多元產生器

我們在前幾章所討論的定線複製法，都只有使用單一產生器，而產生器中的型多為 線段所構成，雖然經由這樣簡單的單一產生器，已經可以創造出許多令人驚奇的結果，

但事實上，定線複製法的運用並不侷限於此，是容許數個產生器交互作用的，因此本章 主要介紹多元產生器( multi-generator )的疊代過程及其應用。

7-1 理論

假設有t 個不同的產生器G₁,G₂,..,G_t，每個產生器中由n ( t=1,2,.. )條線段或物件所_t 組成，其中的變換可表示為

G₁ =w₁⁽¹⁾ ∪w₂⁽¹⁾ ∪...∪w_n⁽¹₁⁾ G₂ =w₁⁽²⁾ ∪w₂⁽²⁾ ∪...∪w_n⁽²₂⁾ …

G_t =w₁^(t) ∪w₂^(t) ∪...∪w_n^(t_t⁾ (7.1) 對於起始結構I 而言，每次都可以從G₁,G₂,..,G_t之中任選一個產生器來作定線複製，則 起始結構I 之中的某一條線段在經過 k 回合疊代後的輸出結果為

I_i1i2...ik =w_i⁽_k^sk)(w_i⁽_k^s₋^k₁⁻¹⁾(...(w_i⁽₂^s2)(w_i⁽₁^s1)(I))))) (7.2) 其中1≤i_m ≤n_t，1≤s_l ≤t為生產器之選擇順序，k =1,2,...為有限次數疊代。

舉例來說，若現有G₁、G₂和G 三種產生器，分別由三條、四條及五條線段所組成₃ (如圖 7-1 )，即

G₁ =w₁⁽¹⁾ ∪w₂⁽¹⁾ ∪w₃⁽¹⁾

G₂ =w₁⁽²⁾ ∪w₂⁽²⁾ ∪w₃⁽²⁾ ∪w₄⁽²⁾

G₃ =w₁⁽³⁾ ∪w₂⁽³⁾ ∪w₃⁽³⁾ ∪w⁽₄³⁾ ∪w₅⁽³⁾ (7.3) 我們選擇G₁為第一次疊代的產生器，G₂為第二次疊代的產生器，G 為第三次疊代的產₃ 生器，則經過三次疊代之後的輸出結果為

I_i1i2i3 =w_i⁽₃¹⁾(w_i⁽₂³⁾(w_i⁽₁²⁾(I))) (7.4) 其中1≤ i₁≤4，1≤ i₂ ≤5，1≤ i₃ ≤3，共有60 種組合，也就是有 60 條線段的產生。其中 的線段如I₄₅₂ =w⁽₂¹⁾(w₅⁽³⁾(w₄⁽²⁾(I)))，表示它是起始結構I，在第一次疊代經過G₂的w₄變 換為I₄，第二次疊代經過G 的₃ w 變換為₅ I ，第三次疊代經過₄₅ G₁的w₂變換最後得到

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I452，圖7-1 中較粗黑線段為I₄₅₂的產生過程。

接下來，我們將多元產生器應用於繪製：(1)仿自然( artificial nature )；(2)貼磚( tiling ) 與密鋪平面( tessellation )；(3)視覺設計( visual design )。

7-2 仿自然

透過單一產生器的巧妙設計，與基準線的不同選擇，我們已經能夠模擬許多自然界 中的植物，如圖7-2 之中的圖案，在枝幹、樹葉以及花朵的擬真方面，皆具有極高的相 似度，因此在視覺上會讓我們有認為像薰衣草、楓葉或樹等植物的感覺。

以單一產生器來使用定線複製法進行疊代，由於從頭到尾都是以同樣的產生器來取 代線段，使得整體的大架構與近看的細部架構是相同的，即具備碎形之「自我相似」的 特性。

圖7-1 多元產生器之交互運用

圖7-2 單一產生器仿自然之範例

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而透過多元產生器的交互運用，我們可以創造出更多彷彿相似卻又相異的植物。如 圖7-3 中，我們有兩種同型但不同基準線的產生器 a 與 b，分別以不同的使用順序來進 行四回合的疊代。圖7-3(1)是前兩次採用產生器 a，後兩次採用產生器 b 的疊代過程；

圖7-3(2)則是前兩次採用產生器 b，後兩次採用產生器 a 的疊代過程。如果將兩個結果 對照，會發現雖然兩產生器同型造成細部結構(樹葉部分)是相同的，但是整體看來，兩 者的大架構(枝幹部分)與濃密程度卻是完全不同的，由此可知，前幾次疊代所採用的產 生器會影響整個大架構的外觀，後幾次疊代所採用的產生器則是造成細部架構的造型，

所以產生器的使用順序是會影響最後結果的關鍵因素之一。

圖 7-4 為三種產生器之範例，以產生器 a 進行第一次疊代，再以產生器 b 進行兩次 疊代，最後以產生器c 進行一次疊代。然而，以三種產生器來排序完成四次疊代，共有 3 種組合，若有更多種產生器則將創造出更多變的組合，因此我們對於這些結果必須做4

「編碼( labeling )」的動作，使得產生器的使用順序能夠一目瞭然，如圖 7-4 的範例，將 被編碼為「abbc」。

如果出現某些圖案被編碼為「abxx」，表示前兩次疊代分別使用產生器a 和 b，那麼 它們在大架構上會是相似的；而如果有某些圖案被編碼為「xxab」，表示後兩次疊代分 別使用產生器a 和 b，那麼它們在細部結構上會是相似的；疊代次數增多，仍會保有此 原則，故可從編碼上來分辨。

圖7-3 多元產生器的順序會影響結果

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植物在生長過程中，不可避免地受到許多外力因素影響其成長，包括風吹雨打或動 物啃食等干擾，使得整體架構並非相當符合自我相似的特性，故在模擬植物生長的過程 常常會引進「隨意化( randomness )」的想法，是為了更符合植物的真實狀態，在此我們 以「插花」原則之中剪枝與重組的概念來呈現隨意化。圖7-6 是以此原則所產生之梅與 竹。

圖7-4 三種產生器之運用與編碼

圖7-5 多元產生器之範例

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7-3 鋪磚與密鋪平面

「鋪磚( tiling )」是指將任意形狀之磁磚鋪於平面，兩兩之間無縫隙或重疊的情形發 生，譬如常見的磁磚地板、牆壁或天花板都是鋪磚的一種。

使用定線複製法的基礎必須建立於起始結構是由線段所構成的，因此我們須先將鋪

磚的「平面」轉換為「線段」，而數學簡報系統( MathPS )所提供的方法包括：(1)分段 ( polygonal line to segment )；(2)顯示邊( show edges )；(3)線互切( cut line )等功能，可幫 助我們產生線段作為起始結構。譬如圖7-8，將取消群組的格線適當地調整線段方向，

便得到了起始結構(a)，再以產生器(b)執行定線複製法的結果，即為鋪磚圖案。

圖7-7 tiling 之範例 圖7-6 經剪枝、重組後之梅與竹

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「密鋪平面( tessellation )」則是以正多邊形來作鋪嵌平面。根據正多邊形之類型可分 為三種：(1) regular tessellation；(2) semi-regular tessellation；(3) demi-regular tessellation。

1. regular tessellation 是以單一正多邊形來作鋪嵌。

n₁,n₂,...稱為點的種類( type of vertex )[16]，表示在正多邊形上任選一頂點，這 個頂點是由一個正n₁邊形、一個正n₂邊形…所環繞著，若其中包括 s 個正n 邊 _i 形則可簡記為n_i^s，譬如圖7-10 中 3.3.3.3.3.3 可簡記為3 ，以此類推。 ⁶

2. semi- regular tessellation 是以兩種以上的正多邊形來作鋪嵌。

3. demi-regular tessellation ( polymorph tessellation )是具有兩種點的種類，又稱為 2-uniform tessellation。

圖7-8 以定線複製法繪製鋪磚圖案

圖7-9 regular tessellation 只有六角陣、三角陣與方陣三種

圖7-10 types of vertices

圖 7-11 ○a -○c semi-regular tessellation ○d demi-regular tessellation

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若根據邊與邊之間的相連狀態，則分為兩種：(1) edge-to-edge；(2) non-edge-to-edge。

1. edge-to-edge 是指相鄰的兩正多邊形有某一邊完全重合。

2. non-edge-to-edge 是指相鄰的兩正多邊形有某一邊僅部分重合。

接著我們示範如何以定線複製法繪製多邊形的edge-to-edge 與 non-edge-to-edge 圖 形：

1. 多邊形 edge-to-edge 的密鋪平面

將多邊形顯示邊線並反向之後，每條邊皆可當為基準線，每次疊代時可選擇不 同的產生器來對任選的邊產生多邊形，由於定線複製法會根據線段的比例來產生與 型相似的多邊形複本，因此不必擔心基準線與疊代線不等長的問題，且所產生的複 本必定與已存在之多邊形為 edge-to-edge 相連。如圖 7-13，將五邊形顯示邊線後的 五條線段反轉成為順時針方向，並編號為 1 至 5；第一次使用 1 號基準線與五邊形 作為產生器，對虛線所圈選的邊以定線複製法產生 edge-to-edge 相連的五邊形 a；

第二次使用 3 號基準線與五邊形作為產生器，第三次則使用 4 號基準線，根據與基 準線之比例所產生的相似五邊形皆為 edge-to-edge 相連。

如果是正多邊形的 edge-to-edge，因為顯示邊線之後的每條邊所組成的產生器 是相同的，所以其實只有一種基準線。圖 7-14 左邊的三種產生器中，我們皆以底 邊作為基準線，一開始我們以正方形產生器讓正三角形的每個邊各長出一個正方

圖7-12 (a) edge-to-edge (b) non- edge-to-edge

圖7-13 多邊形的 edge-to-edge

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形，接著以正六邊形產生器使虛線所圈選的三個邊各長出一個正六邊形，以此類 推，所產生的正多邊形之間都是 edge-to-edge 的。

2. 多邊形 non-edge-to-edge 的密鋪平面

由於這類的密鋪平面，是兩相鄰多邊形之間的邊只有部分重合，因此我們將邊 線「等分( divide )」成適當的數量，啟動對齊物件的功能後，藉著等分點的吸引力 來貼齊。圖7-15 中，把每個正三角形的邊線皆等分為二，所以在拼貼正六邊形時，

可以和正三角形只重合二分之一的邊。

在這節的內容裡，我們所強調的是圖形間「無重疊」與「無縫隙」之鋪貼，但如果 跳脫這些限制，允許重疊的現象發生或不再強調( non-)edge-to-edge 時，會有更多的發揮 空間來創造出特殊的圖樣，這類的圖樣我們稱之為「partial edge-to-edge」的密鋪平面，

如圖7-16，左圖中有些多邊形是邊與邊相連，有些則是重疊；右圖中有些多邊形之間僅 以頂點相連。這類型的圖樣，重疊的情形在經過重新切割後可獲得新的網狀結構與型，

依舊屬於密鋪平面，所以使用者在設計圖樣的過程中並不需特別擔心重疊的情形，能更 自由地任意創造，因此在下一節，我們將說明如何以定線複製法來做圖案設計。

圖7-14 正多邊形的 edge-to-edge

圖7-15 non-edge-to-edge 的主要步驟：等分( divide )

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7-4 圖案設計

想要創造出具有視覺效果的圖樣，產生器與起始結構的設計是首要條件。如圖7-17 中的七個圖樣，是由放射線的起始結構(a)，進行一次以上的定線複製法所產生的，我們 可以看到有些圖樣是產生器互相交錯而來的，有些則完全不重疊，這都是受產生器之影 響。同樣地，圖7-18 則是採用格線或方陣的起始結構，雖然圖案或線段之間有重疊或 空隙，但也可視為密鋪平面的一種應用。

圖7-17 以放射線為起始結構之圖案設計範例(1)

圖7-18 以格線及變形為起始結構之圖案設計範例(2) 圖7-16 partial edge-to-edge 密鋪平面

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除了上面這些執行一次定線複製法的成品，我們也可以將「疊代」的概念放進來，

如圖7-17 中的 c、d、f 就是以放射線為起始結構疊代多次所產生的圖案，其過程如圖 7-19 所分解。圖 7-20 為同樣以放射線進行疊代之範例，但增加疊代次數使線條顯得更 細緻，在視覺上有股典雅的味道。

7-5 其他

圖7-19 圖案設計之疊代概念

圖7-20 圖案設計之疊代範例

圖7-21 其他範例(1)

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圖7-22 其他範例(2)

圖7-23 其他範例(3)

圖7-24 其他範例(4)

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