第三章 外差干涉術相位誤差與取樣最佳化設定
3.3 總合分析
理想的外差干涉訊號為
0 1 cos(2 )
n n
I I ft
。 (3.27)若考慮前述的這些誤差並整合在一起，則可表示為
0 0 0 1 2
(4) (5) (7)
(1) (2) (3) (6) (8)
= (1 cos(2
))
n n
I I f t noise noise noise 。
(3.28)(1) 雷射功率漂移：雷射功率漂移造成光強度 I0必頇改為I0
0 0 1 1cos(2 1n 1)
I I f t
， (3.29) 其中1為漂移的幅度，f1,1為漂移頻率與相位，有可能同時具有多種漂移頻 率。模擬時，每取完一組弦波訊號後，必頇隨機改變1。(2) 取樣頻率不穩定：第一種，取樣時間有些微誤差
n n
1 1 2 tan tan
1 2
m
e e
， (3.35)
e 為電場消光比。
(6) 常數背景光：noise0 const.，此項不會對相位造成影響，可忽略。
(7) 均勻隨機雜訊：可能為電子雜訊或背景光造成，可表示為
1 1 [0 ~ 1]
noise
rand ， (3.36)其中1為雜訊的強度，rand[0~1]表示 0~1 之間的均勻隨機值。
(8) 週期性電子雜訊或背景光：
2 2cos(2 4 n 4)
noise
f t
， (3.37)其中2為雜訊的強度，f4與4為該週期性雜訊的頻率與初始相位，也可能有多 個雜訊頻率同時出現。模擬時，每取完一組弦波訊號後，必頇隨機改變4。
(9) 灰階化誤差：將 Eq. (3.28)的外差干涉訊號送入相機中，相機會將光強度進 行灰階化
[ 256]
Max
I round I I
， (3.38)
其中 256(8-bit)為相機的灰階數，使用更高 bit 數的相機時請改為對應的灰階 數。
(10) 擬合頻率錯誤：將上述弦波信號以三參數擬合法解析相位，當所設定的擬合 頻率與實際值不符會造成相位誤差，模擬此誤差可設定
f
fit f f rand
[ 1~1]
。3.4 模擬分析-相位誤差與最佳化設定
一般以相機進行外差干涉術時，常會不知道取樣參數該如何設定，才能得到 最小的相位誤差，或是想知道參數設定後此時的相位誤差有多少？建議可以用模 擬的方式找出後，才以實驗驗證。由 3.2.5-(v)我們知道 f, fs, P, N 為四個最主要的 參數，其他參數如 T, tall, t 等都可由這些參數換算得知，並且由 Eq. (3.22)可知
s
P N f
f 。 (3.39)
而 Eq. (3.27)也可改寫為
0 1 cos(2 )
n
s
I I f n
f
， (3.40)
可知會影響相位項的只是 f 與 fs的比例關係，因此程式控制時只要針對其中兩 個主要參數(Ex: Pand N)做調整即可。
由於總合誤差的模擬太過複雜，在此我們先只對最常見的擬合頻率錯誤與均勻隨 機雜訊來模擬相位的誤差。此時所擷取到的訊號可表示為
0 2
cos(2 ) [0 ~ 1]
n
s
I A f n C A rand
f
， (3.41)
其中 n=1,2,3,…N，A 為弦波訊號的振幅，C0為帄均強度，A2為隨機雜訊的強度。
假設我們想知道當擬合頻率 ffit的誤差量f = 0.05 f, A2 = 0.05 A, N = 50 時的相位 誤差有多大，但因對於不同時，相位誤差可能也不同，因此模擬時會使相位項 從 0°測詴到 360°。模擬的流程可參考 Fig. 3.16，而 Fig. 3.17 是利用 Labview 所 撰寫的模擬程式控制面板，Fig. 3.18 為其內部組態，其中 3P fitting 為三參數弦波 擬合程序。
Set N, A2, |f |
Set P
Random Set
Fitting
Calculating
= fit set
Calculating the deviation of
P = 0.01~100
Plot deviation v.s. P
Repeat 100 times
Fi g. 3.1 6 模 擬 的 流 程 。
Fi g. 3.1 7 程 式 控 制 面 板 。
Fi g. 3.1 8 內 部 組 態 。
整理模擬後的結果發現，如 Fig. 3.19 所示，當 ffitt的誤差量f 增加時，P 越 滿足取樣定理(Nyquist theorem)所致，詳細原因可以參考 ref. [12]。
另一方面，均勻隨機雜訊所造成的相位誤差標準差
2，與f 無關，又由 Fig.Fi g. 3.1 9 不 同 條 件 下 相 位 誤 差 標 準 差 對 P 的 關 係 圖 。
( a) |f | =0, A2=0. 1 A， ( b) |f=0 .01 f , A2=0 .1A ， ( c) |f |=0.1 f , A2=0.1 A，
( d) |f |=0.1 f , A2= 0.01 A， ( e) |f |=0 .1f , A2=0 。 ( @N= 50)
(a) (b)
Pm
(a) (b)
(e)
(c) (d)
Pm Pm
Fi g. 3.2 0 不 同 參 數 時 的 相 位 誤 差 標 準 差 。 (a) A2=0 , P=1 ， ( b) A2=0, |f |=0 .1 f ， ( c) |f |=0, P=1, N=50 ， (d) |f |=0, A2=0.01 A, P=1 ，
( e) |f | =0, A2=0. 01 A, N=50。
(a) (b)
(e)
(c) (d)
P=N
P=N/2 P=3N/2
fs < 3f
另外若想求出
的極小值所在的取樣週期數 Pm，可設 P 0，由 Eqs.3.5 小 結
本章說明了各種相位誤差與來源，並整理了整體的數學表示式，再利用程式 模擬擬合頻率錯誤與均勻隨機雜訊兩項誤差的影響並分析，最後歸納出相位誤差 量與這兩項誤差之間的數學關係，另外還能夠解析出最佳化的取樣週期數，並且 發現此最佳化取樣週期數一定在 1 以下。本文所提出說明能夠幫助相關研究者釐 清誤差的來源，而經過誤差模擬分析後能夠解決以往不知道該如何設定實驗參數 的窘境。
此外建議，進行絕對相位的量測實驗時，必頇考慮所插入的各元件對相位的 影響，最好在每插入一個元件就測詴相位變化量，並且放入樣本後就不再改變其 他元件的位置，以免引入額外相位差。
參考文獻
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12. 謝鴻志，「使用新穎取樣技術之全場外差干涉儀」，博士論文，第五章，民 國一百年。
附 錄 B： 常 被 忽 視 的 Jones 矩 陣 問 題
Eq. (B.5)所代表的意義變成 x-偏光的相位落後 y-偏光，此時稱 Eq. (B.1)為快軸在
Polarization Element Jones Matrix Linear polarizer,
horizontal transmission axis
1 0 0 0
Linear polarizer,
vertical transmission axis
0 0 0 1
Linear polarizer, 45°
y
Linear polarizer,
y
cos cos sin cos sin sin
第四章 外差式中央條紋定位法
4.1 前言
隨著科技的發展，對度量衡方面的要求越來越高。現代很多精密儀器或機械 的元件都要求要有微米(μm)等級的精確度。因此，如何精密的測量實物長度是一 項重要的課題。在光學測長法中包含有幾何光學法與干涉法；由於雷射光源的同 調長度(coherent length)相當長，很適合作為干涉儀的光源，而且干涉法可測到光 波長的等級，所以目前已經被大量的使用，例如以麥克森干涉儀 (Michelson interferometer)為基礎測長技術[1]。此外，也很多研究人員利用同調長度短的光 源做定位的工作，白光干涉儀(white light interferometer)就是一項非常適合的工具 [2-5]。所謂的白光干涉儀，是指其所使用的光源同調度很短(1~2 μm)，有如白光 一般。所以只有當干涉儀兩臂等長時，才會觀察到干涉條紋強度的最大值。而這 干涉條紋強度的最大值就稱為中央條紋(central fringe)[6]；也有人稱作零階(zero order)[4]條紋。由於光源同調長度很短，所以很不容易調出干涉條紋，但是一旦 有干涉條紋出現，就表示干涉儀兩臂幾乎等長，白光干涉儀就是以中央條紋出現 與否來決定是否已準確的定位。
本章將針對白光干涉儀的缺點，提出以可調波長外差干涉術來進行中央條紋 定位研究[7-8]。
4.2 傳統的中央條紋定位法
中央條紋是光學干涉儀裡的重要特性之一。當中央條紋出現時，表示干涉儀 兩臂所引入的光程差(optical path difference, OPD)是相等的。利用決定中央條紋 位置的方法，可以應用在位移(displacement)、壓力(pressure)、溫度(temperature)、
應力(strain)以及任何可以轉換成位移量參數的測量上[9-12]。當中央條紋位置定 的越準確，上述測量參數就越準確。傳統的中央條紋定位方法是使用白光干涉術 (white light interferometry, WLI)；由於白光光源是一種寬頻光源，其同調長度 (coherence length)較差，通常為幾微米(μm)長，要調出干涉條紋很不容易。當光 程差大於光源同調長度時，螢幕上出現一片均勻的亮場。然而當干涉現象發生時 (如Fig. 4.1)即代表此干涉儀兩臂的光程幾乎相同，此時干涉信號最強處即為OPD 等於零的位置，WLI感測系統[13-16]便是利用此特性建構的定位系統。架構如Fig.
4.2所示，由SLD(Superluminescence Laser Diode)出來的光束以壓電式移動帄台 PZT推動參考面鏡M進行縱向掃描，xy二維移動帄台移動待測物S進行橫向掃 瞄，找出所有絕對距離為零的位置繪圖後，即可得到待測物的表面形貌。
典型的WLI感測系統包含了兩個部分：感測干涉儀與參考干涉儀。感測干涉 儀是將待測量轉換成光程差(OPD)，而參考干涉儀是將感測干涉儀所引入的光程 差補償回來，使中央條紋出現。從補償量就可知道待測量的大小。一般而言，白 光干涉感測系統的精確度決定於是否能精確決定出中央條紋峰值的位置。如果中 央條紋的峰值與第一或負一階條紋的強度很接近，則系統需要很高的訊噪比 (signal-to-noise ratio- SNR)才能辨認出中央條紋的位置。所以如何加大中央條紋 的峰值與第一或負一階條紋的強度差，是近幾年來的研究主題[17-25]。
Fig. 4.1 干涉信號。
SLD
D BS
S
M
PZT
Fig. 4.2 低同調干涉儀。
optical path difference (μm)
這種傳統的定位方法，解析度約為2 ~ 3 m。然而，它仍然存在一些缺點，
例如品質不良的透鏡或光學系統未準直架設，會引起干涉條紋的突兀效應(fringe beating effect)[26]，使得干涉條紋的包絡線變的不帄滑。在最壞的情況下，突兀 條紋的強度將會大於中央條紋的強度，而影響其定位。這是有待改進的地方。
Wavelength tunable heterodyne light source
M2
基本架構如Fig. 4.3所示，為了方便起見，設定 z 軸為光行進方向，y 軸為 垂直紙面向上的方向，x 軸為水帄方向。雷射出射光為偏極方向與 x 軸成45°
之線性偏極光，則其Jones vector可寫為
1 1
2 1
Table 4.1. 各步驟的定位範例。
1 (nm)
2 (nm) (nm) (deg.)
d 4
1 2
stage displacement
<2> 633.00 633.02 0.02 378.09 1.0521E+07 nm -10500000 nm
<3> 633.00 634.00 1.00 37.46 2.0880E+04 nm
-20900 nm
<4> 632.60 637.96 5.36 -0.17 -1.7778E+01 nm
+18 nm
<5> 632.60 637.96 5.36 0.00 0.0000E+00 nm
4.3.3 快速定位步驟
以下提出能夠快速定位出中央條紋處的步驟，Table 4.1 為其相對應的範例：
<1> 首先目測或以直尺量測，利用移動帄台將面鏡推進到兩臂接近等長處。
<2> 使用可變波長光源所能設定的最小波長變化量，記錄波長變化後造成的相位 變化量，利用 Eq.(4.9)推算出 d 的值，依此移動面鏡 M1。其中 d > 0 代表 面鏡需向左移動；d < 0 代表面鏡需向右移動。
<3> 改用較大的波長變化量，記錄，推算 d 值，依此移動 M1。
<4> 使用最大的波長變化量，記錄，推算 d 值，依此移動 M1。
<5> 重複步驟<4>的動作，以檢查此時是否定位完成。
一般來說，若步驟<4>中
很小時，步驟<5>可省略不做。經過這些步驟即可
使得兩臂光程相等。4.3.4 波長變化量的選擇
波長變化量的選擇也有技巧，在系統的相位重複性 較差的時候，可利用 以下方法正確又快速地定位：
參考 Table 4.2 波長變化量與 d 的可解析範圍的關係，其中 d 的可解析範圍 上下限 dmin與 dmax分別可由
與 360°-
代入 Eq. (4.9)的 中求得；步驟
<3>~<5>波長變化量的選擇則可參考 Eq. (4.10)，
' 360
， (4.10)
Table 4.2 波長的選擇與 d 的解析範圍的關係。
1 (nm)
2 (nm) (nm) d
min ~ dmax (m)<2> 632.60 632.62 0.02 834 ~ 9171
<3> 632.60 632.80 0.20 83.4 ~ 917.4
<4> 632.60 634.60 2.00 8.36 ~ 92.00
<5> 632.60 638.00 5.40 3.11 ~ 34.26
=30° ~(360°-)
為上一個步驟的波長變化量，'則為該步驟所應使用的波長變化量。經過這
樣的計算後，可得到 Table 4.2 中 d 的解析範圍皆能有互相重疊的區域，因此經 過<2>~<5>的步驟後，可以很正確的將面鏡定位在兩臂等長處而不會因相位纏繞 (phase wrapping)造成誤判的問題。此方法被應用在第七章的二維階高量測方法 中。相位重複性較差的情況下，有時也會發生另一種問題，假設目前 d = 0，此 時
0，若所使用相位計中 的值域為 0~360°，受到環境振動等因素的影響
時，將使得產生漂移，向正方向漂移不會有問題，但向負方向漂移會使相位跳 躍式的增加 360°，使得在變波長後的相位變化量，有可能成為三百多度，造 成誤判。因此實驗時中央條紋的決定需要兩個判斷式：<
， (4.11)與
<360 -
。 (4.12)或是在計算相位差時，若>180°可直接減 360°，若<180 可直接加 360°。
4.4 更正確的外差式中央條紋法原理
當要求高解析度的定位時，4.3.2 小節的外差式中央條紋法推導過程，必頇 更仔細的考慮波長變化時各元件所引入的相位。如 Eq. (4.7)中PBS不只是 PBS 所
當要求高解析度的定位時，4.3.2 小節的外差式中央條紋法推導過程，必頇 更仔細的考慮波長變化時各元件所引入的相位。如 Eq. (4.7)中PBS不只是 PBS 所