：鑲嵌圖案的規則

在鑲嵌圖案的規則中，最基本的就是：「使用有限圖案種類，依照一定規則 的鋪滿整個平面」，依此先分成兩個方向探討規則。

(一) 以鑲嵌的單位討論：

如前一節所述，可先大項分為多邊形系列與非多邊形系列。但其中非 多邊形系列在本研究中一律可將其視為多邊形的發展。由多邊形系列所組 成的鑲嵌，一般來說可如下分細分為三類：

(1) 正多邊形鑲嵌。

此類型的鑲嵌恰有 3 種，如下圖所示。

圖2.2.1 (3,3,3,3,3,3)鑲嵌 圖2.2.2 (4,4,4,4)鑲嵌

圖2.2.3 (6,6,6)鑲嵌

此類鑲嵌方式的規則與命名為：每一個頂點所接皆為一樣的正多 邊形；再依每一個頂點所接的正多邊形的邊數依序數出作為命名。

(2) 半正多邊形鑲嵌。

此類型的鑲嵌恰有 8 種，下圖所示為其中 3 種。

圖2.2.4 (4,6,12)鑲嵌 圖2.2.5 (3,6,3,6)鑲嵌

圖2.2.6 (3,3,4,3,4)鑲嵌

此類鑲嵌方式的規則與命名為：每一個頂點所接皆為兩種以上，

同樣組合與次序的的正多邊形，再依每一個頂點所接的正多邊形的邊 數依序數出作為命名。未列出的另 5 種分別為(3,12,12)、(4,8,8)、

(3,4,6,4)、(3,3,3,3,6)、(3,3,3,4,4)

(3) 其他多邊形鑲嵌。

此類型的鑲嵌中的元素包含非正多邊形，而組成元素也不一定非 單一多邊形。因此在元素無法限定的情況下，其組合也是不可數的。

但在這種類型的鑲嵌中，其規則也是由數種基本形式所衍伸出來的。

下圖為 3 種單一多邊形所組成的基本形式示範。

圖2.2.7 單一三角形的規則鑲嵌 圖2.2.8 單一不等邊四邊形的規則鑲嵌

圖2.2.9 單一五邊形的規則鑲嵌鑲嵌

(二) 以鑲嵌的方式討論：

規則中的「使用有限圖案種類」，雖在大多數鑲嵌作品裡均可視為

「使用單一圖案種類」的延伸，例如圖 2.2.10，是將圖 2.2.5 的(3,6,3,6)鑲 嵌中的正三角形與正六邊形中心經由鄰邊相接，此動作稱為對偶(duals)，

可畫出一個以 60 度—120 度的菱形鑲嵌；或者看圖 2.2.11，是將圖 2.2.6 的(3,3,4,3,4)鑲嵌中的正三角形與正方形中心經由鄰邊相接，可視為圖 2.2.9 五邊形鑲嵌的變形。

圖2.2.10 圖2.2.11

因此，在鑲嵌藝術中，便可以「單一固定形狀」作為基本單位，並對 其可能達成的鑲嵌「方式」來分類。鑲嵌的方式主要有四種：平移

(translation)、旋轉(rotation)、鏡射(refllection)與滑行鏡射(glide

refllection)。數學家的直觀想法知道對單一任意形狀的鑲嵌方式的組合也 是有限的，而這有限的數量最早由俄國的數學與晶體學家費德羅夫(E. S.

Fedorov, 1853-1919 )在 1891 年所發表的《The Symmetry of Regular Systems of Figures》中，以群論的概念證明出恰有 17 種的平面對稱群，

可以用以對應所有的鑲嵌方式。下圖 2.2.11 為匈牙利裔美國數學家喬治波

利亞(G. Pólya, 1877-1985)在 1924 年的一篇文章《Ü ber die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene》中所繪製的 17 種鑲嵌圖案，恰好對應 17 種的平面對稱群。

圖2.2.12 G. Pólya’s illustration

圖片來源：M.C. Escher: Visions of Symmetry, Doris Schattschneider (2004), p.23

以上述兩個不同的方向，就可以用以分析絕大多數的鑲嵌藝術作品。但仍 有其他形如下圖 2.2.12 與圖 2.2.13 的無窮鑲嵌。

圖2.2.13 無數多個相似等腰直角三角形的鑲嵌

圖2.2.14 無數多個相似正方形的鑲嵌

上兩圖都是使用了無數個大小不同的相似形作為鑲嵌的單位，因此本研究 再另外討論這些種類的鑲嵌方式。

(三) 無窮鑲嵌：

在無窮鑲嵌中，其數學骨架因為會有大小差異，所以能夠完成密鋪的 限制條件也較不同，以下本研究再細分為三種討論：

(1) 以正多邊形中心為旋轉與縮放中心的三角形與四邊形的類型。

此類型有圖 2.2.13 的等腰直角三角形所圍成的正方形、圖 2.2.15 的等腰梯形所圍成的六邊形與圖 2.2.16 的四邊形所圍成的八邊形。這 些類型的共同點是使用同樣大小的數學骨架圍成一圈，恰是一個正多 邊形。

圖2.2.15 一圈為六邊形的等腰梯形鑲嵌 圖2.2.16 一圈為八邊形的四邊形鑲嵌

(2) 螺線型。

圖 2.2.14 的無數多個相似正方形的鑲嵌，恰為黃金螺線的分割方 式，或是如下圖 2.2.17 使用直角三角形鑲嵌。此類型的特點是所有的

數學骨架沿著一支螺線(或兩支)作等比例的縮放並鑲嵌，且每一個數 學骨架的大小比例皆不相同。其中若是使用三支以上的螺線大多可歸 類到上一個類型。

圖2.2.17 兩支螺線與組成的直角三角形

(3) 等腰直角三角形為數學骨架的類型。

等腰直角三角形是較為特別且唯一的一種類型，因為一個等腰直 角三角形由斜邊上的中線恰可分割為兩個較小且與分割前相似的等腰 直角三角形，而用同樣大小的等腰直角角形兩個(或四個)除了可以拼 成一個較大的等腰直角三角形外，亦可以拼成一個正方形，如下圖 2.2.17。而此類型與前兩型最大的差別在於沒有旋轉與縮放的確切中 心，而是由某個三角形開始沿著單一方向作規則的縮小為主。另外，

其實只要直角三角形都可由子母相似定理切為兩個較小的相似直角三 角形，但因為兩個大小在非等腰的時候會不一樣大，使邊長不能完全 密合，所以不在討論的範圍。

圖2.2.17 等腰直角三角形的無窮密鋪

甚至，還有無數個不相似的形狀但富含規則的漸變，密鋪整個平面，或 是龐加萊圓盤，如圖 2.2.18 與圖 2.2.19 的圓極限 I、III (Circle Limit I / III)。但本研究只討論有限的相似形狀，所以暫不討論。

圖2.2.18 艾薛爾的作品：圓極限 I 圖2.2.19 圓極限 III

圖片來源：M.C. Escher: Visions of Symmetry, Doris Schattschneider (2004), p. 316/251