定線複製法之特性及其運用之研究

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(1)國立交通大學應用數學系碩士論文. 定線複製法之特性及其運用之研究 A Study on Line-Based Duplication and Its Applications. 研究生：蔡宜諴指導教授：陳明璋. 博士. 陳秋媛. 博士. 中華民國九十四年六月.

(2) 定線複製法之特性及其運用之研究 A Study on Line-Based Duplication and Its Applications. 研究生：蔡宜諴. Student：Yihsien Tsai. 指導教授：陳明璋. Advisor：Mingjang Chen. 陳秋媛. Advisor：Chiuyuan Chen. 國立交通大學應用數學系碩士論文. A Thesis Submitted to Department of Applied Mathematics College of Science National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in. Applied Mathematics June 2005 Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十四年六月.

(3) 定線複製法之特性及其運用之研究. 學生：蔡宜諴. 指導教授：陳明璋博士陳秋媛博士. 國立交通大學應用數學研究所. 摘. 要. 定線複製法( Line-Based Duplication )是 Structural Self-clone Method 一系列方法之一，它以視覺化的方式呈現轉換所需的參數，準確處理平移、旋轉、縮放及鏡射等相似變換。此一方法是手動繪圖的一個新的介面，操作簡單，用途廣泛。主要的用途有：(1)是一種新的碎形、自我相似形的構圖法，(2) 可產生類似 Julia sets 的吸子，(3)運用多元產生器的概念，可當作視覺設計工具，(4)可同時將多個多邊形精準密鋪，(5)它可用來繪製幾何對稱圖，以及 (6)其他有關運用相似變換的複雜結構之繪圖。本論文的目的在探討定線複製法的數學特性及繪圖方法，研究不同題材的特性，設計所對應的產生器、起始結構及運用的方法。本研究探討的題材包含疊代( Recurrent Substitutions )、收縮映射( Contraction Mappings )、自我相似( Self-similarity )、碎形( Fractals )、吸子( Attractors )、幾何對稱圖 ( Symmetrical Patterns )、仿自然( Artificial Nature )、鋪磚( Tiling ) 和密鋪平面( Tessellation )等。我們以 PowerPoint 版本的數學簡報系統( Mathematical Presentation System, MathPS )為構圖平台，完成此一研究。. i.

(4) A Study on Line-Based Duplication and Its Applications Student：Yihsien Tsai. Advisors：Dr. Mingjang Chen Advisors：Dr. Chiuyuan Chen. Institute of Applied Mathematics National Chiao Tung University. ABSTRACT. Line-Based Duplication is a core function of Structural Self-clone Method. It uses line-segments and a base-line to represent multiple similar transformations visually. It is a new methodology for drawing complex structures manually. Line-Based Duplication is (1) a new method for generating fractals and self-similarity figures, (2) a new method for generating attractors as Julia sets, (3) a new method for visual design by using multi-generator, (4) a new method for tilings and tessellations, (5) a new method for drawing symmetrical patterns, and (6) a new method for designing complex structures. The purpose of this thesis is to study the mathematical characteristics of Line-Based Duplication, the drawing methods for different topics and their applications. The applications of Line-Based Duplication include recurrent substitutions, contracting mappings, self-similarity, fractals, attractors, symmetrical patterns, artificial nature, tiling and tessellation. The research is accomplished by using the PowerPoint version of Mathematical Presentation System ( MathPS ).. ii.

(5) 誌. 謝. 兩年的研究生涯裡，曾有遭遇困難而停滯不前，亦有滿懷的成就感，誠摯地感謝指導教授陳明璋老師與陳秋媛老師，在學習的過程中所給予的指導與關懷，讓學生得以順利完成論文。口試期間承蒙莊重教授、莊榮宏教授及周文賢教授的不吝指教，使學生論文更趨完善。在此，特別感謝父母親與哥哥，你們的鼓勵帶給我更多研究的動力。感謝孟珊多方面的照顧；淑萍、莞容的精神支持；佳欣、怡倫、兆儀的經驗分享；曲敏、莉君、祐寧、啟賢、佳彣、芳婷等球友的陪伴，讓我在研究之餘可以透過運動來調劑身心；亦感謝學長姐與同儕們的切磋指教。感謝在求學過程中，所有陪伴我一路走來的人。. iii.

(6) 目中文摘要英文摘要誌謝目錄表目錄圖目錄第一章 1-1 1-2. 第二章 2-1. 2-2 2-3 2-4 第三章 3-1 3-2 3-3. 第四章 4-1 4-2 4-3 4-4. 第五章 5-1 5-2. 5-3. 錄. ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… 簡介………………………………………………………………………… 動機與目的………………………………………………………………… 變換( Transformations )…………………………………………………… 1-2-1 相似變換( Similar Transformations )……………………………… 1-2-2 仿射變換( Affine Transformations )……………………………… 1-2-3 對稱( Symmetry )………………………………………………… 方法論……………………………………………………………………… Lindenmayer systems ( L-systems )………………………………………… 2-1-1 L-systems Machine…………………………………………………… 2-1-2 Turtle Graphic………………………………………………………… 2-1-3 Growing Classical Fractals with L-systems………………………… Multiple Reduction Copy Machine ( MRCM )…………………………… 疊代函數系統( Iterated Function Systems, IFS )………………………… 定線複製法( Line-Based Duplication, LBD )……………………………… 繪製一致性圖案之方法…………………………………………………… 相似變換( Similar Transformations )……………………………………… 一致性圖案( Uniform Pictures )…………………………………………… 應用( Applications )………………………………………………………… 3-3-1 圖形學繪圖( Graphs )……………………………………………… 3-3-2 視覺設計( Visual Design )………………………………………… 疊代………………………………………………………………………… 疊代( Recurrent Substitution )……………………………………………… 收縮映射( Contraction Mapping )………………………………………… 古典碎形( Classical Fractals )……………………………………………… 仿自然( Artificial Nature )………………………………………………… 4-4-1 古典型……………………………………………………………… 4-4-2 草…………………………………………………………………… 4-4-3 水草………………………………………………………………… 4-4-4 擬山擬雲…………………………………………………………… 4-4-5 輕微的差異………………………………………………………… 定線複製法之特徵………………………………………………………… 複製過程之分析…………………………………………………………… The Attractors of IFS by Line-Based Duplication on Complex Plane……… 5-2-1 The IFS Attractor of {C; ω1 ( z ), ω 2 ( z )}……………………………… 5-2-2 The IFS Attractor of Transformations by Line-Based Duplication 維度( Dimension )之探討………………………………………………… 5-3-1 Hausdorff measure…………………………………………………… iv. i ii iii iv vi vii 1 1 2 2 5 8 12 12 12 13 14 16 18 20 23 23 23 24 24 25 29 29 30 31 34 34 35 36 36 37 39 39 44 45 46 49 49.

(7) 5-3-2 Hausdorff Dimension………………………………………………… 第六章對稱構圖…………………………………………………………………… 6-1 以定線複製繪製對稱圖之方法…………………………………………… 6-2 對稱圖的解構分析………………………………………………………… 第七章多元產生器………………………………………………………………… 7-1 理論………………………………………………………………………… 7-2 仿自然……………………………………………………………………… 7-3 鋪磚與密鋪平面…………………………………………………………… 7-4 圖案設計…………………………………………………………………… 7-5 其他………………………………………………………………………… 第八章結論………………………………………………………………………… 參考文獻 ……………………………………………………………………………… 附錄一五種網狀系統……………………………………………………………… 附錄二十七種圖樣型態…………………………………………………………… 附錄三古典碎形之產生器分析……………………………………………………. v. 50 52 52 53 59 59 60 63 67 68 70 72 75 77 84.

(8) 表表 2-1 表 2-2 表 2-3 表 6-1 表 6-2 表 6-3 表 6-4 表 6-5 表 6-6 表 6-7 表 8-1. 目. 錄. Turtle graphic 中烏龜所接收的指令………………………………… 簡短記號……………………………………………………………… 定線複製法與 L-systems、MRCM 之比較表………………………… p4, p4m, p4g 之解構表……………………………………………… 基準線的選擇與對應之結構………………………………………… 起始結構與巨型結構之對應………………………………………… p3, p31m, p3m1, p6, p6m 之解構表………………………………… 基準線的選擇與對應之結構(1)…………………………………… 基準線的選擇與對應之結構(2)…………………………………… 起始結構與巨型結構之對應………………………………………… 多重產生器之運用……………………………………………………. vi. 13 15 22 54 54 55 56 56 57 57 71.

(9) 圖圖 1-1 圖 1-2 圖 1-3 圖 1-4 圖 1-5 圖 1-6 圖 1-7 圖 1-8 圖 1-9 圖 1-10 圖 1-11 圖 1-12 圖 1-13 圖 1-14 圖 1-15 圖 1-16 圖 2-1 圖 2-2 圖 2-3 圖 2-4 圖 2-5 圖 2-6 圖 2-7 圖 2-8 圖 2-9 圖 2-10 圖 2-11 圖 2-12 圖 2-13 圖 2-14 圖 2-15 圖 2-16 圖 3-1 圖 3-2 圖 3-3 圖 3-4 圖 3-5 圖 3-6 圖 3-7 圖 3-8 圖 3-9 圖 3-10. 目. 錄. 繪製齊一圖案………………………………………………………… 密接…………………………………………………………………… 縮放…………………………………………………………………… 疊代…………………………………………………………………… 鏡射…………………………………………………………………… 相似變換……………………………………………………………… (a)Koch curve (b)Sierpinski gasket………………………………… Two-branch tree……………………………………………………… (a)以 x 軸方向變形 (b)以 y 軸方向變形 (c)兩軸同時變形………… 仿射變換……………………………………………………………… 對稱中的平移基底…………………………………………………… 鏡射與滑動鏡射……………………………………………………… 七種一維圖樣之分類流程圖………………………………………… 來自 San Ildefonso pueblo 的七種一維圖樣之範例………………… 十七種二維圖樣之分類流程圖……………………………………… (a)Roman mosaic in Perge, Turkey (b) Pavement pattern from China L-systems Machine…………………………………………………… Anabaena 細胞分裂與 L-systems 表示法…………………………… turtle interpretation：F+Ff-F-Ff+F+…………………………………… 相同字串與三種角度會產生三種不同的圖形……………………… Koch curve…………………………………………………………… 簡短記號:L,R,S,Z…………………………………………………… Weedlike plant………………………………………………………… Multiple Reduction Copy Machine 及 Sierpinski gasket……………… modified Sierpinski gasket……………………………………………… 以 MRCM 產生 Koch curve…………………………………………… Generator Iteration 產生 Koch Snowflake…………………………… Sierpinski gasket……………………………………………………… IFS Iteration 產生 Sierpinski gasket………………………………… The IFS Attractor of transformations ω1 ( z ) = λz + 1 ; ω 2 ( z ) = λz − 1 … 定線複製法之結構…………………………………………………… 定線複製法中的比例關係…………………………………………… (a)先鏡射再平移 (b)先平移再鏡射………………………………… (a)原始結構 (b)想達到的效果……………………………………… (a)起始結構 (b)產生器……………………………………………… The flower Snark J n , for n=1,2,3,4………………………………… 起始結構的類型……………………………………………………… 多邊形起始結構之範例(1)…………………………………………… 多邊形起始結構之範例(2)…………………………………………… 放射線起始結構之範例(1)…………………………………………… 放射線起始結構之範例(2)…………………………………………… 格線起始結構之範例(1)……………………………………………… vii. 1 1 2 2 3 4 4 5 7 7 8 9 9 10 11 11 12 13 14 14 14 15 16 16 17 17 18 19 19 20 21 21 23 24 24 24 25 25 26 26 27 27.

(10) 圖 3-11 圖 3-12 圖 4-1 圖 4-2 圖 4-3 圖 4-4 圖 4-5 圖 4-6 圖 4-7 圖 4-8 圖 4-9 圖 4-10 圖 4-11 圖 4-12 圖 4-13 圖 4-14 圖 4-15 圖 4-16 圖 4-17 圖 4-18 圖 4-19 圖 4-20 圖 4-21 圖 4-22 圖 4-23 圖 4-24 圖 4-25 圖 5-1 圖 5-2 圖 5-3 圖 5-4 圖 5-5 圖 5-6 圖 5-7 圖 5-8. 格線起始結構之範例(2)……………………………………………… 更複雜起始結構之範例……………………………………………… 珍珠串的產生器……………………………………………………… 珍珠串的疊代過程…………………………………………………… 畢達哥拉樹的產生器………………………………………………… 畢達哥拉樹的成長過程……………………………………………… 收縮映射的產生器…………………………………………………… Contraction Mappings………………………………………………… 鸚鵡螺………………………………………………………………… Koch Antisnowflake…………………………………………………… 切割線段並比對找出產生器中的型………………………………… Ice Fractal……………………………………………………………… Peano-Gosper Curve…………………………………………………… Sierpinski Arrowhead Curve………………………………………… Sierpinski Arrowhead Curve 的產生過程…………………………… Hilbert Curve………………………………………………………… S-Shaped Peano Curve………………………………………………… 基準線與型等高的樹………………………………………………… 左密右疏的樹………………………………………………………… 不同的產生器所對應的樹…………………………………………… 草之成長過程………………………………………………………… 水草…………………………………………………………………… 同型不同基準線的五株水草………………………………………… 以定線複製模擬山或雲的外觀……………………………………… 型之改變對結果的影響(1)………………………………………… 型之改變對結果的影響(2)………………………………………… 鏡射性質所產生之老樹……………………………………………… 畢達哥拉樹…………………………………………………………… 定線複製法之分析…………………………………………………… 連通性質……………………………………………………………… θ = 60 o ………………………………………………………………… θ = 45 o ………………………………………………………………… 螺旋環狀……………………………………………………………… 中垂線交點即中心點………………………………………………… z n +1 = z n + c 之 Mandelbrot set………………………………………. 圖 5-9 圖 5-10. Mandelbrot set： z 2 − c 與對應的 Julia sets……………………… The IFS Attractor of transformations ω1 ( z ) = λz + 1 ; ω 2 ( z ) = λz − 1 …………………………………… The IFS Attractor of transformations ω1 ( z ) = λz + 1 ; ω 2 ( z ) = λ * z − 1 ………………………………… ω1 ( z ) = λz ； ω 2 ( z ) = λz + 1 之產生器………………………………… ω1 ( z ) = λz ； ω 2 ( z ) = λz + 1 的前 10 次疊代過程…………………… ω1 ( z ) = λ * z ； ω 2 ( z ) = λz + 1 之產生器……………………………… ω1 ( z ) = λ * z ； ω 2 ( z ) = λz + 1 之吸子…………………………………. 圖 5-11 圖 5-12 圖 5-13 圖 5-14 圖 5-15. viii. 28 28 29 29 30 30 31 31 31 32 32 32 32 33 33 33 34 34 35 35 36 36 36 37 37 38 38 40 41 41 42 43 43 44 44 45 45 46 46 47 47 47.

(11) 圖 5-16 圖 5-17 圖 5-18 圖 6-1 圖 6-2 圖 6-3 圖 6-4 圖 6-5 圖 6-6 圖 6-7 圖 7-1 圖 7-2 圖 7-3 圖 7-4 圖 7-5 圖 7-6 圖 7-7 圖 7-8 圖 7-9 圖 7-10 圖 7-11 圖 7-12 圖 7-13 圖 7-14 圖 7-15 圖 7-16 圖 7-17 圖 7-18 圖 7-19 圖 7-20 圖 7-21 圖 7-22 圖 7-23 圖 7-24. 改變兩線段與基準線的夾角產生之結果…………………………… 以定線複製法所產生 ω1 ( z ) = λ1 z + c1 ； ω 2 ( z ) = λ2 z + c2 之吸子…… Variations of von Koch Curve……………………………………… 演算法………………………………………………………………… (a)為 p6m 的無鏡射之最小元件……………………………………… 將 p6m 簡化為 p6……………………………………………………… 基本結構圖與元件、解構圖之間的關係式………………………… 以 a 為起始結構之範例……………………………………………… 以 a 為起始結構之範例……………………………………………… 以 c 為起始結構之範例……………………………………………… 多元產生器之交互運用……………………………………………… 單一產生器仿自然之範例…………………………………………… 多元產生器的順序會影響結果……………………………………… 三種產生器之運用與編碼…………………………………………… 多元產生器之範例…………………………………………………… 經剪枝、重組後之梅與竹…………………………………………… Tiling 之範例………………………………………………………… 以定線複製法繪製鋪磚圖案………………………………………… regular tessellation 只有六角陣、三角陣與方陣三種…………… types of vertices……………………………………………………… a -○ c semi-regular tessellation ○ d demi-regular tessellation ……… ○ (a) edge-to-edge (b) non- edge-to-edge………………………… 多邊形的 edge-to-edge……………………………………………… 正多邊形的 edge-to-edge…………………………………………… non-edge-to-edge 的主要步驟：等分( divide )………………… partial edge-to-edge 密鋪平面…………………………………… 圖案設計之範例(1)………………………………………………… 圖案設計之範例(2)………………………………………………… 圖案設計之疊代概念………………………………………………… 圖案設計之疊代範例………………………………………………… 其他範例(1)………………………………………………………… 其他範例(2)………………………………………………………… 其他範例(3)………………………………………………………… 其他範例(4)…………………………………………………………. ix. 48 48 51 52 53 53 54 55 58 58 60 60 61 62 62 63 63 64 64 64 64 65 65 66 66 67 67 67 68 68 68 69 69 69.

(12) 第一章. 簡介. 1-1 動機與目的透過操作滑鼠或使用工具來輔助構圖，我們需要不斷地將圖案平移、旋轉、縮放及鏡射，定線複製法( Line-Based Duplication, LBD ) [26]提供一個新的繪圖環境，突破人機繪圖介面的極限，簡單的操作讓我們輕易地完成定點平移、定角旋轉、定長縮放及定線鏡射等工作，達到「模糊操作，準確定位」的目標。它可完成許多的工作，比如： 1. 繪製齊一圖案當使用者欲複製規格相同的物件至某特定位置時，容易因為手工移動而造成定位不夠準確，為了避免手工操作產生的誤差，以線段控制複本產生的精確位置。. 圖 1-1 繪製齊一圖案. 2. 密接圖案在使用者以肉眼的觀察與手工的微調之下，物件之間的貼齊常常出現些微的差距，為使能夠緊密貼齊，賦予物件(包括端點或邊線等)吸附功能可使貼齊效果更好；除此，MathPS 中連結物件( Connection )的功能，更加強了物件與物件的端點、中心點等之間的連結功能。. 圖 1-2 密接. 3. 縮放圖案除了複製規格相同的物件之外，系統可依照基準線( base-line )與疊代線( recurrent line )的比例，將型( pattern )放大或縮小的複本產生於疊代線上，而達到放大或縮小的效果。. 1.

(13) 圖 1-3 縮放. 4. 繪製疊代圖案在探討 Fractal 中的疊代函數系統( Iterated Function System )或自我相似 ( self-similar )時，我們需要觀察每次疊代之間的變化，因此在產生器( generator )中加入了疊代線( recurrent line )，使其疊代關係及生長狀態清楚地呈現。. 圖 1-4 疊代. 本論文的動機與目的在研究如何運用定線複製法，以手動的方式完成一些需要特殊軟體才能完成的繪圖設計，比如疊代設計( Recurrent Substitution )、碎形( Fractals )、吸子( Attractors )、幾何對稱繪圖( Symmetrical Patterns )、仿自然( Artificial Nature )、鋪磚 ( Tiling )、密鋪平面( Tessellation ) 以及視覺設計( Visual Design )，同時探討定線複製法的一些數學特性。. 1-2 變換( Transformations ) 1-2-1 相似變換( Similar Transformations ) 將物件平移到新的位置、旋轉某個角度、或放大縮小，稱為變換( transformation )；如果將這些動作作用於物件上所產生的新物件，在整體看來仍與原物件相似( similar )，則此種變換稱為「相似變換」( similar transformation )。相似變換由等向縮放( isotropic scaling )、旋轉( rotation )、平移( translation )、鏡射 ( reflection )所構成，具體地來說，如果對平面上一點 P0 = (x 0 , y 0 ) 作等向縮放、旋轉、平移、鏡射這些動作，所得的結果以矩陣變換( matrix transformation )的形式表示如下： 1. 等向縮放( I ) 若對 P0 作比例為 s(s > 0) 的等向縮放後，產生新的點 P1 = (x 1 , y1 ) ，則兩點座 2.

(14) ⎡ x ⎤ ⎡ s 0⎤ ⎡ x 0 ⎤ ⎡sx 0 ⎤ 標之間的關係式為： ⎢ 1 ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ y1 ⎦ ⎣0 s ⎦ ⎣ y 0 ⎦ ⎣sy 0 ⎦. (1.1). 2. 旋轉( R ) 若對 P1 作逆時針角度為 θ (相對於座標原點)的旋轉後，產生新的點 P2 = (x 2 , y 2 ) ，則兩點座標之間的關係式為 ⎡ x 2 ⎤ ⎡cosθ ⎢ y ⎥ = ⎢ sinθ ⎣ 2⎦ ⎣. - sinθ ⎤ ⎡ x 1 ⎤ ⎡cosθ ⋅ x 1 - sinθ ⋅ y1 ⎤ = cosθ ⎥⎦ ⎢⎣ y1 ⎥⎦ ⎢⎣sinθ ⋅ x 1 + cosθ ⋅ y1 ⎥⎦. (1.2). 3. 平移( T ) 若對 P2 作平移 (Tx , Ty ) 的動作後，產生新的點 P3 = (x 3 , y 3 ) ，則兩點座標之間的 ⎡ x 3 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡Tx ⎤ ⎡ x 2 + Tx ⎤ 關係式為： ⎢ ⎥ = ⎢ 2 ⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ y 3 ⎦ ⎣ y 2 ⎦ ⎣Ty ⎦ ⎣ y 2 + Ty ⎦. (1.3). 4. 鏡射( M ) 若將 P3 對直線 ax + by + c = 0 作鏡射的動作後，產生新的點 P4 = (x 4 , y 4 ) ，則兩點 a(ax 3 + by 3 + c) ⎤ ⎡ ⎥ ⎡x 4 ⎤ ⎢ x 3 - 2 a 2 + b2 座標之間的關係式為： ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ y 4 ⎦ ⎢ y 3 - 2 b(ax 3 + by 3 + c) ⎥ a 2 + b2 ⎦ ⎣. (1.4). 但較常使用的是對 x 軸或 y 軸做鏡射，則 ⎡ x 4 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ x 3 ⎤ ⎡ x 4 ⎤ ⎡- 1 0 ⎤ ⎡ x 3 ⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢0 - 1⎥ ⎢ y ⎥ (對 x 軸) 或 ⎢ y ⎥ = ⎢ 0 1⎥ ⎢ y ⎥ (對 y 軸) ⎦⎣ 3 ⎦ ⎦⎣ 3 ⎦ ⎣ 4⎦ ⎣ ⎣ 4⎦ ⎣. 圖 1-5 鏡射. 綜合以上，可表示為 P4 = M(P3 ) = M(T(P2 )) = M(T(R(P1 ))) = M(T(R(I(P0 )))) 或 W(P0 ) = M(T(R(I(P0 )))) 。 3. (1.5).

(15) 圖 1-6 相似變換. 自我相似( self-similar ) 一個物體或圖案具「自我相似」( self-similar )的特性就是其局部結構與整體結構完全( exactly )相似或幾乎( approximately )相似，也就是在相似變換的作用下仍保持不變。自我相似是碎形( fractals )的特性之一，在碎形圖案中便可觀察出這個特性，如圖 1-7 的. Koch curve 和 Sierpinski gasket，任意取其局部結構(圈選部分)皆與整體結構完全相似，則稱為「嚴格的自我相似」( strictly self-similar )；圖 1-8 的 two-branch tree 中，其樹葉部分(圖左)與整體結構完全相似，但樹幹部分(圖右)則不相似，因所選取的局部不包含末端。雖然在碎形幾何( Fractals Geometry )中常探討到「嚴格的自我相似」這個特性，但在日常生活中我們所接觸到的大自然碎形，譬如：花、草、樹木、海岸線等，卻常常只符合較寬鬆的自我相似條件。. 圖 1-7. (a) Koch curve (b) Sierpinski gasket. 4.

(16) 圖 1-8. two-branch tree. 1-2-2 仿射變換( Affine Transformations ) 物件在經過變換的過程中，兩座標軸的縮放比例不同、旋轉角度不同時，相似這個條件便會遭到破壞，則此種變換稱為「仿射變換」( affine transformation )。仿射變換由非等向縮放( anisotropic scaling )、旋轉、平移、鏡射及滑動鏡射 ( glide-reflection )、變形( shearing ) 所構成，具體地來說，如果對平面上一點 P0 = (x 0 , y 0 ) 作非等向縮放、旋轉、平移、鏡射及滑動鏡射、變形這些動作，所得的結果以矩陣變換的形式表示如下： 1. 非等向縮放( A ) 若對 P0 作兩軸縮放比例分別為 s x , s y (s x , s y > 0) 的非等向縮放後，產生新的點 ⎡ x ⎤ ⎡s x P1 = (x 1 , y1 )，則兩點座標之間的關係式為： ⎢ 1 ⎥ = ⎢ ⎣ y1 ⎦ ⎣ 0. 0 ⎤ ⎡ x 0 ⎤ ⎡s x x 0 ⎤ = s y ⎥⎦ ⎢⎣ y 0 ⎥⎦ ⎢⎣s y y 0 ⎥⎦. (1.6). 2. 旋轉( R ) 若對 P1 作兩軸旋轉角度為 θ x ,θ y (相對於座標原點逆時針為正向)的旋轉後，產生新的點 P2 = (x 2 , y 2 ) ，則兩點座標之間的關係式為：. ⎡ x 2 ⎤ ⎡cosθ x ⎢ y ⎥ = ⎢ sinθ y ⎣ 2⎦ ⎣. - sinθ x ⎤ ⎡ x 1 ⎤ ⎡cosθ x ⋅ x 1 - sinθ y ⋅ y1 ⎤ =⎢ ⎥ cosθ y ⎥⎦ ⎢⎣ y1 ⎥⎦ ⎢⎣sinθ x ⋅ x 1 + cosθ y ⋅ y1 ⎥⎦. (1.7). 3. 平移( T ) 若對 P2 作平移 (Tx , Ty ) 的動作後，產生新的點 P3 = (x 3 , y 3 ) ，則兩點座標之間的 ⎡ x 3 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡Tx ⎤ ⎡ x 2 + Tx ⎤ 關係式為： ⎢ ⎥ = ⎢ 2 ⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ y 3 ⎦ ⎣ y 2 ⎦ ⎣Ty ⎦ ⎣ y 2 + Ty ⎦. 5. (1.8).

(17) 4. 鏡射( M ) / 滑動鏡射( G ) (1) 鏡射( M ) 若將 P3 對直線 ax + by + c = 0 作鏡射的動作後，產生新的點 P4 = (x 4 , y 4 ) ，則 a(ax 3 + by 3 + c) ⎤ ⎡ ⎥ ⎡x 4 ⎤ ⎢ x 3 - 2 a 2 + b2 兩點座標之間的關係式為： ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ y 4 ⎦ ⎢ y 3 - 2 b(ax 3 + by 3 + c) ⎥ a 2 + b2 ⎦ ⎣. (1.9). 但較常使用的是對 x 軸或 y 軸做鏡射，則 ⎡ x 4 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ x 3 ⎤ ⎡ x 4 ⎤ ⎡- 1 0 ⎤ ⎡ x 3 ⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢0 - 1⎥ ⎢ y ⎥ (對 x 軸) 或 ⎢ y ⎥ = ⎢ 0 1⎥ ⎢ y ⎥ (對 y 軸) ⎦⎣ 3 ⎦ ⎦⎣ 3 ⎦ ⎣ 4⎦ ⎣ ⎣ 4⎦ ⎣. (1.10). (2) 滑動鏡射( G ) 若將 P3 對直線 ax + by + c = 0 作滑動鏡射(包括鏡射及平移 (G x , G y ) )的動作後，產生新的點 P4 = (x 4 , y 4 ) ，則兩點座標之間的關係式為： a(ax 3 + by 3 + c) ⎤ ⎡ ⎥ ⎡G x ⎤ ⎡x 4 ⎤ ⎢ x 3 - 2 a 2 + b2 ⎥+⎢ ⎥ ⎢y ⎥ = ⎢ + + b(ax by c) 3 3 ⎣ 4 ⎦ ⎢y3 - 2 ⎥ ⎣G y ⎦ 2 2 a +b ⎦ ⎣. (1.11). 但較常使用的是對 x 軸或 y 軸做滑動鏡射，則 ⎡ x 4 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ x 3 ⎤ ⎡G x ⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢0 - 1⎥ ⎢ y ⎥ + ⎢G ⎥ (對 x 軸) ⎦⎣ 3 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ 4⎦ ⎣. (1.12). ⎡ x ⎤ ⎡- 1 0 ⎤ ⎡ x 3 ⎤ ⎡G x ⎤ 或 ⎢ 4⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎣ y 4 ⎦ ⎣ 0 1 ⎦ ⎣ y 3 ⎦ ⎣G y ⎦. (1.13). (對 y 軸). 5. 變形( S ) 若 P4 = (x 4 , y 4 ) 為物件上一點，對物件作變形的動作後，產生新的點 P5 = (x 5 , y 5 ) ，則兩點座標之間的關係式為[4]： (1) 以 x 軸方向作變形 ⎡ x 5 ⎤ ⎡1 α ⎤ ⎡ x 4 ⎤ ⎡ x 4 + α ⋅ y 4 ⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢0 1 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ ⎥ y4 ⎦⎣ 4 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 5⎦ ⎣. (1.14). (2) 以 y 軸方向作變形 ⎡x 5 ⎤ ⎡ 1 ⎢ ⎥=⎢ ⎣ y 5 ⎦ ⎣β. x4 0⎤ ⎡ x 4 ⎤ ⎡ ⎤ =⎢ ⎢ ⎥ ⎥ 1⎦ ⎣ y 4 ⎦ ⎣ β ⋅ x 4 + y 4 ⎥⎦. 6. (1.15).

(18) (3) 兩軸同時變形 ⎡ x 5 ⎤ ⎡s x cosθ x ⎢ ⎥ = ⎢ s sinθ x ⎣y5 ⎦ ⎣ x. 圖 1-9. - s y sinθ y ⎤ ⎡ x 4 ⎤ ⎡ s x cosθ x ⋅ x 4 - s y sinθ y ⋅ y 4 ⎤ = s y cosθ y ⎥⎦ ⎢⎣ y 4 ⎥⎦ ⎢⎣s x sinθ x ⋅ x 4 + s y cosθ y ⋅ y 4 ⎥⎦. (a) 以 x 軸方向作變形 (b) 以 y 軸方向作變形 (c) 兩軸同時變形. 綜合以上，可表示為 P5 = S(P4 ) = S(M(P3 )) = S(M(T(P2 ))) = S(M(T(R(P1 )))) = S(M(T(R(A(P0 ))))) 或 P5 = S(P4 ) = S(G(P3 )) = S(G(T(P2 ))) = S(G(T(R(P1 )))) = S(G(T(R(A(P0 ))))) ， W(P0 ) = S(M(T(R(A(P0 ))))) 或 W(P0 ) = S(G(T(R(A(P0 ))))) 。. 圖 1-10 仿射變換. 7. (1.16).

(19) 自我仿射( self-affine ) 一個物體或圖案具「自我仿射」( self- affine )的特性就是其局部結構與整體結構在仿射變換的作用下仍保持不變。. 1-2-3 對稱( Symmetry ) 對稱的變換包含「等量」與「非等量」兩種類型( Charles Wallschlaeger & Cynthia Busic-Snyder，1996 )。等量變換，是指若一物體在空間中所佔有的位置，在一個或多個等距變換( isometry transformation ) [44]之後仍保持不變，則此物體是對稱的；也就是說等量變換維持其原單位形與複製圖形間的點對稱關係。等量變換包含平移、旋轉、鏡射、滑動鏡射四種基本操作形式。而非等量變換，是指原圖形與其複本間不保有點對稱的關係，保持部份外形的特質使得原圖與其複本間仍具有相似性與比較性。非等量變換的操作形式是在等距變換的基礎上，再加上非等向縮放、透視、仿射、變形等變換的應用[48]。 1. 對稱變換( Symmetry Transformation ) (1) 平移對稱平移對稱是重複圖樣最基本的對稱，也是最基本的特性，所以藉由將圖樣平移無數個方向，即可構成重複圖樣。但在每一個方向，都有一個最小平移，其中兩個最小平移 u 和 v 形成其他平移的基底( basis )，也就是說，其他無數個平移皆可經由連續使用 u 和 v 來達成[44]。. 圖 1-11 對稱中的平移基底資料來源：伊斯蘭的幾何藝術. (2) 旋轉對稱旋轉對稱是指將物件根據旋轉中心旋轉某個角度後與另一個物件疊合。一個物件的旋轉中心最可能出現於端點或中心點(包括物件的中心或邊的中點)；而旋轉角度在無線重複圖樣上最常出現的是 180 o (二重旋轉對稱)、 120 o (三重旋轉對稱)、 90 o (四重旋轉對稱)及 60 o (六重旋轉對稱)。 (3) 鏡射對稱鏡射對稱是將物件相對於鏡射軸而產生外觀相同的新物件。鏡射軸的選擇通常是物件的邊線或中心線。 8.

(20) (4) 滑動鏡射對稱滑動鏡射對稱是將物件相對於鏡射軸產生外觀相同的新物件後，再加上平移的動作。. 圖 1-12 鏡射與滑動鏡射. 2. 七種一維圖樣一維圖樣擁有四個特性：(1)只有垂直方向平移或水平方向平移；(2)只有垂直方向鏡射或水平方向鏡射；(3)只有垂直方向滑動鏡射或水平方向滑動鏡射；(4) 只有 180 o 旋轉(即二重旋轉)或無旋轉。將以上四種特性組合之後，應該會產生十六種可能的一維圖樣，但其中有九種組合是不可能發生的[14]，譬如由垂直方向鏡射、水平方向滑動鏡射但無旋轉所產生的組合，因為垂直方向鏡射與水平方向滑動鏡射等於產生了 180 o 旋轉，所以這種組合的一維圖樣並不存在。剩餘的七種是的確可能發生的組合，見圖 1-13 的流程表。一維圖樣的表示法採用結晶學的標記法( last edition of the International Tables for Crystallography，1995 )[17,18]，由 S1-S2-S3 三個連續符號所組成，各字母與數字代表的意義如下： (1) S1 ={p}，表示有週期性( periodic )的排列。 (2) S2 ={1, 2, m, g}，「1」表示平移，「2」表示二重旋轉，「m」表示鏡射，「g」表示滑動鏡射。 (3) S3={m, g}，表示另一方向的鏡射或滑動鏡射。. 圖 1-13 七種一維圖樣之分類流程圖資料來源：Mathematical Tools for Computer-Generated Ornamental Patterns 9.

(21) 此七種一維(帶狀)圖樣廣泛地出現在許多國家，如圖 1-14 為美國新墨西哥州 San Ildefonso 的普魏布勒印地安人村莊( pueblo )，其陶器上也有一維圖樣的裝飾；或者在美國西南部的 Anasazi 陶器上，西非迦納( Ghana )的煙管 ( smoking pipes )上，都曾出現這種結構的圖案[14]。. 圖 1-14 來自 San Ildefonso pueblo 的七種一維圖樣之範例資料來源：http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/crowe1/. 3. 十七種二維圖樣二維圖樣的分類，由於平移、旋轉、鏡射與滑動鏡射都比一維圖樣有更多可能的方向與角度，而產生無限種看似複雜的組合，但很幸運地，所謂的「結晶學限制」( crystallographic restriction )說明了只可能有十七種二維圖樣。這些限制，包括旋轉角度只可能有 180 o 、 120 o 、 90 o 、 60 o 四種，即二重旋轉、三重旋轉、四重旋轉及六重旋轉；旋轉的角度受到限制，同時影響了鏡射軸之間的夾角，使得最後僅剩十七種可能的組合(見附錄二)，如圖 1-15 流程表所示[1,39]。其表示法為結晶學的標記法[17,18]，由 S1-S2-S3-S4 四個連續符號所組成，各字母與數字代表的意義如下： (1) S1 ={c, p}，單位格子為中心矩形時符號為「c」，其他為「p」。 (2) S2 ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，表示最高階旋轉對稱，「1」表無旋轉對稱。 (3) S3={m, g, 1}，「m」表鏡射，「g」表滑動鏡射，「1」表無鏡射也無滑動鏡射。 (4) S4={m, g, 1}，同 S3，表示另一方向的鏡射或滑動鏡射。. 10.

(22) 圖 1-15 十七種二維圖樣之分類流程圖資料來源：http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/crowe1/. 此十七種二維圖樣除了大量地出現在伊斯蘭的圖樣藝術之外，如圖 1-16(a) 為土耳其的地面上以馬賽克圖樣所鑲嵌的路徑，圖 1-16(b)則是來自中國的圖樣。. 圖 1-16 (a) Roman mosaic in Perge, Turkey (b) Pavement pattern from China 資料來源：http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/crowe1/. 11.

(23) 第二章. 方法論. 本章將介紹三種碎形的產生方法：(1) Lindenmayer systems ( L-systems )；(2) Multiple Reduction Copy Machine ( MRCM )；(3) Iterated Function System ( IFS )。L-systems 的特點在於將線段之間的疊代過程以語法的方式來敘述，MRCM 是重複輸入圖形以多鏡頭的影印機模擬產生的過程，而 IFS 則是經過一系列的變換不斷地疊代產生碎形。除了這些碎形產生系統之外，本章最後介紹我們所發明的「定線複製法」，以幾何圖案所構成的物件群闡述碎形產生的規則，重複疊代後產生碎形。. 2-1 Lindenmayer systems ( L-systems ) 1968 年生物學家 Aristid Lindenmayer 為了描寫多細胞生物的生長及植物細胞之間的鄰近關係，創造出一套描述植物生長的系統「Lindenmayer Systems」，簡稱為 L-systems [23]。. 2-1-1 L-systems Machine L-systems 是一種正規語法( formal language )[19,20]，主要的概念為「複寫」 ( rewriting )或「複製」( reproduction )，根據訂定的複製規則 ( (re)production rules ) 對輸入字串( input string )作核對的動作，若符合則按照規則取代，並得到新的字串輸出 ( output string )，如圖 2-1 的 L-systems machine 流程，如此重覆迴授( feedback )下去，隨著循環次數的增加，字串的長度會跟著增長，也逐漸產生越來越複雜的結構[31,33]。. 圖 2-1 L-systems machine 資料來源：Chaos and Fractals. L-systems 通常以一個集合 G = {V, S, ω , P} 表示，其中 V = {a 1 , a 2 ,..., a n } 為一個由字母系統( alphabet )所構成的集合；S 為保持不變( fixed )的集合；ω 為初始狀態( start, axiom,. or initiator ) ，由 V 中元素構成的字串；P 為 production rule 所構成的集合，production rule 12.

(24) 是 L-systems 中的取代規則，而每個 production rule 皆由 predecessor 和 successor 兩個字串組成，當字串與 predecessor 相同時，則以 successor 取代此字串。圖 2-2 Anabaena 的 s 例子中，每個細胞會分裂成兩個子細胞， A 代表較小的左子細胞( left daughter cell ) (在 r 圖右以箭頭向左的方塊表示)， A 代表較小的右子細胞(在圖右以箭頭向右的方塊表示)， s r B 和 B 為較大的左子細胞和右子細胞(在圖右以較長方塊與左右箭頭表示)，所以可得到 r s r s r s sr r sr r sr s sr V = { A, A, B, B} ， S = {φ} ， ω = {A} ，P={ A → AB , A → BA , B → AB , B → BA }。當起始 r r sr sr 條件為 A (圖 2-2(a) )，依照複製規則第一階段以 BA 取代 A 得到 BA (圖 2-2(b) )，第二階 sr r s rsr s sr 段以 AB 取代 B ， BA 取代 A 得到 ABBA (圖 2-2(c) )，如此類推可得知 Anabaena 的細胞分裂狀態。. 圖 2-2. Anabaena 細胞分裂與 L-systems 表示法資料來源：Chaos and Fractals. 2-1-2 Turtle Graphic L-systems 對於字串的生成( string generation )，已能相當有系統地表示，但對於平面上的任何圖形，僅僅只有字串並無法充分說明圖形的獨特性，必須考慮如何簡潔地詮釋方向、旋轉角度、線段長度等因素對圖形的影響，因此我們需要更詳盡的表示法來幫助敘述平面上的圖形，特別是針對古典碎形( classical fractals )。以 Seymour Papert’s concept of turtle graphics 為依據，我們想像有一隻烏龜在紙上爬行，牠朝著某個方向出發前進，根據接收到的某些指令而移動，拖曳著尾巴在紙上所留下的痕跡，即平面上的圖形。烏龜所接收到的指令包括前進的距離和轉彎的角度，表 2-1 表示烏龜每次前進一步的固定長度皆為 l，每次轉彎的固定角度皆為 δ ，以及轉彎的方向左為＋、右為－；圖 2-3 中烏龜根據這些指令，位於起點準備朝右方出發，前進七步後到達終點，停止時頭朝上方，這條路線可以用 F+Ff-F-Ff+F+ 十二個符號來表示，其中 δ = 90 o 。表 2-1. turtle graphic 中烏龜所接收的指令. F. 往前走固定長度 l 的距離並留下軌跡(實線或虛線或箭頭). f. 往前走固定長度 l 的距離但不留軌跡. + －. 向左轉(逆時鐘方向)固定角度 δ 向右轉(順時鐘方向)固定角度 δ 資料來源：Chaos and Fractals 13.

(25) 圖 2-3. turtle interpretation：F+Ff-F-Ff+F+. 資料來源：Chaos and Fractals. 前進的距離長度對於圖形的影響，僅是整體圖形的大小，但旋轉角度卻會產生完全迥異的圖形，如圖 2-4 中，相同的字串 F+F+F+-F-F 搭配三種旋轉角度 (60 o ,90 o ,120 o ) 會產生三種差異很大的圖形。. 圖 2-4 相同字串與三種角度會產生三種不同的圖形資料來源：Chaos and Fractals. 2-1-3 Growing Classical Fractals with L-systems 有了 turtle graphic 在距離長度和旋轉角度兩方面的補強，我們就可使用 L-systems 來建構古典碎形，並且能夠以字串及＋－符號完整地描述，如圖 2-5 的 Koch curve。. 圖 2-5 以 L-systems 產生 Koch curve 資料來源：Chaos and Fractals 14.

(26) 圖右的 Axiom 和前兩個 stage 可以字串生成的方式表達如下： Axiom：F Stage 1：F+F- -F+F Stage 2：F+F- -F+F+ F+F- -F+F - - F+F- -F+F+ F+F- -F+F 繼續以 F+F- -F+F 取代 Stage 2 中的 F，便可推得接下來的生成狀況，其餘類推。我們也可以假設烏龜能接收複合式的指令，並完成連續性的動作，如圖 2-6 上面的四種連續動作，我們將+F-F-F+記為 L，-F+F+F-記為 R，FF+F+FF-F-FF 記為 S，FF-F-FF+F+FF 記為 Z，即為表 2-2 所匯整，這些記號能簡短我們的敘述，而不致過於冗長，如圖 2-6 中的圖形，若 δ = 90 o ，原本應表示為 F+F+-F-FF+F+F-F-FF+F+FF-F-FF，經簡化後則變成 FLRF-S。表 2-2 簡短記號. Symbol interpretation L. +F-F-F+. R. -F+F+F-. S. FF+F+FF-F-FF. Z. FF-F-FF+F+FF. 資料來源：Chaos and Fractals. 圖 2-6 簡短記號：L, R, S, Z 資料來源：Chaos and Fractals. 當我們也將 turtle graphic 和 L-systems 應用在「樹」這個常見的大自然碎形時，會發現「樹枝」造成了描述上的困難，但加進“ [ ”和“ ] ”兩個左右括弧來表達後即解決這個困擾[31,36]；同樣地，我們想像一隻烏龜在爬行，當遇到樹枝的分歧點時，牠必須記住此時的位置與前進的方向，在牠爬完樹枝之後，必須回到分歧點的位置並依照原本的前進方向繼續移動，如圖 2-7 所示。. 15.

(27) 圖 2-7 Weedlike plant 資料來源：Chaos and Fractals. Axiom：F Stage 1：F[+F]F[-F]F Stage 2：F[+F]F[-F]F[+F[+F]F[-F]F]F[+F]F[-F]F[-F[+F]F[-F]F]F[+F]F[-F]F. 2-2 Multiple Reduction Copy Machine ( MRCM ) 以多鏡頭的影印機重複影印的方式來模擬碎形的產生過程，稱為「Multiple ，簡稱 MRCM[31,32]。如圖 2-8 中，將一個圓以三個鏡頭的影 Reduction Copy Machine」印機影印，輸出三個圓的影像，再將此影像放入影印機繼續影印，會輸出九個圓的影像，以此類推，多次之後便可產生碎形圖案「Sierpinski gasket」。. 圖 2-8. Multiple Reduction Copy Machine 及 Sierpinski gasket. 資料來源：Chaos and Fractals, http://juang.bst.ntu.edu.tw/Lab520/images/520L67copier.JPG. 這樣以多鏡頭影印機將原本的影像，透過等向縮放、平移、旋轉等方式複製成為新影像，即所謂的「相似變換」，其中可控制的選項包括鏡頭的數目，縮放的比例，和擺放新影像的位置。例如圖 2-9，左邊的三個方形為多鏡頭影印機，分別代表三個不同的變換，當我們將 stage 0 的方形放入影印機，影印後得到 stage 1 的圖形，再將此圖形丟進多鏡頭影印機重複影印，繼續得到 stage 2 到 stage 4 的圖形，即為以 MRCM 方式所產 16.

(28) 生之「modified Sierpinski gasket」。. 圖 2-9. modified Sierpinski gasket. 資料來源：Chaos and Fractals. 不同於 L-systems 以字串取代的產生方式，MRCM 是以「框」為元件來產生碎形，其產生 Koch curve 的過程如圖 2-10。. 圖 2-10 以 MRCM 產生 Koch curve 資料來源：Chaos and Fractals. 17.

(29) 2-3 疊代函數系統( Iterated Function Systems, IFS ) 疊代函數系統( Iterated Function Systems )為另一種產生碎形的方法，簡稱為 IFS。IFS 產生碎形的過程由簡單的構圖開始，經過一連串的遞迴( iteration )之後完成。設 A0 為起始圖形，有 w1 , w2 ,..., w N 共 N 個變換，同時作用於 A0 上，產生 w1 ( A0 ), w2 ( A0 ),..., wN ( A0 ) ，則令此 N 個輸出圖形為 A1 ，表示為. A1 = W ( A0 ) = w1 ( A0 ) ∪ w2 ( A0 ) ∪ ... ∪ wN ( A0 ). (2.1). 在下個回合中， A1 為輸入圖形，再次將 w1 , w2 ,..., wN 這 N 個變換，同時作用於 A1 後，得到. A2 = W ( A1 ) = w1 ( A1 ) ∪ w2 ( A1 ) ∪ ... ∪ wN ( A1 ). (2.2). 不斷地將上個回合的輸出圖形作為下個回合的輸入圖形，繼續對輸入圖形做 N 個變換，因此對於每回合的輸入與輸出圖形之間的關係可表示為. Ak +1 = W ( Ak ), k = 0,1,2,.... (2.3). 重複使用這個遞迴方式，作用無窮多次後達到收斂才停止，即 W ( A∞ ) = A∞. (2.4). 則稱 A∞ 為 IFS 的吸子( attractor )[31]。運用 IFS 特性的方法有很多種，主要的方法有下列三種：generator iteration，IFS iteration，和 formula iteration。. 1.. Generator Iteration 以圖形( generator / motif )取代起始圖形( initiator )中的每一部份後，再次以圖形 ( generator / motif )取代新圖中的每一部份，如此重複取代無限多次，直到產生碎形為止，如圖 2-11。由一個正三角形為起始圖形，以四條等長線段(長度為正三角形邊長的三分之一)構成的 generator 取代起始圖形中的每一邊，獲得一個星形圖案；再以 generator 取代星形圖案中的 12 個邊，重複取代無限多次後，產生的雪花圖案稱為「Koch Snowflake」。. 圖 2-11 Generator Iteration 產生 Koch Snowflake 資料來源：http://library.thinkquest.org/26242/full/tutorial/ch9.html. 2.. IFS Iteration 以點或圖形為起始圖形，經過兩個以上的變換產生數個點或圖形來取代自己， 18.

(30) 不斷重複變換無限多次之後產生碎形，如圖 2-12。由一個被填滿黑色的正三角形開始，將原本的正三角形縮小二分之一後再平移至適當的位置，繼續重複此規則，即所謂的「Sierpinski gasket」。在數學意義上，此種方法與 MRCM 具有同樣的涵義，因此在 Chaos and Fractals[31]這本書中，將兩者視為相同的，即 MRCM=IFS，在產生過程中，以 MRCM 的多鏡頭影印機之譬喻來運作，但當探討到其中的數學意義時，則傾向於使用 IFS 的觀念。. 圖 2-12 Sierpinski gasket 資料來源：Chaos and Fractals. 我們想像原本的三角形的底邊恰貼齊於 x 軸，左端點恰為原點，右端點為(1, 0)，如圖 2-13 所示，此時我們可以將蘊含在 Sierpinski gasket 中的變換以矩陣變換的形式表示如下： ⎡0.5 0 ⎤ (2.5) f 1 ( x) = ⎢ ⎥x ⎣ 0 0.5⎦ ⎡0.5 0 ⎤ ⎡0.5⎤ f 2 ( x) = ⎢ x+⎢ ⎥ (2.6) ⎥ ⎣ 0 0.5⎦ ⎣0⎦ ⎡0.5 0 ⎤ ⎡0.250⎤ f 3 ( x) = ⎢ x+⎢ (2.7) ⎥ ⎥ ⎣ 0 0.5⎦ ⎣0.433⎦. 圖 2-13 IFS Iteration 產生 Sierpinski gasket 資料來源：http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/siertri/siertri.htm. Formula Iteration 以起始值代入一個或多個特定的數學函數，所產生的數值再重複代入函數中，不斷重複無限多次後，即產生碎形。Formula Iteration 是最簡明的疊代類型，但卻可產生最複雜的碎形，如：Mandelbrot set 和 Julia sets。在複數平面上，以 z = 0 + 0i 為起始值，不斷重複代入(2.8)的兩個函數即產生圖 2-14 之碎形。 3.. ⎧ w1 ( z ) = λz − 1 ⎨ ⎩ w2 ( z ) = λ z + 1. (其中 λ = λ1 + λ 2 i ， λ1 + λ2 < 1 ) 2. 19. 2. (2.8).

(31) (a). (b). 圖 2-14 The IFS Attractor of transformations. ω1 ( z ) = λz + 1 ; ω 2 ( z ) = λz − 1. 資料來源：Fractals Everywhere. 2-4 定線複製法( Line-Based Duplication, LBD ) 本節主要介紹我們所創造「定線複製法( LBD )」[26]之功能，以及如何產生具有自我相似或自我仿射之特性的圖形，而達到產生碎形圖形的最終目的。定線複製法的結構是由產生器( generator )和起始結構( initiator )所組成，產生器包括型( pattern )和基準線 ( base-line )兩部份，如圖 2-15。. 1. 型( pattern )：由「複製物件群」和「銜接群」所組成。複製物件群中包括線段或圖形構成的圖像元型( pattern elements )，被複製後圖形將不會再改變，但其中所包含的線段則可能將成為下次疊代的基準線，稱為「疊代線」( recurrent line )，這些疊代線即所謂的銜接群，其幾何性質與基準線相同。 2. 基準線( base-line )：由一條線段構成，與型共存，基準線與型之間的相對位置、大小比例將成為複製的基準關係。 3. 起始結構( initiator )：由一條或多條線段構成，每條線段自成一座標系統，為預定產生相似物件的預定位置。根據基準線與型的大小比例與相對位置，對應產生複本於起始結構的每條線段上。 4. 複本：是型的相似圖形，其長寬的大小與位置是以基準線與型的大小比例與相對位置為基準。. 20.

(32) 圖 2-15 定線複製法之結構. 基準線與型之間的相對關係，自成一個相對座標系統，在此相對座標系統中，每個圖像元型各自代表不同的相似變換，而定線複製法的主要概念就是根據基準線與型之間的相似變換，複製與型相似的複本到起始結構上，它們之間的關係以類比關係呈現：基準線：型 = 起始結構中的線段：複本如圖 2-16 中，起始結構之線段是基準線的二分之一，因此所產生的複本是型縮小二分之一的相似形，由三角形邊長佔據的格子數可得知，且複本與起始結構線段的距離也是型與基準線之距離的一半。. 圖 2-16 定線複製法中的比例關係. 定線複製法與 L-systems、MRCM 之比較如表 2-3，L-systems 是以語法的方式描述結構，須倚賴線段長度與旋轉角度來敘述，若缺乏這些資訊會造成描述不易；MRCM 以「框」為元件，可處理仿射變換，但是框的圖像較不易掌握，與 L-systems 同樣必須在特殊軟體或特殊介面上才可使用，而定線複製法以「線段」為元件，在一般平台上透過手動操作即可，是通用型的繪圖，可說是改善了 L-systems 與 MRCM 在使用上的主要困難。 21.

(33) 表 2-3 定線複製法與 L-systems、MRCM 之比較表. Lindenmayer systems ( L-systems ). Multiple Reduction Copy Machine ( MRCM ). Line-Based Duplication ( LBD ). 本質. 語法描述結構相似變換疊代多重多變結構. 視覺化（框）仿射變換疊代. 視覺化（線段）相似變換疊代. 用途. 植物造型、碎形. 碎形. 通用繪圖. 特點. 描述語法不易特殊軟體. 圖像掌握不易特殊軟體 Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe (1992). 手動操作一般平台. Aristid Lindenmayer (1968). 22. Mingjang Chen (2003).

(34) 第三章. 繪製一致性圖案之方法. 當我們想複製規格相同或相似的物件至預定位置時，對於複雜繁瑣的物件群而言，以手工操作滑鼠來移動物件，容易產生不可避免的誤差，此時以定線複製法來輔助並設計適當的起始結構就可控制複本產生的精確位置。. 3-1 相似變換( Similar Transformations ) 在第一章曾經提到：相似變換是由等向縮放、旋轉、平移、鏡射所構成。物件透過相似變換可能被放大縮小、被旋轉某個角度、或被平移到新的位置，而產生與原物件相似的複本。在本節我們將說明如何使用定線複製法來呈現這四種變換。由於定線複製法的主要概念是根據基準線與型之間的相對關係，複製與型相似的複本到起始結構上，那麼當產生器(基準線與型的相對位置)已被設計好時，起始結構便控制了將複本的變換類型。若起始結構只是一條線段時，將線段拉長或縮短，會使複本產生等向縮放的效果；將線段旋轉一個角度，會使複本產生旋轉的效果；將線段移動一段距離，會使複本產生平移的效果；對線段做鏡射，則會產生上下顛倒或左右顛倒的複本。這四種變換除了可單獨使用，也可結合運用，但不同的順序會導致不同的結果，譬如：「先鏡射再平移」與「先平移再鏡射」是完全不同的，如圖 3-1 之範例，灰色為起始圖形，比較圖(a)與圖(b)的最後結果，會發現位置並不相同。. 圖 3-1. (a) 先鏡射再平移 (b) 先平移再鏡射. 3-2 一致性圖案( Uniform Pictures ) 由上述知道，起始結構中的各線段無論是經過平移或旋轉，只要保持每條線段皆等長，透過定線複製法就可一次產生數個規格完全相同的圖形。如下圖(a)，我們想要在點與點之間加入規格相同的箭頭，即圖(b)的效果。. 23.

(35) (a). (b) 圖 3-2. (a) 原始結構 (b) 想達到的效果. 只需在點與點之間產生連線，並且設計想要的箭頭格式，如圖 3-3 (b)，然後使用定線複製法，以箭頭取代圖 3-3 (a) 中的每條線段，便可完成圖 3-2 (b)。. (a). (b) 圖 3-3 (a) 起始結構 (b) 產生器. 3-3 應用( Applications ) 3-3-1 圖型學繪圖( Graphs ) 在數學的領域裡，常常出現由相同的圖形元素所構成的圖，例如圖型學或鋪磁磚 ( tiling )問題等，具有規律的特性。在圖型學中，當探討尤拉迴圈( Eulerian trails )或漢彌爾頓圈( Hamilton cycles )等問題時，我們常以圖形描繪點與點之間的連線情形來輔助解題，但是如何才能將點與點之間的連線畫得既平滑又精準，卻總是困擾著使用者，本節介紹使用定線複製法所繪製的這類圖形。. 圖 3-4. The flower Snark. 24. J n , for n=1,2,3,4.

(36) 3-3-2 視覺設計( Visual Design ) 如果我們對於起始結構稍加設計，使它具有對稱性或安排巧妙的位置，例如：多邊形、放射線、格線、方陣等基本結構(如圖 3-5)，再適當地調整產生器的構圖、顏色、透明度等，便能在視覺效果上製造出恰好連接(如圖 3-10)或重疊的美感(如圖 3-8, 3-9)，甚至是具有錯覺的圖形。. 圖 3-5 起始結構的類型. 1. 多邊形： (1) 圖 3-6：以線段構圖而成的產生器，作用於正五邊形和十一邊形的起始結構後，產生星狀以及花瓣圖案。. 圖 3-6 多邊形起始結構之範例(1). 25.

(37) (2) 圖 3-7：以物件構圖而成的產生器，作用於三角形和六邊形的起始結構。. 圖 3-7 多邊形起始結構之範例(2). 2. 放射線： (1) 圖 3-8：以線段構圖而成的產生器，作用於放射線的起始結構，造成重疊的部分，互相交錯產生特殊的效果，上圖在中心交錯構成一個圓且有順時針方向旋轉的感覺，下圖則出現內密外疏，類似花的圖案。. 圖 3-8 放射線起始結構之範例(1). (2) 圖 3-9：以物件構圖而成的產生器，作用於放射線的起始結構，重疊的區域隨著放射線段的數量增大，適當調整顏色與透明度更能顯現出交錯的美感。. 26.

(38) 圖 3-9 放射線起始結構之範例(2). 3. 格線： (1) 圖 3-10：以線段構圖而成的產生器，作用於格線的起始結構。上圖的結果線段交錯產生看似風車的圖案，下圖則巧妙地互相連接，邊緣的幾個線頭皆可沿著彎曲的線走至另一面的線頭。. 圖 3-10 格線起始結構之範例(1). (2) 圖 3-11：以物件構圖而成的產生器，作用於格線的起始結構。雖然是方正的格線，但作用後的結果反而出現斜格線的錯覺，看似歪斜卻仍是直線。. 27.

(39) 圖 3-11 格線起始結構之範例(2). 4. 更複雜結構：除了上述幾種由系統所提供的結構，我們也可以將疊代幾次後所產生的結果當作起始結構。如圖 3-12 中，先以產生器(a)疊代五次，將所得圖形作為起始結構，並以產生器(b)再疊代一次，即構成由數個正方形往內延伸的圖形。. 圖 3-12 更複雜起始結構之範例. 28.

(40) 第四章. 疊代. 4-1 疊代( Recurrent Substitution ) 在數學上，疊代( recurrent substitution )的觀念被廣泛地運用在數學解題、函數表示、電腦演算法，電腦程式語言的架構或一些數學軟體，如 Geometrical Sketchpad ( GSP ) , Logo 等，但在定線複製法中，我們是以視覺化的角度來解釋所謂的疊代關係。在此節我們以設計產生器來呈現疊代的產生過程，並說明如何透過定線複製法以簡單的產生器與起始結構，產生「疊代」的效果以及複雜的圖形結構。在第二章曾經提到，當型之中的圖像元型被複製後，其中的線段可以被選擇成為下回合疊代的基準線，為了達到不斷疊代的效果，我們必須指定疊代將發生的位置在哪裡，被指定的線段稱為「疊代線」( recurrent line )，它在疊代過程中扮演重要的角色，使疊代位置固定並適當地銜接每次疊代所產生的圖形。疊代線的數量最少為一條，如圖 4-1 中，產生器由球體與一相切線段所組成，上方線段為疊代線，下方虛線為基準線。每回合疊代根據疊代線與基準線的比例，在球體上產生一個半徑較小的球體，由於疊代線與球體相切，故每個球體是很精確的相切而無疊合，並隨著疊代線與球體的傾斜角度，逐漸以順時針方向往內旋，形成一串以球體疊成的珍珠串，圖 4-2 為前十三回合的疊代過程。. 圖 4-1 珍珠串的產生器. 圖 4-2 珍珠串的疊代過程. 疊代線多於一條的情形，我們以畢達哥拉樹( Pythagorean Tree )為例，見圖 4-3，產生器由一個正方形與兩垂直線段所構成，底下較粗的線段為基準線。上方的兩垂直線為疊代線，即下次疊代的基準線，指定了下回合產生複本的預定位置。前七次的疊代過程 29.