Curiosity)、控制 (Control)。(Lepper & Malone， 1987; Malone， 1981) 。研究者想設計符合上述特色的數學電腦遊戲來輔助數學教學活動，使得數學的學習往快樂學習的目標邁進。在開發工具的選擇上，Adobe 公司研發的 Flash 平台軟體出現的時間沒有幾年，但已經成為動畫製作工具、網站創建程式及開發應用軟體的程式語言，現在更成為遊戲開發平台。Adobe 公司已經在 2010 年 5 月中旬推出最新一代的 Adobe Flash CS5.0 平台軟體，提供給使用 ActionScript 的工程師開發 iphone 手機上的應用軟體，所以它確實有著獨一無二的潛力，也是研究者選擇它的原因。. 2 .

(8)   . 第二節研究目的研究者本身也是電腦遊戲愛好者，人們為了從遊戲中獲得樂趣，從靜態的遊戲活動到動態的各類遊戲競賽，在過去一直以不同的型態存在社會文化中。而拜科技進步所賜，電玩遊戲也在人類社會中佔有一席之地，而且對人類社會的影響也愈趨顯著。在數學教學生涯中，最常聽到或感受到學生對於數學缺乏興趣，站在教育的觀點上來看，將遊戲與教育整合起來，也就是「寓教於樂」的概念，這個概念一直是許多教育工作者期望所能達到的終極目標。本研究旨在利用 Flash CS5 結合電腦遊戲與數學遊戲來輔助數學教學活動。因此本研究的具體目的如下：壹、尋找未曾數位化的數學遊戲。貳、將所找到的數學遊戲以 ActionScript 3 編程語言數位化。參、說明這些 flash 遊戲的設計流程，並公開及逐段詳細解說遊戲的程式碼，希望讓更多教師能對撰寫數位化遊戲有進一步的暸解。. 第三節名詞解釋壹、數學遊戲數學遊戲通常是指遊戲歷程中會產生一些數學問題的遊戲，而這些數學問題要用到數學思考才能獲得解決，（Harvey & Bright，1985），而數學思考（mathematical thinking）則指運用數學知識、技術、技巧來嘗試解題的思考活動；John MasonLeone Burton & Kave Stacey 在書中（台北市建中49 屆314 班同學合譯，民87）提到三個有效影響數學思考的因素是：1.使用數學詢問過程的能力。2.處理情感、心理狀況和將他們轉為對己有利時的信心。3.對數學內容，必要時對它適用範圍的理解。一項被用來確認為數學遊戲的指標是有趣，少了趣味性的數學活動就很難再被認定為數學遊戲，本研究中之特定數學遊戲均具備趣味性，也符合一般對數學遊戲的定義，其較特定的觀點詳述於文獻探討中。貳、數位遊戲根據《電玩新戰國時代》一書指出，世界最早的數位遊戲是在1958 年William Higginbotham 所發明，發明的目的主要是要利用雙人對打的網球遊戲，讓民眾瞭解電腦的功用及用途（邱揮立，2003）。隨著電腦價格下滑，人們開始使用電腦來玩遊戲，世界第一台商業用電子遊戲機也於1971年，由電子遊戲之父Nolan 3 .

(9)   . Bushnell 開發完成。隔年1972年，並成立全球第一家專業電玩公司ATARI，逐步引起全球性的電玩旋風（許晉龍，2004）。學者對數位遊戲的定義不盡相同，但總括來說是將數位遊戲定義為使用電子型態、配合程式語言將遊戲規則透過螢幕呈現，並可在個人電腦上儲存與執行之遊戲軟體。而本研究所指的數位遊戲，是指學習者透過Adobe Flash CS5 Professional 套裝軟體製作出來能在電腦上執行的遊戲。參、Flash 軟體本研究所指的Flash軟體為 Adobe Flash CS5 Professional 套裝軟體。從 1961 年電子遊戲誕生到現在，可以製作遊戲的軟體多不勝數，其中Adobe Flash CS5 Professional 套裝軟體內建的繪製功能，與其支援的ActionScript3.0 指令撰寫功能，可以為我們規劃出遊戲的藍圖，來設計出想要製作的遊戲類型，不論是屬於靜態遊戲或是動態遊戲，甚至是利用聲音來進行遊戲，都可以由Adobe Flash CS5 Professional 套裝軟體製作出來，再藉由製作遊戲的過程與結果，來了解各種互動式遊戲的差異性。而對ActionScript3.0較特定的觀點詳述於文獻探討中。. 4 .

(10)   . 第二章文獻探討第一節數學遊戲在教學上的意義壹、遊戲在教育上的功效一、遊戲理論遊戲活動自早期人類文明便陸續存在，但進一步對遊戲加以科學化專業化地探討與研究，遲至十九世紀才開始。在此僅以遊戲理論提出時間加以分類，並依西元1920年來作遊戲理論的分水嶺，1920年代之前的統稱為「古典遊戲理論」，在1920年代以後的遊戲相關理論，則稱為「現代遊戲理論」。 (一)古典遊戲理論：遊戲的理論最早可追溯至柏拉圖和亞里士多德對遊戲所提出的觀點。柏拉圖和亞里士多德他們都認為遊戲能增進算術的學習，並且是建構知識的技巧之一(江麗莉譯，1997）。但千年以來，真正有學者重視且嘗試去建構出遊戲理論的，則要在十九世紀後半才開始。茲將一些重要的古典遊戲理論整理如下： 1.精力過剩論此為最早發展出的遊戲理論。將精力消耗在有目的的活動，那就是工作；而消耗在沒有目的的活動，那就是遊戲。Schiller和Spencer兩人不僅認為遊戲是為了消耗過多的精力，同時也認為遊戲是導致藝術產生的因素之一。（江麗莉譯，1997）。 2.放鬆和休閒論 Patrick認為遊戲可以讓人們解除身心因處理社會各項事物而產生的疲憊，具有暫時獲得放鬆功用（江麗莉譯，1997）。這種說法較適用於成人而並非是針對兒童所發展。 3.練習論認為遊戲可以幫助兒童發展及加強日後生存所需具備的本能（郭靜晃譯，1992）。兒童往往會模仿成人，嘗試著去探索各種事物的可能性，以增進對自我及對環境的認識及掌控，並從中發展出個人的人格和智能(鄭肇楨，1983）。 5 .

(11)   . 4.複演論起源於Darwin的進化論觀點。兒童在遊戲當中表現出了先人的活動情形，重演人類行為進化過程。從兒童玩水，爬樹及群體遊戲中，約略可看出人類遠祖為適應環境而發展出技能的痕跡（江麗莉譯，1997）。 5.成長論認為遊戲是為了滿足身體需要。在人生的成長時期需要遊戲來幫助兒童成長，等到成人之後，玩遊戲的慾望也會逐漸緩和。(林風南譯， 1990）。 6.淨化論遊戲可淨化被壓抑的情緒、慾望或情結。遊戲可被視為一種發洩情感的工具，藉由玩遊戲可發揮情緒治療的效果。(林風南譯，1990）。近年在心理治療的臨床個案上紛紛興起對兒童甚至整個家族以遊戲方式進行治療，即是由此理論而崛起。但古典遊戲理論有二大缺失：一為以哲學式的反省為立論基礎，較少以實證研究來支持其立論；二為解釋的範圍過於窄化，以至有過多例外無法解釋。此派嘗試以不同的角度去解釋遊戲存在的原因及存在的目的，而未對遊戲的定義加以解釋。雖有缺失，卻提供了成人對兒童遊戲的新觀點，更為各家現代遊戲理論奠下立論基礎。 (二)現代遊戲理論：有關遊戲的現代理論約略發展於西元一九二○年代之後。由於心理學的快速發展，學者便試圖以心理學的角度去分析兒童遊戲的意義與價值。另一方面，又因為教育的普及及受重視，使得兒童教育學者發現並開始注意到遊戲的重要性。不只解釋人為何要遊戲，更嘗試將其在兒童發展所扮演的角色下定義，強調遊戲的積極功能。由於此時心理學快速發展，學者便以心理學的角度去分析兒童遊戲的意義與價值。另一方面，又因為教育的普及及受重視，使得兒童教育學者發現並開始注意到遊戲的重要性。甚而在近年，遊戲已廣泛應用在心理治療、學前教育及國小基礎教學之中。甚至在近年來，遊戲已廣泛應用在心理治療、學前教育及國小基礎教學之中，有關遊戲的現代理論經研究後彙整如下： 1.心理分析學派 Frued認為個體為了追求本我快樂會產生遊戲的行為。透過遊戲，個體能夠暫時實現內心的需求及渴望，因而可以從遊戲中獲得快樂與滿足。因為遊戲是希望的投射，當生命中有不愉快的經驗時，若透過遊戲將經驗中的情境加以重演出來，能增加個體對於那些不愉快經驗所引起 6 .

(12)   . 負面情緒的控制力。（江麗莉譯，1997）。遊戲對兒童的自我發展極為重要，在遊戲中兒童可以對自我的潛能有更深入的了解與認知，並可同時促進兒童體能、社會化等等多方面的學習。 2.認知學派 Piaget採取較為宏觀的角度來看待遊戲，認為遊戲可呈現並促進兒童的認知發展能力。Sutton-Smith（1979）認為角色扮演類的遊戲可幫助兒童打破自己原有的思維模式而嘗試以不同的角度去聯想或思考事情，或用新的方式來遊戲。這種富於創意的新想法可以幫助兒童在成人之後適應週遭多變的生活。 Vygotsky認為遊戲可直接促進兒童的認知發展，並可促進兒童的創造力和變通力。Bruner認為兒童在遊戲當中可以嘗試很多新的行為及新的玩法，以便日後應用到實際的生活情境中，進而解決生活上的問題（郭靜晃譯，1992）。 3.覺醒調節論由Berlyne首創，以生物觀點來做解釋。此理論將遊戲、好奇、創新等行為以一個系統的觀點來探討。Berlyne認為人會追求刺激及尋求探險，而遊戲便是一種尋找刺激的行為，當生活中的刺激不足時，遊戲便開始，反之則停止。個體為了增加刺激，會在遊戲中發揮想像力，以不同方式運用物體進行活動。（郭靜晃譯，1992）。 4.其他相關遊戲理論孩子在玩遊戲之前，必會先發展出一套遊戲的組織或脈絡關係來讓參與遊戲者在遊戲時都知道將會發生什麼，且了解這只是假裝而不是真的。Garvey（1977）在探討角色扮演和他們實際身分在參與戲劇遊戲中角色是如何替換的研究中發現，兒童會建立、維持、傳輸及再陳述遊戲對話中對個體有用的訊息。Schwartzman（1978）的研究則指出，兒童的社會地位可能影響遊戲的主題或其中的關係。遊戲的內容與兒童年齡有相關，年紀越大，在遊戲中所扮演的角色及遊戲的內容及規則則越複雜（郭靜晃譯，1992）。Curry（1972）則是從效率面向探討遊戲，他認為遊戲本身所具有的創造性，以及思考集中和思考分散之間的關係，能夠提供兒童一種讓自己脫離沮喪的方法。二、遊戲的功能近代學者對於遊戲做了許多研究，他們認為遊戲具有多種功能。以下是不同學派的觀點： 7 .

(13)   . (一)人類學家的觀點：遊戲是人類從兒童成長為大人的過程，是極自然的事。遊戲是人類文化活動的一種形式，研究遊戲的源流及傳播，可探索民族發展及其源流歷史的線索。 (二)行為學家的觀點：遊戲除了具有訓練知識技巧的作用，亦可用以控制行為。遊戲活動可增進兒童腦神經系統及運動機能方面的發展，如大小肌肉的發展、精細動作的熟練……等，透過遊戲的過程，可提供兒童機會以培養這些能力，進而增加兒童對自己身體的自主掌控（詹志禹，1997）。 (三)社會學家的觀點：遊戲方式表現出社會組織及其活動模式，可藉著遊戲探討人際關係。兒童透過遊戲來表現自我，在團體遊戲中學習與別人相處、合作、尊重，以發展合宜的人際關係，並了瞭和諧活動的重要性。此外，當兒童接受遊戲中的約束與規則時，無形中促進其社會行為的發展，更可養成在現代社會生活中所需要的基本應對概念。（吳博明，1995）。 (四)心理學家的觀點：遊戲可應用於心理分析，用以診斷思想、情緒的變化狀態。透過遊戲可協助兒童語言、思考、想像的學習、問題解決能力的提昇、瞭解個人與環境的關係、表達內心感受、淨化其負向情緒… 等益處，可促進兒童心理正常的發展。遊戲不僅是可以讓兒童舒緩情緒，更重要的是讓兒童領悟到自我情緒控制，遊戲是具有學習、適應、治療及休閒等的多重功能（詹志禹，1997）。 (五)科學家的觀點：遊戲雖是虛擬的活動，但其過程可視為某些現實的變換，因此，它們可能是簡化的事物結構，讓兒童有探索環境及反思己身的機會。 (六)教育學家的觀點：Dewey：「遊戲在學校課程中佔有明確的地位，其目的在增進知識及充實社會行為，不是體力的消耗或片刻歡愉，缺乏遊戲活動之教育，是不能得到有效的學習」。時至今日，亦證明遊戲是很好的活動教材，使學生在有趣的遊戲活動中進行學習。遊戲在教育上的功效有不同的觀點，古代中、西方均有遊戲不利於正常學習的看法，在我國古代有「勤有功，嬉無益」說法，但在另一方面國外很多學者的研究中都強調遊戲在教育上的功能，歐洲學者Aufshnaiter & Schwedes（1984）在「遊戲導向的教學」中主張開發有趣的單元活動教材來改善教學級學習的情 8 .

(14)   . 境，並說明遊戲導向的教學對學生在單元的學習具有吸引力及保留作用。杜威（Dewey）也曾強調：「遊戲在學校課程中佔有明確的地位，其目的在增進知識及充實社會行為，不是體力的消耗或片刻歡愉，缺乏遊戲活動之教育，不能得到有效的學習」（引自劉素幸，民83），由這個觀點來看，如何讓學生在遊戲的過程中達到教育目標是值得研究的事。而Krulik & Rudnick（1983）也提出遊戲教學具有下列優點：1、遊戲可以取代一些無趣的例行性訓練和引發學生自發性的練習。2、遊戲的情境可以提供獲勝的機會和取得同儕的認同。3、在嘗試解決遊戲難題的過程中，可以引導學生研究新的問題解決之技巧。4、在遊戲的過程中需要遊戲者主動的參與，而一般的教室中學生比較要被動的聽老師解釋。由此看來，將遊戲應用在教學上，有機會使學生的學習態度獲得改善。. 貳、數學和數學遊戲一、數學思考和數學遊戲的關係 (一) 數學遊戲的功能 Harvey ＆ Bright(1985）認為數學思考可以被視為用數學知識、技術、技巧來解決問題的思考方式；而數學遊戲是指要用到數學思考才能獲得解決的遊戲。在早期數學遊戲被認為它的唯一功能就是在訓練和練習一些基本技能時，遊戲的功能為：1.在一開始學習階段重新訓練起孩子們的基本技能。2.幫助學生在整個學校生涯中建立和增進學生基本技能的展現。3.協助這些學生發展這些技能。趙文敏（民70）指出，數學遊戲和正統數學之間的區別，在於數學遊戲少了系統性。在這時期的觀點是數學遊戲不能幫助數學思考的發展，近年來有一篇研究完成了，它表示玩數學遊戲可以幫助學生學到高層次的數學技能，而且遊戲在教育目標完成前、進行中、或是完成後都是很有用的。Bloom 描述了辨識數學遊戲幫助學生到高層次的數學技能六個水平依序為：經驗、比較、應用、分析、綜合和估算，數學遊戲的功能大為提昇。張維忠(2006）指出遊戲本身就是文娛活動的一種，分為智力遊戲和活動性遊戲。前者是發展智力的，後者是發展體力的。數學家在從事研究時不是戲謔的，且嚴謹和認真是人們對數學的一種追求。 (二) 數學與遊戲的關連數學是帶有藝術風度的智力工作，同時是具有巨大的實用價值的科學。可是大多數人並不認為數學與遊戲有什麼關連，曹亮吉（民68）提出數學遊戲的四大特色：1、題目簡單易懂且有趣，答案有時也出人意表。2、沒有一套系統性的方法。3、看不出任何直接的應用。4、沒有列入正式的課程。在這些特色中，有趣被認為明確而重要的因素，不具趣味性一定被排除在數學遊戲之外。然而，遊戲 9 .

(15)   . 卻是數學的重要組成部分。進一步考察一下數學與遊戲的關係，我們發現遊戲與數學的關係非常密切，無論從數學知識本身，還是數學活動的過程以及人們從事數學活動的動機、方法等方面都可發現遊戲的因素。一方面，就數學知識本身來說，在傳統數學領域和現代數學領域中都可發現大量賞心悅目的具有遊戲性質的內容和問題。如畢達哥拉斯(Pythagoras，公元前572-前500) 學派對於完全數和親和數等數字的奇特性質的研究，古希臘人研究的角的三等分、倍立方和化圓為方三大幾何作圖問題，對割圓曲線等奇異曲線的研究、用相同形狀的圖形鋪滿整個平面的問題，以及在微積分中人們對大量種類的奇形怪狀的曲線的研究顯然都帶有娛樂的性質。另外，遊戲常可促進數學學習，尤對數學恐懼者。田尼氏 (Dienes)便提出數學概念可透過:1.自由玩耍(Free Play)。2.有規律遊戲 (Games) 。3.找尋共同結構(Searching for Communalities) 。4.描述或圖示 (Representation) 。5.符號化(Symbolization) 。6.形式化(Formalization) 六個階段形成。 (三) 數學即遊戲數學作為人類的一項活動，自古以來一直是一個享有特權的人類智力活動領域，被看成是人類智力的象徵。事實上，許多人不單是因為數學有用而研究數學，他們的出發點則是把數學作為一種自娛自樂的遊戲，一種高級的心理追求和精神享受。這種數學即遊戲的觀念在19世紀數學變成為一種職業以後仍然在發揮作用，實際上這種觀念一直持續到現代。著名數學家哈代(Godfrey HaroldHardy， 1887-1947) 就曾說過，激勵數學家做研究的主要動力是智力上的好奇心，是謎團和吸引力。可以說數學在其成長和發展中一直伴隨著遊戲的精神。饒見維（1996）亦指出數學和遊戲的關係其實很密切，遊戲規則與數學規則都是人為的建構，數學成立在「數學家所建立的規則下」，而遊戲則沒有固定的模式與規則，可因人、因時、因地做適時的調整。因此，可將數學視為一種遊戲，數學體系可視為數學家所發明的不同遊戲規則。而鄭肇禎（1983）認為數學本身其實就是遊戲，兩者同樣具有相類似的元素及結構。於數學中被選定的集合如：數字、圖形、函數的集合等；對照數學遊戲中物體的集合如：如棋子、撲克牌、骰子等。在數學中被定義的運算規則如：規定集合內的元素如何進行加、減、乘、除等基本運算；對照數學遊戲中被定義的遊戲規則如：走棋的步驟、如何得分、分數的計算等。二、遊戲對數學發展的影響 (一)遊戲對數學的發展影響深刻張維忠（2006）認為遊戲激發了許多重要數學思想的產生。數學史上經常出現這種情況，一個像遊戲似的有趣問題，或是對一個表面看來無關緊要的情境作巧妙觀察，會產生新的思維模式。當人們能以自願而嬉笑的心境，而不是以正式 10 .

(16)   . 的科學常有的嚴肅認真的背景來看待一門學科時，這種精神就能使科學有效地取得進展。人們談到組合分析的起源時，就會講到「易經」中以不同占卦符號的分佈以及具有神秘內涵的中國魔方、縱橫圖的構造等。畢達哥拉斯學派用石塊的遊戲列出了數論中有趣的定理。概率論就直接起源於一個關於賭博的遊戲。它把純粹偶然事件的表面上的無規律性置於規律、秩序和規則之下，從而成為人類的根本知識之一，並具有廣泛應用價值。正如拉普拉斯(P.S. Laplace， 1749-1827) 所說:“這門起源於靠運氣取勝的遊戲的科學，竟然成了人類知識的最重要的一部分＂。同樣圖論也是一門起源於遊戲的科學，它起源於歐拉(L. Euler， 1707-1783)關於哥尼斯堡七橋問題的研究。此後許多著名的數學遊戲成為圖論和拓撲學發展的催化劑和導引，如哈密頓(W.R. Hamilton， 1805-1865)問題(繞行世界問題)、四色猜想問題等。 (二) 數學遊戲為其他學科提供了素材數學遊戲還為其他許多古老和新興的學科，如概率論、博弈論、規劃論、組合數學、圖論、拓撲學、代數學等提供了素材，促進了這些學科的誕生和發展。阿基米德(Archimedes，公元前287-前212)“群牛問題＂和中國的“百雞問題＂促進了不定方程理論的發展;柯克曼女生問題的求解導致組合數學的深入; 哥尼斯堡七橋問題直接引起圖論的創立，並對網絡理論和拓撲學的建立起了促進作用; “合理分配賭注問題＂成為概率論創始的基本問題之一；18世紀出現的“蒲豐 (Comte de Buffon， 1707-1788)投針問題＂開創了幾何概率的先河;“翻攤 (Nim)＂等博弈遊戲為對策論提供了素材，並對人工智能的發展有一定影響; 哈密頓周遊世界難題與圖論中的大量問題有關。幻方作為一種古老的數學遊戲，不僅僅是拼湊數字，它與由“三十六軍官問題＂引出的正交拉丁方理論一樣，都是古老數學智慧的體現，在實驗設計，特別是正交設計中煥發出新的光彩，得到廣泛的應用。1930年，英國農學家利用正交拉丁方設計小麥實驗方案獲得成功，使拉丁方理論得到數學界的普遍重視。(引自張維忠，2006) (三)遊戲促進了數學知識的傳播遊戲之所以具有難以抗拒的魅力的一個很重要的原因是遊戲所涉及的問題和內容有趣迷人、淺顯易懂。另外又不需要過多的預備知識，只要掌握一般的基本知識，初學者即可登堂入室，理解某一門學科的許多的重要內容。因此數學遊戲常被用來作為嚴肅數學的一種表現方式，使之更易理解和更具趣味。張維忠（2006）認為遊戲在數學普及和傳播中的有效性一直伴隨數學的成長和發展過程。在人們津津樂道、相互傳誦遊戲的過程中，也將有關的數學知識和數學思想傳送給四面八方的人。事實上，一些經典數學遊戲就作為數學理論的載體，歷經千年而不衰，始終煥發著極強的生命力，成為傳播數學的重要手段。而數學遊戲吸引人之處也在於，它以淺顯易懂又妙趣橫生的語言引出深奧的數學原理和數學思想。這時，數學遊戲的表達方式就成為決定這個遊戲是否具有生命力的重要因 11 .

(17)   . 素。斐波那契(Leonardo Fibonacci，約1170-約1240) 兔子問題以小兔生子作載體，使這個問題親切有趣，得以流傳至今。而導致同樣數學結果的其他類似表述，如登樓梯問題，蜜蜂進蜂房問題，樹枝分叉問題等，雖然得到的都是斐波那契數列，但相比於兔子問題，在趣味性方面就遜色許多，未能廣泛流傳。兔子問題則成為一個經典問題，直到今天仍為許多人矚目。 (四)遊戲是數學人才發現的有效途徑數學發展史上許多數學家是由於解決了某個遊戲而發現自己具有數學潛能，從此放棄其他選擇而獻身數學。如數學家高斯(C. F. Gauss，1777-1855) 就是由於在他19歲那年解決了一個長期困擾數學界的、帶有遊戲色彩的幾何作圖難題—— 用尺規作出了一個正十七邊形，這一成功使他對自己的數學才能有更加明確的認識，於是，他毅然放棄了自己所喜愛的語言學而投身於數學。此外還有萊布尼茨(G. W. Leibniz，1646-1716)、馮· 諾伊曼(John von Neumann， 1903-1957)…等，遊戲成為自我檢驗數學才能的試金石。. 參、數學遊戲的教育價值一、遊戲與教育的關係在希臘語中，遊戲(paidia) 和教育(paideia) 這兩個詞的詞根是一樣的，都指稱兒童(pais) 的活動，這預示著二者關係的研究從沒有被教育研究者漠視過。柏拉圖(Plato，公元前427-前347)是第一個研究二者關係問題的，渴望他言稱的教育包括遊戲成分，以遊戲幫助教育。亞裏士多德(Aristotle，公元前384前322) 認為遊戲是七歲以前兒童教育的一種方法。誇美紐斯(J. A. Comenius， 1592-1670) 十分重視遊戲在學前教育中的意義，指出遊戲可以使兒童“自尋其樂，並可鍛煉身體的健康、精神的活潑和各種肢體的敏捷＂。福祿倍爾(F. Froebel，1782-1852) 以遊戲作為幼稚教育的基礎，認為遊戲是童年生活中最快樂的活動，是表現和發展兒童的主動性和創造性的最好活動形式。成人既應允許兒童自由地盡情地遊戲，又必須注意觀察和指導兒童的遊戲，從而通過遊戲增進兒童的體力和智力，利用兒童與同伴的共同遊戲，培養公民意識和意志品質，進行道德教育。杜威(J. Dewey， 1858-1952) 更是認為“沒有一些遊戲和工作，就不可能有正常的有效的學習＂，在學校這個環境裏，“遊戲和工作的進行應能促進青年智力和道德的成長。＂(引自鄧友超，2003)由此可見，遊戲的教育價值早以被教育家所認可。二、數學遊戲與數學教育. 12 .

(18)   . 事實上，有經驗的數學家開始對任何問題作研究時，總帶著與小孩子玩新玩具一樣的興致，先是帶有好奇的驚訝，在神秘被揭開後又有發現的喜悅。有什麼理由在我們的數學教育中不應使用同樣的遊戲似的精神呢? 一本很好的數學遊戲選集能使任何水平的學生都從自己最佳的觀察點面對每一個題材。學生不僅學到了數學的內容，而且還體驗到了數學的思維方式，進而培養了學生正確的學習態度: 創造、動力、興趣、熱情、樂趣…。對許多嚴肅數學題材採用遊戲似的方法能使學生深深地受益，並且通過向學生說明面對數學問題如何持正確態度，可能會對學生今後一生對待各種數學問題的整個態度產生積極的影響。數學遊戲的教育價值是不容忽視的。(引自張維忠，2006) 三、數學遊戲的教育價值美國著名科普作家馬丁· 加德納(M. Gardner， 1914-) 曾在美國的著名科普雜誌「科學美國人」(Scientific Americian) 上主持過“數學遊戲＂專欄影響廣泛而又持久。百戲雜陳，包羅萬象，到處是連理枝，到處有嫁接果。馬丁· 加德納讀萬卷書，行萬里路，知識非常淵博，才華橫溢，思如泉湧，博聞強記，文理雙棲，是一位名副其實的多產作家，所創作的數學科普書與文章的總數累計達一千萬字以上，內容幾乎涉及數學的方方面面，“熱點＂之多，令人目不暇接。他工作的特點是把許多數學思想或知識寓於各種有趣的故事和問題之中，這些妙趣橫生的作品使數以百萬計的人陶醉於數學樂園之中。馬丁· 加德納曾經對數學遊戲的教育價值作了如下相當正確的評價:“喚醒學生的最好辦法是向他們提供有吸引力的數學遊戲、智力題、魔術、笑話、悖論、打油詩或那些呆板的教師認為無意義而避開的其他東西。＂張維忠（2006）認為努力通過數學的應用，數學的歷史以及人們最感興趣的數學家的傳記，通過其與哲學或與人類思想其他方面的關係來普及數學，可以很好地使數學為更多的人所瞭解，但可能沒有什麼方法能比精選的遊戲能更好地傳遞數學的精神了。因此，數學遊戲的教育價值不容置疑。四、數學遊戲在數學教育中的作用具體講數學遊戲在數學教育中有以下作用。王幼軍（2002）提到遊戲是學生獲得數學內容與思想方法的有效方法之一。因為遊戲為不同年齡層次的學生提供了這樣的機會—— 通過具體的經驗去為今後所必須學習的內容作準備。如“算二十四點＂遊戲，小學一年級可玩“加減法＂，二年級加進“簡單的乘除＂和 “兩步以內混合運算的內容＂，三、四年級可進行複雜的四則運算，五年級可出現“小數的乘除＂，六年級則有“分數的四則運算＂和“指數運算＂。又如猜數遊戲使學生在體會數的大小的同時，便會學到一種解決問題的有效策略，其中包含著樸素的用“區間套＂逐步逼近的思想。再如折紙遊戲，不論是在平面幾何 13 .

(19)   . 或是立體幾何課堂上適當引入折紙是行之有效的教學手段。觀察、比較和分析折紙中的數學現象，有利於提高學生的感性認識和空間想象能力。張維忠（2006）指出一些遊戲與數學的結構相似。如某些棋類或字母遊戲提供了公理系統的體驗，從而使遊戲成為學生從具體過渡到抽象數學證明的橋梁; 電腦遊戲可以發展幾何的空間感覺和意識等。從而，使學生更深刻地理解數學的精神，保證了遊戲有利於學生數學思維的培養。事實上，數學遊戲作為智力遊戲的一種，在啟發人的創造性思維方面有重要的作用。有許多遊戲看似複雜，用常規方法也許需要耗費大量的精力，但若能放開思路，打破常規，靈機一動，從另一個角度去考慮，就可能事半功倍，得到一種簡潔而優美的解法。這種思維方式是解決數學遊戲的一種重要方法，同時數學遊戲也鍛煉了人的這種思維能力。例如著名的軌跡問題—“四臭蟲問題＂，許多數學遊戲的求解均是如此，若用按部就班的方法來解，需要深厚的數學基礎和大量的時間，但是如果巧動腦筋，深入分析一下遊戲的原理，就有可能想出一個簡單明瞭的解法。追求解題方法的優美簡潔，也是所有數學家的目標，數學遊戲問題的解法常常獨闢蹊徑，可謂“山重水複疑無路，柳暗花明又一村＂，這就極大地活躍了人的思維，擴展了解決數學問題的方法。五、遊戲中的數學發現遊戲還有利於學生的數學發現。儘管排序不等式是高中數學競賽的內容，似乎不適合初中生學習，但若以學生熟悉的“剪刀、石頭、布＂這個遊戲活動為平臺，以逐漸深入的問題為線索，何小亞（2003）提到通過活動一記數一代數表示一計算一收集資料一數值排序一分析資料一由特殊到一般的歸納猜想，初一的學生也可以發現這一排序原理。通過資料的收集、分析，處理，猜想出排序原理; 經歷“實驗−收集資料−分析資料−處理資料−歸納猜想−驗證＂這一解決問題的過程與思想方法;培養了學生發現問題和提出問題的意識。遊戲還可以培養學生對數學經久不衰的興趣與正確的數學態度。一方面，遊戲是培養好奇心的有效方法之一，這是由遊戲的性質決定的—— 趣味性強、令人興奮、具有挑戰性等。好奇心又為探索數學現象的奧秘提供了強大的動力。六、在數學遊戲當中培養學生的態度遊戲還可以培養學生養成勇於創造的研究態度。數學遊戲不僅僅是培養學生直接興趣，即對遊戲本身的興趣，而是還要培養學生的間接興趣—— 一種對數學經久不衰的興趣。這將有助於提高學生的觀察能力，培養學生良好的數學思維習慣，逐步培養學生對數學的鑽勁和韌勁，從而享受數學帶來的持久樂趣。例如 “移棋子＂的數學遊戲可讓小學一至六年級的學生都學得樂趣無窮。原因是，它 14 .

(20)   . 有簡易性(即題目要求人人能理解，棋子還可以用其他諸如石子、橡皮、豆子、穀粒來代替，教學中若有磁性黑板或圍棋掛盤，效果將更佳)、操作性(可以不分場合地進行)、探究性(要經過多次反復嘗試才能成功)和拓展性(從3對子、4對子、5對子到n 對子無限拔高)。這樣，不同年齡階段的學生可以根據自己的智力水平達到不同的程度，同時又樂此不疲地向一個新的高度去“挺進＂，因而它 “魔力＂無窮。(引自鄧友超，2003). 肆、數位化數學遊戲一、數學遊戲的功能崇德國小校長潘清富也曾在其著作「數學遊戲在九年一貫課程中扮演的角色」中指出數學遊戲應該所包含的功能如下：1、數學遊戲能引發學習興趣：在桔燥的數學演算過程中，偶爾來點花俏的活動，學生會感到新鮮有趣，對於教學至少不會產生排斥感。2、數學遊戲能滿足好奇心：在千變萬化的數學遊戲裡，學生有如進入迪士尼世界中，處處充滿好奇與質疑，符合兒童的學習心理。3、數學遊戲鼓勵探索與冒險：數學遊戲具有趣味性與挑戰性，會引發學生追根究底的良好學習態度。4、數學遊戲具創造思考的精神：數學遊戲基本上是動腦的活動，帶領學生進入數學解題的境界，令其有無限揮灑空間。5、數學遊戲豐富教材內容：數學遊戲可彌補教科書之不足，學生更可從中獲得趣味盎然的數學生命。二、用電腦遊戲當做教學輔助工具如果能將電子遊戲當做教學的工具，可以提升學生的學習成效，一些學者 (Lepper & Malone， 1987; Malone， 1981)提出了一些電子遊戲的特色：1.挑戰(Challenge):一個遊戲需要有很明確的目標但是要讓人覺得不一定能達到目標，目標不能太簡單也不能是不可能達到的，要有很多種方法可以達到目標，而玩家在整個遊戲中的行為應該是不可預測的，遊戲也必須包括給玩家的表現回饋，像是學生離目標有多接近。2.夢想(Fantasy)：這是用來鼓勵玩家在還沒完成時去想像他們完成了整個活動，遊戲應該提供許多的夢想，讓不同的人可以選擇他們覺得很動人的夢想。3，好奇心(Curiosity)：一個遊戲環境應該提供有難度的選擇，遊戲應該要是新奇、令人驚訝的，且不能太簡單或是很難懂的。4. 控制(Control):一個遊戲需要提供有效的控制讓人感覺完全控制整個遊戲。 Bright (1985）由研究中證實，透過電腦遊戲，可教予學生邏輯思考與數學概念。Winner（1981）將電腦遊戲加入國小高年級的數學課程中，研究發現藉由電腦遊戲，學生們很快地便學會操作電腦，包括啟動機器、載入程式等。Winner 15 .

(21)   . （1981）在其研究中發現電腦遊戲可加強學生理解數學概念的能力及解決數學問題的信心。Loftus（1983）認為電腦益智遊戲與認知系統中的注意、記憶、空間關係及其他策略有關。Greenfield（1984）認為電腦益智遊戲除了可提昇及歸納技巧等能力外，還可增進手眼協調、視覺變換等能力。許多肯定電腦益智遊戲的教育價值者認為，兒童在玩電腦益智遊戲的過程中，可以學習簡單的電腦觀念與操作，可視此為認識電腦的入門，且電腦益智遊戲藉各種不同速度，可提供兒童發展肢體的機會，尤其是手眼協調能力（吳鐵雄，1988）。綜合以上研究可知，電腦益智遊戲在教育方面的貢獻主要是在資訊教育、認知能力教學及手眼協調能力訓練。三、數位化數學遊戲媒體與資訊科技的發展可說是一日千里，也使遊戲逐漸分成兩個類型：一是非數位化的遊戲，包括有文字遊戲、棋盤與紙牌類遊戲以及其他非以數位形式進行的遊戲，主要是由玩家自行創造而來，透過創意以及手邊既有的工具材料設計出的遊戲。另一個類型即數位化的遊戲，是透過數位遊戲設計軟體或是程式設計所製作出來透過數位化方式呈現的遊戲(Nanjappa， 2001。而 Prensky(2001）提到數位遊戲吸引我們的原因，即為數位遊戲所具有的特色：娛樂性、遊戲性、規則性、目標性、人機互動性、結果與回饋、適性化、勝利感、競爭挑戰與衝突感、問題解決、社會互動性、圖像與情節性。另外提到遊戲數位化的優點：彈性及方便、. 內容更新容易、迅速、不受平台限制、降低成本。將數位遊戲當做教學的工具會有幾個正面的效果：1.學生整體的學習成就會比傳統的學習方式來的高，2.可以培養學生去思考解決問題及計畫策略的能力， 3.讓學生有更多的動機去學習，4.學生會願意花比較多的時間在學習上(Rosas et al.，2003) 。綜觀上列優點，數位遊戲固然吸引人，但若從幕後製作數位遊戲的製作者角度來探究，其整個設計過程所需花費的時間及心力是不可計量的。由此可得知，去設計一系列可在教學上使用的數位化遊戲程式更是ㄧ門待開發、待付出的嶄新領域！. 第二節數學電腦遊戲類型的精神與設計壹、數學遊戲的類型一般來說，參與數學遊戲的人只需具備基本的數學能力便可參與，數學遊戲是一種運用數學知識的大眾化娛樂活動。而這些遊戲往往以比較複雜的形式 16 .

(22)   . 表達，則是為了增加參與者的興趣。在世界各地皆有數學遊戲，又因為地域關係而有不同的呈現方式，在發展歷程中，可見數學遊戲演變成許多數學名題的例子。例如：阿基米德的「群牛問題」及中國的「百雞問題」促進了不定方程理論的發展；哥尼斯堡七橋問題引起圖論的創立，並促成拓撲學的建立；斐波那契兔子問題等等。我們將數學遊戲分為九類，包括(引自蔡芳婷，2007)：一、代數遊戲代數遊戲一般包括以代數方程或代數方程組來求解的問題。例如在公元前三世紀，古希臘數學家阿基米德提出「群牛問題」涉及八個未知數不定方程組。及五至六世紀間，中國《張丘建算經》中記載的「百雞問題」涉及的三元不定方程式組。這些問題對促進代數的發展有很大的幫助。二、算術遊戲算術遊戲可分為兩種問題：一種是算數，另一種是運用算術知識解決的問題。用代數的方法求解的算術問題，可使問題更為簡化。數字間的有趣關係及各種不同的數學軼事等是常見的算術問題。例如對數碼 123456789 以不改變它的排列次序為原則，只加上運算符號和必要括號的方法，使它運算結果等於某數。配合文字來表達問題則是另一種算術遊戲。例如：三世紀古希臘數學家丟番圖逝世後，墓碑上刻著的詩歌碑文為提示年齡計算的線索。三、幾何遊戲典型的幾何遊戲如古希臘提出幾何作圖三大問題，及後人提出的直尺作圖問題、圓規作圖問題、定角圓規作圖問題、用相同形狀的圖形鋪滿整個平面問題等。另外由勾股定理設計出來的問題，如蓮花問題在許多國家都出現過。四、組合遊戲十三世紀幻方被楊輝闡述過，中國古代稱為縱橫圖，並使它在理論上得到很大的發展。另外，「抽屜原理」亦可構造出大量的有趣問題。人們對 19 世紀中提出的柯克曼女生問題的求解使集合論得以不斷發展。五、數論遊戲由數論中的基本定理構造出來的數論遊戲能激發起人們學習數學的興趣。公元三世紀成書的《孫子算經》中記載了著名的「孫子問題」，由於題解的理論十 17 .

(23)   . 分深奧曲折而為後人不斷研究。實際上，這是一次餘式問題。在十三世紀由秦九韶成大衍求一術，這問題就被多種數學的專著加以延伸變化地採用。六、圖論遊戲十八世紀提出的柯尼斯堡七橋問題為前身，被後人發展為郵遞員問題或周遊世界問題等式。這些都直接地促進了圖論的創立，並影響了網絡理論及拓樸學的建立。七、概率遊戲在十七世紀中葉引起了人們對「合理分配賭注問題」的廣泛討論，其實早在在十五世紀末即被提出，而後成為概率論始創的基本問題之一，可見其影響甚為深遠。「比豐投針問題」出現於十八世紀，不但開創了幾何概率的先河，也是最早用隨機數處理確定性數學的例證。八、分割遊戲分割遊戲的典範堪推中國古代流行的七巧板。而在公元 3 世紀，劉徽証明勾股定理所用的「出入相補」原理也是分割遊戲的一種。在十八世紀末已有了專著的論述，而在二十世紀之後，開始嚴格的在數學理論上進行探究，例如：在 1942 年，証明了七巧板最多可拼成 13 個不同的凸多邊形等。九、博奕遊戲中國古代的「翻攤」遊戲，便是博奕遊戲的一種，而「翻攤」遊戲可以再引出深奧的組合數學理論。另外還有各種的棋類遊戲等也屬於博奕遊戲，博奕遊戲也對人工智能的發展有莫大的影響。. 貳、電腦遊戲的類型遊戲的種類繁多，由於本研究主要是針對電腦遊戲作分析，因此在本研究中僅列出電腦遊戲的分類：一、由電腦遊戲內容來分類經鄭凱育(民 88 )的研究整理，和研究者在市面上所能看到的遊戲類別，本 18 .

(24)   . 研究作以下的整理： (一)角色扮演類遊戲：遊戲者即是故事中的主角，通常這類型的遊戲有會鋪陳相當華麗的劇情，讓遊戲者能深入其中的角色，並積極地達成遊戲中的任務。 (二)戰略類遊戲：常是以傳統戰爭為出發點，結合軍事化的聲光效果，帶領遊戲者進入戰爭的虛擬世界，遊戲者通常擔任這場虛擬戰爭中的指揮官，帶領著軍隊南征北討。 (三)運動類遊戲：這類遊戲通常以各類運動為號召力，例如：籃球、棒球、足球、曲棍球、保齡球、網球或羽球… 等，舉辦各種虛擬的比賽，讓遊戲玩家可以變身成為運動員的角色，在遊戲中稱霸體壇。 (四)速度競賽類遊戲：競速類遊戲是以速度為主題，通常是賽車遊戲居多，主要強調賽車時的臨場感，利用遊戲中所提供的各式車輛，讓遊戲玩家在虛擬的賽車場中，和對手競爭極速。 (五)格鬥類遊戲：這類遊戲通常可以讓遊戲玩家扮演戰鬥力超強的強者，和故事中的虛擬角色進行激烈的格鬥。 (六)模擬類遊戲：進行模擬真實世界的事物的遊戲，模擬的範圍相當廣大，例如：模擬便利商店、模擬飛機或是模擬虛擬的人生… 等。 (七)電子音樂類遊戲：這類遊戲是以音樂為主題，遊戲玩家利用鍵盤、跳舞機或電子樂器，跟著音樂的節奏起舞或演奏。 (八)教育類遊戲：這類遊戲通常針對不同年齡層的小朋友作規劃，用來教育該年齡層的小朋友基本的生活常識、數學計算或是自然生態等教育類的事物，相當具有教育的特色。 (九)益智類遊戲：這類遊戲相當注重腦力的思考或是生活常識的測驗，是用來增進腦力激盪的遊戲，具有相當程度的趣味性和教育性。 (十)冒險類遊戲：這類遊戲的故事通常相當吸引遊戲玩家，讓遊戲玩家擔任冒險者的角色，經歷一連串緊湊的故事情節，完成遊戲中需要達成的任務。 (十一)其他類遊戲：舉凡上述遊戲介紹所無法涵蓋的範圍，我們統稱為其他類遊戲。 19 .

(25)   . 二、由遊戲平台分類研究者在參考（張武成，民 90）的遊戲分類後，並參酌現行遊戲平台的規格，整理出以下的遊戲平台分類： (一)個人電腦(PC)遊戲:在個人電腦的遊戲中，可分為以下兩種類型： 1.單機型舉凡只能在個人電腦上執行且無法連接上網路與人合作或競爭的遊戲，我們都通稱為單機型的電腦遊戲。由於此類型的遊戲無法利用連線的方式建構出虛擬的世界，因此遊戲強調的是遊戲內容的豐富性，以強大的聲光效果和豐富的劇情張力來吸引電腦玩家投入。 2.連線型連線型的遊戲指的是經由兩台電腦以上的網路連線，透過相同的電腦連線遊戲，進行虛擬世界的互動，一般說來，分為主從式架構或點對點(P e e r T o P e e r )的架構。 (二)大型電玩：專為遊戲所設計的專用硬體，通常放置在電子遊樂場所或其他娛樂場中，經由代幣的使用，可以進行遊戲。 (三)電視遊樂器：這種類型的遊戲必須透過特定的主機才可以進行遊戲，由於沒有螢幕的關係，必須要搭配電視螢幕才可以顯示畫面，是目前市場上相當主流的遊戲產品。 (四)掌上型遊樂器：這類型的遊戲所注重的是攜帶方便，因此體型都很輕巧，相對於其他類型的電腦遊戲來說，聲光效果比較不注重。三、由電腦教學遊戲的型態來分以電腦來遊戲來融入教學是相當適合的，也最能引發學生的學習興趣，瑞士的福祿貝爾提倡在遊戲中學習，因為遊戲的特點在於本身具有積極性，而在電腦教學遊戲的型態尚可分為三類： (一)自由式遊戲：對於目標、位置、物體、規則具有挑戰性，並未事先描述遊戲的腳本，例如：撲克牌遊戲。. 20 .

(26)   . (二)限制式遊戲：規則規定比較嚴格，在法定解決方法或空間外作的任何決定是不被允許的。 (三)開放式遊戲：著重於課程內容應用，遊戲對象大部分限制於教育程度接近者，例如等比級數的益智遊戲，學生必須事先學習過等比級數的概念，才能進行比賽。(洪榮昭，民 81 ). 參、本研究所選用的數學電腦遊戲之特質本研究所選用的數學電腦遊戲為包含幾何、分數、代數、組織及推理的「填蛋糕圓盤」及「圈叉」遊戲，應用直角坐標及推理的「老馬識途」及「馬不停蹄」遊戲，及「金庫密碼」遊戲。一、填蛋糕圓盤遊戲填蛋糕圓盤遊戲的規則為(1)甲、乙輪流從九塊蛋糕中挑選蛋糕，每次挑選一塊，挑過的不能再挑。(2)遊戲至多進行四回合，在此情形下，每人各選了四塊蛋糕，僅剩一塊蛋糕沒被選中。(3)當某人所挑選的蛋糕中，可以拿出三塊，而且剛好填滿他的空圓盤，此人就是勝利者。一個將幻方改變而成的遊戲叫「搶十五」，為兩人對戰遊戲。玩家輪流從1～9中選擇一個數字，被挑走的數字不能再被選擇，看誰可以從自己所選的數字中挑三個加起來等於15，誰就獲勝。在遊戲中1到9中的三個數字加起來要等於15，總共有下列八種方式： 1+5+9=15；. 1+6+8=15；. 2+4+9=15；. 2+5+8=15；. 2+6+7=15；. 3+4+8=15；. 3+5+7=15；. 4+5+6=15。. 玩家要獲勝的條件是所選的數當中，有三個數加起來的和等於15，也就是要看誰可以先在九宮格中連成一線。. 所以我們發現「填蛋糕圓盤」、搶15和「圈叉遊戲」具有相同的結構，只是用不同的形式表現，在數學上來講就是「同構」，將搶15遊戲做包含幾何、分數、代數、組織及推理適度地包裝後即變成「填蛋糕圓盤」遊戲。. 21 .

(27)   . 二、老馬識途遊戲在中國象棋的棋盤上，馬能否從某些點出發，可以不重複地跳遍半個棋盤？這個問題我們將之改編並設計為「老馬識途」遊戲，老馬識途遊戲其實和西洋棋盤上的騎士循環漫遊同構。只是原本西洋棋盤上走在格子中換成中國象棋走在交點上，而中國象棋馬的走法和西洋棋盤上騎士的走法相同，都是走日；在棋盤的大小上，西洋棋盤為8×8共64格，而中國象棋盤為5×9共45個交點。循環漫遊只有在階數是偶數(比四大) 的方形棋盤上才出現，遊戲過程中通過途中的每一頂點，且只通過一次的路徑稱為漢米爾頓路徑;若是要求必須再回到起始頂點的回路，則稱為漢米爾頓迴圈，所以「老馬識途」遊戲的解為漢米爾頓路徑。「馬不停蹄」遊戲其實是將老馬識途遊戲改變成兩人對戰版本，一個人玩老馬識途遊戲時目標是要能找到一條能走完45個點的路徑，而兩人玩時則是要讓對方無路可走。學生在「老馬識途」遊戲與「馬不停蹄」遊戲中應用到直角坐標的概念及推理、組織能力來解決問題。三、金庫密碼遊戲「金庫密碼」遊戲則為電視節目中出現過的同名遊戲改編而成，是依照題目順序記憶左零、左一、左二，一直到左九，右零、右一、右二，一直到右九的一個記憶力的遊戲。而本遊戲的設計則是從三個密碼開始，每過一關密碼會多一個，一直到九個密碼的最後一關，每一關出題讓玩家記憶時讓題目出現的秒數依照題目增加秒數也會增加，倒數完後題目會消失，接著讓玩家開始轉動保險箱密碼轉輪，玩法就像是轉保險箱，只要能依照順序轉出所有的密碼就會破關。每通過一關，下一關題目會增加，最後一關記下9組金庫密碼的挑戰，即獲得最後的勝利。學生在「金庫密碼」遊戲中應用到記憶策略與函數對應關係。. 第三節電腦遊戲開發工具壹、C/C++程式語言 C 語言的第一次發展在 1969 年到 1973 年之間。之所以被稱為「C」是因為 C 語言的很多特性是由一種更早的被稱為 B 語言的程式語言中發展而來。C 語言是 80 年代初開發的較高階程序性導向電腦語言，初期架構在 UNIX 系統上，而所謂的較高階是跟機械語言及組合語言相比，因為它比這兩種語言更接近人類的英語；而程序性導向所指的是程式撰寫者將所要執行的事情，依據電腦的特性一步 22 .

(28)   . 步分解條列成一篇 C 語言編譯器能看懂的文章，美其名是文章，實際上是向電腦交辦事項，且此交辦事項必須交代得巨細靡遺，因電腦並不具智慧，所以程式設計師必需當一般使用者與電腦的橋樑，考量所有會發生的狀況轉化為電腦能執行的方式，如此電腦就能一步步的執行，也就是所謂的程序性。 C++是 80 年代末開始風行的電腦語言，它將 C 語言加入了物件導向的特性，並更名為 C++，所以它包含了原先 C 語言所有的功能；而物件導向就是將程序性導向內的副程式轉為零件化，應該是說原先程式是用來處理資料，而零件化是連程式主體也是資料的一種，如此設計師在維護或擴充上可以更加的方便簡單。 C 語言的語法簡潔、執行效率高，又有跨平台的特性，因此成為許多程式設計師的最愛，也是資訊科系必備的語言基礎。由於會用 C/C++的程式設計師很多，因此許多新興的程式語言也都以 C/C++的語法為基礎。例如：網頁特效及手機遊戲的 Java、網頁語法的 JavaScript、動態網頁技術的 PHP 以及 Flash 動畫的控制語法 ActionScript，在語法上和 C/C++都很類似，因此只要學會了 C 語言，要學會上述其他語言都很快就可以上手。. 貳、Visual Basic程式語言 VB 是 Visual BASIC 的縮寫，是 BASIC 語言的一種。BASIC 語言在 1965 年就已經發展出來，是一個適合初學者學習的語言。直到 90 年代 Windows 開始流行，微軟公司(Microsoft)才發表適合在 Windows 環境下開發程式的程式語言，即 Visual BASIC。 "Visual"指的是用來建立使用者所見的方法，也就是建立「圖形使用者介面」，或稱為 GUI。"Basic"指的是 BASIC (初學者多用途符號指令碼，Beginners All-Purpose Symbolic Instruction Code)程式設計語言，在電腦運算史中，這是最多程式設計人員所使用的語言。只要學習其中少數幾項功能，就可以建立有用的程式。Visual BASIC 提供許多視覺化的工具來設計表單，讓程式設計者可以在設計階段時就設計出未來執行時的畫面。目前 VB 最新的版本為 VB .NET，不過大多數的學校仍以 VB 6.0 教學。. 參、Java程式語言 Java 程式語言是以 C++的語法關鍵字為基礎，由 Sun（昇陽）公司所提出， C 語言的開發模式，是編寫.c 的 Source Code，再經由編譯器(Compiler)編譯成 Object Code。所謂 Object Code 指的是和硬體相關的機器指令，也就是說當我 23 .

(29)   . 們想要把 C 程式移植到不同的硬體時，必須要重新編譯(Compile)，以產生新的執行檔。除了需要重新編譯外，新系統是否具備應用程式所需的程式庫，目錄 (include)的檔案是否相容，也是程式能否在新機器上順利編譯和執行的條件之一。在實務上，為了讓 C 程式能在不同的 UNIX 版本上都能順利編譯，原作者往往必須使用前置處理器的#ifdef 指令，判斷不同環境的適當寫法。如果想把在 UNIX 上開發的 C 程式移植到 Windows 上，則有用到專屬程式庫的部分(如 UNIX 的使用者介面可能用到 X Window 的 API，Windows 就沒有支援，必須一台一台灌程式庫才行，很可能還要花錢買)，就必須重寫才行。解決此類問題的方法之一，是定義一種 Virtual Machine(虛擬機器)，讓程式語言編譯時不要翻成實體機器的指令，而是翻成 Virtual Machine 的目的碼。 Virtual Machine 一般是以軟體來模擬的，只要新的平台有 Virtual Machine，則原始程式不用編譯(Compile)，執行舊機器上已有的 Virtual Machine 目的碼，就可以了。當然要達到完全不用重新編譯(Compile)就能執行的理想，還要配合標準的程式庫才行。 Java 語言基於上述理念，定義了 Java Virtual Machine，它所用的指令稱為 byte code。使用 Virtual Machine 的缺點之一，是執行的速度較慢，代價是開發的速度變快了。Java 不同於一般的編譯語言和直譯語言。它首先將原始碼編譯成位元組碼，然後依賴各種不同平台上的虛擬機器來解釋執行位元組碼，從而實作了「一次編譯、到處執行」的跨平台特性，所謂的跨平台，指的就是 Java 程式可以在不重新編譯的情況下，直接於不同的作業系統上運作，所以目前在最夯的平板電腦（Android 系統）中，絕大多數的 app 都是由 Java 程式語言所寫成的。此外 JVM 的技術不斷進步，諸如 Just In Time(JIT) Compiler，或 HotSpot 等技術都可以讓 Java 程式以非常接近原生碼(Native Code)的速度執行。肆、RPG 遊戲製作大師 RPG 製作大師是一款 RPG(角色扮演)的製作工具，宗旨為不懂程式編輯的一般玩家也能做出 RPG(角色扮演)遊戲。最先由日本的 ASCII 公司於超級任天堂主機上開發，之後轉變為 Enterbrain 公司繼承開發。RPG 製作大師系列最先發行於日本，隨後被翻譯並發行於台灣、美國、南韓、中國大陸。 RPG 製作大師是一款讓使用者可以隨心所欲地製作角色扮演遊戲的軟體。大部分的版本均包含基於圖塊元件的地圖編輯器，以簡單指令取代程式語言的事件 24 .

(30)   . 編輯器，以及戰鬥編輯器。所有版本均內建地圖元件、角色圖片以及事件等可用於製作遊戲。比較特別的是，個人電腦(PC)用的 RPG 製作大師系列版本可以讓使用者自行新增地圖元件與角色圖片，並加入想要的任何圖形。其他遊戲也有內附強大的遊戲編輯器，但最大的不同是 RPG 製作大師可製作獨立執行的遊戲，並可直接執行在使用平台上。. 伍、Game Maker Game Maker，原先它是由荷蘭 University of Utrecht 大學的 Mark Overmars 教授因教學需要而開發。1999 年 11 月，Mark Overmars 教授將它正式發行，2009 年 12 月，第 8 版改由新創立的公司 YoYo Games 發行。這套軟體的特色是容易入手，不需具有程式設計的經驗也可以進行電腦遊戲的開發。它不同於一般 C/C++、Visual Basic、Java 等遊戲設計語言，使用較艱深的資料結構及複雜的程式語法，Game Maker 將複雜的遊戲功能融於簡單的操作方式，使用人性化的介面，遊戲設計者只要利用滑鼠點選介面上的功能選項，就能輕鬆製作一個中型以下的遊戲。同時，對於功力較高的人而言，它所提供的內建語言（稱為 Game Maker Language，GML）又可用以開發出相當複雜的軟體。因此，不同功力與經驗的人，都可以找到發揮的空間。 Game Maker 主要的功能系支援 2D/2.5D 或是擬似 3D 遊戲的開發。2D 遊戲，指的是只有平面座標的遊戲。再加上深度、前後的控制，便稱為 2.5D。而所謂擬似 3D，指的是以 2D 的遊戲架構，而以繪圖的技術讓畫面呈現出類似 3D 的效果來。許多遊戲雖然像是 3D 的技術，但是採用擬似 3D 的技術其實便可以做到相當的程度。. 陸、Flash與ActionScript Adobe 公司研發的Flash平台軟體出現的時間沒有幾年，但已經成為動畫製作工具、網站創建程式及開發應用軟體的程式語言，現在更成為遊戲開發平台。因此，我們要探究以 ActionScript 編程語言製作遊戲為本研究的研究動機。一、ActionScript 概述 ActionScript 前身出現於 Flash Player 4 中，用於控制 Flash 內容，並 25 .

(31)   . 進行簡單的互動性腳本編寫。它並不複雜，其語法和語意與 ECMAScript 也不相同。ActionScript 1 是在 Flash 5 的時代誕生，這時的版本就已經具備了 ECMAScript 標準的語法格式和語義解釋。隨著 Flash Player 5/6 的版本更新，越來越多的 ECMA 語法與語義被納入到 ActionScript 1 的API 當中去。但是核心語言的編譯處裡及表現方式都是延續了 Flash 5 的 ActionScript 1 的標準甚至於到了後來的 Flash7，它裡面的 ActionScript 1 的核心解釋機制仍然與 FlashPlayer 5 有著很多相同之處。 ActionScript 2 可以看成是 ActionScript 1 的物件導向程式設計包裝版。ActionScript 2 的程式碼編寫引入了物件導向程式設計的方式，有良好的型別宣告，而且分離了執行時和編譯時的例外處裡。但是，ActionScript 2 只是在編譯階段支援這些 OOP 語法，在執行時仍然使用的是 ActionScript 1 的模式。因此， ActionScipr 2 和 ActionScript 1 在性能上不會有本質的區別。雖然它們在格式上遵從了 ECMA4 的語言方案，但是並不真正相容 ECMAScript 標準。 Flash Player 和 ActionScript 的開發團隊體認到發展現有引擎，將有著太多限制而無法繼續研發新功能。經過這些可敬的人們長期不斷的努力後，Flash Player 的歷史轉戾點到來了。Flash Player9 版本在2006 年首次引入了 ActionScript 3 和新一代的 ActionScript 引擎－ ActionScript Virutal Machine 2（AVM2），AVM2 是一個新的、高度最佳化虛擬機，顯著超越了 AVM1 可能達到的性能。ActionScript 3 基本上是 ActionScript 引擎的完全覆寫，在 AVM2 中執行可達到前所未有的高效率和高性能，執行速度最多可比原有 ActionScript 1/2 程式碼快 10 倍。二、ActionScript 3.0 與其它程式語言的差異物件是 ActionScript 3 語言的核心要素，也是基本的建構單元。所宣告的每一個變數、所撰寫的每一個函數，以及所建立的每一個類別實體都是物件；可將 ActionScript 3 程式視為一組執行工作的物件，這些物件會回應事件，並且彼此進行通訊。熟悉 Java 或 C++ 物件導向程式設計(OOP)的程式設計人員可能會將物件視為模組，其中包含兩種成員：儲存在成員變數或屬性的資料，以及可透過方法存取的行為指令。ECMAScript 第4 版草稿是 ActionScript 3 所依據的標準，其定義物件的方式與此類似，但稍有差異。在 ECMAScript 草稿中，物件只是屬性的集合；這些屬性是容器，不但能保存資料，也能保存函數或其它物件。若函數是以這種方式附加到物件上，則稱為方法。 ActionScript 中的類別與 Java 或 C++ 中的類別之間有一項微妙的差 26 .