當我們想複製規格相同或相似的物件至預定位置時，對於複雜繁瑣的物件群而言，
以手工操作滑鼠來移動物件，容易產生不可避免的誤差，此時以定線複製法來輔助並設 計適當的起始結構就可控制複本產生的精確位置。
3-1 相似變換( Similar Transformations )
在第一章曾經提到：相似變換是由等向縮放、旋轉、平移、鏡射所構成。物件透過 相似變換可能被放大縮小、被旋轉某個角度、或被平移到新的位置，而產生與原物件相 似的複本。在本節我們將說明如何使用定線複製法來呈現這四種變換。
由於定線複製法的主要概念是根據基準線與型之間的相對關係，複製與型相似的複 本到起始結構上，那麼當產生器(基準線與型的相對位置)已被設計好時，起始結構便控 制了將複本的變換類型。若起始結構只是一條線段時，將線段拉長或縮短，會使複本產 生等向縮放的效果；將線段旋轉一個角度，會使複本產生旋轉的效果；將線段移動一段 距離，會使複本產生平移的效果；對線段做鏡射，則會產生上下顛倒或左右顛倒的複本。
這四種變換除了可單獨使用，也可結合運用，但不同的順序會導致不同的結果，譬如：
「先鏡射再平移」與「先平移再鏡射」是完全不同的，如圖3-1 之範例，灰色為起始圖 形，比較圖(a)與圖(b)的最後結果，會發現位置並不相同。
3-2 一致性圖案( Uniform Pictures )
由上述知道，起始結構中的各線段無論是經過平移或旋轉，只要保持每條線段皆等 長，透過定線複製法就可一次產生數個規格完全相同的圖形。如下圖(a)，我們想要在點 與點之間加入規格相同的箭頭，即圖(b)的效果。
圖3-1 (a) 先鏡射再平移 (b) 先平移再鏡射
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只需在點與點之間產生連線，並且設計想要的箭頭格式，如圖3-3 (b)，然後使用定線複 製法，以箭頭取代圖3-3 (a) 中的每條線段，便可完成圖 3-2 (b)。
3-3 應用( Applications )
3-3-1 圖型學繪圖( Graphs )
在數學的領域裡，常常出現由相同的圖形元素所構成的圖，例如圖型學或鋪磁磚 ( tiling )問題等，具有規律的特性。在圖型學中，當探討尤拉迴圈( Eulerian trails )或漢彌 爾頓圈( Hamilton cycles )等問題時，我們常以圖形描繪點與點之間的連線情形來輔助解 題，但是如何才能將點與點之間的連線畫得既平滑又精準，卻總是困擾著使用者，本節 介紹使用定線複製法所繪製的這類圖形。
圖3-4 The flower Snark Jn, for n=1,2,3,4
(a) (b) 圖 3-2 (a) 原始結構 (b) 想達到的效果
(a) (b) 圖 3-3 (a) 起始結構 (b) 產生器
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3-3-2 視覺設計( Visual Design )
如果我們對於起始結構稍加設計，使它具有對稱性或安排巧妙的位置，例如：多邊 形、放射線、格線、方陣等基本結構(如圖 3-5)，再適當地調整產生器的構圖、顏色、透 明度等，便能在視覺效果上製造出恰好連接(如圖 3-10)或重疊的美感(如圖 3-8, 3-9)，甚 至是具有錯覺的圖形。
1. 多邊形：
(1) 圖 3-6：以線段構圖而成的產生器，作用於正五邊形和十一邊形的起始結構 後，產生星狀以及花瓣圖案。
圖3-5 起始結構的類型
圖3-6 多邊形起始結構之範例(1)
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(2) 圖 3-7：以物件構圖而成的產生器，作用於三角形和六邊形的起始結構。
2. 放射線：
(1) 圖 3-8：以線段構圖而成的產生器，作用於放射線的起始結構，造成重疊的 部分，互相交錯產生特殊的效果，上圖在中心交錯構成一個圓且有順時針方 向旋轉的感覺，下圖則出現內密外疏，類似花的圖案。
(2) 圖 3-9：以物件構圖而成的產生器，作用於放射線的起始結構，重疊的區域 隨著放射線段的數量增大，適當調整顏色與透明度更能顯現出交錯的美感。
圖3-7 多邊形起始結構之範例(2)
圖3-8 放射線起始結構之範例(1)
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3. 格線：
(1) 圖 3-10：以線段構圖而成的產生器，作用於格線的起始結構。上圖的結果線 段交錯產生看似風車的圖案，下圖則巧妙地互相連接，邊緣的幾個線頭皆可 沿著彎曲的線走至另一面的線頭。
(2) 圖 3-11：以物件構圖而成的產生器，作用於格線的起始結構。雖然是方正的 格線，但作用後的結果反而出現斜格線的錯覺，看似歪斜卻仍是直線。
圖3-9 放射線起始結構之範例(2)
圖3-10 格線起始結構之範例(1)
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4. 更複雜結構：除了上述幾種由系統所提供的結構，我們也可以將疊代幾次後所產 生的結果當作起始結構。如圖3-12 中，先以產生器(a)疊代五次，將所得圖形作為 起始結構，並以產生器(b)再疊代一次，即構成由數個正方形往內延伸的圖形。
圖3-11 格線起始結構之範例(2)
圖3-12 更複雜起始結構之範例
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