學生歷程和反應分析

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表 4-2-1 前測時學生出現重覆圖形統計表

項目 實驗組(30人) 控制組(30人) 總人數

圖形重覆總個數 264 285 549

平均每人圖形重覆個數 8.8 9.5 9.15

研究者統計學生作答時重覆的圖形在實驗組共有264個圖重覆，而控制 組共有285個圖形重覆，共有549個重覆，60個學生平均每個人在作圖時會 畫出的重覆圖形有9.15個。

從兩組的前測作答時可以發現60個學生中，只有約18個學生，是有策 略的運用，但由學生的回饋中可知這些學生擁有自己對於解題的想法，但 是還沒有思考出整體的架構，只表示可能是這樣做的，但詢問其是否能找 出全部的解時，都微笑或是表示目前並不可能找出全部的解，尚未思考的 很完整；然而其餘的學生卻都表示是「亂排的」、「用猜的」，並無特定 的策略可言，部份學生的想法如圖4-2-1~圖4-2-4

1. 阿峰的想法（圖4-2-1）：阿峰並未表明先找一個圖形是如何而來，這 個圖形的產生根據研究者的觀察是隨意拼出的，當無法找到時就停頓 了，以致於最後是想到就畫。

圖 4-2-1 阿峰前測的想法

2. 小盈的想法（圖4-2-2）：小盈提到了塊和排的概念。

圖 4-2-2 小盈前測的想法

3. 小怡的想法（圖4-2-3）：小怡已有由簡而繁的認知，知道從少片的組 合延伸到多片的組合。

圖 4-2-3 小怡前測的想法

4. 阿緯的想法（圖4-2-4）：在排六個方塊的圖形時，他已想到用五個方

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圖 4-2-5 累加排列學生的做法

圖中顯示兩個方塊的組合只有一種（圖中紅色圈圈部份），再加一 個方塊變成三個方塊的組合有兩種（圖中藍色圈圈部份），再以這三個 方塊組合的兩種圖形為基礎再加一個方塊組合成四個方塊（圖中綠色圈 圈部份），其組合有五種，再以此類推增加一個方塊的情形。

假如學生懂得基本圖形再增加一個方塊組合時，可觀察其組合的圖 形，若發現組合後的圖形有些在經過旋轉及對稱後會造成組合圖形的重 覆性，在最後驗證階段將會節省了不少的時間。

2. 逐減排列：由欲排的多方塊組合，先排成一列，再逐步減少一個方塊，

來作移動，看看組合的狀況，如圖4-2-6。

圖 4-2-6 逐減排列學生的做法

圖中說明排列過程是先將要排的方塊組合排成一列。兩個方塊組 合，是先將兩個方塊排成一橫列，再拿一個方塊移動，看看圖形的組合 發現有一種（圖中紅色方塊的部份）。組合三個方塊時是先將方塊排成 一橫列，再拿一個方塊移動，看看圖形的組合發現有兩種（圖中藍色方

塊的部份）。組合四個方塊時也是先把四個方塊排成一橫列，再拿一個

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在實施多方塊組合教學後研究者也發現在教學後學生的學習並未因 為課程的結束而停止，有些學生會來詢問是否網路上有相關的知識，也會 來詢問有關多方塊的問題。有學生在感想與心得中提到：「不好找，很容易 就又重覆了，我覺得操作時間再久一些可能會有更好的方法解答才對，假如找到了以 後應該會方便做一些事。」，研究者分析後認為可能因為這次的教學只有兩 節課的時間，如果延長時間加深學生探討多方塊的解題策略，甚至讓各組 學生於實驗後討論，也許學生可以發展更多不同的解題策略與思考樣式。

（三）多方塊數學電子軟體教學時學生產生新的數學思維

在教學中，研究者發現在實驗組的學生有較多的時間進行討論，討論 中也不會害怕自己已經組合完成的圖形因討論時不小心動到而散開，所以 討論時比較熱絡，有更多的時間花在討論上，在學生教學中的學習單中發 現，實驗組的學生有提到對稱圖形如何簡化，及運用自己創造的符號進行 討論。實驗組學習單中有四個人寫到如何可以減少比對圖形的方法，但在 控制組中卻沒有學生提到有關對稱圖形的想法。下面的說明可顯示學生在 解題中出現新的思維。

1. 學生在學習中會自己使用符號來思考對稱圖形，如圖4-2-7。

圖 4-2-7 學生的符號

圖形中有中間的四個圖斜線的方塊，其四周圍分別填入圈圈、三角 形和叉叉的圖形，而相同的圖形位置表示加入一個方塊時會產生相同的 五個方塊組合，也就是說以四個直立方塊加上一個方塊變成五個方塊的 組合只需要拼在圈圈、三角形或是叉叉各一個地方就夠了。這樣可以減 少拼塊的時間，及減少重覆比對檢驗是否有重覆圖形的時間。

2. 學生在學習中會思考到對稱及旋轉圖形產生的影響，如圖4-2-8。

圖 4-2-8 學生會思考到對稱圖形產生

學生已了解圖形的對稱問題有影響解題的快慢，針對稱問題提出了 解決方法，漸少了找解的時間，如圖4-2-9。

圖 4-2-9 學生會解決對稱產生的問題

研究者推論，實驗組學生會產生這樣的解題想法是因為實驗組的學 生有較多的討論，讓想法可以經過交流後產生，多方塊電子軟體教具使 用的便利性，讓學生有更多的時間去思考，產生新的思維。

（四）多方塊數學電子軟體教學實施後學生解題策略的成長

研究者觀察學生在學習多方塊課程時，是很願意去嘗試的，每個人的 想法及分析歸納…等等的能力，在學習期間可以發現有些許的不同，但在 討論的過程中，有些學生是會從中獲得啟發，修改自己的解題策略。也發 現學生很願意分享自己的成果，如圖4-2-10。

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圖 4-2-10 實驗組的學生進行分享

教學課程結束後，實驗組三十個學生在教學感想及心得中，有二十一 位同學非常希望能再使用電子軟體教學；八人並未表示是否願意再使用電 子軟體教學；有一人表示不願意（是因為被老師分到和不喜歡的人一組）；

其他部分學生回應如下：

小 婷：好像去電腦教室上課我們班會比較認真~！！

小 均：要是以後要再去的時候我一定會再去的，因為實際操做比較能記著住。

阿 鴻：突然覺得數學好好玩喔，對解題也有很大的幫助，使我的東西不會太亂。

這種課程對我有蠻大的幫助，希望以後有多一點課程。

小 紜：我覺得學到了有關邏輯推理，空間概念類的能力，從最基本的圖形試著訑 所有可能的都排排看，到較複雜的圖形，這個過程當中同樣在考驗著數 理能力，還有專 注力和耐心，幾乎是缺一不可的，我也覺得這當中的 過程是非常地令人入迷。

小 憶：希望下次再有機會，能在電腦教室上數學，也希望能學到更多好玩的數學。

研究者觀察學生在這個課程中能夠啟發學生的解題思維。在後測時，

學生的努力運用自己的策略想把完全的解找出，看到學生認真的模樣，讓 教學者也充滿了期待，如圖4-2-11。

圖 4-2-11 學生後測時專注神態

雖然在後測的結果出來以後，60個學生之中只有一個找到完全的解，

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表 4-2-5 傳統教具和數學電子軟體環境的比較

在傳統教具教學的環境 在數學電子軟體教學的環境 1. 教室桌面太小，容納方塊數有限 1. 螢幕上可容納的方塊數較多 2. 組合出的圖形易散開 2. 方塊的組合可以合併並隨意拖拉 3. 組合方塊旋轉不易 3. 方塊可任意旋轉

4. 學生討論時操作不易 4. 學生討論操作方便

1. 傳統教學的環境桌面太小，容納方塊數有限；在數學電子軟體教學的 環境，螢幕上可容的方塊數較多。如圖4-2-12所示，傳統的桌面有限，

學生要作拼塊會受到限制；而電腦可拼的方塊數較多。

圖 4-2-12 傳統和電子教具拼塊區域比較

2. 傳統教學組合出的圖形易散開；在數學電子軟體教學的環境，方塊的 組合可以合併並隨意拖拉。如圖4-2-13所示，傳統教具會散開，而電 子教具組合的圖形可隨意拖拉，也可排列整齊。

圖 4-2-13 傳統和電子教具有無合併功能比較

3. 傳統教學的環境組合的圖形旋轉不易；在數學電子軟體教學的環境，

組合的圖形可任意旋轉。如圖4-2-14所示，傳統教學的環境旋轉已組 合的圖形時，會怕圖形散開，數學電子軟體教學的環境，組合的圖形 可任意旋轉，可供學生觀察旋轉圖形的變化。

圖 4-2-14 傳統和電子教具有無旋轉功能比較

4. 傳統教學的環境學生討論時操作不易，在數學電子軟體教學的環境，

學生討論操作方便。在電子軟體中，方塊可以討論的空間大，組合的 圖形亦拖拉、合併和旋轉，讓討論更方便。

在教學中，就如圖4-2-13 ，研究者發現控制組在拼方塊的組合時，小 心翼翼的將方塊組合，會害怕不小心動到之前完成的圖形。剛好在教學 中，吹了一陣風把同學所拼出的圖形吹得一團亂，學生出現了一陣驚呼，

從地上撿回自己的方塊，這也是讓研究者有很深刻的感覺。然而在拼五個 方塊的組合時控制組就有人抱怨，說明桌面太小，可能無法容納這麼多的 方塊數，在小組做討論時也較無法隨自己的意願旋轉圖形來進行說明自己 的想法，有時在看圖形時還必需起身旋轉。實驗組的學生卻操作的狀況良 好，很有自信心，沒什麼問題。

在教學課程結束後，實驗組三十個學生在感想及心得中，有二十二位 同學對於軟體操作是認為很簡單沒有困難的，其餘的七人並未表示操作的 困難度，而有一人表示困難，部分學生回應如下：

小 鳳：剛開始使用時候，會很不熟練，且很不習慣，但漸漸可以熟悉，且可以用 的很熟練，使用這個軟體很快就可以學會，且很快就能漸入佳境。

阿 哲：我覺得在操作此軟體並無困難，不過作圖空間可以再大一點。

阿 平：很好懂不困難很輕鬆的學習。

阿 平：很好懂不困難很輕鬆的學習。