：如何密鋪整個平面

圖3.2.3 密鋪於平面的平行四邊形及其輪廓

二、 旋轉

以《E056 蜥蜴》為例：圖 3.2.4 的黑色 60—90—120—90 鳶形為蜥蜴 的數學骨架，也就是此鳶形可以經由裁貼變成蜥蜴的鑲嵌圖案。圖 3.2.5 為鳶形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需剪掉 8 小塊，再拼貼至 正確的位置，以大寫英文字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表示拼貼 的正確位置。在拼貼的過程中可以發現：A、B 以 120 度頂點為旋轉點旋 轉 120 度拼貼至 a、b；而 C、D、E、F、G 則以 60 度頂點為旋轉點旋轉 60 度拼貼至 c、d、e、f；H 則以 60 度頂點為旋轉點旋轉兩次 60 度拼貼 至 h。這與平移單位的密鋪方式有這很大的關係，這也是為什麼如此裁貼 出的蜥蜴可以密鋪平面。

圖3.2.4 黑色鳶形的數學骨架 圖3.2.5 切割、拼貼後的輪廓線

先將鳶形密鋪於平面，並且留下裁切線，如圖 3.2.6。將裁切線及輪 廓線畫至與其相鄰的鳶形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動整 塊鳶形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可 以密鋪於平面的鑲嵌圖案。將一個鳶形的裁貼經由想像擴大到無窮多的鳶 形一起裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。

圖3.2.6 密鋪於平面的鳶形及其輪廓

三、 滑行鏡射

以《E109 遲遲疑疑的傢伙》為例：圖 3.2.7 的綠色正方形為遲遲疑 疑的傢伙的數學骨架，也就是此正方形可以經由裁貼變成遲遲疑疑的傢伙 的鑲嵌圖案。圖 3.2.8 為正方形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分 需剪掉 6 小塊，再拼貼至正確位置，以大寫英文字母表示需裁切的部分，

小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現：A、B、C 為上下平移拼貼至 a、b、c，而 D、E、F 都是以水平線為鏡射軸鏡射後滑 行拼貼至 d、e、f。這與平移單位的密鋪方式有這很大的關係，這也是為 什麼如此裁貼出的遲遲疑疑的傢伙可以密鋪平面。

圖3.2.7 綠色正方形的數學骨架 圖3.2.8 切割、拼貼後的輪廓線

先將正方形密鋪於平面，並且留下裁切線，如圖 3.2.9。將裁切線及 輪廓線畫至與其相鄰的正方形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬 動整塊矩形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼 出可以密鋪於平面的鑲嵌圖案。將一個正方形的裁貼經由想像擴大到無窮

多起，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。

圖3.2.9 密鋪於平面的正方形及其輪廓

四、 鏡射

以《E081 蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶》為例：圖 3.2.10 的黑色正方形為 蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶各半隻的的數學骨架，也就是此正方形可以經由裁 貼、複製變成展開為蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶各一隻的鑲嵌圖案。圖 3.2.11 為正方形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需將正方形分割為 4 小 塊，再將其複製鏡射至正確位置，以大寫英文字母表示需裁切的部分，小 寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現：A、B、C、

D 分別以它們所對應的正方形的四邊為對稱軸，將自身複製鏡射到另一邊 去而得到 a、b、c、d。這與平移單位的密鋪方式有這很大的關係，這也 是為什麼如此裁貼出的蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶可以密鋪平面。

圖3.2.10 黑色正方形的數學骨架 圖3.2.11 切割、複製、拼貼後的輪廓線

先將正方形密鋪於平面，並且留下切割線，如圖 3.2.12。將切割線及 輪廓線畫至與其相鄰的正方形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬

動其中各半隻蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶的整塊正方形，而搬動的方式就是平 移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪於平面的鑲嵌圖案。將 一個正方形的裁貼經由想像擴大到無窮多起，便更能意會鑲嵌圖形的藝 術。

圖3.2.12 密鋪於平面的正方形及其輪廓

五、 正多邊形中心旋轉縮放

以《E065 蛾》為例：圖 3.2.13 的黑色等腰直角三角形為蛾的數學骨 架，也就是此等腰直角三角形可以經由縮放、裁貼變成蛾的鑲嵌圖案。圖 3.2.14 為等腰直角三角形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需將等 腰直角三角形分割為 6 小塊，再將其縮放、旋轉至正確位置，以大寫英文 字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過 程中可以發現：A、B 以上方 O 點為中心，縮小 2 倍並逆時針旋轉 45 度 而至 a、b；同樣的 D、E 以上方 O 點為中心，縮小 2 倍並順時針旋轉 45 度而至 d、e；而 C 以上方 O 點為中心，放大 2 倍並逆時針旋轉 45 度而 至 c；F 以上方 O 點為中心，放大 2 倍並順時針旋轉 45 度而至 f。這與 平移單位的密鋪方式有這很大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的蛾可以 密鋪平面。

圖3.2.13 黑色等腰直角三角形的數學骨架 圖3.2.14 切割、縮放、拼貼後的輪廓線

先將等腰直角三角形密鋪於平面，並且留下切割線，如圖 3.2.12。將 切割線及輪廓線畫至與其相鄰的等腰直角三角形，仔細觀察可以發現搬動 裁切區塊相當於搬動並縮放整塊等腰直角三角形，而搬動縮放的方式就是 平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪於平面的鑲嵌圖案。

將一個等腰直角三角形的裁貼經由想像擴大到無窮大小的無窮多起，便更 能意會鑲嵌圖形的藝術。

圖3.2.15 密鋪於平面的等腰直角三角形及其輪廓

六、 螺線型

以《漩渦》為例：圖 3.2.16 與圖 3.2.18 的等腰直角三角形均為數學骨 架，但內部分割的形狀略有不同，如圖 3.2.17 與 3.2.19 所示的輪廓線。

圖3.2.16 向內游動的魚的數學骨架 圖3.2.17 向內魚的輪廓線

圖3.2.18 向外游動的魚數學骨架 圖3.2.19 向外魚的輪廓線

這兩組輪廓線都是由圖 3.2.20 的《圍繞》的魚所變形而成。圖 3.2.21 為等腰直角三角形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需將等腰直角 三角形分割為 5 小塊，再將其縮放、翻面與旋轉至正確位置，以大寫英文 字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過 程中可以發現：A 以上方 O 點為中心，放大 2 倍並翻面後，旋轉至 a；

同樣的 B、C 以上方 O 點為中心，放大 2 倍並翻面後，旋轉至 b、c；而 D 以上方 O 點為中心，縮小 2 倍並翻面後，旋轉至 d；E 以上方 O 點為 中心，縮小 2 倍並翻面後，旋轉至 e。這與平移單位的密鋪方式有這很 大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的魚可以密鋪《圍繞》的平面。

圖3.2.20

黑色等腰直角三角形的數學骨架

圖3.2.21

切割、縮放、翻面、拼貼後的輪廓線

再比較圖 3.2.17 與圖 3.2.19，就發現兩者都是由圖 3.2.21 變形而來，

一個是向魚頭偏移，一個是向魚尾偏移。

先將等腰直角三角形密鋪於平面，並且留下切割線，如圖 3.2.22。將 切割線及輪廓線畫至與其相鄰的等腰直角三角形，仔細觀察可以發現搬動 裁切區塊相當於搬動並縮放、翻面整塊等腰直角三角形，而搬動縮放、翻 面的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪於平面 的鑲嵌圖案。將一個等腰直角三角形的裁貼經由想像擴大到無窮大小的無 窮多起，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。

圖3.2.22 密鋪於平面的螺線型等腰直角三角形及其輪廓

七、 等腰直角三角形類型

以《方極限》為例：圖 3.2.23 的黑色等腰直角三角形為魚的數學骨 架，也就是此等腰直角三角形可以經由裁貼變成魚的鑲嵌圖案。圖 3.2.24 為等腰直角三角形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需將等腰直角 三角形分割為 4 小塊，再將其拼貼至正確位置，以大寫英文字母表示需裁

切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發 現：A、B 以斜邊中點為旋轉中心，旋轉 180 度至 a、b；C、D 以直角頂 點為旋轉中心，旋轉 90 度至 c、d。這與平移單位的密鋪方式有這很大的 關係，這也是為什麼如此裁貼出的魚可以密鋪平面。

圖3.2.23 黑色等腰直角三形的數學骨架 圖3.2.24 切割、縮放、拼貼後的輪廓線

特別地，由密鋪方式可以發現圖 3.2.25 中，將魚的外框分為 A、B、

C、D 四段後可以發現，為了滿足這個外框能如圖 3.2.26 一般的與大小不 一定相同的外框相接，圖 3.2.25 除了需滿足 A 段與 B 段形狀相同、C 段 與 D 段形狀相同之外，還需要滿足將 A 段對著銳角頂點縮小 2 倍並上下 翻轉後，再旋轉至 D 段的位置將一致。也就是說，A、B、C、D 四段外 框其實是完全相似的。

圖3.2.25 將魚外框分為四段 圖3.2.26 數學骨架與輪廓線

先將等腰直角三角形密鋪於平面，並且留下切割線，如圖 3.2.27。將 切割線及輪廓線畫至與其相鄰的等腰直角三角形，仔細觀察可以發現搬動 裁切區塊相當於搬動並縮放、翻面整塊等腰直角三角形，而搬動縮放、翻

面的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪於平面 的鑲嵌圖案。將一個等腰直角三角形的裁貼經由想像擴大到無窮大小的無 窮多起，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。

圖3.2.12 密鋪於平面的等腰直角三角形及其輪廓