4-1 疊代( Recurrent Substitution )
在數學上，疊代( recurrent substitution )的觀念被廣泛地運用在數學解題、函數表示、
電腦演算法，電腦程式語言的架構或一些數學軟體，如Geometrical Sketchpad ( GSP ) , Logo 等，但在定線複製法中，我們是以視覺化的角度來解釋所謂的疊代關係。在此節 我們以設計產生器來呈現疊代的產生過程，並說明如何透過定線複製法以簡單的產生器 與起始結構，產生「疊代」的效果以及複雜的圖形結構。
在第二章曾經提到，當型之中的圖像元型被複製後，其中的線段可以被選擇成為下 回合疊代的基準線，為了達到不斷疊代的效果，我們必須指定疊代將發生的位置在哪 裡，被指定的線段稱為「疊代線」( recurrent line )，它在疊代過程中扮演重要的角色，
使疊代位置固定並適當地銜接每次疊代所產生的圖形。
疊代線的數量最少為一條，如圖 4-1 中，產生器由球體與一相切線段所組成，上方 線段為疊代線，下方虛線為基準線。每回合疊代根據疊代線與基準線的比例，在球體上 產生一個半徑較小的球體，由於疊代線與球體相切，故每個球體是很精確的相切而無疊 合，並隨著疊代線與球體的傾斜角度，逐漸以順時針方向往內旋，形成一串以球體疊成 的珍珠串，圖4-2 為前十三回合的疊代過程。
疊代線多於一條的情形，我們以畢達哥拉樹( Pythagorean Tree )為例，見圖 4-3，產 生器由一個正方形與兩垂直線段所構成，底下較粗的線段為基準線。上方的兩垂直線為 疊代線，即下次疊代的基準線，指定了下回合產生複本的預定位置。前七次的疊代過程
圖4-1 珍珠串的產生器
圖4-2 珍珠串的疊代過程
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如圖4-4 所示，可看出疊代線使得每次疊代所產生的圖形緊密地連接在一起，最後構成 類似樹的圖形，故稱為「畢達哥拉樹」。
4-2 收縮映射( Contraction Mapping )
收縮映射( contraction mapping )是經過收縮變換，使得空間上任意兩點之間的距離 減小的映射，反覆疊代後收斂到一個極限圖形。圖4-5，在正三角形 ABC 中放置兩個小 正三角形BDE 與 CFG，讓兩個小正三角形與正三角形 ABC 其中兩個角疊合，並將小正 三角形的頂點與左端點產生連線，即DF 為疊代線(或將小正三角形的頂點與右端點產生 連線，即EG為疊代線)，以正三角形 ABC、疊代線DF 、基準線BC(較粗虛線所表示) 構成產生器，反覆疊代往內產生與自己互切且縮小的複本，越縮越小直到收斂狀態(如 圖4-6 最左)，就是收縮映射的一個例子。不僅是正三角形，正多邊形也可達到相同的收 斂狀態，見圖4-6。
圖4-3 畢達哥拉樹的產生器
圖4-4 畢達哥拉樹的成長過程
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除了相切的例子，相互重疊也是被允許的，如圖4-7，由半月形逐漸縮小至收斂後，
產生類似鸚鵡螺的圖(e)。
4-3 古典碎形( Classical Fractals )
在1967 年，碎形幾何之父 Mandelbrot 發表碎形之前，就已經有許多數學家創造了 符合碎形自我相似與無限延展等特徵的規則數理圖形，如Georg Cantor (1872)，Guiseppe Peano (1890)，David Hilbert (1891)，Helge von Koch (1904)等等，這些圖形可說是發展碎 形幾何的基礎，也是規則碎形的典範[48]。
有別於使用特殊軟體或程式語言，如JAVA 或 C++等來幫助繁複而大量的計算以產 生碎形，在本節我們將探討如何以定線複製法或定框複製法來重現這些古典碎形，完全 不需具備程式語言的背景知識，只依靠視覺化的操作便可完成大部分的圖形，是我們的 主要目的。
在產生碎形的過程中，每次疊代所產生的線段皆為下回合將產生疊代的疊代線，疊 代無限多次後達到收斂狀態始停止。有些古典碎形我們可以找出它的複製規則，並以定 線複製法的眼光來產生(見附錄三)，通常具有幾個特性：
圖4-5 收縮映射的產生器
圖4-6 Contraction Mappings
圖4-7 鸚鵡螺
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1. 產生器中的型在疊代前後，與基準線的起始點保持不變。
例如圖 4-8 的 Koch Antisnowflake，每一回合疊代之後會有三個頂點保持不變，
即基準線的起始點，因此我們將第一回合的三個頂點相連，如圖 4-9 中虛線所示，
將起始結構切割成三線段後互相比對，就可得到產生器中的型了。
但其中有些古典碎形的複製規格較難以發現，使得切割難度變高。
2. 部分線段為雙向線段。
如4-10 的 Ice Fractal 中，每次疊代所產生的 V 字線段，實為兩雙向線段，因此 在下回合疊代時，會往兩側生長，此類碎形具有對稱性質。
3. 每次疊代後旋轉某個角度。
如圖 4-11 的 Peano-Gosper Curve，若將左下的起點與右上的終點虛線相連，會發 現每經過一次回合，這條虛線就以逆時針方向旋轉某個角度，但仍是一筆畫的圖。
圖4-12 的 Sierpinski Arrowhead Curve，也是在每次疊代後旋轉某個角度，在圖 4-13 我們可以看到Sierpinski Arrowhead Curve 未經旋轉的前五次疊代過程，其實圖案
圖4-8 Koch Antisnowflake
圖4-9 切割線段並比對找出產生器中的型
圖4-10 Ice Fractal
圖4-11 Peano-Gosper Curve
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是一樣的。
4. 除疊代的線段之外，額外添加某些連接線段。
如圖4-14 的 Hilbert Curve 與圖 4-15 的 S-Shaped Peano Curve 中，除了圖形本身 的疊代之外，連接的粗線段也同時在疊代，因此必須加入「merge」的步驟。
圖4-12 Sierpinski Arrowhead Curve
圖4-13 Sierpinski Arrowhead Curve 的產生過程
圖4-14 Hilbert Curve
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這類的碎形，其產生過程可視為多台影印機負責不同部分的圖形變換，但卻是同時 進行影印的工作，稱為「Networked MRCMs」[31]。
4-4 仿自然( Artificial Nature )
自然界中的碎形，如植物類的樹木與草、山與岩石的形狀、雲的外觀等等，都具有 自我相似的特性，而我們的定線複製法，不斷地以相同的型取代線段，使得整體與局部 架構同樣具有自我相似的特性，因此，以定線複製法來仿造自然界的碎形，是可以保有 自我相似的。
4-4-1 古典型
首先，我們以五條等長線段構成樹木的雛型，作為產生器中的型，並取與型等高的 線段作為基準線，那麼，產生器就完成如圖4-16 右上。在以下的例子中，我們皆以一 條直線作為起始結構來進行疊代。樹或矮灌木叢( bush )的例子皆以鉛直線進行。圖 4-20 為前五回合的疊代過程。
圖4-15 S-Shaped Peano Curve
圖4-16 基準線與型等高的樹
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能構成樹的型必須有「枝幹」，疊代後才會有所謂的樹幹出現；型的架構中，線段 數目越多，產生的樹越濃密，若線段的分布偏向某一方，則會造成疏與密的差異，如圖 4-17，型的左邊線段多於右邊，使得最後會呈現左密右疏的狀態，其實這是可以從型的 架構預測得到的。圖4-18 為其他不同產生器所對應產生的樹之範例。
4-4-2 草
從樹木的範例中，透過型的改變，樹葉的部份可以從頂端逐漸下移到接近根部的位 置，根據植物的特性，草是越靠近根部越為濃密的一種植物，因此我們只要加強根部的 茂密程度，便可模擬出草的構造。
圖4-18 不同的產生器所對應的樹 圖4-17 左密右疏的樹
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4-4-3 水草
據觀察，型的構造主宰著整棵植物的主要外觀。以九條線段構成圖 4-20 中類似ψ 的 型，連接根部與最頂端作為基準線，作用於稍微傾斜的一直線上，在四回合疊代後產生 一株在水中搖曳的水草。與圖4-20 同樣的型，但以不同的基準線作組合，如圖 4-21 中，
五株水草的外觀是完全不同類型，但靠近仔細地看每個細微的部份，卻還是相同的，都 是型的縮圖。
4-4-4 擬山擬雲
在定線複製法模擬山或雲的過程中，起始結構仍是簡單的一條直線，產生器中的型 由四條線段構成，如圖4-22(a)，經過三至四次的疊代後，逐漸出現山或岩石所獨具有稜 有角的外型。若在最後一次疊代時，以弧線當作型，如圖4-22(b)，以定線複製法取代所
圖4-19 草之成長過程
圖4-20 水草
圖4-21 同型不同基準線的五株水草
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有的線段之後，將原本的稜角轉為圓滑的蓬鬆感，便出現了類似雲的造型。同樣地，以 圖4-22(c)的曲線來取代原有的線段，又是另一種山岩的樣子。
4-4-5 輕微的差異
根據前幾節，我們已經知道型對於疊代結果是會產生影響的，在這一節將呈現只要 對型稍作微小的改變，所造成的差異會是多麼地超乎想像。在圖4-23 中，將型(a)的左 右線段往內壓即得到型(b)，而這輕微的擠壓，卻使得最後結果迥然不同。
圖4-24 之中的三種型，線段數目是相同的，三者之間的差異在於高度與彎曲程度，其 中圖右的型是最高最彎的，這個特徵也顯現於最後的疊代結果。
(a)
(b)
(c) (a)
(b)
(c)
圖4-22 以定線複製模擬山或雲的外觀
圖4-23 型之改變對結果的影響(1)
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除此，我們還可以賦予線段「鏡射」的屬性，當疊代過程中遇到具備此性質的線段，
是以鏡射變換來處理的，圖4-25 中，我們在同樣的產生器中，選擇不同的線段並賦予 鏡射的性質，得到七棵類似國畫裡的老樹。
圖4-24 型之改變對結果的影響(2)
圖4-25 鏡射性質所產生之老樹
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