第二章 文獻探討
第二節 多方塊（Polyominoes）的探討
究者根據其著作《Polyominoes—Puzzles, Patterns, Problems, and Packings Revised and expanded second edition》為主，再參閱其他書籍及網站將多方塊 拼塊的問題大致分為三類，如表2-2-1。
例：雙格方塊（domino）和三格方塊（Trimino）
和 的組合有幾種？
（續後頁）
表 2-2-1 多方塊拼塊的種類（接前頁）
（一）第一類 組合：方塊組合的種類、個數及分析。
3. 分析：組合圖形的種類分析。
例：九格方塊中圖形中有圍成洞的個數？
……等等。
（二）第二類 拼圖：
1. 自體拼圖：全部圖形均由自體所拼成，分成平移和旋轉兩種。
例(1)：平移九格方塊所拼成。
……等等。
例(2)：旋轉平移九格方塊所拼成。
……等等。
2. 矛盾拼圖：
例(1)：在8x8的棋盤中分別挖去下(圖1)、(圖2)陰影部份之2小格，能否將31 塊雙格方塊填滿其它空格？為什麼？這個問題曾被當作研究所入學 考試題目。
(圖1) (圖2)
（續後頁）
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表 2-2-1 多方塊拼塊的種類（接前頁）
（二）第二類 拼圖：
例(2)：在 8x8 的棋盤中，最少分別要挖去幾小格才能使得連一片F、L、I、
P、N、T、U、V、W、X、Y、Z都放不進去。
3. 同組拼圖：只由同一組多方塊產生的種類拼成的圖形 例(1)：五格方塊(12個)所拼成的下列圖形。
6×10圖形
5×12圖形
4×15圖形
其他圖形
……等等。
例(2)：有關五方塊最具挑戰性的一個問題是：用全部的12片五方塊拼成一 個圖形，使它恰好可以不重疊地貼滿一個正六面體的表面。
4. 多組拼圖：由多組多方塊產生的種類拼成的圖形
例：從單方塊到五方塊面積共為(5×12+4×5+3×2+2×1+1×2=90)單位，您能將 它拼成 15x6 矩形嗎？
（續後頁）
答案： 都是 16 格。
表 2-2-1 多方塊拼塊的種類（接前頁）
（三）第三類 多方塊問題的延伸：
1. 方塊的因數與倍數：中華民國第44屆中小學科學展覽會(數學組第三名)。
例：16的因數為 1, 2 , 4 , 8 ,16。
註：找到的多方塊圖形，可單獨使用拼出16格的正方形，為其因數圖形。
2. 方塊的對稱與旋轉：在操作過程中學生自然學習對稱與旋轉概念。
例：對稱與旋轉的拼圖，如以下圖形。
3. 圍面積：
例：五格方塊組合如何圍可圍成最大面積？
4. 其他單位正多邊形方塊的組合，及特殊形狀的組合 例(1)：正三角形方塊組合
……等等。
例(2)：正五角形方塊組合
……等等。
因數圖形有：
共 13 種。
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由以上的分類研究者從中選取「組合」中的多個單位方塊組合圖形來作 教學，因其組合結構較不易馬上被發現，難易度也適合國中學生，也很適合 用來發現學生解題策略。
三、多方塊組合的探討
（一）多方塊的拼塊方法
只有一個方塊，我們稱之為”單格方塊（Monomino）”,；而由兩個方 塊組成的，稱之為”雙格方塊（domino）”；三個方塊組成為”三格方塊
（Trimino）”；四個方塊組成”四格方塊（Tetronomo）”；五個方塊組成為”
五格方塊（Pentomino）”；六個方塊組成為”六格方塊（Hexomino）”……。
多方塊（Polyominoes）是一數學名詞，它是一些將數個單位正方形以邊相 連接而成的幾何形狀。字首的數字指出這組形狀是由多少數量之正方形組 成。連接的正方形數愈多，則同組的成員愈多。其中每一個方塊至少與其 他方塊中的一個有一個共用邊，並且當圖形有旋轉或對稱的狀況時，亦屬 於同一個圖形，只能算是一個圖形，如下表2-2-2，後其餘以此類推。
表 2-2-2 多方塊組合、旋轉及對稱說明表 例 1：雙格方塊的排法：(方塊要有共用邊)
例 2：旋轉後的圖形如果相同亦屬於同一種：
例 3：對稱的圖形亦屬於同一種：
(是對的) (是錯的) (是錯的)
(順時針 180 度)
(順時針 90) (順時針 270 度) (順時針 0 度)
(上下對稱：同一種) (左右對稱：同一種)
（二）多方塊的拼塊過程
在《Polyominoes-Puzzles, Patterns, Problems, and Packings Revised and expanded second edition》書中說明多方塊的組合方式為逐一的增加方 塊數，來找尋方塊的全部組合，其說明如表2-2-3。
表 2-2-3 多方塊組合流程表
1. 由一個方塊為基礎再找兩個方塊它能排出幾種組合，如下圖所示。
Æ (一種)
Æ (一種) 所以兩個方塊能擺出的只有一種組合。
2. 兩個方塊加上一個方塊，三個方塊能組合多少種組合，以二個方塊 為基礎，順時針再加上一個方塊，如下圖所示。
Æ (共兩種)
三格方塊總共會有兩種組合，其他只是角度的不同，其實是一樣 的，轉動後的結果是相同的。
（續後頁）
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表 2-2-3 多方塊組合流程表（接前頁）
3. 四格方塊的組合，用以上兩種三個方塊的基本圖形，再增加一個方 塊組合成的圖形如下圖所示。
（基本型一）用基本型再加一個方塊去組合。
（找出有三種組合）
（基本型二） 用基本型再加一個方塊去組合。
（找出有兩種組合）
歸納檢查圖形的種類，刪除旋轉及對稱圖形後我們發現四格方塊總共 只會有以上的五種組合的圖形。
4. 至於五格方塊及六格方塊的所有組合亦可由此方法依此類推……
全部找出。
（三）現在用以上的方法將一格方塊到六格方塊個方塊組合的圖形列出，
如表2-2-4所示。
表 2-2-4 多方塊的組合圖形表 方塊數
（組別）
組合圖形
（個數）
組合圖形
（種類）
1 1 2 1 3 2
4 5
5 12
6 35
16