本章將介紹三種碎形的產生方法：(1) Lindenmayer systems ( L-systems )；(2) Multiple Reduction Copy Machine ( MRCM )；(3) Iterated Function System ( IFS )。L-systems 的特 點在於將線段之間的疊代過程以語法的方式來敘述，MRCM 是重複輸入圖形以多鏡頭 的影印機模擬產生的過程，而IFS 則是經過一系列的變換不斷地疊代產生碎形。除了這 些碎形產生系統之外，本章最後介紹我們所發明的「定線複製法」，以幾何圖案所構成 的物件群闡述碎形產生的規則，重複疊代後產生碎形。
2-1 Lindenmayer systems ( L-systems )
1968 年生物學家 Aristid Lindenmayer 為了描寫多細胞生物的生長及植物細胞之間的 鄰近關係，創造出一套描述植物生長的系統「Lindenmayer Systems」，簡稱為 L-systems [23]。
2-1-1 L-systems Machine
L-systems 是一種正規語法( formal language )[19,20]，主要的概念為「複寫」
( rewriting )或「複製」( reproduction )，根據訂定的複製規則 ( (re)production rules ) 對輸 入字串( input string )作核對的動作，若符合則按照規則取代，並得到新的字串輸出 ( output string )，如圖 2-1 的 L-systems machine 流程，如此重覆迴授( feedback )下去，隨 著循環次數的增加，字串的長度會跟著增長，也逐漸產生越來越複雜的結構[31,33]。
L-systems 通常以一個集合G={V,S,ω ,P}表示，其中V={a1,a2,...,an}為一個由字 母系統( alphabet )所構成的集合；S 為保持不變( fixed )的集合；ω 為初始狀態( start, axiom, or initiator ) ，由 V 中元素構成的字串；P 為 production rule 所構成的集合，production rule
圖2-1 L-systems machine 資料來源：Chaos and Fractals
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是L-systems 中的取代規則，而每個 production rule 皆由 predecessor 和 successor 兩個字 串組成，當字串與predecessor 相同時，則以 successor 取代此字串。圖 2-2 Anabaena 的 例子中，每個細胞會分裂成兩個子細胞，As
2-1-2 Turtle Graphic
L-systems 對於字串的生成( string generation )，已能相當有系統地表示，但對於平面 上的任何圖形，僅僅只有字串並無法充分說明圖形的獨特性，必須考慮如何簡潔地詮釋 方向、旋轉角度、線段長度等因素對圖形的影響，因此我們需要更詳盡的表示法來幫助 敘述平面上的圖形，特別是針對古典碎形( classical fractals )。
以Seymour Papert’s concept of turtle graphics 為依據，我們想像有一隻烏龜在紙上爬 行，牠朝著某個方向出發前進，根據接收到的某些指令而移動，拖曳著尾巴在紙上所留 資料來源：Chaos and Fractals
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前進的距離長度對於圖形的影響，僅是整體圖形的大小，但旋轉角度卻會產生完全 迥異的圖形，如圖2-4 中，相同的字串 F+F+F+-F-F 搭配三種旋轉角度(60o,90o,120o)會 產生三種差異很大的圖形。
2-1-3 Growing Classical Fractals with L-systems
有了turtle graphic 在距離長度和旋轉角度兩方面的補強，我們就可使用 L-systems 來建構古典碎形，並且能夠以字串及＋－符號完整地描述，如圖2-5 的 Koch curve。
圖2-3 turtle interpretation：F+Ff-F-Ff+F+
資料來源：Chaos and Fractals
圖2-4 相同字串與三種角度會產生三種不同的圖形
資料來源：Chaos and Fractals
圖2-5 以 L-systems 產生 Koch curve 資料來源：Chaos and Fractals
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圖右的Axiom 和前兩個 stage 可以字串生成的方式表達如下：
Axiom：F
Stage 1：F+F- -F+F
Stage 2：F+F- -F+F+ F+F- -F+F - - F+F- -F+F+ F+F- -F+F
繼續以F+F- -F+F 取代 Stage 2 中的 F，便可推得接下來的生成狀況，其餘類推。我們也 可以假設烏龜能接收複合式的指令，並完成連續性的動作，如圖2-6 上面的四種連續動 作，我們將+F-F-F+記為 L，-F+F+F-記為 R，FF+F+FF-F-FF 記為 S，FF-F-FF+F+FF 記 為Z，即為表 2-2 所匯整，這些記號能簡短我們的敘述，而不致過於冗長，如圖 2-6 中 的圖形，若δ =90o，原本應表示為F+F+-F-FF+F+F-F-FF+F+FF-F-FF，經簡化後則變成 FLRF-S。
表2-2 簡短記號
Symbol interpretation L +F-F-F+
R -F+F+F- S FF+F+FF-F-FF Z FF-F-FF+F+FF
資料來源：Chaos and Fractals
當我們也將 turtle graphic 和 L-systems 應用在「樹」這個常見的大自然碎形時，會 發現「樹枝」造成了描述上的困難，但加進“ [ ”和“ ] ”兩個左右括弧來表達後即解決這 個困擾[31,36]；同樣地，我們想像一隻烏龜在爬行，當遇到樹枝的分歧點時，牠必須記 住此時的位置與前進的方向，在牠爬完樹枝之後，必須回到分歧點的位置並依照原本的 前進方向繼續移動，如圖2-7 所示。
圖 2-6 簡短記號：L, R, S, Z 資料來源：Chaos and Fractals
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Axiom：F
Stage 1：F[+F]F[-F]F
Stage 2：F[+F]F[-F]F[+F[+F]F[-F]F]F[+F]F[-F]F[-F[+F]F[-F]F]F[+F]F[-F]F
2-2 Multiple Reduction Copy Machine ( MRCM )
以多鏡頭的影印機重複影印的方式來模擬碎形的產生過程，稱為「Multiple
Reduction Copy Machine」，簡稱 MRCM[31,32]。如圖 2-8 中，將一個圓以三個鏡頭的影 印機影印，輸出三個圓的影像，再將此影像放入影印機繼續影印，會輸出九個圓的影像，
以此類推，多次之後便可產生碎形圖案「Sierpinski gasket」。
這樣以多鏡頭影印機將原本的影像，透過等向縮放、平移、旋轉等方式複製成為新 影像，即所謂的「相似變換」，其中可控制的選項包括鏡頭的數目，縮放的比例，和擺 放新影像的位置。例如圖2-9，左邊的三個方形為多鏡頭影印機，分別代表三個不同的 變換，當我們將stage 0 的方形放入影印機，影印後得到 stage 1 的圖形，再將此圖形丟 進多鏡頭影印機重複影印，繼續得到stage 2 到 stage 4 的圖形，即為以 MRCM 方式所產
圖2-7 Weedlike plant 資料來源：Chaos and Fractals
圖2-8 Multiple Reduction Copy Machine 及 Sierpinski gasket 資料來源：Chaos and Fractals,http://juang.bst.ntu.edu.tw/Lab520/images/520L67copier.JPG
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生之「modified Sierpinski gasket」。
不同於 L-systems 以字串取代的產生方式，MRCM 是以「框」為元件來產生碎形，
其產生Koch curve 的過程如圖 2-10。
圖2-9 modified Sierpinski gasket 資料來源：Chaos and Fractals
圖2-10 以 MRCM 產生 Koch curve 資料來源：Chaos and Fractals
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2-3 疊代函數系統( Iterated Function Systems, IFS )
疊代函數系統( Iterated Function Systems )為另一種產生碎形的方法，簡稱為 IFS。IFS iteration，和 formula iteration。
1. Generator Iteration
以圖形( generator / motif )取代起始圖形( initiator )中的每一部份後，再次以圖形
圖2-11 Generator Iteration 產生 Koch Snowflake
資料來源：http://library.thinkquest.org/26242/full/tutorial/ch9.html
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不斷重複變換無限多次之後產生碎形，如圖2-12。由一個被填滿黑色的正三角形開 始，將原本的正三角形縮小二分之一後再平移至適當的位置，繼續重複此規則，即 所謂的「Sierpinski gasket」。在數學意義上，此種方法與 MRCM 具有同樣的涵義，
因此在Chaos and Fractals[31]這本書中，將兩者視為相同的，即 MRCM=IFS，在產 生過程中，以MRCM 的多鏡頭影印機之譬喻來運作，但當探討到其中的數學意義
3. Formula Iteration
以起始值代入一個或多個特定的數學函數，所產生的數值再重複代入函數中，
不斷重複無限多次後，即產生碎形。Formula Iteration 是最簡明的疊代類型，但卻可 產生最複雜的碎形，如：Mandelbrot set 和 Julia sets。
在複數平面上，以z =0+0i為起始值，不斷重複代入(2.8)的兩個函數即產生圖
圖2-12 Sierpinski gasket 資料來源：Chaos and Fractals
圖2-13 IFS Iteration 產生 Sierpinski gasket
資料來源：http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/siertri/siertri.htm
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2-4 定線複製法( Line-Based Duplication, LBD )
本節主要介紹我們所創造「定線複製法( LBD )」[26]之功能，以及如何產生具有自 我相似或自我仿射之特性的圖形，而達到產生碎形圖形的最終目的。定線複製法的結構 是由產生器( generator )和起始結構( initiator )所組成，產生器包括型( pattern )和基準線 ( base-line )兩部份，如圖 2-15。
1. 型( pattern )：由「複製物件群」和「銜接群」所組成。複製物件群中包括線段 或圖形構成的圖像元型( pattern elements )，被複製後圖形將不會再改變，但其 中所包含的線段則可能將成為下次疊代的基準線，稱為「疊代線」( recurrent line )，這些疊代線即所謂的銜接群，其幾何性質與基準線相同。
2. 基準線( base-line )：由一條線段構成，與型共存，基準線與型之間的相對位置、
大小比例將成為複製的基準關係。
3. 起始結構( initiator )：由一條或多條線段構成，每條線段自成一座標系統，為 預定產生相似物件的預定位置。根據基準線與型的大小比例與相對位置，對應 產生複本於起始結構的每條線段上。
4. 複本：是型的相似圖形，其長寬的大小與位置是以基準線與型的大小比例與相 對位置為基準。
(a) (b)
圖2-14 The IFS Attractor of transformations ω1(z)= zλ +1;ω2(z)= zλ −1 資料來源：Fractals Everywhere
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基準線與型之間的相對關係，自成一個相對座標系統，在此相對座標系統中，每個 圖像元型各自代表不同的相似變換，而定線複製法的主要概念就是根據基準線與型之間 的相似變換，複製與型相似的複本到起始結構上，它們之間的關係以類比關係呈現：
基準線：型 = 起始結構中的線段：複本
如圖2-16 中，起始結構之線段是基準線的二分之一，因此所產生的複本是型縮小二分 之一的相似形，由三角形邊長佔據的格子數可得知，且複本與起始結構線段的距離也是 型與基準線之距離的一半。
定線複製法與 L-systems、MRCM 之比較如表 2-3，L-systems 是以語法的方式描述 結構，須倚賴線段長度與旋轉角度來敘述，若缺乏這些資訊會造成描述不易；MRCM 以
「框」為元件，可處理仿射變換，但是框的圖像較不易掌握，與L-systems 同樣必須在 特殊軟體或特殊介面上才可使用，而定線複製法以「線段」為元件，在一般平台上透過 手動操作即可，是通用型的繪圖，可說是改善了L-systems 與 MRCM 在使用上的主要困 難。
圖2-16 定線複製法中的比例關係 圖2-15 定線複製法之結構
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