第四章 ：教材內容說明
第二節 ：工作單內容說明
為讓使用者更有效率的使用這兩種數位教材，本研究亦開發出工作 單，希望藉由工作單能讓數位教材的使用者更清楚了解鑲嵌藝術中的幾何 數學。
工作單內容包含：引言之鑲嵌版畫創作背景與封面圖說明、影片總回 顧之數學與藝術、細說影片第二段之如何由數學骨架裁貼出鑲嵌圖案、表 演欣賞之主要密合方式、密鋪平面之形成鑲嵌圖，以及回饋單。
本研究為下述 23 幅版畫《E024 鳥與魚》、《E026 燕子與昆蟲》、
《E038 蛾》、《E043 花與葉》、《E056 蜥蜴》、《E058 兩隻魚》、《E063 悲 觀者樂觀者》、《E065 蛾》、《E095 鳥》、《E101 分裂》、《E109 遲遲疑疑 的傢伙》、《E133 交錯的六邊形》、《八面玲瓏》、《方極限》、《方極限蜥 蜴》、《生命之路Ⅰ》、《生命之路Ⅱ》、《生命之路Ⅲ》、《烏得勒支公墓壁 畫》、《圍繞》、《越來越小》、《漩渦》以及《德魯斯插圖》製作工作單，並 依鑲嵌版畫編號由小到大一一排序。
E024 鳥與魚工作單
3. 影片中有幾種顏色的鳥與魚？
三、 真的是鳥與魚磁磚嗎
由藝術表演可以知道經過數學原理形成的鳥與魚可以互相密合，其密合方式有兩 種：
(1) 左右的密合
(2) 上下的密合
而整個磁磚的密合亦可分為兩種：
(1) 左右的密合 (2) 上下的密合
有了這兩種密合方式，就可以將鳥與魚磁磚密鋪在平面上了。
四、 鳥與魚的鑲嵌圖
透過了解鳥與魚在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後，即可在數學骨架上 密鋪出鳥與魚鑲嵌圖，左下圖是先將魚放在數學骨架上的正確位置，其他的鳥與 魚除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩種密合方式密鋪。
關於艾薛爾的《E024 鳥與魚》原圖，如下圖所示：
矩形竟可變成如此栩栩如生的鳥與魚，當中到底用了哪些數學觀念呢？仔細觀察
會發現，每一橫列的鳥與魚皆為平移的關係；但上下列來看的話，卻是魚與鳥相 間，不同列的魚或鳥們又互為為翻面關係。另外，注意作品上一格矩形中只有一 隻鳥或一隻魚，所以你應該要怎麼選擇，去完成它的一組數學骨架呢？
E024 鳥與魚回饋單 1. 請你回想一下，每一隻鳥周遭圍繞著幾隻魚呢？
□ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 2. 一個矩形數學骨架包含了哪隻生物？
□ 一隻鳥 □ 一隻魚 □ 一隻鳥及一隻魚 3. 鳥的表面積是否恰占其數學骨架矩形面積的一半？
□ 是 □ 否 □ 不一定
4. 右下圖為艾薛爾的《E026 燕子與昆蟲》作品，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右 下圖畫出燕子與昆蟲的矩形數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出燕子與 昆蟲。
5. 鳥與魚的數學骨架除了是矩形外，三角形也是鳥與魚的數學骨架，請參考左下圖所 畫的數學骨架，在右下圖畫出鳥與魚的三角形數學骨架，並用找到的數學骨架說明 如何剪貼出鳥與魚。
6. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 又有何建議：
………...
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□ 老師 □ 學生 □ 社會人士 學校 _____________ _____________
班級 _____________
E024 鳥與魚工作單
E026 燕子與昆蟲工作單
4. 鋪滿數學舞台的燕子與昆蟲們有哪些特色？
(2) 上下的密合
而整個磁磚的密合亦可分為兩種：
(1) 左右的密合 (2) 上下的密合
有了這兩種密合方式，就可以將燕子與昆蟲磁磚密鋪在平面上了。
四、 燕子與昆蟲的鑲嵌圖
透過了解燕子與昆蟲在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後，即可在數學骨 架上密鋪出燕子與昆蟲鑲嵌圖，左下圖是先將燕子放在數學骨架上的正確位置，
其他的燕子與昆蟲除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩種密合 方式密鋪。
關於艾薛爾的《E026 燕子與昆蟲》原圖，如下圖所示：
6. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分)
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E026 燕子與昆蟲工作單
E038 蛾工作單
3. 影片中有幾種顏色的蛾？
(1) 左上與右下的密合 (2) 右上與左下的密合
有了這兩種密合方式，就可以將蛾磁磚密鋪在平面上了。
四、 蛾的鑲嵌圖
透過了解蛾在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪 出蛾鑲嵌圖，左下圖是先將第一隻蛾放在數學骨架上的正確位置，其他的蛾除了 要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩種密合方式密鋪。
關於艾薛爾的《E038 蛾》原圖，如下圖所示：
這是最基本的一種鑲嵌方式，每個骨架中只有一隻蛾，也只使用平移的方式互相 鑲嵌。就是因為它是這麼簡單的結構，一直到1941年艾薛爾才在清單上發現自己 遺漏了這種鑲嵌方式，才製作此作品，並且刻意將其畫為不左右對稱的圖形，使 其無法翻轉。你能發現相鄰的蛾之間，平移的方向與其數學骨架有何關係嗎？
E038 蛾回饋單 1. 請你回想一下，每一隻蛾周遭圍繞著幾隻蛾呢？
□ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻
2. 每隻蛾的面積與其數學骨架平行四邊形的面積是否一樣？
□ 是 □ 否
3. 如下圖，右邊的綠蛾與左邊的紅蛾是甚麼樣的關係呢？
□ 平移 □ 旋轉 □ 翻面
4. 右下圖為艾薛爾的《E073 飛魚》的作品，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖 畫出飛魚的平行四邊形數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出飛魚。
5. 蛾的數學骨架除了是平行四邊形外，矩形也是蛾的數學骨架，請參考左下圖所畫的 數學骨架，在右下圖畫出蛾的矩形數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出 蛾。
6. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 又有何建議：
………...
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E038 蛾工作單
E043 花與葉工作單
二、 如何從數學骨架裁貼出花與葉
綜合下面兩個方式即可裁貼出花與葉，方式如下：
甲、
將菱形剪下四個小區塊 A , B , C , D，並將這四個小區塊貼到正確的位置 上，即 A → a；B → b；C → c；D → d乙、
如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的旋轉：(1) A → a ：將 A 區塊以下方120度頂點為中心旋轉到 a (2) B → b ：將 B 區塊以上方120度頂點為中心旋轉到 b (3) C → c ：將 C 區塊以上方120度頂點為中心旋轉到 c (4) D → d：將 D 區塊以上方120度頂點為中心旋轉到 d
裁貼出花與葉後可以發現：菱形的其中四個頂點分別在花瓣尖端與葉緣處，這 就是花與葉在數學骨架上的正確位置。
三、 真的是花與葉磁磚嗎
由藝術表演可以知道經過數學原理形成的花與葉可以互相密合，其密合方式有兩 種：
(1) 葉子之間的密合
(2) 葉子與花的密合
而整個磁磚的密合亦可分為兩種：
(1) 兩片葉子與花的密合 (2) 花與葉的密合
有了這兩種密合方式，就可以將花與葉磁磚密鋪在平面上了。
四、 花與葉的鑲嵌圖
透過了解花與葉在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後，即可在數學骨架上 密鋪出花與葉鑲嵌圖，左下圖是先將花放在數學骨架上的正確位置，其他的花與 葉除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩種密合方式密鋪。
艾薛爾《E043 花與葉》的原圖，如下圖：
艾薛爾在當初的手稿設計上標註，此類結構應為三色交替的作品，但在繪圖後發
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E043 花與葉工作單
E056 蜥蜴工作單
二、 如何從數學骨架裁貼出蜥蜴
(1) 三隻右後肢膝蓋的密合 (2) 四隻右前肢與尾巴的密合
(3) 六隻左前肢的密合
有了這三種密合方式，就可以將蜥蜴磁磚密鋪在平面上了。
四、 蜥蜴的鑲嵌圖 甲、蜥蜴的鑲嵌圖
透過了解蜥蜴在數學骨架上的正確位置及三種密合方式後，即可在數學骨架 上密鋪出蜥蜴鑲嵌圖，左下圖是先將蜥蜴放在數學骨架上的正確位置，其他 的蜥蜴除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照三種密合方式密 鋪。
下圖為蜥蜴的原圖，與前一號作品《E055 美妙的魚》相比之後不難發現，
兩幅作品的結構是一致的。
5. (1)下圖為《E056 蜥蜴》的原圖，圖中的紅色三角形是甚麼三角形呢？（三角形的頂 點分別為蜥蜴的左前肢與兩隻蜥蜴的右後肢膝蓋）
(2)圖中的紅色三角形是否為蜥蜴的數學骨架呢？
6. 關於影片(含拼圖遊戲)與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 又有何建議：
………...
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E056 蜥蜴工作單
E058 兩隻魚工作單
4. 鋪滿數學舞台的兩隻魚們有哪些特色？
□ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣 二、 如何從數學骨架裁貼出兩隻魚
綜合下面兩個方式即可裁貼出兩隻魚，方式如下：
甲、
將三角形剪下四個小區塊 A , B , C , D，並將這四個小區塊貼到正確的位置 上，即 A → a；B → b；C → c；D → d乙、
如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移、旋轉與翻轉：(1) A → a ：將 A 區塊以底邊中點旋轉180度到 a (2) B → b ：將 B 區塊向左平移到 b
(3) C → c ：將 C 區塊上下翻轉後平移到 c (4) D → d：將 D 區塊上下翻轉後平移到 d
裁貼出兩隻魚後可以發現：三角形的其中兩個頂點恰在長魚的嘴邊，這就是兩 隻魚在數學骨架上的正確位置。
三、 真的是兩隻魚磁磚嗎
由藝術表演可以知道經過數學原理形成的兩隻魚可以互相密合，其中單隻長魚與 扁魚密合方式有五種，而且扁魚之間沒有相鄰：
(1) 長魚與扁魚的密合
(2) 長魚與長魚的密合
而整個磁磚的密合亦可分為兩種：
(1) 左右的密合
(2) 上下的密合
有了這兩種密合方式，就可以將兩隻魚磁磚密鋪在平面上了。
四、 兩隻魚的鑲嵌圖
透過了解兩隻魚在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後，即可在數學骨架上 密鋪出兩隻魚鑲嵌圖，左下圖是先將一隻長魚放在數學骨架上的正確位置，其他 的魚除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩種密合方式密鋪。
下圖為兩隻魚的原圖。艾薛爾的作品 46、58、59 號均以兩隻魚作為主題，且看 起來都頗為相似，但這幾幅圖的設計結構都是不一樣的，你看的出來嗎？
E058 兩隻魚回饋單
1. 根據你的經驗，你在哪裡看過這種上下相間的三角形密鋪呢？
2. 請你回想一下，每一隻魚周遭圍繞著幾隻魚呢？（相鄰才算，只接觸一點不算）
2. 請你回想一下，每一隻魚周遭圍繞著幾隻魚呢？（相鄰才算，只接觸一點不算）