多方塊虛擬教具的開發與教學研究
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(2) 多方塊虛擬教具的開發與教學研究 Research on the development and teaching of virtual manipulative – Example of polyominoes explorations. 研 究 生：王智弘. Student：Chih-Hung Wang. 指導教授：袁. Advisor：Yuan Yuan. 媛. 國 立 交 通 大 學 理學院網路學習學程 碩 士 論 文. A Thesis Submitted to Degree Program of E-Learning College of Science National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Degree Program of E-Learning July 2006 Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十五年七月.
(3) 中文摘要. 多. 方. 塊. 虛. 擬. 教. 具. 的. 開. 發. 與. 教. 學. 指導教授：袁. 學生：王智弘. 研. 究. 媛 教授. 國立交通大學理學院專班網路學習組 摘. 要. 本研究主要是使用 Flash 開發一個可以提供國中數學教師進 行多方塊組合教學活動的多方塊數學電子軟體學習平台，可以讓 學生進行多方塊組合樣式的探索活動。進而依據學習相關理論， 對學生實施多方塊組合課程之教學活動，來比較多方塊數學電子 軟體教學環境與傳統教具教學的環境對學習者學習多方塊組合 學習成就的差異，並從教學歷程中觀察學生解題策略的產生及多 方塊數學電子軟體教學對學生學習的影響。 本研究採不等組前後測準實驗研究設計，以台北縣一所國中的 兩個班級學生為研究樣本，實驗組的學生接受多方塊數學電子軟 體教學，控制組的學生接受對等的傳統教具教學，並以研究者自 行設計之多方塊組合測驗、學習單及心得及感想問卷為主要工 具。實驗研究主要發現如下： 一、使用數學電子軟體教學和傳統教具教學對學生學習多方塊組 合的效果具同等效果。 二、在數學電子軟體教學環境下學習多方塊組合的學生中，低分 組學生比高分組學生有較大的進步空間。 三、在數學電子軟體教學環境下學習多方塊組合的學生中，男生 學習表現比女生學習表現好。 四、多方塊數學電子軟教學時學生產生新的數學思維，並在解題 策略上有所成長。 五、使用多方塊電子軟體教學確實可以提升學生的學習興趣。 最後根據研究結果與發現，提出若干建議以做為教師教學改進 與未來研究之參考。 關鍵字：數學、解題、多方塊、虛擬教具 i.
(4) 英文摘要. Research on the development and teaching of virtual manipulative – Example of polyominoes explorations. Student：Chih-Hung Wang. Advisors：Dr. Yuan Yuan. Degree Program of E-Learning of College of Science National Chiao Tung University ABSTRACT This study supplies a virtual manipulative of polyominoes exploration for the students and the mathematical teachers in junior high school in order to support teachers’ mathematical teaching and the student’s exploration. The virtual manipulative was developed by Flash. The purposes of this investigation compare with the diversities of teaching environment, the learning effects, the problem-solving strategies and influence of the students in the virtual manipulative and physical manipulatives. The study applied the nonequivalent–groups pretest–posttest quasi–experimental design. The samples are 60 second-year students from different classes in a junior high school in Taipei County. The researcher randomly selected one class as the experiment group and the other one as the control group. Students in the experiment group were taught by the virtual manipulative. Students in the control group were taught by the physical maniulatives. Major results of this study are as following: 1. The learning effect in experiment group is as effective as in the control group. 2. In the teaching environment of using the virtual manipulative of polyominoes, the low-achieving students have more promotion than high- achieving students. 3. In the teaching environment of using the virtual manipulative of polyominoes, the female students have better performance than male students. 4. The students’ new mathematical thinking and problem-solving strategies grow further when the researcher practice the virtual manipulative of polyominoes exploration in the class. 5. By utilizing the virtual manipulative in class, the students raise their interest in mathematical learning. Based on results of this research, suggestions for teaching and future study were provided. Keyword: mathematics, problem-solving, polyominoes, virtual manipulatives. ii.
(5) 誌. 謝. 風雨過後，坐在窗前，讓微風在臉上徐徐的散步著，遠處的景 色因風雨的洗刷更顯美好，心中的回憶一古腦兒浮現了出來。故事 是這樣開始的，三年前三個昔日同事齊坐茶坊討論著試題，準備隔 日整裝上戰場應戰，然而這次的戰事唯我存活了下來，心中卻留下 了不能患難與共的遺憾，曾有不如歸去的念頭；隔年同事們整裝再 戰也都獲得了勝利。令人欣喜的是我們同時完成了我們的研究，我 們都帶著滿滿的收獲，共同分享彼此的喜悅。 在著手論文期間，首先當仁不讓地，便是要感謝指導教授袁媛 老師，不論是在論文方法的啟迪，或討論中思考的激盪，都使我穫 益良多，且老師嚴謹卻不嚴厲的指導風格，常讓我備感溫暖，也懂 得如何讓我繼續堅持下去，引領著我一步步地走向成功。現在論文 完成了，帶著感恩的心，要對老師說：「老師您辛苦了！」，在這 裏同時也要感謝交通大學李榮耀教授、中央大學單維彰教授，在百 忙中能撥空詳加批閱論文，並提供寶貴意見，讓我的視野更加寬廣。 在研究期間，承蒙我的好朋友劉賢建老師的熱心幫忙及鼓勵， 讓我得以度過挫折與困難，堅持到最後，順利的完成論文，真的非 常的感謝。也要謝謝我們同組成員張世明老師、蔡宜璋老師及謝銘 祥老師，在相互的討論中成長。也要感謝關心我的專班同學們及我 的同事們，有人督促我，有人給我加油，有人給我意見，有人給我 鼓勵，希望我可以早日完成論文，謝謝大家！ 另，在研究生涯中，父親、母親、岳父、岳母以及手足的支持， 讓我備感溫馨，也要謝謝老婆，你真的好累好辛苦，謝謝體貼的女 兒，一起陪我渡過這段研究日子，謝謝大家！ 彩霞滿天，思緒乘風而起，過往種種，終將化為星辰點點，在 心中閃耀不已，當再度回首時，不留下一絲遺憾。. 智弘 謹識 2006 年七月. iii.
(6) 目. 錄 頁次. 中文摘要 ........................................................................................................... i 英文摘要 .......................................................................................................... ii 誌. 謝 .............................................................................................................iii. 目. 錄 ............................................................................................................. iv. 表目錄 ............................................................................................................. vi 圖目錄 ............................................................................................................ vii 第一章 緒論 .................................................................................................... 1 第一節 研究動機...................................................................................... 1 第二節 研究目的和假設 .......................................................................... 3 第三節 名詞釋義...................................................................................... 3 第二章 文獻探討 ............................................................................................. 4 第一節 問題解決能力的探討 ................................................................... 4 第二節 多方塊（Polyominoes）的探討 ................................................... 8 第三節 虛擬教具和實體教具的探討 ..................................................... 17 第三章 研究設計與方法 ................................................................................ 22 第一節 研究設計.................................................................................... 22 第二節 研究對象.................................................................................... 24 第三節 「多方塊組合」數學電子軟體之研究與開發 ........................... 25 第四節 研究工具.................................................................................... 35 第五節 資料分析.................................................................................... 37 第四章 研究結果與討論 ................................................................................ 38 第一節 多方塊組合教學模組實施之後對數學解題的影響.................... 38 第二節 學生歷程和反應分析 ................................................................. 41 第三節 教師的反省與成長 .................................................................... 56 第五章 結論與建議 ....................................................................................... 58 第一節 結論 ........................................................................................... 58 第二節 建議 ........................................................................................... 60 參考文獻 ........................................................................................................ 62 中文部份 ................................................................................................. 62 英文部分 ................................................................................................. 63 附件一 多方塊的平面組合教學設計及學習單 .............................................. 67 附件二 多方塊組合學習多方塊組合測驗 ..................................................... 82 iv.
(7) 附件三 心得及感想問卷 ................................................................................ 90 附件四 多方塊數學電子軟體演示老師評估問卷 .......................................... 91. v.
(8) 表目錄 表 2-1-1 專家對問題分類的定義 .................................................................... 5 表 2-1-2 引用的理論 Polya、Lester、Schoenfekd 和 Mayer 解題的相關研究 .................................................................................................................. 5 表 2-1-3 Polya、Lester、Schoenfekd 和 Mayer 解題歷程探討 ...................... 6 表 2-2-1 多方塊拼塊的種類 ........................................................................... 8 表 2-2-2 多方塊組合、旋轉及對稱說明表 ................................................... 12 表 2-2-3 多方塊組合流程表 ......................................................................... 13 表 2-2-4 多方塊的組合圖形表 ...................................................................... 15 表 2-2-5 多方塊的組合圖形個數表 .............................................................. 16 表 2-3-1 傳統教具的分類 ............................................................................. 17 表 2-3-2 虛擬教具的分類 ............................................................................. 19 表 2-3-3 行動研究探討使用虛擬教具學習數學的效果 ................................. 20 表 3-1-1 不等組前後測準實驗設計 .............................................................. 22 表 3-2-1 研究樣本人數統計表 ...................................................................... 24 表 3-3-1 軟體意見及修正表 ......................................................................... 26 表 3-3-2 方塊按鈕區說明 ............................................................................. 29 表 3-3-3 工具區元件說明 ............................................................................. 30 表 3-3-4 元件功能列表 ................................................................................. 32 表 3-5-1 實驗研究假設的統計方法 .............................................................. 37 表 4-1-1 實驗組與控制組在「多方塊組合測驗」後測表現統計量及差異分析 ........................................................................................................ 38 表 4-1-2 實驗組高分組及低分組「多方塊組合測驗」後測減前測統計量及差 異分析 ............................................................................................ 39 表 4-1-3 實驗組不同性別的學生在「多方塊組合測驗」後測表現統計量及差 異分析 ............................................................................................ 40 表 4-2-1 前測時學生出現重覆圖形統計表 ................................................... 42 表 4-2-2 多方塊組合數學電子軟體教學和傳統教具教學的解題統計表 ...... 45 表 4-2-3 後測時學生出現重覆圖形統計表 ................................................... 49 表 4-2-4 前測和後測學生出現重覆圖形比較表 ........................................... 49 表 4-2-5 傳統教具和數學電子軟體環境的比較 ........................................... 50. vi.
(9) 圖目錄 圖 2-1-1 多方塊的組合的教學歷程 ................................................................ 7 圖 3-1-1 研究流程圖 ..................................................................................... 23 圖 3-3-1 多方塊的歷史介面 ......................................................................... 27 圖 3-3-2 多方塊數學電子軟體工貝說明介面 ................................................ 27 圖 3-3-3 多方塊數學電子軟體操作介面........................................................ 28 圖 3-3-4 方塊按鈕操作後圖示....................................................................... 29 圖 3-3-5 剪開鈕的操作說明 ......................................................................... 30 圖 3-3-6 移動鈕的操作說明 .......................................................................... 31 圖 3-3-7 旋轉鈕的操作說明 ......................................................................... 31 圖 3-3-8 合併鈕的操作說明 .......................................................................... 31 圖 3-3-9 顏色鈕和色塊鈕的操作說明 .......................................................... 32 圖 3-3-10 多方塊教學說明 ............................................................................ 33 圖 3-3-11 方塊總個數操作說明 .................................................................... 33 圖 3-3-12 刪除組合圖形說明........................................................................ 34 圖 4-2-1 阿峰前測的想法 ............................................................................. 42 圖 4-2-2 小盈前測的想法 ............................................................................. 42 圖 4-2-3 小怡前測的想法 ............................................................................. 42 圖 4-2-4 阿緯前測的想法 ............................................................................. 43 圖 4-2-5 累加排列學生的做法 ...................................................................... 44 圖 4-2-6 逐減排列學生的做法 ...................................................................... 44 圖 4-2-7 學生的符號 ..................................................................................... 46 圖 4-2-8 學生會思考到對稱圖形產生 .......................................................... 47 圖 4-2-9 學生會解決對稱產生的問題 .......................................................... 47 圖 4-2-10 實驗組的學生進行分享 ................................................................ 48 圖 4-2-11 學生後測時專注神態 .................................................................... 48 圖 4-2-12 傳統和電子教具拼塊區域比較 ..................................................... 50 圖 4-2-13 傳統和電子教具有無合併功能比較 ............................................. 50 圖 4-2-14 傳統和電子教具有無旋轉功能比較 ............................................. 51 圖 4-2-15. 使用膠水（合併）功能的合併結果 ........................................... 52. 圖 4-2-16 實驗組的學生認真的模樣 ............................................................ 53 圖 4-2-17. 控制組學生組合圖形時較易分心 ............................................... 54. vii.
(10) 第一章 緒論. 數學研究需要問題，問題的解決鍛鍊了研究者的力量，通過解 決問題，他發現新的方法及新觀點並擴大他的世界。 — David Hilbert. 第一節 研究動機 我們相信，假如要學生瞭解數學，從解題中瞭解比直接教學更有幫助。 近年來，政府與民間訴求教育改革，在數學領域方面，教育部也於民國八十 九年公布九年一貫課程暫行綱要，推展以生活為中心、配合學生身心能發展 歷程，能表達、溝通分享知能與問題決解能力的課程與教學。在 1989 年，托 浪斯及其同仁將解決問題產生的創造思考融入美國學校課程與教學的努力視 為「寧靜革命」 （Torrance & Goff, 1989），也就是說解題的教學持續在美國進 行著，解題教學的結果也影響著教學。在 1989 年，美國全國數學教師會（The National Council of Teachers of Mathematics：NCTM）《學校數學課程和評鑑 標準》指出，解題應是「所有數學教學中一個最基本的目標，也是所有數學 活動中不可或缺的部份」，學生應「使用解題方法來探究及瞭解數學內容」。 到 2000 年，NCTM 的《學校數學的原則和標準》更強烈指出「解題不僅是 學習數學的目標，也是主要的學習方法。」過去二十年來，解題一直是數學 家的重要課題，而解題更被數學教育家認為是數學學習的焦點（Kilpatrick, 1978; Silver, 1985; Schoenfeld, 1994）。因此「問題解決」不管是在過去、現 在和未來仍應是數學的核心。當前國內正大力推展教育改革之際，固然遭遇 到許多阻礙與挫折，身為第一陣線的老師若能發展問題本位課程與教學，在 國內當也可能創造另一個「寧靜革命」培養具備批判思考、解決問題、自我 指導學習、與人協同合作等能力的新世紀學生（周天賜，2003）。 教師要如何引導學生從千變萬化的事物（就課程來講，指的是數、量、 形）中，找到一些規律、探討事物變化的一些模式，甚而預測後續的變化呢？ 在七十年代風糜一時的「俄羅斯方塊」遊戲，從觀察我們發現其組合圖形是 由四個小方塊組合而成，陸續在往後的「俄羅斯方塊」的改良版中發現有一 個方塊及兩個方塊組合的加入，甚至有五個方塊組合加入遊戲中。在九章出 版社出版的《多方塊 POLYOMIMOES—多方塊的數學問題、拼圖謎題與遊戲》 中提到「多方塊不僅是好玩的遊戲，它更是數學上幾何學、組合學、圖論等 1.
(11) 有密切的關係，在驗證一些圖形是否能拼出時，我們更常用歸納法、反證法、 抽屜原理、對偶原理等數學上的高等技巧。」這些小方塊的組合讓許多人著 迷。然而，多方塊的組合是非常有挑戰性的，要找出其全部的組合圖形無法 用一般的方法找出，組合時必須找尋規則，而這些規則的關鍵比較難被發現， 所以在組合圖形時許多思維會隨之產生（Golomb,1994）。研究者曾經以傳統 教具做過教學，發現如果只利用傳統的教學模式、傳統的教具、素材，教師 將浪費許多時間在製作教具及題目的呈現上，而無法專注於引導深層的思考。 資訊科技是一種問題解決工具，合作學習的工具，也是訊息傳遞的工具。 誠如 Thomas（1998）所說，資訊科技的發展與應用，使過去許多難以呈現的 學科教材，或根本不可能呈現的現象，出現新的學習方法和機會，也使學習 更為落實（丁凡譯，1998） 。目前美國中學教育注重學生在課堂與老師及同儕 合作學習的表現，包括能相互提問、邏輯思考、解決問題及發展創意成果。 老師也愈來愈積極參加學區舉辦的工作坊，提昇運用科技教具的能力及教學 的專業發展（謝佩璇，2004）。十九世紀的斐斯塔洛齊（Johann Heinrich Pestalozzi）以及後來的福祿貝爾（Friedrich Froebel）與蒙特梭利（Maria Montessori）都倡導使用教具，皮亞傑（Jean Piajet）的認知發展論則為這種 教育概念建立了理論基礎，他認為兒童建構知識的發展過程必須經歷具體運 思期（7~11 歲）之後，才能進入形式運思期（11 歲以上），而教具正好提供 兒童一個具體的思考媒介。研究顯示：在數學課程中使用教具的學生通常比 不使用教具的學生表現得更好（Raphael & Wahlstorm, 1989；Sowell, 1989）。 隨著科技的進步，數學教具也有了新的變革（張漢宜，2002） 。懂得軟體 技術的數學教師們利用電腦的可操控性將傳統教具予以改造，創造出一種新 形式的教學工具，國外稱之為虛擬教具（virtual manipulative）。這種教具利 用電腦影像模擬出真實教具的模樣，同時提供操弄的介面，讓老師及學生可 以透過滑鼠對它進行操作。此外虛擬教具還具有不佔空間、容易複製、分享， 課堂上易於整理等優點，也是傳統教具所不及的。目前美國國家科學基金會 (National Science Foundation：NSF)與全美數學教師學會（NCTM）正致力於 虛擬教具的研究開發，我們在 NCTM 的網站中可以看到豐富的成果。然而， 在國內虛擬教具則鮮為人知，檢索全國碩博士論文、教育類期刊雜誌，發現 對於虛擬教具的研究開發寥寥可數。 基於以上的研究動機，研究者旨在運用資訊科技，開發數學電子軟體教 具，輔助教師教學，設計有關找尋規律及發展解題策略的學習素材，以問題 導向的教學模式，加強學生解題策略的形成及解題能力的培養。讓老師樂於 教，學生樂於學，提供國民中小學數學教師教學的參考。. 2.
(12) 第二節 研究目的和假設 本研究期望開發多方塊數學電子軟體，並能針對國中二年級學生以多方 塊數學電子軟體教學，在教學的活動中，設計問題導向的學習環境，以增進 學習者對數學解題策略的產生及學習成效。本研究目的有三： 一、透過軟體（Flash MX 2004）設計，開發多方塊數學電子軟體及學習的平 台，進行多方塊組合樣式的探索活動。 二、依據利用問題學習的相關理論，實施多方塊組合之教學活動，觀察學生 解題策略的產生。 三、比較多方塊數學電子軟體教學與傳統教具教學的環境，對學習者學習多 方塊組合學習成就的差異。 依據上述的研究目的，本研究採準實驗研究設計方式進行，實驗組的學 生被實施多方塊數學電子軟體教學，控制組的學生被施以對等的傳統教具教 學。根據上述研究目的三，提出下列三個問題假設。 一、實驗組與控制組學生在「多方塊組合測驗」後測得分沒有顯著差異。 二、實驗組高分組的學生和實驗組低分組的學生在「多方塊組合測驗」後測 和前測的得分差距沒有顯著差異。 三、實驗組不同性別的學生在「多方塊組合測驗」後測得分沒有顯著差異。. 第三節 名詞釋義 為了使研究更具體明確，本節針對本研究涉及到的重要名詞說明如下： 一、多方塊 多方塊（Polyominoes）是一數學名詞，它是一些將數個單位正方形以邊 相連接而成的幾何形狀。連接的正方形數愈多，則同組的成員愈多。 二、虛擬教具 虛擬教具可以看作是一套電腦軟體（程式） ，用來呈現許多傳統教具可以 呈現甚至無法呈現的概念，藉以幫助學生建構數學的抽象概念的學習工具。 虛擬教具分為兩大類：一類是靜態的虛擬教具；另一類是動態的虛擬教具。 靜態的虛擬教具實質上就是將傳統的圖像投射在投影布幕，或是繪製於黑 板。動態的虛擬教具實質上是一個物體（object），它是藉由電腦軟體技術所 繪製出來的立體影像。我們可以透過鍵盤、滑鼠，對它像對實體教具一般進 行移動、翻轉、旋轉等操作，甚至於實體教具無法複製、放大、縮小等限制， 虛擬教具都可以辦到。而本研究所題的虛擬教具是指動態的虛擬教具。. 3.
(13) 第二章 文獻探討. 本章旨在探討本研究之相關文獻，做為本研究之理論基礎，並藉以建立 本研究之架構。全章共分為三節，第一節為問題解決能力的探討，第二節為 多方塊（Polyominoes）的探討，第三節為虛擬教具和實體教具的探討。. 第一節 問題解決能力的探討 一、問題解決的意義 「問題解決」是利用個體已學過的知識技能去滿足情境問題的需要，以 獲致解答的過程。「問題解決」在心理學上廣義的定義為有機體在獲得對問 題情境的適當反應的過程。狹義的定義是指有目的指向的活動或思維的一種 方式，其中原有的知識、經驗和當前問題情境的組成成份必須重新改組、轉 換或聯合才能達到既定的目標（王文科，1989）。 在我國九年一貫課程綱要中提到，現階段學校教育的目標應以培養具有 獨立思考及「問題解決能力」的學生為標的（教育部，1998）。同時在學習 科學的過程中，「問題解決」一直是一個相當受重視的議題（包景濂，2000）。 學習者必需不斷的從省思的歷程中，進行有意義的主體建構過程來達成問題 解決的目的。由此可知「問題解決」在今日教育與學習上扮演者相當重要的 角色。學習者在問題解決的過程中需要重新組織舊有的知識，形成新的知識 架構，用來達成一定的目標，當問題被解決的同時，學習者在知識及能力與 經驗上也會有所提升。所以研究者為了增加學生的解題能力作了多方塊數學 電子軟體來進行教學。 二、問題的分類 問題種類繁多，因此各個專家學者對問題的分類有不同的定義，如表 2-1-1。研究者所製作多方塊軟體教學課程是需要學習者自己操作，自己觀察 從中找尋解題的策略，是屬於 Laster 問題結構中半結構的問題，很適合學生 思索。. 4.
(14) 表 2-1-1 專家對問題分類的定義 張春興（2001）認為問題可分為三大類 1. 結構性問題. 按照一定思維方式即可求得答案的問題。. 2. 無結構問題. 情境不明或因素不定，不易找出解答線索的問題，解 決此類問題，無任何固定程序可循。. 3. 爭論問題. 性質上，爭論問題既無固定結構，又易使人陷入帶有 情緒的極端立場。. Laster（1985）依照問題結構，將問題分為三大類 1. 結構化. 結構性良好的問題。. 2. 半結構化. 大半需要創造思考解決的結構性問題。. 3. 非結構化. 結構性不良需靠創造思考解決的缺乏清晰結構的問題。. Simon（1973）及Halpern（1984），將問題分為二大類 1. 結構性問題. 指定義清楚的問題型態，結構性問題的解決方法有規 則可循。. 2. 非結構性問題. 不是結構性問題的均屬於非結構性問題。 引自（黃偉銘，2002，19-20頁）. 三、問題解決的模式 自 Delisle 提出問題導向學習歷程六個步驟後，數學解題歷程的研究受到 許多學者的重視（陳淑琳，2001）。目前常被許多解題相關研究所引用的理 論主要有 Polya、Lester、Schoenfekd 和 Mayer，例如表 2-1-2。 表 2-1-2 引用的理論 Polya、Lester、Schoenfekd 和 Mayer 解題的相關研究 研究者 劉湘川等人. 作品. 引用理論. 問題解決的研究與教學. （1993） 涂金堂（1996） 劉錫麒（1889） 黃敏晃（1985）. 數學解題之探討. Polya、Lester、Schoenfekd Polya、Lester、Mayer. 國小高年級學生數學解題 歷程及其相關因素的研究 譯「數學解題」 （M.G.Kantowski原著）. 5. Polya、Lester、Schoenfekd Polya、Lester、Schoenfekd.
(15) 以下針對 Polya、Lester、Schoenfekd 和 Mayer 的解題歷程來作探討， 如表 2-1-3。 表 2-1-3 Polya、Lester、Schoenfekd 和 Mayer 解題歷程探討 Polya解題歷程探討（Polya, 1945） 1. 瞭解題意. 了解問題問什麼，已知、未知是什麼。. 2. 擬定解題計畫. 擬定解題的方法、策略和執行步驟。. 3. 實行解題計畫. 執行計畫。. 4. 回顧解答. 檢驗答案的合理性、用不同的方法求解或將此方法應用 到不同的問題。. Lester解題歷程探討（Lester, 1985） 四因子. 六階段. 1. 問題本身. 1. 問題的知覺. 2. 解題者. 2. 問題的理解. 3. 解題歷程. 3. 目標分析. 4. 解題環境. 4. 計畫發展 5. 計畫執行 6. 執行程序和答案的評估. Schoenfekd解題歷程探討（Schoenfekd, 1985, 1992） 四變項. 六階段. 1. 資源. 1. 讀題：找尋重要條件。. 2. 啟發. 2. 分析：有系統重述問題。. 3. 控制. 3. 探索：尋找解路徑。. （關鍵地位） 4. 信念系統. 4. 計畫：規畫解題步驟。 5. 執行：將步驟逐一執行。 6. 驗證：檢驗答案合理。. Mayer解題歷程探討（Mayer, 1987, 1992） 歷程 問題表徵. 四階段 問題轉譯：需「語文知識」和「事實知識」。 問題整合：需「基模的知識」。. 問題解決. 解題計畫及監控：需「策略的知識」。 解題執行：需「程序性的知識」。. 6.
(16) 綜合上述，本研究「多方塊數學電子軟體教學課程」中，因多方塊組合 的全部圖形隨著多方塊組合的個數增加而愈顯增加，要找出其全部的組合圖 形，必須在組合時找尋其規則的關鍵，所以在組合圖形時許多思維會隨之產 生（Golomb,1994）。就結構性而言是屬於半結構化的問題，學生大半需要創 造思考來解決多方塊的問題。根據以上的探討，本研究多方塊教學根據 Lester 解題歷程為主，考參 Polya、Schoenfekd 和 Mayer 的解題歷程，以多方塊組 合進行教學並加強學習歷程中對相關數學知識或概念的了解，進而產生的多 方塊的教學歷程。如圖 2-1-1。. 1. 了解問題. 對多方塊的定義的理解. 2. 目標分析. 觀察多方塊，配合數學的知. 探索問題. 識、概念找尋組合的關鍵點. 規畫多方塊的解題步驟實. 3. 計畫執行. 際的去執行。. 遇 到 問. 4. 回顧驗證. 多方塊組合的驗證，歸納圖. 解答. 形，數學概念產生。. 題. 結論 圖 2-1-1 多方塊的組合的教學歷程. 7.
(17) 第二節 多方塊（Polyominoes）的探討 本節分別就「多方塊的歷史背景」、「多方塊的拼塊方法」、「多方塊 的數學問題」等方面來說明探討。 一、多方塊的歷史背景 多方塊迷人之處是因為它須用驚人的技巧以成千上萬種不同的方法組合 它。在1920年之前，數學家只探索六方塊以下的情形，直到1953年，哈佛大 學的年輕數學家Golomb（1996）才給它正式的定義和命名，並把它當作數學 社團中消遣的研究。我們不須是個數學家就能享受多方塊組的千變萬化，很 多美妙的結果是由業餘愛好者所發現的，他們之中有工程師、中小學生和家 庭主婦。 多方塊不僅是好玩的遊戲，它更與數學上的組合學、幾何學、圖論等有 密切的關係，在驗證一些圖形是否能拼出時，我們更常用歸納法、反證法、 抽屜原理、對偶原理等數學上的高等技巧。同時它在設計學、教育學、心理 學上也有相當之應用。 二、多方塊的數學問題 在《九章出版社》出版的《多方塊》一書中提到哈佛大學的數學家Golomb 將其對多方塊的研究集結成冊出版，這本書至今仍是多方塊研究的經典。研 究者根據其著作《Polyominoes—Puzzles, Patterns, Problems, and Packings Revised and expanded second edition》為主，再參閱其他書籍及網站將多方塊 拼塊的問題大致分為三類，如表2-2-1。 表 2-2-1 多方塊拼塊的種類 （一）第一類 組合：方塊組合的種類、個數及分析。 1. 單方塊的組合：只由多個單位正方形作組合。 例：四方塊的組合：由五個單位方塊組成的圖形有幾種？ 共五種。 2. 非單方塊組合：並非組合的基本形均為單位正方形所作的組合。 例：雙格方塊（domino）和三格方塊（Trimino） 和. 的組合有幾種？ （續後頁）. 8.
(18) 表 2-2-1 多方塊拼塊的種類（接前頁） （一）第一類 組合：方塊組合的種類、個數及分析。 3. 分析：組合圖形的種類分析。 例：九格方塊中圖形中有圍成洞的個數？. ……等等。 （二）第二類 拼圖： 1. 自體拼圖：全部圖形均由自體所拼成，分成平移和旋轉兩種。 例(1)：平移九格方塊所拼成。. ……等等。 例(2)：旋轉平移九格方塊所拼成。. ……等等。 2. 矛盾拼圖： 例(1)：在8x8的棋盤中分別挖去下(圖1)、(圖2)陰影部份之2小格，能否將31 塊雙格方塊填滿其它空格？為什麼？這個問題曾被當作研究所入學 考試題目。. (圖1). (圖2). （續後頁）. 9.
(19) 表 2-2-1 多方塊拼塊的種類（接前頁） （二）第二類 拼圖： 例(2)：在 8x8 的棋盤中，最少分別要挖去幾小格才能使得連一片F、L、I、 P、N、T、U、V、W、X、Y、Z都放不進去。. 都是 16 格。. 答案：. 3. 同組拼圖：只由同一組多方塊產生的種類拼成的圖形 例(1)：五格方塊(12個)所拼成的下列圖形。 6×10圖形. 5×12圖形. 4×15圖形. 其他圖形. ……等等。 例(2)：有關五方塊最具挑戰性的一個問題是：用全部的12片五方塊拼成一 個圖形，使它恰好可以不重疊地貼滿一個正六面體的表面。 4. 多組拼圖：由多組多方塊產生的種類拼成的圖形 例：從單方塊到五方塊面積共為(5×12+4×5+3×2+2×1+1×2=90)單位，您能將 它拼成 15x6 矩形嗎？. （續後頁）. 10.
(20) 表 2-2-1 多方塊拼塊的種類（接前頁） （三）第三類 多方塊問題的延伸： 1. 方塊的因數與倍數：中華民國第44屆中小學科學展覽會(數學組第三名)。 例：16的因數為 1, 2 , 4 , 8 ,16。. 因數圖形有：. 共 13 種。 註：找到的多方塊圖形，可單獨使用拼出16格的正方形，為其因數圖形。 2. 方塊的對稱與旋轉：在操作過程中學生自然學習對稱與旋轉概念。 例：對稱與旋轉的拼圖，如以下圖形。. 3. 圍面積： 例：五格方塊組合如何圍可圍成最大面積？. 4. 其他單位正多邊形方塊的組合，及特殊形狀的組合 例(1)：正三角形方塊組合. ……等等。 例(2)：正五角形方塊組合. ……等等。. 11.
(21) 由以上的分類研究者從中選取「組合」中的多個單位方塊組合圖形來作 教學，因其組合結構較不易馬上被發現，難易度也適合國中學生，也很適合 用來發現學生解題策略。 三、多方塊組合的探討 （一）多方塊的拼塊方法 只有一個方塊，我們稱之為”單格方塊（Monomino）”,；而由兩個方 塊組成的，稱之為”雙格方塊（domino）”；三個方塊組成為”三格方塊 （Trimino）”；四個方塊組成”四格方塊（Tetronomo）”；五個方塊組成為” 五格方塊（Pentomino）”；六個方塊組成為”六格方塊（Hexomino）”……。 多方塊（Polyominoes）是一數學名詞，它是一些將數個單位正方形以邊相 連接而成的幾何形狀。字首的數字指出這組形狀是由多少數量之正方形組 成。連接的正方形數愈多，則同組的成員愈多。其中每一個方塊至少與其 他方塊中的一個有一個共用邊，並且當圖形有旋轉或對稱的狀況時，亦屬 於同一個圖形，只能算是一個圖形，如下表2-2-2，後其餘以此類推。 表 2-2-2 多方塊組合、旋轉及對稱說明表 例 1：雙格方塊的排法：(方塊要有共用邊). (是對的). (是錯的). (是錯的). 例 2：旋轉後的圖形如果相同亦屬於同一種：. (順時針 0 度). (順時針 90). (順時針 180 度) (順時針 270 度). 例 3：對稱的圖形亦屬於同一種：. (上下對稱：同一種). (左右對稱：同一種). 12.
(22) （二）多方塊的拼塊過程 在《Polyominoes-Puzzles, Patterns, Problems, and Packings Revised and expanded second edition》書中說明多方塊的組合方式為逐一的增加方 塊數，來找尋方塊的全部組合，其說明如表2-2-3。 表 2-2-3 多方塊組合流程表 1. 由一個方塊為基礎再找兩個方塊它能排出幾種組合，如下圖所示。 Æ. (一種). Æ. (一種). 所以兩個方塊能擺出的只有一種組合。 2. 兩個方塊加上一個方塊，三個方塊能組合多少種組合，以二個方塊 為基礎，順時針再加上一個方塊，如下圖所示。. Æ. (共兩種) 三格方塊總共會有兩種組合，其他只是角度的不同，其實是一樣 的，轉動後的結果是相同的。 （續後頁）. 13.
(23) 表 2-2-3 多方塊組合流程表（接前頁） 3. 四格方塊的組合，用以上兩種三個方塊的基本圖形，再增加一個方 塊組合成的圖形如下圖所示。. （基本型一）用基本型再加一個方塊去組合。. （找出有三種組合）. （基本型二） 用基本型再加一個方塊去組合。. （找出有兩種組合） 歸納檢查圖形的種類，刪除旋轉及對稱圖形後我們發現四格方塊總共 只會有以上的五種組合的圖形。 4. 至於五格方塊及六格方塊的所有組合亦可由此方法依此類推…… 全部找出。. 14.
(24) （三）現在用以上的方法將一格方塊到六格方塊個方塊組合的圖形列出， 如表2-2-4所示。 表 2-2-4 多方塊的組合圖形表 方塊數 （組別）. 組合圖形 （個數）. 1. 1. 2. 1. 3. 2. 4. 5. 5. 12. 6. 35. 組合圖形 （種類）. 15.
(25) 多方塊的組合圖形隨著方塊數的增加也會愈來愈多，運用有規律的拼 法可以找到多方塊全的部的組合圖形，也可以算出其組合圖形的總數，但 是這是非常耗時的。目前多方塊組合全部圖形解的個數目前並無找到一般 化的式子，當方塊數多時，常藉用計算機程式來找出其解，如表2-2-5所示， 為一個方塊到十四個方塊組合的解。 表 2-2-5 多方塊的組合圖形個數表 方塊個數 （組別）. 組合圖形 （個數）. 方塊個數 （組別）. 組合圖形 （個數）. 1. 1. 8. 369. 2. 1. 9. 1285. 3. 2. 10. 4655. 4. 5. 11. 17073. 5. 12. 12. 63600. 6. 35. 13. 238591. 7. 108. 14. 901971. 多方塊的組合當方塊數愈多時，圖形的組合也愈來愈複雜，若沒有策略 想找到全部的圖形是非常困難的，在組合的過程中學生也可從中看到許多有 關數學的知識如旋轉、對稱、及組合的配對與樣式。多方塊的千變萬化及延 伸，都建立在多方塊的基本組合的圖形上，所以這個教材亦可帶領學生走入 多方塊的世界。. 16.
(26) 第三節 虛擬教具和實體教具的探討 一、傳統實體教具（Physical manipulatives）的探討 傳統實體教具是可以被拿起、旋轉、重新排列的真實物件，也可以被收 集（Perl, 1990）的教具。傳統實體教具有操作簡便的特性，長久以來一直是 教師用來輔助教學的重要工具。這些實體教具允許教師和學生自由的放置、 旋轉或視需要來重新排列，幫助學生藉由具體物的操作來了解抽象性的概 念。有些時候，教具還可以有效的提升學生的學習興趣，使得學習的過程更 加專注。傳統的實體教具都是實體的物件，看得到也觸摸得到，它們可以分 為兩大類：如表 2-3-1。 表 2-3-1 傳統教具的分類 項目. 平面教具. 立體教具. 圖卡、字卡、圖表等等。. 用於數學課的有方瓦、古氏積 木、花片、各種立體的模型、. 內容. 數版、釘版，大型的三角版、 圓規等等。. 功效. 範例. 這一類的教具對低年級的學生. 這一類的教具提供學生更多樣. 特別有用，尤其是數學啟蒙階. 的操作性，不但可以排列，還. 段，可以設計情境來幫助學生. 可以旋轉、堆疊等，可以幫助. 建構數與量的概念。. 學生學習更複雜的概念。. 教師可以用卡車的圖卡來呈現. 學生可以藉由堆疊立體的古氏. 卡車的數量。. 積木探究發現長方體的體積和 長、寬、高之間的關係。. 傳統教具已經被證實對教師教學是有正面幫助的，Parham（1983）曾經 對 64 個學生的成就測驗做過小型的統計研究，發現使用教具學習的學生她們 的成就測驗分數顯著高於沒有使用教具的學生。Suydam 和 Higgins 在 1977 年重新對教具的使用與否再一次研究，判定適當的使用教具確實比不使用教 具更可以提高學生在數學方面的學習成就。Moyer & Jones（2004）研究發現 孩童在自己使用教具時，多半是進行與實際學習無關的遊戲，換句話說，如 果沒有教師的有效引導，教具通常會變成玩具；但是建議使用教具時只要指 引學生方向，不要直接告訴學生該如何操作，應該允許學生試誤並鼓舞學生 自己思考，而不應勉強學生倉卒作出抽象的陳述。Char（1989）指出不同的 學生需要不同的幫助（鷹架） ，單一種類的教具無法適用於每一個小孩。因此. 17.
(27) 除了教具本身的好壞之外，更需要教師的專業能力（選擇教具的能力與引導 教學的能力）才能提升教具的實質效益。 教具的使用對學生而言有老師的專業引導可以達到相輔相成的效果，但 是在學校的經驗，一般老師面臨的困境是：現有的教具資源太少、無法取得 真正想用的教具，以及使用教具教學所產生的班級秩序管理問題、教具收納 問題等等，都有待克服。 二、虛擬教具（Virtual manipulatives）的探討 近年來電腦軟體技術日新月異，網際網路的普及，許多數學教師開始嘗 試著使用新的科技來幫助數學教學，於是有虛擬教具（virtual manipulatives） 的產生。虛擬教具可以看作是一套電腦軟體（程式） ，用來呈現許多傳統教具 可以呈現甚至無法呈現的概念，藉以幫助學生建構數學的抽象概念的學習工 具。虛擬教具是利用電腦技術產生的數位影像，看得到但無法實際觸摸，不 過實際運用時卻比可觸摸的實體教具來得更有彈性。 Moyer, Bolyard, & Spikell（ 2002）將網際網路上的虛擬教具分為兩大類： 一類是靜態的虛擬教具（static visual representations of concrete manipulatives）；另一類是動態的虛擬教具（dynamic visual representations of concrete manipulatives）。如表 2-3-2。. 18.
(28) 表 2-3-2 虛擬教具的分類 項目. 靜態的虛擬教具. 動態的虛擬教具. 呈現. 將傳統的圖像投射在投影布幕，. 用軟體呈現，可以透過鍵盤、. 方式. 或是繪製於黑板。. 滑鼠，對它像對實體教具一般 進行實作。. 表徵. 是藉由電腦軟體技術所繪製出來. 是一個可以被移動、翻轉、旋. 的虛擬影像。學生無法對靜態的. 轉等操作的物件，甚至於實體. 虛擬影像進行操作，因此 Moyer. 教具無法複製、放大、縮小等. 認為靜態的虛擬圖像並非真正的. 限制，虛擬教具都可以辦到。. 虛擬教具。 範例. 教師以 PowerPoint 顯示卡車的圖 教師利用電腦軟體製作積木軟 卡來呈現命題。. 體，讓學生可以藉由拖曳積木 探究發現長方體的體積和長、 寬、高之間的關係。. Izydorczak（2003）整理出虛擬教具的八大優點： 1. 虛擬教具可以監控學習活動。 2. 虛擬教具比實體教具更有擴張性。例如虛擬教具可以表現比 1/100 更 細微的分數概念，而實體教具則受限於物理的特性，無法隨需要轉變。 3. 虛擬教具能呈現出比實體教具更細微的概念。例如 Hands-On Math 網 站中所呈現的位值概念，當由 10 個 1 的積木轉換為 1 個 10 的大積木 時，會讓學生留下非常深刻的印象。 4. 虛擬教具比實體教具更易於操作。例如學生操作拼圖或七巧板時，往 往因疏忽而破壞已經完成的部分成果，但是當學生使用虛擬教具時， 它可以拼得更好、更精準(透過軟體設計)，而且不會因為不小心而弄 亂已經完成的部分，因此可以更專心的進行所需要的操弄。 5. 虛擬教具比實體教具更適合用於大團體的教學。實體教具有一定的大 小，在大團體中往往讓距離遠的學生看不清楚。虛擬教具可以透過投 影機投射於大尺寸的畫面，甚至同時使用多個螢幕，非常適合大團體 的教學。 6. 虛擬教具透過輔助說明的連結，可以更清楚的表徵數學符號和程序。 7. 購買實體教具往往有經費的限制，而虛擬教具可以解決經費不足的問 題。軟體只要一份，就可以提供多人同時使用，而且目前這些虛擬教 具多半是免費使用的。 8. 虛擬教具比傳統的實體教具所產生的班級管理問題較少。 19.
(29) 虛擬教具雖然有眾多的優點，但到目前為止，教室中使用虛擬教具的教 學研究仍十分有限，一個可能的原因是教師欠缺使用虛擬教具從事數學教學 的知能（Reimer & Moyer, 2005） 。最近 Moyer, Niezgoda & Stanley（2005）以 兩個行動研究探討使用虛擬教具學習數學的效果。兩篇研究報告的出現，為 使用虛擬教具學習數學提供了一些實證研究結果，如表 2-3-3。 表 2-3-3 行動研究探討使用虛擬教具學習數學的效果 研究者. 研究主題. 研究對象. 研究結果. Moyer,. 探 討 幼 稚 18位 上 全 研究結果顯示，使用虛擬教具時，兒童. Niezgoda. 園兒童的 日班的幼. 表現出較多的創作類型，且每個類型所. & Stanley. 類 型 製 造 稚園兒童. 使用的積木數也較多，因此全部使用的. (2005). 活動. 積木數也較多。五位研究觀察者也注意 到，使用虛擬教具時兒童創作出的類型 較多元及有變化，肯定使用虛擬教具確 能提供兒童創作類型的學習機會。. Moyer,. 探 討 二 年 19位 國 小 發 現 兒 童 確 實 能 透 過 虛 擬 教 具 的 視 覺. Niezgoda. 級兒童使 二年級兒 印 象 掌 握 十 位 數 及 個 位 數 的 位 值 概. & Stanley. 用虛擬十 童. 念，兒童在使用虛擬教具後的解題策略. (2005). 進位積木. 也趨向一致。. 的成效。 在這兩個行動研究中，兩位老師都在使用虛擬教具前，先使用具體教具 進行教學概念，虛擬教具在教學過程中扮演表徵抽象概念的三種表徵（具體 物、圖形及符號）的橋樑，尤其這兩個研究發現，對以學習英語為第二外語 的兒童而言，虛擬教具提供其表達概念了解及學習的機會。 綜觀而言，國外相當重視虛擬教具的開發，有大學、教師協會等大型學 術單位全力發展以及專業的設計人員（包含教師） ，因此架構完整，內容豐富。 支援的課程涵蓋幼稚園到 12 年級，重視基礎教育，而且每一個虛擬教具都提 供說明文件及教學指導，數學教師相當容易學習並且實際運用於教學。反觀 國內對虛擬教具的研究以單打獨鬥者（在職教師）為主，缺少系統性的開發 計畫；課程內容以國高中階段居多，而且大都偏重在以 GSP（The Geometer's Sketchpad）為主的幾何數學，對於國民中小學基礎教育的關注程度遠遠落後 於國外。希望國內也能有大型的學術機構投入研發，相信對國內的數學教育 會有實質的幫助。. 20.
(30) 綜合上述，問題導向的學習可以加強學生的學習動機、增加師生的互動， 進而在問題解策略有所成長；多方塊組合具有的挑戰性可以提升學生的興 趣，學生在操作過程中也可學習到數學的概念；然而在進行教學時使用傳統 教具，會有攜帶及操作的上不方便，所以本研究將以文獻分析做基礎運用資 訊科技，開發多方塊數學電子軟體，設計多方塊組合的學習教材，以問題導 向的教學模式，加強學生解題策略的形成及解題能力的培養。讓老師樂於教， 學生樂於學，提供國民中小學數學教師教學的參考。. 21.
(31) 第三章 研究設計與方法. 本章共分成五節，第一節為研究設計，第二節為研究對象，第三節為多 方塊數學電子軟體之開發，第四節為研究工具，第五節為資料分析。. 第一節 研究設計 本研究是比較數學電子軟體教學與傳統教具教學的環境，對學生數學學 習的影響。研究的對象為國中二年級的學生，學習的內容為多方塊的組合， 由於無法隨機選取受試者，因此本研究採取不等組前後測準實驗設計，如表 3-1-1。 表 3-1-1 不等組前後測準實驗設計 自變項. 前測. 實驗組. T1. T2. 控制組. T1. T2. 實驗處置 X. 後測 T1. T3. T1. 註：T1 為多方塊組合測驗，T2 為智力測驗（數學部份分數總和：數學推理、 空間關係、抽象推理），T3 為心得及感想問卷。 實驗組與控制組學生均接受前測（多方塊組合測驗與智力測驗）；兩組 學生在前測後，分別實施以多方塊組合課程為教材的數學電子軟體教學與對 等之傳統教具教學，在實驗結束後第五天，兩班學生進行後測（多方塊組合 測驗），實驗組學生需加填一份感想及心得問卷，以了解實驗組學生對於電 腦數學軟體教學課程之心得與意見，控制組學生則不需填寫此問卷。多方塊 組合測驗於前測、後測使用相同試卷；施測完畢之後以學生智力測驗的數學 分數為共變數，利用共變數分析法分析兩組後測成績是否有顯著差異；另外 從教學過程中所蒐集的學習單、多方塊組合測驗和感想及心得問卷，做質性 的研究分析，藉以更深入了解數學電子軟體教學與傳統教具教學的環境，對 學習多方塊組合所產生的影響。詳細流程如圖 3-1-1。. 22.
(32) 形成研究問題. 蒐集相關資料. 課程意見表. 準備預試階段. 確定研究主題. 發展研究工具 Flash 軟體 編修研究工具. 軟體意見表. 選定研究對象. 智力測驗. 傳統教具教學. 數學電子軟體教學. 正式實施階段. 多方塊組合測驗. 實施前測. 多方塊組合測驗 感想及心得. 實施後測. 控制組不必填 結果分析階段. 資料分析. 撰寫研究結果並完成論文 圖 3-1-1 研究流程圖. 23.
(33) 第二節 研究對象 本研究選取台北縣某縣立國民中學的「國二」學生二班為實驗研究對象， 該校採常態男女合班的模式教學，其中隨機選取一班為實驗組，另一班為控 制組；有效樣本的選取排除各班資源班的學生及參加社團的學生。各班人數 與有效受測學生人數，如表3-2-1。 表 3-2-1 研究樣本人數統計表 組別. 人數（男生，女生）. 有效樣本（男生，女生）. 實驗組. 38（19，19）). 30（15，15）. 控制組. 36（16，20）. 30（12，18）. 合計. 74（35，39）. 60（27，33）. 擔任本實驗研究教學的教師即為研究者本人，具有十年的數學科教學經 驗，對於電腦輔助教學有較深入的研究與興趣，實驗組與控制組都是同一位 教師進行教學活動；本研究所使用之多方塊數學電子軟體即是由研究者本人 所自行開發與設計的。學生於電腦自行操作前均接受教學教師指引，按部就 班的熟悉數學電子軟體的操作方式。. 24.
(34) 第三節 「多方塊組合」數學電子軟體之研究與開發 一、開發工具的選擇 軟體技術的高度發展，舉凡 C、C++、Delphi、Visual Basic、Java 等等 具備 OOP（物件導向）的程式語言提供軟體設計人員多樣的選擇。然而就開 發虛擬教具而言，開發工具必須更謹慎的選擇。先不論軟體設計和數學概念 呈現的優劣，一個好的虛擬教具至少要符合三個基本要求： 1. 程式碼小，便於網路中傳播、分享。 2. 使用者端盡可能不必再安裝特殊軟體；如果需要最好是免費的，而 非必需付費的。 3. 如果要架設於網站供人使用，最好可以直接在瀏覽器中觀看、執行。 因此傳統的程式語言雖然功能強大，卻顯得不完全適用於虛擬教具的開 發；所以目前國內外盛行的虛擬教具大致僅見兩種：Java Applet 與 Flash 的 主要原因。然而 Java Applet 入門困難，所有基礎程式碼必須設計者自撰寫， 對於開發人員是非常不便的；反觀 Flash 不僅檔案小，傳輸便利，向量圖檔 放大縮小都不會失真，有良好的品質。使用者只要外掛免費的 Flash Player 之後便可播放。所以研究者選擇它作為開發數學電子軟體的工具。 二、數學電子教材開發目的 透過軟體（Flash MX 2004）設計，開發「多方塊組合」電腦教學軟體及 學習的平台，進行多方塊組合樣式的探索活動。 三、「多方塊組合」電腦教學軟體的編修 為了評估此軟體，研究者針對此數學教學軟體的使用及概念呈現設計了 教師問卷（見附件四） ，以了解實際使用後老師的感想與意見，作為修正軟體 的參考。研究者在 2006 年 5 月 13 日，以國立交通大學理學院網路學習在職 專班的研究生(國民小學教師七位；國民中學教師六位及高級中學教師六位) 共十九位教師進行軟體的演示，並於演示後收集老師問卷後進行修改。如表 3-3-1。. 25.
(35) 表 3-3-1 軟體意見及修正表 教師建議. 修正結果. 可在軟體中呈現教學. 增加說明文件，將教學流. 說明，以方便教學。. 程，分成三部份：. 備註. 第一部份：多方塊的歷史。 第二部份：多方塊的操作。 第三部份：分組討論。 給教學者作為參考。 軟體中的歷史說明區. 將歷史說明區另闢一頁呈. 在生成方塊後被剛生. 現，給使用者作為參考。. 成的方塊檔住，產生 的畫面很不協調。 可以增加圖形存檔功. 增加條狀多方塊的按鍵，可. 因必須有資料庫. 能。. 一次按出多個方塊。. 的概念，暫時無 法存檔。. 操作說明字體太大，. 將操作說明移至各物件的下. 且離要說明的物件太. 方，可讓使用者方便直接觀. 遠。. 看說明；並於軟體中另闢一 頁呈現操作說明。. 新增有關多方塊組合. 利用五個方塊的組合作成可. 這個軟體可讓學. 的遊戲。. 讓學生拼圖的軟體。. 生於課程結束後. （註：本研並未用到此工具）. 自行練習與思 考。. 26.
(36) 四、軟體介面及使用說明 本軟體包含三個頁面： （一）多方塊歷史的說明(如圖 3-3-1)： 敘述多方塊的組合，歷史背景及迷人之處，按下右下方工具說明按鈕 後進入下一個工具說明的畫面。. 圖 3-3-1 多方塊的歷史介面 （二）多方塊數學電子軟體工貝說明(如圖 3-3-2)： 對多方塊數學電子軟體工具作說明，以方便使用者在操作軟體時，對 軟體有大致的認識，按下右下方開始按鈕後進入軟體操作的畫面。。. 圖 3-3-2 多方塊數學電子軟體工貝說明介面. 27.
(37) （三）多方塊數學電子軟體操作介面(如圖 3-3-3)：. 圖 3-3-3 多方塊數學電子軟體操作介面 以下就分別以這七個部份作說明： 1. 方塊組合區：方塊在此作組合圖形，總共可容納 31×20=620 個方塊。 圖形的合併、旋轉、剪開、操作都在這個區塊進行。 2. 方塊按鈕區：總共有四個按鈕，為產生方塊的按鈕，會在方塊組合區 隨機產生方塊。如表 3-3-2 所示：. 28.
(38) 表 3-3-2 方塊按鈕區說明 按鈕圖示. 操作結果 c 按下第一個按鈕會出現一個紅色方 塊，再按下紅色方塊，在方塊組合區 會產生一個方塊。 d 按下第二個按鈕會出現兩個方塊 組，有兩組，可選擇需要的模式按 下，在方塊組合區會產生兩個方塊。 e 按下第三個按鈕會出現三個方塊 組，有三組，可選擇需要的模式按 下，在方塊組合區會產生三個方塊。 f 按下第四個按鈕會出現數字 4、5、6、 7、8、9、10 可選擇需要的模式按下， 在方塊組合區會產生數字所表示的 方塊數。. 方塊按鈕操作後在方塊組合區產生方塊的圖示如下圖 3-3-4：. c. d. e f. 圖 3-3-4 方塊按鈕操作後圖示. 29.
(39) 3. 工具區：共有六個物件，分別為c剪開鈕、d移動鈕、e旋轉鈕、f 合併鈕、g顏色鈕和h色塊鈕，如表 3-3-3。 表 3-3-3 工具區元件說明 元. 件. 功. 能. c 剪開鈕：可將已組合的圖形方塊剪成單位的方 塊。. d 移動鈕：按移動鈕才可拖拉圖形。. e 旋轉鈕：可順時針 90 度旋轉圖形。. f 合併鈕：可合併連接的方塊，組合成的方塊組 合為紅色。. g 顏色鈕：可改變單位方塊的顏色。 h 色塊鈕：先按顏色畫筆再按想改變的顏色鈕， 能讓單位方塊改變顏色。 工具區操作說明： 用滑鼠在元件圖形上按一下，滑鼠的顯示圖形會變成元件上的圖示， c 剪開鈕(如圖 3-3-5)： 五個已組合成的 L 型方塊利用剪刀在圖形上方使用滑鼠按一下， 每個單位方塊可隨意拖拉。. 將剪刀移至圖形上. 按一下滑鼠. 單位方塊可拖拉. 圖 3-3-5 剪開鈕的操作說明. 30.
(40) d 移動鈕（如圖 3-3-6）： 只有在滑鼠圖示下，對於圖形才可隨意拖拉。. 可以拖拉. 不可以拖拉. 不可以拖拉. 不可以拖拉. 圖 3-3-6 移動鈕的操作說明 e 旋轉鈕（如圖 3-3-7）： 利用旋轉鈕的滑鼠圖形在組合圖形上方使用滑鼠按一下，每按一 下圖形可順時針旋轉 90 度。. 按一下轉 90 度. 按一下轉 90 度. 按一下轉 90 度. 圖 3-3-7 旋轉鈕的操作說明 f 合併鈕（如圖 3-3-8）： 利用合併鈕的滑鼠圖形在組合圖形上方使用滑鼠按一下，即可將 組合好之圖形合併。. 將圖形組合. 將合併滑鼠移至圖上. 按一下滑鼠合併. 圖 3-3-8 合併鈕的操作說明 g 顏色鈕(如圖 3-3-9)： h 色塊鈕(如圖 3-3-9)： 利用顏色鈕的滑鼠圖形選擇顏色，在色塊鈕上使用滑鼠按一下， 然後在要改變的方塊圖形上用滑鼠按一下即可改變顏色。. 31.
(41) 改變成綠色. 改變成藍色. 改變成橘色. 圖 3-3-9 顏色鈕和色塊鈕的操作說明 其餘的元件如下表 3-3-4。 表 3-3-4 元件功能列表 元. 件. 功. 能. 4. 教學說明鈕：共分三個部份，提供老師教學時參考。. 5. 顯示單位方塊的個數。. 6. 垃圾桶：要刪除的方塊拖拉至此。. 7. 重新來過。. 32.
(42) 4. 教學說明鈕：按下說明按鈕會出現教學說明區塊，主要是提供老師教 學之參考，如下圖 3-3-10 所示。. 捲軸 教學說明. 關閉鈕. 圖 3-3-10 多方塊教學說明 5. 方塊總個數鈕：可開啟也可關閉，可提供學生數數及老師教學上使 用，如下圖 3-3-11。 圖中組合方塊區共有方塊數七個。. 關閉鈕. 開啟鈕. 組合區 方塊個數 圖 3-3-11 方塊總個數操作說明. 33.
(43) 6.垃圾埇：可將組合方塊區中，不要的圖形拖拉到垃圾桶刪除，如下圖 3-3-12。 7.重來按鈕：可重新操作軟體。. 圖 3-3-12 刪除組合圖形說明 老師可以依教學需要自行操作使用軟體，作多樣性的呈現，以便於和 學生討論、歸納；學生也可以作不同的操作、探索、觀察並解答問題。. 34.
(44) 第四節 研究工具 一、國民中學智力測驗 （一）測驗目的 本測驗由路君約、盧欽銘、歐滄和於民國八十三年十一月所編訂，旨 在測量國民中學學生的一般智力水準，以供諮商、揀選、安置之參考。本 測驗在國中二年級下學期由學校輔導室輔導教師於上課時施測，測驗時間 為四十六分鐘。本研究中將以智力測驗中的數學部份包含數學推理、空間 關係和抽象推理三項的總和分數作為共變量進行共變數分析以了解學生 學習成效。 （二）信效度 本測驗內部一致信度為.63~.82，重測信度為.40~.79，效標為區分性向 測驗之相關為.35~.58，與學生學期成績之相關為.21～.55。 二、多方塊的平面組合教學設計及學習單（見附件一） （一）目的 本課程的構思配合了數學教育學習領域中的「數學的pattern」課題， 並在內容上作出增潤和延伸，引導學生互相交流意見，並由簡而繁的解決 問題進而提昇學生對數學歸納分析的能力，發展學生解題的策略。 （二）時間 二小時 （三）內容 多方塊的平面組合教學設計，包含課程的簡介、設計構思、教學目標、 教學資源及教學的程序並依據此教學設計配合學習單來實施教學。 三、多方塊組合學習多方塊組合測驗（見附件二） （一）測驗目的 了解學生在多方塊組合課程實施之後的學習成效。 （二）測驗時間 三十五分鐘。 （三）題目的內容 本測驗題目的主要參考《Polyominoes-Puzzles,Problems, and Packings Revised and expanded second edition》（Solomon W Golomb, 1994）。研究 者針對教學目標及學習內容，為了更了解學生的解題思維編製而成的。題 目是：「請找出所有六格方塊的平面組合有那些？」並請學生寫下解題方 式以利於質性的分析。本多方塊組合測驗只有一題，但總共有三十五個答 案，每個答案一分，總分為三十五分。 35.
(45) 四、心得及感想問卷（見附件三） （一）目的 了解學生對於實施多方塊數學電子軟體教學後的心得與感想。 （二）題目內容 1. 請問對於這個多方塊數學電子軟體，你的操作是否有困難？ 2. 學習了這個課程，你學到了什麼？對你的解題是否有幫助？ 3. 往後如果有機會你是否願意再上數學電子軟體的課程？ 心得及感想問卷主要是要了解學生在多方塊數學電子軟體教學結束後， 對於軟體操作的狀況，及學生學習課程後對課程的了解、解題策略的幫助。. 36.
(46) 第五節 資料分析 在量的分析方面，待收集到後測的多方塊組合測驗、課程意見表，連同 前測的智力測驗數學分數、多方塊組合測驗分數進行統計結果的分析。 本實驗選取的班級，雖然是屬於常態分班，但為避免兩組學生在實驗前 的能力是不相等的狀況，所以以國中智力測驗的數學分數為共變數進行統計 分析，將統計的α值（顯著水準）設定為0.5，以反應出真正的差異情形。另 外前測數學成績的前三分之一定為高分組，後三分之一定為低分組，做為比 較實驗組與控制組各數學成就水準表現差異的標準。根據研究假設及其相對 應的統計方法依序整理如表3-5-1。 表 3-5-1 實驗研究假設的統計方法 研究假設. 統計方法. 1. 實驗組與控制組學生在「多方塊組 進行共變數分析（ANCOVA）考驗， 合測驗」後測得分沒有顯著差異。 依變數為「多方塊組合測驗」後測得 分，共變量為智力測驗數學分數。 2. 實驗組高分組的學生和實驗組低. 進行共變數分析（ANCOVA）考驗，. 分組的學生在「多方塊組合測驗」 依變數為「多方塊組合測驗」後測減 後測和前測的得分差距沒有顯著. 前測得分，共變量為智力測驗數學分. 差異。. 數。. 3. 實驗組不同性別的學生在「多方塊 進行共變數分析（ANCOVA） 考驗， 組合測驗」後測得分沒有顯著差. 依變數為「多方塊組合測驗」後測得. 異。. 分，共變量為智力測驗數學分數。. 在質的分析方面，因怕錄影造成學生的緊張，則是在前測及教學活動時 儘可能讓研究者去觀察學生的反應、解題及進行的狀況，盡量收集學生在學 習過程中的學習單、問卷，進行批改與分析，藉此了解研究目的：「依據問 題導向學習相關理論，實施問題導向學習之教學活動，觀察學生解題策略的 產生。」、 「比較數學電子軟體教學與傳統教具教學的環境，對學習者學習多 方塊組合解題能力的差異。」. 37.
(47) 第四章 研究結果與討論. 本章主要在分析討論多方塊數學電子軟體教學後對於學生學習的影響， 共分三節，第一節說明多方塊組合教學模組實施之後對數學解題的影響，第 二節主要從研究者教學時教室觀察及學生進行多方塊組合學習的歷程和表現 作分析與整理，第三節為研究者在研究之後的反省與成長。. 第一節 多方塊組合教學模組實施之後對數學解題的影響 本研究實驗組與控制組學生的前測及後測得分均是由「多方塊組合測驗」 所測得；後測在測驗施測時間上為教學課程結束後第五天實施。本研究在前 測結束後，以前測得分為依據，利用 Levene 檢定兩組變異數的同質性，研 究結果顯示未達顯著（F=.498，p=.483>.05），表示這兩組是具有同質性的， 所以以智力測驗數學分數總和(含數學推理、空間關係、抽象推理)為共變量 進行共變數分析。 以下依據研究假設一至研究假設三逐題分析與討論研究結果。 一、研究假設：實驗組與控制組學生在「多方塊組合測驗」後測得分沒有顯 著差異。 本研究假設依變數為「多方塊組合測驗」後測得分，共變量為智力測驗 數學分數總和（含數學推理、空間關係、抽象推理），在教學實驗後以共變 數（ANCOVA）分析考驗不同組別在「多方塊組合測驗」後測得分是否有顯 著差異，如表4-1-1。 表 4-1-1 實驗組與控制組在「多方塊組合測驗」後測表現統計量及差異分析 組別. 個數. 平均. 標準差. 調整後平均數. 實驗組. 30. 30.47. 3.18. 30.745. 控制組. 30. 30.60. 2.66. 30.345. F值. P. .353. .555. 兩組學生在「多方塊組合測驗」後測的共變數分析的平均數各為 30.47 與 30.60，在排除智力測驗數學分數總和（含數學推理、空間關係、抽象推 理）此共變量的影響後各為 30.745與 30.345，由表4-1-1可知實驗組與控制 組在「多方塊組合測驗」後測表現並無差異（F=.353，p=.555>.05），也就 是說利用數學電子軟體教學和傳統教具教學對學生學習效果是一樣有幫助 的。 38.
(48) 二、研究假設：實驗組高分組的學生和實驗組低分組的學生在「多方塊組合 測驗」後測和前測的得分差距沒有顯著差異。 本研究假設的依變數為「多方塊組合測驗」後測減前測得分，共變量為 智力測驗數學分數總和（含數學推理、空間關係、抽象推理），以共變數 (ANCOVA)分析考驗實驗組的高分組及低分組在「多方塊組合測驗」後測減 前測得分是否有顯著差異，如表4-1-2。 表 4-1-2 實驗組高分組及低分組「多方塊組合測驗」後測減前測統計量及差 異分析 組別(實驗組) 後測減前測. 個數. 平均. 標準差. 調整後平均數. 高分組. 10. 0. 1.763. .885. 低分組. 10. 6.5. 4.576. 5. 615. F值. P. 7.667 .014*. 實驗組的高分組及低分組在「多方塊組合測驗」後測減前測的共變數分 析的平均數各為 0與 6.5，在排除智力測驗數學分數總和(含數學推理、空間 關係、抽象推理)此共變量的影響後各為 .885與 5.615，由表4-1-2可知實驗 組的高分組及低分組在「多方塊組合測驗」後測和前測得分差距有顯著差異 （F=6.095，p=.014<.05）。 本研究發現電子軟體融入數學教學之後，實驗組的高分組及低分組在「多 方塊組合測驗」後測減前測後得分有顯著差異，也就是說數學電子軟體教學 的學習效果對於高分組及低分組的學生有達到統計上的顯著差異。但研究者 發現在高分組後測減前測調整後平均數為.885，低分組後測減前測調整後平 均數為5. 615，再觀察高分組的前測平均數為32.4已接近滿分，而低分組的前 測平均數為22.5，顯示高分組的進步空間比低分組較小，所以顯示數學電子 軟體教學的環境對於低分組的學生學習而言產生較大的進步空間。 三、研究假設：實驗組不同性別的學生在「多方塊組合測驗」後測得分沒有 顯著差異。 本研究假設的依變數為「多方塊組合測驗」後測得分，共變量為智力測 驗數學分數總和（含數學推理、空間關係、抽象推理），在教學實驗後以共 變數（ANCOVA）分析考驗不同組別在「多方塊組合測驗」後測得分是否有 顯著差異，如表4-1-3。. 39.
(49) 表 4-1-3 實驗組不同性別的學生在「多方塊組合測驗」後測表現統計量及差 異分析 組別（實驗組） 個數. 平均. 標準差. 調整後平均數. 男生組. 15. 32.13. 1.60. 31.993. 女生組. 15. 28.8. 3.53. 29.078. F值. P. 9.536 .005*. 實驗組不同性別的學生在「多方塊組合測驗」後測的共變數分析的平均 數各為 32.13與 28.8，在排除智力測驗數學分數總和（含數學推理、空間關 係、抽象推理）此共變量的影響後各為 31.993與 29.078，由表4-1-3可知實 驗組不同性別的學生在「多方塊組合測驗」後測表現有很顯著的差別 （F=9.536，p=.005<.05）。 本研究結果顯示數學電子軟體教學之後，不同性別的學生在「多方塊組 合測驗」後測得分有顯著差異，也就是說男生在數學電子軟體教學環境的學 習效果比女生在數學電子軟體教學環境的學習效果好。研究者發現男生較適 合數學電子軟體教學環境這可能和男生在平時比女生較多使用電腦有較大的 關係。 本節針對實驗成效作分析後，研究發現數學電子軟體教學和傳統教具教 學一樣的有幫助。若排除智力測驗數學分數總和（含數學推理、空間關係、 抽象推理）此共變量影響之後，數學電子軟體教學低分組的學生與高分組的 學生在後測減前測表現有顯著差異，這表示數學電子軟體教學對於低分組學 生會有較多的進步。然而在數學電子軟體數學教學上不同性別的學生後測表 現，非常明顯的是男生優於女生，表示男生在數學電子軟體教學有較好的學 習表現，也就是說男生比女生適合數學電子軟體教學。. 40.
(50) 第二節 學生歷程和反應分析 研究者透過研究過程中進行觀察和分析，並根據學生前測、學習單、後 測和教學後的心得及感想問卷來探討使用多方塊數學電子軟體教學環境下與 傳統教具教學的環境下學生學習的狀況及觀察使用多方塊電子軟體教學環境 對學生學習態度及解題策略的改變。為使研究方便記錄與描述，並保護個人 隱私，學生姓名均以化名呈現。 一、多方塊數學電子軟體教學對學生數學解題策略的影響 （一）多方塊數學電子軟體教學實施前學生無法表現出特定的策略 在實施多方塊電子軟體教學前，學校的數學課程的進度是一元二次方 程式的應用問題，從研究者上課的觀察，學生在面對應用問題時都懷著恐 懼的心理，面對題目時無法掌握題目的意涵，而且在解題時無法對題目作 分析及題目關鍵點的掌握，顯示學生對解題能力的缺乏。 在前測時的實施中，每個人發一本試題及六個單位方塊，題目是：「請 找出六個方塊的平面組合有那些？」經過說明圖形如果經過旋轉及對稱之 後的圖形是相同的我們當作只找到一種圖形。作答時間為三十五分鐘，研 究者觀察學生開始作答時，發現兩組有六十個學生中在處理多方塊組合題 目時有十五個人一開始並未使用六個方塊的教具，也就是未使用多方塊實 體的操作，反而都是依據自己的想像去作答，研究者也發現這些學生在作 答後開紿幾分鐘帶著喜悅，作答似乎得心應手，但在作了幾個圖形後，卻 不知如何再作答，停止作答好幾分鐘，才忍不住拿起方塊來作組合，才使 答案能再延續，在這時教具的使用對於學生的學習似乎已產生了影響。 在前測實施時，研究者觀察大部分的學生在組合六個方塊時，雜亂無 章法，拼到什麼圖形就畫什麼圖形的方式進行，也就是說研究者並無看有 學生在作比對旋轉後圖形是否相同的動作，等到二十五分鐘後，才開始有 學生作前後的比對，到測驗結束時曾經作比對的學生也只有十七人，而其 餘的學生進度似乎停頓，仍在似曾相識的圖形中打轉。在觀察學生前測的 試卷後看出學生答案中重覆的圖形很多，學生雖知旋轉及對稱是屬於同一 種的圖形，但卻較無法歸納比對，有效的剔除重覆的部分，如表4-2-1 。. 41.
(51) 表 4-2-1 前測時學生出現重覆圖形統計表 項目. 實驗組(30人). 控制組(30人). 總人數. 圖形重覆總個數. 264. 285. 549. 平均每人圖形重覆個數. 8.8. 9.5. 9.15. 研究者統計學生作答時重覆的圖形在實驗組共有264個圖重覆，而控制 組共有285個圖形重覆，共有549個重覆，60個學生平均每個人在作圖時會 畫出的重覆圖形有9.15個。 從兩組的前測作答時可以發現60個學生中，只有約18個學生，是有策 略的運用，但由學生的回饋中可知這些學生擁有自己對於解題的想法，但 是還沒有思考出整體的架構，只表示可能是這樣做的，但詢問其是否能找 出全部的解時，都微笑或是表示目前並不可能找出全部的解，尚未思考的 很完整；然而其餘的學生卻都表示是「亂排的」、「用猜的」，並無特定 的策略可言，部份學生的想法如圖4-2-1~圖4-2-4 1. 阿峰的想法（圖4-2-1）：阿峰並未表明先找一個圖形是如何而來，這 個圖形的產生根據研究者的觀察是隨意拼出的，當無法找到時就停頓 了，以致於最後是想到就畫。. 圖 4-2-1 阿峰前測的想法 2. 小盈的想法（圖4-2-2）：小盈提到了塊和排的概念。. 圖 4-2-2 小盈前測的想法 3. 小怡的想法（圖4-2-3）：小怡已有由簡而繁的認知，知道從少片的組 合延伸到多片的組合。. 圖 4-2-3 小怡前測的想法 42.
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