第三章 研究方法
3.3 多元尺度法
多元尺度法(Multidimensional Scaling，MDS)，是將一組個體間的相異性資料，
經過 MDS 轉換成空間的構形，且盡量能保留原始資料的相對關係。
MDS 是一種縮減維度的技術，不過它和因素分析最主要不同是，因素分析系以 資料矩陣為主要輸入資料；多元尺度法則是以點距間的相異矩陣為輸入資料，然後找 出一個具有較少維度的空間，使空間中的各個體點形成一構形(configuration，或稱空 間圖)，並使在此特定構型中各點距間的距離和原始投入的資料兩者間有相當良好的 一致性(good-of-fit)，並以 Kruskal 的壓力係數(Stress)來衡量兩者之配合度。主成份分 析、因素分析與多元尺度法都是討論資料簡化的工作，它們的目的之一是將 p 維的資 料在 q(＜p)維空間來表達。MDS 也是希望在較少的 q 維度空間構面圖中來表達 p 維 資料所含的資訊，尤其是當變數很多時，利用 MDS 更合適，林震岩[64]。
本研究由於試著處理無母數狀況，因此將利用 MDS 中之非計量 MDS。而在非計 量 MDS 裡，我們所處理的目的資料通常是等第次序(rank order)資料或轉換而來的次 序資料。非計量 MDS 的目的即在於根據這些次序性資料，構造出這 N 個刺激體在 R 度空間中的構形。Shepard[65]，Kruskal[66]在這方面的研究有很大的貢獻。非計量 MDS 有一個基本的假設是觀察所得到的次序資料必須與計算結果所得的構形之距離 二者之間具有”單調關係”，亦即是各點的距離大小必須與次序相對應。事實上，N 個 刺激體可能排出
n
(n −
1)2個等級次序。如果將 N 個點表示在 R 個向度的構形上，需要 有 nr 個數值才能表示各點的座標。而當等級次序得數目n
(n −
1)2比表示構形所須座標 值的數目增加時，等級次序資料便會限制構形中各點的移動，即能導出唯一解的情 形。此時，構形中各點之間如果擅加移動，將會破壞接近性資料的部份次序關係。這 便是為何使用非計量 MDS 可以從輸入次序變項而得到連續性質的輸出結果的主要理 由。因此，在 Kruskal-Shepard 的運算過程中，非計量 MDS 就好像最小平方法回歸分 析，也要處理適合度統計的問題。也即是說，非計量 MDS 是要由次序資料中找到一 個合乎”單調關係”且最適合此次序資料的構形。非計量 MDS 的計算過程如下，
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一、對向度數 n-1 選一個初步圖形結構 X。
設定 X=
r
~ n n
~ 2
~ 1
x . . . x x
×
其中 xi=(xi1,，xi2，…xir)，i=1，2，…，n (3-4)
二、計算幾何距離 dij(Euclidean distance formula or Minkowski distance)
Dij=
r 1/2
1 k
2 jk
ik -x )
(x
∑
=(或 dij= p
1 r
1 k
p jk ik -x x
∑
=) (3-5)
三、計算一致不等值dˆ ij
因為一致不等值dˆ 必須滿足”單調關係”(i.e.ij
δ
ij< δ
i'j'⇒
dˆij≤
dˆi'j')，所以如果d 和ijj'
d 兩者之間不滿足”單調關係”，則將違反”單調關係”的i' d 和ij d 加以平均並令i'j' dˆ 和ij
j'
dˆ 等於此平均值（二個以上不滿足”單調關係”者，其方法相同）i' 。
∑ ∑
= 2
ij 2 ij ij
d ) dˆ
-Stress (d (3-6)
四、配合指數(index of fit)
計算 Stress 並判斷是否前一次的 Stress 相同（相近），若是則跳到第七步驟否則 繼續第五步驟
2 1
2 2
dij ij) d' -ij
Stress (d
=
∑ ∑
(3-7)適合度判斷標準 Stress 適合度 20% 不良 10% 可 5% 良 2.5% 優 0% 完美
五、重新找一個構形（可利用數值分析法如 Steepest descent or Gradient method）
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【原則】：如果dij
>
dˆij則以某一比例α 將點 i 向點 j 移近。如果dij
<
dˆij則以某一比例α 將點 i 遠離點 j。所以我們考慮將點 i 在軸ａ移向點ｊ的新座標表示為：
( ) ( )
(
ja ia)
ij j ij
ia j '
ia
-d -dˆ
1
χ χ α
χ
χ
+
=
(3-8)其中
0 < α < 1
，α 稱為比例係數(coefficient of proportionality，通常取 0.2)。則從點 i 移向點 j，計算所有 n-1 點在軸 a 上的平均移動效果:
( )
+
= ∑
≠ ja ia
n
i
j ij
ij ia
'
ia
-d -dˆ 1 1
-n
α χ χ
χ
χ
(3-9)六、重複二、三、四、五各步驟。
七、而當向度數等於一時，則停止。
如果我們以向度數(Dimension)為橫軸，Stress 為縱軸作圖，則圖形為左上而右下 遞減的形態。如（圖 3.1）所示。
以上七個步驟的流程圖如（圖 3.2）所示[67]。
圖 3.1 壓力和維度對應圖
26 投入相似矩陣
初步構形的選擇
計算圖形結構中各點間的距離
計算圖形結構中之一致不等值 重新選擇另一構形 （構面數）向度數減一
計算配合指數
第t次計算的配合 指數與第t-1次相同
空間向度（構面）
數目小於或等於1
終止
圖 3.2 MDS 步驟流程圖