定線複製法的特點
定線複製法以視覺化的方式提供相似變換所需要的訊息，讓我們能夠在一般的構圖 平台上，以手動的方式完成定點位移、定角旋轉、定長縮放，以及定線鏡射的動作。操 作者只需要告訴定線複製法相關定位訊息的所在即可，不需要直接輸入相似變換所需要 的位置、角度及縮放比例等數值資料。更重要的是，不需要直接運用滑鼠處理平移、旋 轉、縮放及鏡射，解決了滑鼠操作的不確定性與不準確性，也節省了大量的人力操作。
定線複製法提供一個通用型的繪圖環境，產生器與起始結構和系統本身並沒有任何 的關聯，所有的型或結構都是自由規格，可運用各種方法產生。此一特性可提供使用者 更具彈性的繪圖空間。比如：幾何對稱構圖、密鋪結構性強，自我相似圖、仿自然及視 覺設計結構性弱。
設計自我相似圖時，如仿自然，產生器的圖像和最後的結果之間有著相似的感覺，
不過這種感覺並非都非常的強烈，有其模糊性，似乎可以掌握，又不確定。這一個特性 讓使用者設計圖像時有依循的方向，產生的結果卻往往充滿驚奇，這是其他設計自我相 似圖的軟體無法提供的。
疊代往往需要大量的計算，因此何時停止繼續疊代，是一個重要的課題。在數學的 上，當疊代無窮多次後W(A ) A∞ = ，即稱為達到收斂狀態－數學概念上的收斂。在數值 計算上，我們可以定義一個容忍程度，決定收斂的時機－數值計算上的收斂。如果計算 的結果需要數位化後呈現在電腦螢幕上，那麼容忍的程度就更為寬鬆－數位呈現上的收 斂。以定線複製法疊代繪製圖像時，由於線段具有「素描」的效果，在幾個循環之後，
畫面上的圖像雖然仍在變動中，圖像已經能讓人有所感覺－視覺上的收斂，這是定線複 製法的一個特色。
未來研發方向
1. 多元產生器的設計
單一的產生器所能繪製的圖像比較單純，然而，在我們的生活中所見到的圖像大部 份是由多種結構所構成，比如大樹的整體形象是由樹幹及較粗的枝幹所構成，它們和細 枝及新芽，結構是不同的。如何運用多元產生器設計圖案的主要結構，次要結構，以至 於末梢微型結構。
71
2. 起始結構中屬性的設置
當起始結構與產生結構中的線段具備多種屬性時，可讓不同的產生器在不同屬性的 起始結構上作用，創造更為複雜精緻的圖案。如圖4-25，是我們在產生器的各個線段中 賦予不同的「鏡射」組合，產生一系列的圖形變化。屬性的設計與掌控，可協助構圖。
3. 定線複製法、定框複製法與其他複製法則之結合
本文所探討之定線複製法，主要是以「線段」作為基準，呈現視覺上的相似變換；
Structural Self-clone Method 中的「定框複製法( Frame-Based Duplication )」，以「框」為 基準，可以處理仿射變換，它的作用比定線複製法強，但是視覺效果不好，操作不易。
如何結合兩者特點，研發更具效果的繪圖環境是未來必要的工作之一。
4. 與繪圖專業軟體結合
PowerPoint 只提供簡單的繪圖功能，我們將定線複製法外掛在該軟體上，本文所有 的構圖，都是運用外掛於PowerPoint 的 MathPS 所繪製而成。簡單的功能，已經能夠發 揮如此強的效益，如果能夠結合繪圖專業軟體，那麼所產生的人力效益將更為強大。
5. 視覺知覺之研究
對於所繪製的結果，使用者時常會自動產生一種「感覺像某種事物」的圖像感覺，
針對視覺知覺這方面的研究，我們可以再作更進一步的探討。
表8-1 多元產生器之運用
72
參考文獻
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75
附錄一 五種網狀系統
重複圖樣的背後必存在由平移基底 u 和 v(見 1-2-3)所組成的網格或網狀系統，這兩 組平行線共可產生五種網狀系統：
(1) 鄰邊不等之斜平行四邊形 可能的對稱只有180 旋轉。 o
(2) 矩形
可能的對稱有180 旋轉，單邊或雙邊的鏡射及滑動鏡射。 o
(3) 不含60 角之菱形(中心矩形網狀系統) o
由於菱形的兩對角線是互相垂直且等分，可視為有中心的矩形，故又稱「中 心矩形網狀系統」，可能的對稱有180 旋轉與鏡射。 o
圖1 鄰邊不等之斜平行四邊形 資料來源：伊斯蘭的幾何藝術
圖2 矩形
資料來源：伊斯蘭的幾何藝術
圖3 不含60o角之菱形與中心矩形 資料來源：伊斯蘭的幾何藝術
76
(4) 正方形
可能的對稱有90 或 o 180 旋轉，o 45 或o 90 鏡射。o
(5) 含60 角之菱形(六邊形網狀系統) o
這種特殊菱形可被分為兩個正三角形，而環繞一個點的六個正三角形可聚集成 為一個六邊形，故又稱「六邊形網狀系統」，可能的對稱有60 、o 120 、o 180 旋轉與o 60o 倍角之鏡射與滑動鏡射。
資料來源：
[1] Armstrong, M. A., Groups and Symmetry, Springer-Verlag, 1988.
[2]塞伊德․蔣․阿巴斯( Syed Jan Abas )，阿默․夏克爾․薩爾曼( Amer Shaker Salman ) 著，伊斯蘭的幾何藝術，廖純中譯，左岸文化，台北，2004。
[3] Victor Ostromoukhov, Mathematical Tools for Computer-Generated Ornamental Patterns, Artistic Imaging and Digital Typography, Lecture Notes in Computer Science 1375, Spring Verlag, pp.193-223, 1998.
圖4 正方形
資料來源：伊斯蘭的幾何藝術
圖5 含60o角之菱形與六邊形 資料來源：伊斯蘭的幾何藝術
77
附錄二 十七種圖樣型態
即十七種二維圖樣，每種圖樣只出現在特定的網狀系統，如表 1 所示：
表1 單位格子形狀與圖樣型態之對應表
單位格子形狀 圖樣型態
平行四邊形 p1, p2
矩形 pm, pg, pmm, pmg, pgg, cm, cmm
菱形 cm, cmm
正方形 p4, p4m, p4g
六邊形 p3, p3m1, p31m, p6, p6m
以下將介紹「拼貼磁磚式演算法」之表示法，並以此呈現這十七種圖樣形態。表示 法所使用的符號意義如下所示：
(1)「T」表示樣本磁磚，即單位格子的形狀。
(2)「TH」與「T 」分別表示以水平或垂直方向為軸將 T 鏡射所得之磁磚。 v (3)「TAB」表示以線段AB 為軸將 T 鏡射所得之磁磚。
(4)「T 」表示將 T 上下顛倒所得之磁磚。 ∏
(5)「TθP」表示將T 繞著點 P 旋轉θ 角度所得之磁磚。
(6)「+」表示將兩個磁磚拼貼在一起的動作。
(7)「U」表示單位磁磚，可能由數個樣本磁磚所拼貼而成。
對於每一種圖樣，我們必須暸解單位磁磚之拼貼過程，包括旋轉與鏡射的方式等 等，並注意每個樣本磁磚的方向。
(1) p1
T = 任意平行四邊形 U = T
圖6 p1
78
(2) p2
(3) pm
(4) pg
(5) pmm
圖10 pmm
T = 任意矩形
U = T+T +v T +∏ TH 圖9 pg
T = 任意矩形
U = T+TH
圖8 pm
T = 任意矩形
U = T+T v
圖7 p2
T = 任意三角形 U = T+T ∏
79
(6) pmg
(7) pgg
(8) cm
圖13 cm
T = 任意矩形
U = T+T +T+v T v T = 任意等腰三角形 U = T+T v
圖12 pgg
T = 任意矩形
U = T+TH+T +∏ Tv
圖11 pmg
T = 任意矩形
U = T+T +v TH+T∏
80
(9) cmm
(10) p4
T = 任意正方形 U = T+T90O+T180O+T270O
圖15 p4
T = 任意直角三角形 U = T+T +v T +∏ TH
圖14 cmm
T = 任意矩形
U = T+T +∏ TH+T v +T +T+∏ T +v TH
81
(11) p4m
(12) p4g
(13) p3
圖18 p3
T = 任意60 ,o 120 菱形 o U = T+T120O +T240O
T = 任意等腰直角三角形 TBC
T T1= +
U = 1T +T1 +O90 T1 +180O T1 O270
圖17 p4g
T = 任意等腰直角三角形
TAB
T T1= +
U = 1T +T1 +90B T1 +180B T1 B270
圖16 p4m
82
(14) p3m1
(15) p31m
(16) p6
T = 任意底角為30 之等腰三角形 o
O 240 O
120 +T T + T 1= T
U = T1+T1∏
圖21 p6 圖20 p31m
T = 任意底角為30 o 之等腰三角形
TAB
T T1= +
U = T1+T1 +O120 T1 O240
T = 任意正三角形
TOP
T T = +
U = T+T120O +T240O
圖19 p3m1
83
(17) p6m
資料來源：
[1] Armstrong, M. A., Groups and Symmetry, Springer-Verlag, 1988.
[2] Grünbaum, B., Shephard, G. C., Tilings and Patterns, W. H. Freeman and Company, New York, 1987.
[3] Shubnikov, A. V., Koptsik, V. A., Symmetry in science and art, Plenum Press, New York, 1974.
[4]塞伊德․蔣․阿巴斯( Syed Jan Abas )，阿默․夏克爾․薩爾曼( Amer Shaker Salman ) 著，伊斯蘭的幾何藝術，廖純中譯，左岸文化，台北，2004。
T = 任意30 ,o 60 ,o 90 o 之直角三角形
TV
T T1= +
O 240 O
120 +T1 T1
+ T1 2= T
U = T2+T2∏
P
P U
U U
U2 = + 120 + 240
圖22 p6m
84
附錄三 古典碎形之產生器分析
Koch Snowflake
L-systems MathPS Axiom ：F++F++F
Production Rules：F → F++F++F
＋ → ＋
－ → －
Parameter ：δ 60degrees = 【Line-Based Duplication】
Koch Antisnowflake
L-systems MathPS Axiom ：F--F--F
Production Rules：F → F-F++F-F
＋ → ＋
－ → －
Parameter ：δ 60degrees = 【Line-Based Duplication】
85
Cesàro Fractal
L-systems MathPS Axiom ：F+++F+++F
Production Rules：F→F++F----F++F
＋ → ＋
－ → －
Parameter ：δ 30degrees = 【Line-Based Duplication】
Minkowski Sausage
L-systems MathPS Axiom ：F+2F+2F+2F
Production Rules：F → −1F+2F−2F
＋ → ＋
－ → － Parameter ：δ1≒27degrees
2 =
δ 90degrees
【Line-Based Duplication】
86
Exterior Snowflake
L-systems MathPS Axiom ：F+F+F+F+F+F
Production Rules：F→F+F--F+F
＋ → ＋
－ → －
Parameter ：δ 60degrees = 【Line-Based Duplication】
Cross-Stitch Curve
L-systems MathPS Axiom ：F-F-F-F
Production Rules：F → F+F-F-F+F
＋ → ＋
－ → － Parameter ：δ 90degrees =
【Line-Based Duplication】
87
Levy Tapestry
L-systems MathPS Axiom ：F+F+F+F
Production Rules：F → E-F-E+E-F-E ++E-F-E+E-F-E where |F|=2|E|
＋ → ＋
－ → － Parameter ：δ 90degrees =
【Line-Based Duplication】
Ice Fractal
L-systems MathPS Axiom ：F++F++F
Production Rules：F → F--E+++E--E +++E--F where |F|=2|E|
＋ → ＋
－ → － Parameter ：δ 60degrees =
【Line-Based Duplication】
88
Hilbert Curve
L-systems MathPS
Axiom ：L
Production Rules：L → +RF-LFL-FR+
R → -LF+RFR+FL- F → F
＋ → ＋
－ → －
Parameter ：δ 90degrees = 【Line-Based Duplication】
merge
S-Shaped Peano Curve
L-systems MathPS Axiom ：S
Production Rules：S→SFZFS+F
+ZFSFZ-F-SFZFS Z→ZFSFZ-F
-SFZFS+F+ZFSFZ F → F
＋ → ＋
－ → － Parameter ：δ 90degrees =
【Line-Based Duplication】
merge
89
Peano Curve
L-systems MathPS
Axiom ：F
Production Rules：F → FF+F+F +FF+F+F-F
＋ → ＋
－ → － Parameter ：δ 90degrees =
【Line-Based Duplication】
Peano-Gosper Curve
L-systems MathPS Axiom ：F
Production Rules：F → -F+ F + F -F -FF- F +
＋ → ＋
－ → －
Parameter ：δ =60degrees 【Line-Based Duplication】
90
Sierpinski Arrowhead Curve
L-systems MathPS Axiom ：L ( +F-F-F+ )
Production Rules：L → +R-L-R+
R → -L+R+L-
＋ → ＋
－ → － Parameter ：δ 60degrees =
【Line-Based Duplication】
Levy Fractal
L-systems MathPS Axiom ：-F+F+F-
Production Rules：F → E-F-E+E-F-E ++E-F-E+E-F-E where |F|=2|E|
＋ → ＋
－ → － Parameter ：δ 90degrees =
【Line-Based Duplication】
91
H-Fractal
L-systems MathPS
Axiom ：F ( F F ) Production Rules：F→
＋ → ＋
－ → － Parameter ：δ 90degrees =
【Line-Based Duplication】
92
Sierpinski Sieve / Sierpinski Gasket
L-systems MathPS
【Line-Based Duplication】
Axiom ：FXF++FF++FF Production Rules：F → FF
X → ++FXF—FXF --FXF++
＋ → ＋
－ → － Parameter ：δ 60degrees =
【Frame-Based Duplication】
Iterated Function System
r =1/2
93
Sierpinski Carpet
L-systems MathPS
【Frame-Based Duplication】
【Frame-Based Duplication】