數學電腦遊戲類型的精神與設計

壹、數學遊戲的類型

一般來說，參與數學遊戲的人只需具備基本的數學能力便可參與，數學 遊戲是一種運用數學知識的大眾化娛樂活動。而這些遊戲往往以比較複雜的形式

表達，則是為了增加參與者的興趣。在世界各地皆有數學遊戲，又因為地域關係 而有不同的呈現方式，在發展歷程中，可見數學遊戲演變成許多數學名題的例 子。例如：阿基米德的「群牛問題」及中國的「百雞問題」促進了不定方程理論 的發展；哥尼斯堡七橋問題引起圖論的創立，並促成拓撲學的建立；斐波那契兔 子問題等等。我們將數學遊戲分為九類，包括(引自蔡芳婷，2007)：

一、代數遊戲

代數遊戲一般包括以代數方程或代數方程組來求解的問題。例如在公元前三 世紀，古希臘數學家阿基米德提出「群牛問題」涉及八個未知數不定方程組。及 五至六世紀間，中國《張丘建算經》中記載的「百雞問題」涉及的三元不定方程 式組。這些問題對促進代數的發展有很大的幫助。

二、算術遊戲

算術遊戲可分為兩種問題：一種是算數，另一種是運用算術知識解決的問 題。用代數的方法求解的算術問題，可使問題更為簡化。數字間的有趣關係及各 種不同的數學軼事等是常見的算術問題。例如對數碼 123456789 以不改變它的排 列次序為原則，只加上運算符號和必要括號的方法，使它運算結果等於某數。配 合文字來表達問題則是另一種算術遊戲。例如：三世紀古希臘數學家丟番圖逝世 後，墓碑上刻著的詩歌碑文為提示年齡計算的線索。

三、幾何遊戲

典型的幾何遊戲如古希臘提出幾何作圖三大問題，及後人提出的直尺作圖問 題、圓規作圖問題、定角圓規作圖問題、用相同形狀的圖形鋪滿整個平面問題等。

另外由勾股定理設計出來的問題，如蓮花問題在許多國家都出現過。

四、組合遊戲

十三世紀幻方被楊輝闡述過，中國古代稱為縱橫圖，並使它在理論上得到很 大的發展。另外，「抽屜原理」亦可構造出大量的有趣問題。人們對 19 世紀中 提出的柯克曼女生問題的求解使集合論得以不斷發展。

五、數論遊戲

由數論中的基本定理構造出來的數論遊戲能激發起人們學習數學的興趣。公 元三世紀成書的《孫子算經》中記載了著名的「孫子問題」，由於題解的理論十

分深奧曲折而為後人不斷研究。實際上，這是一次餘式問題。在十三世紀由秦九 韶成大衍求一術，這問題就被多種數學的專著加以延伸變化地採用。

六、圖論遊戲

十八世紀提出的柯尼斯堡七橋問題為前身，被後人發展為郵遞員問題或周遊 世界問題等式。這些都直接地促進了圖論的創立，並影響了網絡理論及拓樸學的 建立。

七、概率遊戲

在十七世紀中葉引起了人們對「合理分配賭注問題」的廣泛討論，其實早在 在十五世紀末即被提出，而後成為概率論始創的基本問題之一，可見其影響甚為 深遠。「比豐投針問題」出現於十八世紀，不但開創了幾何概率的先河，也是最 早用隨機數處理確定性數學的例證。

八、分割遊戲

分割遊戲的典範堪推中國古代流行的七巧板。而在公元 3 世紀，劉徽証明勾 股定理所用的「出入相補」原理也是分割遊戲的一種。在十八世紀末已有了專著 的論述，而在二十世紀之後，開始嚴格的在數學理論上進行探究，例如：在 1942 年，証明了七巧板最多可拼成 13 個不同的凸多邊形等。

九、博奕遊戲

中國古代的「翻攤」遊戲，便是博奕遊戲的一種，而「翻攤」遊戲可以再引 出深奧的組合數學理論。另外還有各種的棋類遊戲等也屬於博奕遊戲，博奕遊戲 也對人工智能的發展有莫大的影響。

貳、電腦遊戲的類型

遊戲的種類繁多，由於本研究主要是針對電腦遊戲作分析，因此在本研究中 僅列出電腦遊戲的分類：

一、由電腦遊戲內容來分類

經鄭凱育(民 88 )的研究整理，和研究者在市面上所能看到的遊戲類別， 本

研究作以下的整理：

(一)角色扮演類遊戲：遊戲者即是故事中的主角，通常這類型的遊戲有會鋪陳相 當華麗的劇情，讓遊戲者能深入其中的角色，並積極地達成遊戲中的任務。

(二)戰略類遊戲：常是以傳統戰爭為出發點， 結合軍事化的聲光效果，帶領遊 戲者進入戰爭的虛擬世界，遊戲者通常擔任這場虛擬戰爭中的指揮官，帶領著軍 隊南征北討。

(三)運動類遊戲：這類遊戲通常以各類運動為號召力，例如：籃球、棒球、足球、

曲棍球、保齡球、網球或羽球… 等，舉辦各種虛擬的比賽，讓遊戲玩家可以變 身成為運動員的角色，在遊戲中稱霸體壇。

(四)速度競賽類遊戲：競速類遊戲是以速度為主題，通常是賽車遊戲居多，主要 強調賽車時的臨場感，利用遊戲中所提供的各式車輛，讓遊戲玩家在虛擬的賽車 場中，和對手競爭極速。

(五)格鬥類遊戲：這類遊戲通常可以讓遊戲玩家扮演戰鬥力超強的強者，和故事 中的虛擬角色進行激烈的格鬥。

(六)模擬類遊戲：進行模擬真實世界的事物的遊戲，模擬的範圍相當廣大，例如：

模擬便利商店、模擬飛機或是模擬虛擬的人生… 等。

(七)電子音樂類遊戲：這類遊戲是以音樂為主題，遊戲玩家利用鍵盤、跳舞機或 電子樂器，跟著音樂的節奏起舞或演奏。

(八)教育類遊戲：這類遊戲通常針對不同年齡層的小 朋友作規劃，用來教育該 年齡層的小朋友基本的生活常識、數學計算或是自然生態等教育類的事物，相當 具有教育的特色。

(九)益智類遊戲：這類遊戲相當注重腦力的思考或是生活常識的測驗，是用來增 進腦力激盪的遊戲，具有相當程度的趣味性和教育性。

(十)冒險類遊戲：這類遊戲的故事通常相當吸引遊戲玩家，讓遊戲玩家擔任冒險 者的角色，經歷一連串緊湊的故事情節，完成遊戲中需要達成的任務。

(十一)其他類遊戲：舉凡上述遊戲介紹所無法涵蓋的範圍，我們統稱為其他類遊 戲。

二、由遊戲平台分類

研究者在參考（張武成，民 90）的遊戲分類後，並參酌現行遊戲平台的規 格，整理出以下的遊戲平台分類：

(一)個人電腦(PC)遊戲:在個人電腦的遊戲中，可分為以下兩種類型：

1.單機型

舉凡只能在個人電腦上執行且無法連接上網路與人合作或競爭的遊戲，

我們都通稱為單機型的電腦遊戲。由於此類型的遊戲無法利用連線的方式建構 出虛擬的世界，因此遊戲強調的是遊戲內容的豐富性，以強大的聲光效果和豐 富的劇情張力來吸引電腦玩家投入。

2.連線型

連線型的遊戲指的是經由兩台電腦以上的網路連線， 透過相同的電腦連 線遊戲， 進行虛擬世界的互動， 一般說來， 分為主從式架構或點對點(P e e r T o P e e r )的架構。

(二)大型電玩：專為遊戲所設計的專用硬體，通常放置在電子遊樂場所或其他娛 樂場中，經由代幣的使用，可以進行遊戲。

(三)電視遊樂器：這種類型的遊戲必須透過特定的主機才可以進行遊戲，由於沒 有螢幕的關係，必須要搭配電視螢幕才可以顯示畫面，是目前市場上相當主流的 遊戲產品。

(四)掌上型遊樂器：這類型的遊戲所注重的是攜帶方便，因此體型都很輕巧， 相 對於其他類型的電腦遊戲來說，聲光效果比較不注重。

三、由電腦教學遊戲的型態來分

以電腦來遊戲來融入教學是相當適合的，也最能引發學生的學習興趣，瑞士 的福祿貝爾提倡在遊戲中學習，因為遊戲的特點在於本身具有積極性，而在電腦 教學遊戲的型態尚可分為三類：

(一)自由式遊戲：對於目標、位置、物體、規則具有挑戰性，並未事先描述遊戲 的腳本，例如：撲克牌遊戲。

(二)限制式遊戲：規則規定比較嚴格，在法定解決方法或空間外作的任何決定是 不被允許的。

(三)開放式遊戲：著重於課程內容應用，遊戲對象大部分限制於教育程度接近者，

例如等比級數的益智遊戲，學生必須事先學習過等比級數的概念，才能進行比 賽。(洪榮昭， 民 81 )

參、本研究所選用的數學電腦遊戲之特質

本研究所選用的數學電腦遊戲為包含幾何、分數、代數、組織及推理的「填 蛋糕圓盤」及「圈叉」遊戲，應用直角坐標及推理的「老馬識途」及「馬不停蹄」

遊戲，及「金庫密碼」遊戲。

一、填蛋糕圓盤遊戲

填蛋糕圓盤遊戲的規則為(1)甲、乙輪流從九塊蛋糕中挑選蛋糕，每次挑選 一塊，挑過的不能再挑。(2)遊戲至多進行四回合，在此情形下，每人各選了四 塊蛋糕，僅剩一塊蛋糕沒被選中。(3)當某人所挑選的蛋糕中，可以拿出三塊，

而且剛好填滿他的空圓盤，此人就是勝利者。一個將幻方改變而成的遊戲叫「搶 十五」，為兩人對戰遊戲。玩家輪流從1～9中選擇一個數字，被挑走的數字不能 再被選擇，看誰可以從自己所選的數字中挑三個加起來等於15，誰就獲勝。在遊 戲中1到9中的三個數字加起來要等於15，總共有下列八種方式：

1+5+9=15； 1+6+8=15； 2+4+9=15； 2+5+8=15；

2+6+7=15； 3+4+8=15； 3+5+7=15； 4+5+6=15。

玩家要獲勝的條件是所選的數當中，有三個數加起來的和等於15，也就是要看誰 可以先在九宮格中連成一線。

所以我們發現「填蛋糕圓盤」、搶15和「圈叉遊戲」具有相同的結構，只是用不 同的形式表現，在數學上來講就是「同構」，將搶15遊戲做包含幾何、分數、代 數、組織及推理適度地包裝後即變成「填蛋糕圓盤」遊戲。

二、老馬識途遊戲

在中國象棋的棋盤上，馬能否從某些點出發，可以不重複地跳遍半個棋盤？

在中國象棋的棋盤上，馬能否從某些點出發，可以不重複地跳遍半個棋盤？