艾薛爾幾何與無窮鑲嵌藝術之數學教學設計

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：許志農博士. 艾薛爾幾何與無窮鑲嵌藝術之數學教學設計. 研究生：蘇章瑋中華民國一百零四年一月.

(2) 致謝感謝我的妻子雅雯，在進行研究的期間一直的陪伴與鼓勵，也感謝妻子在美術上的專業，對於艾薛爾作品的解析提供許多理工科系所不會注意到的細節與指正。感謝指導教授許志農老師，對於論文內容的指導與各種建議，並觀摩了許多如何將本文內容使用於中等學校教育中的方式。感謝口試委員李華介教授與黃森山教授在口試與對論文部分的指導，讓我的論文可以更完整。感謝許志農老師所指導艾薛爾夢幻工廠團隊的同學們，互相交流砥礪的各種意見，一同完成這項創舉。最後感謝 Escher，讓數學與藝術達到如此完美的結合。. III.

(3) 摘要在中等學校教育的數學學習上可以略分為兩大項：易解難明的代數與易明難解的幾何。其中幾何的易明難解，就是因為它是數學學習中看得到的部分。在荷蘭版畫家艾薛爾(M. C. Escher, 1898-1972) 高達 137 幅的手繪平面鑲嵌作品，與數以百計以此為基礎的延伸版畫作品中，便能瞧出這句話的端倪。本研究以看『明』艾薛爾作品中的數學成分後，加以『解』析，讓一般大眾與學生除了欣賞藝術作品外，更能體會到其中的奧妙。在所解析的作品中，除了一般平面幾何鑲嵌外，還有難度更高的無窮等比幾何圖形鑲嵌，這些無窮作品反映了艾薛爾對世界認知的探索，除了富有幾何與代數意義外，更反映了一種哲學觀。為了具體展現解析過程，本研究利用設計軟體 Flash CS 6，將艾薛爾的鑲嵌作品從基本的多邊形骨架開始，逐漸變形為藝術作品的過程製作為教學影片。也希望在觀賞完影片之後，能透過拼圖遊戲的寓教於樂，與工作單的回饋與反思，提升學習興趣與幾何知識的水平. 關鍵字：鑲嵌、艾薛爾（亦譯艾雪，M. C. Escher）、版畫、Flash CS6、無窮. IV.

(4) 目錄論文通過簽名單----------------------------------------------------------. I. 電子授權書----------------------------------------------------------------. II. 致謝-------------------------------------------------------------------------. III. 摘要-------------------------------------------------------------------------. IV. 目錄-------------------------------------------------------------------------. V. 第一章：緒論第一節：研究動機與背景-------------------------------------------. 1. 第二節：研究目的----------------------------------------------------. 2. 第三節：研究範圍與後續-------------------------------------------. 3. 第二章：文獻探討第一節：鑲嵌圖案----------------------------------------------------. 4. 第二節：鑲嵌圖案的規則-------------------------------------------. 6. 第三節：鑲嵌大師艾薛爾的創作背景----------------------------. 13. 第四節：艾薛爾的平面鑲嵌版畫----------------------------------. 14. 第三章：從數學觀點看艾薛爾的平面鑲嵌版畫第一節：尋找數學骨架----------------------------------------------. 19. 第二節：如何密鋪整個平面----------------------------------------. 38. V.

(5) 第三節：變為無窮----------------------------------------------------. 48. 第四章：教材內容說明第一節：數位教材說明----------------------------------------------. 55. 第二節：工作單內容說明-------------------------------------------. 59. 《E024 鳥與魚》--------------------------------------------. 60. 《E026 燕子與昆蟲》---------------------------------------. 66. 《E038 蛾》-------------------------------------------------. 72. 《E043 花與葉》--------------------------------------------. 78. 《E056 蜥蜴》-----------------------------------------------. 84. 《E058 兩隻魚》--------------------------------------------. 90. 《E063 悲觀者樂觀者》-------------------------------------. 96. 《E065 蛾》------------------------------------------------- 102 《E095 鳥》------------------------------------------------- 108 《E101 分裂》----------------------------------------------- 114 《E109 遲遲疑疑的傢伙》---------------------------------- 120 《E133 交錯的六邊形》------------------------------------- 126 《八面玲瓏》------------------------------------------------ 133 《方極限》--------------------------------------------------- 139 《方極限蜥蜴》---------------------------------------------- 145 《生命之路Ⅰ》---------------------------------------------- 151 《生命之路Ⅱ》---------------------------------------------- 158. VI.

(6) 《生命之路Ⅲ》---------------------------------------------- 165 《烏得勒支公墓壁畫》-------------------------------------- 172 《圍繞》------------------------------------------------------ 180 《越來越小》------------------------------------------------ 186 《漩渦》------------------------------------------------------ 192 《德魯斯插圖》---------------------------------------------- 199. 參考文獻中文文獻--------------------------------------------------------------------. 205. 英文文獻--------------------------------------------------------------------. 205. 網路資源--------------------------------------------------------------------. 206. VII.

(7) 第一章：緒論第一節：研究動機與背景小至分子的結構，大至建築的骨架，生活中的物件無一不是由幾何圖形堆砌而成的。但在目前的大多數人的學習歷程中，平面幾何的學習多以傳統考試的目的為主，且也只有在中等學校以下的階段有接觸。在離開學校環境之後，就難以再有去深入研究的動機或是興趣。在荷蘭版畫藝術家艾薛爾(M. C. Escher)的許多幅作品中，除了本身設計上的藝術呈現之外，還放入了大量幾何元素。其中如何在平面上完美密舖幾何圖形的相關學習內容，是規劃在國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域(101 年修訂)中的： S-1-01：能由物體的外觀，辨認、描述與分類簡單幾何形體。 S-1-02：能描繪或仿製簡單幾何形體。 S-2-02：能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。 S-2-07：能理解旋轉角的意義。 S-3-03：能理解平面圖形線對稱的關係。 S-3-04：能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。 S-3-06：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。以及普通高級中學必修科目數學課程綱要(99 課綱)中的：數學 IV（線性代數）／第三章：矩陣／第四節：平面上的線性變換與二階方陣。數學甲 II／第一章：數列與極限／第一節：數列及其極限。. 因此，本研究希望能透過欣賞艾薛爾的作品，以視覺化的過程，製作教學影片與有趣的遊戲；再經由網路平台的流通，使這些數位教材能夠最大化的被應用，而提升學生與大眾對幾何知識的理解，彌補傳統教學的不足。. 1.

(8) 第二節：研究目的學校教育、教科書上的平面幾何課程對大多數學生而言是刻劃在紙上、枯燥乏味的，鮮有較為動態、富含視覺刺激的多媒體教材。本研究即著手製作平易近人且富有美感的數位教材，由深入淺出的方式提升學生與社會大眾的學習興趣與幾何素養。自古以來，在許多的藝術作品中一直都有著對稱、循環而密鋪的鑲嵌圖案。藝術家們或許對於其數學結構並不甚了解，但在他們自然而然的美感中，總是將其呈現。而其中將純粹的幾何圖形，由相互拼湊的視覺饗宴出發，昇華為藝術作品的荷蘭版畫藝術家艾薛爾，即是我們研究對象的首選。綜上所述，本研究主要目的包含以下： 1.. 解析艾薛爾的平面分割作品其中所包含的數學結構。. 2.. 製作教學影片與拼圖遊戲。. 3.. 將解析過程使用淺顯易懂的語言寫為工作單，與教學影片等一同分享於網路，使普羅大眾易於取得並欣賞。. 2.

(9) 第三節：研究範圍與後續為此，本研究挑選艾薛爾 137 幅平面鑲嵌作品中的 12 幅、以及未編號的其他由等大小平面鑲嵌，或是所延伸的所有等比例鑲嵌作品 11 幅，將其解析，並將解析過程製作為三到五分鐘不等長度的教學影片與拼圖、著色遊戲，也針對各影片有回饋工作單。目前已將以上影片與遊戲、工作單公布於許志農教授所主編的《非想非非想》網站( http://www.math.ntnu.edu.tw/museum/ )的艾薛爾鑲嵌藝術／無限系列。屈時可建立網路回饋單系統或留言板與使用者雲端互動，以期對數位教材有所建議、改進。本研究的整體架構分為兩大類，作品的分析與多媒體的製作。作品的分析過程中有以下三個主題： 1.. 幾何性質中等大小數學骨架的解析。. 2.. 鑲嵌藝術的方法與十七種平面對稱群論的對應。. 3.. 不等大小但等比例鑲嵌作品的分析與限制。. 多媒體的製作則利用設計軟體 Flash CS 6，發佈為電腦端執行檔(exe)與網頁中嵌入檔(swf)，可在一般電腦與部分攜帶型裝置中瀏覽。. 3.

(10) 第二章：文獻探討第一節：鑲嵌圖案鑲嵌或密鋪(Tessellation)是指「將具有獨立封閉外形的圖形以連續、反覆且不重疊，也不留空隙的形式在平面上展開」的意思。荷蘭版畫家艾薛爾(Maurits Cornelius Escher, 1898-1972)在1958年時的一篇論文《The Regular Division of the Plane》中，將鑲嵌圖案或密鋪平面稱為「平面規則分割」，並解釋為「一塊平面(歐氏幾何)或龐加萊圓盤(非歐幾何)，它應是被想成有無限的邊際，可將之填滿或被分割成無數類似的幾何圖案，不留任何虛的空間。」鑲嵌圖案可以是純粹幾何多邊形，也可以是非多邊形的圓形、橢圓形、扇形等，或是不規則型的藝術作品。一般來說，所有的非多邊形都可以以多邊形為數學骨架(lattice)發展而來；而超過四邊以上的多邊形也都可以使用三與四邊形為數學骨架發展而來。在艾薛爾的筆記中，也只分這兩大項。所以鑲嵌圖案的拼湊中，只要研究四邊以下的多邊形即可。在研究過程中又分為三類：只使用單一種全等多邊形、使用了兩種以上不同的全等多邊形，以及使用不等大小的一種或多種相似多邊形。下面四張圖是取自日常生活中由單一種多邊形所組成的建築及圖形，這些磁磚的形狀分別為矩形、正六邊形、五邊形及三角形：. 圖2.1.1 一般房間的矩形丁字磚. 圖2.1.2 神明廳六角形地磚. 圖片來源：http://ws2.htes.chc.edu.tw/. 4.

(11) 圖2.1.3 五邊形地磚. 圖2.1.4 跳棋棋盤. 圖片來源：http://www.tess-elation.co.uk/cairo-tiling/colouration. 圖片來源：http://zh.wikipedia.org/wiki/中國跳棋. 圖 2.1.5 是由兩種以上多邊形所組成的磁磚圖，地磚包含了等腰直角三角形、正方形及矩形。. 圖2.1.5 紅毛城英領事住宅餐廳磁磚圖片來源：http://catalog.digitalarchives.tw/. 圖 2.1.6 的地板是由多個小磁磚拼成扇貝狀所組成的，屬非多邊形鑲嵌圖案。. 圖2.1.6 台北市政府前廣場圖片來源：沈玟妤(2012). 5.

(12) 第二節：鑲嵌圖案的規則在鑲嵌圖案的規則中，最基本的就是：「使用有限圖案種類，依照一定規則的鋪滿整個平面」，依此先分成兩個方向探討規則。. (一) 以鑲嵌的單位討論：如前一節所述，可先大項分為多邊形系列與非多邊形系列。但其中非多邊形系列在本研究中一律可將其視為多邊形的發展。由多邊形系列所組成的鑲嵌，一般來說可如下分細分為三類： (1) 正多邊形鑲嵌。此類型的鑲嵌恰有 3 種，如下圖所示。. 圖2.2.1 (3,3,3,3,3,3)鑲嵌. 圖2.2.2 (4,4,4,4)鑲嵌. 圖2.2.3 (6,6,6)鑲嵌此類鑲嵌方式的規則與命名為：每一個頂點所接皆為一樣的正多邊形；再依每一個頂點所接的正多邊形的邊數依序數出作為命名。. (2) 半正多邊形鑲嵌。此類型的鑲嵌恰有 8 種，下圖所示為其中 3 種。. 6.

(13) 圖2.2.4 (4,6,12)鑲嵌. 圖2.2.5 (3,6,3,6)鑲嵌. 圖2.2.6 (3,3,4,3,4)鑲嵌此類鑲嵌方式的規則與命名為：每一個頂點所接皆為兩種以上，同樣組合與次序的的正多邊形，再依每一個頂點所接的正多邊形的邊數依序數出作為命名。未列出的另 5 種分別為(3,12,12)、(4,8,8)、 (3,4,6,4)、(3,3,3,3,6)、(3,3,3,4,4). (3) 其他多邊形鑲嵌。此類型的鑲嵌中的元素包含非正多邊形，而組成元素也不一定非單一多邊形。因此在元素無法限定的情況下，其組合也是不可數的。但在這種類型的鑲嵌中，其規則也是由數種基本形式所衍伸出來的。下圖為 3 種單一多邊形所組成的基本形式示範。. 圖2.2.8 單一不等邊四邊形的規則鑲嵌. 圖2.2.7 單一三角形的規則鑲嵌. 7.

(14) 圖2.2.9 單一五邊形的規則鑲嵌鑲嵌. (二) 以鑲嵌的方式討論：規則中的「使用有限圖案種類」，雖在大多數鑲嵌作品裡均可視為「使用單一圖案種類」的延伸，例如圖 2.2.10，是將圖 2.2.5 的(3,6,3,6)鑲嵌中的正三角形與正六邊形中心經由鄰邊相接，此動作稱為對偶(duals)，可畫出一個以 60 度—120 度的菱形鑲嵌；或者看圖 2.2.11，是將圖 2.2.6 的(3,3,4,3,4)鑲嵌中的正三角形與正方形中心經由鄰邊相接，可視為圖 2.2.9 五邊形鑲嵌的變形。. 圖2.2.10. 圖2.2.11. 因此，在鑲嵌藝術中，便可以「單一固定形狀」作為基本單位，並對其可能達成的鑲嵌「方式」來分類。鑲嵌的方式主要有四種：平移 (translation)、旋轉(rotation)、鏡射(refllection)與滑行鏡射(glide refllection)。數學家的直觀想法知道對單一任意形狀的鑲嵌方式的組合也是有限的，而這有限的數量最早由俄國的數學與晶體學家費德羅夫(E. S. Fedorov, 1853-1919 )在 1891 年所發表的《The Symmetry of Regular Systems of Figures》中，以群論的概念證明出恰有 17 種的平面對稱群，可以用以對應所有的鑲嵌方式。下圖 2.2.11 為匈牙利裔美國數學家喬治波 8.

(15) 利亞(G. Pólya, 1877-1985)在 1924 年的一篇文章《Ü ber die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene》中所繪製的 17 種鑲嵌圖案，恰好對應 17 種的平面對稱群。. 圖2.2.12 G. Pólya’s illustration 圖片來源：M.C. Escher: Visions of Symmetry, Doris Schattschneider (2004), p.23. 以上述兩個不同的方向，就可以用以分析絕大多數的鑲嵌藝術作品。但仍有其他形如下圖 2.2.12 與圖 2.2.13 的無窮鑲嵌。. 圖2.2.13 無數多個相似等腰直角三角形的鑲嵌. 9.

(16) 圖2.2.14 無數多個相似正方形的鑲嵌上兩圖都是使用了無數個大小不同的相似形作為鑲嵌的單位，因此本研究再另外討論這些種類的鑲嵌方式。. (三) 無窮鑲嵌：在無窮鑲嵌中，其數學骨架因為會有大小差異，所以能夠完成密鋪的限制條件也較不同，以下本研究再細分為三種討論： (1) 以正多邊形中心為旋轉與縮放中心的三角形與四邊形的類型。此類型有圖 2.2.13 的等腰直角三角形所圍成的正方形、圖 2.2.15 的等腰梯形所圍成的六邊形與圖 2.2.16 的四邊形所圍成的八邊形。這些類型的共同點是使用同樣大小的數學骨架圍成一圈，恰是一個正多邊形。. 圖2.2.15 一圈為六邊形的等腰梯形鑲嵌. 圖2.2.16 一圈為八邊形的四邊形鑲嵌. (2) 螺線型。圖 2.2.14 的無數多個相似正方形的鑲嵌，恰為黃金螺線的分割方式，或是如下圖 2.2.17 使用直角三角形鑲嵌。此類型的特點是所有的. 10.

(17) 數學骨架沿著一支螺線(或兩支)作等比例的縮放並鑲嵌，且每一個數學骨架的大小比例皆不相同。其中若是使用三支以上的螺線大多可歸類到上一個類型。. 圖2.2.17 兩支螺線與組成的直角三角形 (3) 等腰直角三角形為數學骨架的類型。等腰直角三角形是較為特別且唯一的一種類型，因為一個等腰直角三角形由斜邊上的中線恰可分割為兩個較小且與分割前相似的等腰直角三角形，而用同樣大小的等腰直角角形兩個(或四個)除了可以拼成一個較大的等腰直角三角形外，亦可以拼成一個正方形，如下圖 2.2.17。而此類型與前兩型最大的差別在於沒有旋轉與縮放的確切中心，而是由某個三角形開始沿著單一方向作規則的縮小為主。另外，其實只要直角三角形都可由子母相似定理切為兩個較小的相似直角三角形，但因為兩個大小在非等腰的時候會不一樣大，使邊長不能完全密合，所以不在討論的範圍。. 圖2.2.17 等腰直角三角形的無窮密鋪甚至，還有無數個不相似的形狀但富含規則的漸變，密鋪整個平面，或是龐加萊圓盤，如圖 2.2.18 與圖 2.2.19 的圓極限 I、III (Circle Limit I / III)。但本研究只討論有限的相似形狀，所以暫不討論。 11.

(18) 圖2.2.18 艾薛爾的作品：圓極限 I. 圖2.2.19 圓極限 III. 圖片來源：M.C. Escher: Visions of Symmetry, Doris Schattschneider (2004), p. 316/251. 12.

(19) 第三節：鑲嵌大師艾薛爾的創作背景艾薛爾1922年在西班牙旅行時，對格拉納達的阿爾罕布拉宮(Alhambra Palace and Garden)印象深刻，尤其是摩爾式的棋盤形嵌石飾(tessellation)，這宮殿是十四世紀的穆斯林建築，宮殿裡的地板、牆壁、天花板都用許多的複雜幾何圖案以及反覆性圖案來裝飾，其圖案之豐富，實令人嘆為觀止。. 圖2.3.1 阿爾罕布拉宮的裝飾. 圖2.3.2 艾薛爾在1922年仿製的圖. 圖片來源：http://www.alhambra-patronato.es/. 圖片來源：M.C. Escher: Visions of Symmetry, Doris Schattschneider (2004), p.9. 1936 年艾薛爾第二次造訪阿爾罕布拉，研究的過程中發現這些裝飾與數學、結晶學的關連，開始研讀雜誌上此類主題的文章，於是將其本來以寫實為主的風格轉化為抽象思維。此後艾薛爾運用了以數學為基礎的方法創作了多幅鑲嵌藝術作品，最有名的平面鑲嵌畫在他一生中共創作了 137 幅鑲嵌作品，以及以這些鑲嵌作品為基礎而發展出的數十幅版畫作品。然而，艾薛爾從求學階段一直到成年後，對於幾何鑲嵌以外的數學知識是完全沒有興趣的。因此，對鑲嵌藝術的創作與研究，除了受到阿拉布罕宮摩爾式鑲嵌圖案的啟發外，也有很大的部分受到他同父異母的哥哥貝爾(B. G. Escher, 1885-1967)的影響，貝爾專長於研究結構晶體學，因此提供了許多參考資料給艾薛爾。另外艾薛爾也參考過波利亞教授所繪製的 17 種鑲嵌圖案，並在自己的筆記本中特別紀錄並開始進行配色，這些研究對他日後的創作訂下了基礎。. 13.

(20) 第四節：艾薛爾的平面鑲嵌版畫艾薛爾在「平面規則分割」裡有提到主題元素(motif)、平移單位(sliding cell) 及數學骨架(lattice)等概念。. 一、主題元素(motif) 在鑲嵌版畫上所看到的圖案，如：魚、鳥、昆蟲、蜥蜴或純幾何圖案等，皆為主題元素，而數學家則稱之為磁磚(tile)。. 二、平移單位(sliding cell) 一個圖案能夠以重複排列的方式密鋪整個平面，稱為平移單位。以圖 2.4.1 艾薛爾編號《E038 蛾》為例，其平移單位是一隻蛾，但根據主題元素設計的不同，平移單位可能不只一種。以圖 2.4.2 《E043 花與葉》為例，其平移單位是一朵花配一片葉，但平移單位會根據要選擇每朵花周圍相鄰的哪一片葉子搭配，有 3 種組合。. 圖2.4.1 《E038 蛾》. 圖2.4.2 《E043 花與葉》. 三、數學骨架(lattice latticelattice) 一個多邊形如果恰好包含個一平移單位，且能夠以重複的排列方式密鋪整面，稱為數學骨架，此以下面 4 張圖表示 4 種不同的數學骨架。. 14.

(21) 圖2.4.3 《E056 蜥蜴》. 圖2.4.4 《E095 鳥》. 圖2.4.5 《E109 遲遲疑疑的傢伙》. 圖2.4.6 《E065 蛾》. 圖 2.4.3 的紅框 60—90—120—90 度鳶形為蜥蜴的數學骨架，仔細觀察可以看出鳶形裡的區塊旋轉後能拼成蜥蜴，也就是此鳶形內恰包含一個平移單位─ 蜥蜴，由圖 2.4.7 可以看出此鳶形能以重複的排列方式密鋪整個平面；圖 2.4.4 的藍框正三角形為鳥的數學骨架，可以觀察出正三角形裡的區塊旋轉能拼成鳥，由圖 2.4.8 可以看出此正三角形能以重複的排列方式密鋪整個平面；圖 2.4.5 遲遲疑疑的傢伙的數學骨架為紅框正方形，此正方形裡的區塊翻面與平移能拼成遲遲疑疑的傢伙，由圖 2.4.9 可以看出此正方形能以重複的排列方式密鋪整個平面；而圖 2.4.6 蛾的數學骨架為紅框等腰三角形，此等腰三角形裡的區塊縮放與旋轉後可以拼成一隻蛾，由圖 2.4.10 可以看出此等腰直角三角形能伸縮後以重複的排列方式密鋪整個平面。由上述可知，除伸縮的圖 2.4.10 外，數學骨架的面積恰等於一個平移單位的面積。. 15.

(22) 圖2.4.7 《E056 蜥蜴》. 圖2.4.8 《E095 鳥》. 圖2.4.9 《E109 遲遲疑疑的傢伙》. 圖2.4.10 《E065 蛾》. 艾薛爾在他的筆記中將數學骨架主要分成兩大系統：三角形及四邊形，其中三角形包含正三角形、銳角三角形及由六個正三角形組成的正六邊形，四邊形包含正方形、矩形、菱形、平行四邊形、鳶形及由兩個相同五邊形所組成的正方形，也就是如本章第一節所述，超過四邊以上的多邊形均可以由三角形以及四邊形數學骨架發展而來。更清楚區分，本研究另外增加無窮等比系列這一類。對於如何密鋪平面的問題，艾薛爾在筆記中整理出三種移動規則：平移 (translation)、軸向(axes)及滑行鏡射(glide reflection)。軸向為以一個點為軸心發展圖案，滑行鏡射為平移與鏡射(reflection)的合成。另外有一種單純的鏡射 (reflection)規則在艾薛爾作品中有被使用到，但他並沒有特別整理在自己的分類裡。本研究用旋轉表示軸向，並用其中下四種規則：平移、旋轉、鏡射及滑行鏡射來說明如何密鋪平面。其中使用滑行鏡射時，其鏡射軸與滑行方向通常是 16.

(23) 平行的；若其鏡射軸與滑行方向恰好垂直，就像是單純翻書般的翻面，即為純鏡射。艾薛爾所設計出的任意一些左右對稱的圖形，可以用其半個數學骨架達成此類鑲嵌方式。另外針對無窮系列，艾薛爾則是由原本的密鋪圖形為基礎，另外設計方、圓、螺旋等的等比例變形樣式，在本研究則歸類並定義為另一移動「等比例縮放」，再搭配前面的三種密鋪，或依其特性有各自的密鋪方式。本研究先以艾薛爾的 8 幅版畫為例，分別說明其數學骨架為哪一種系統以及此數學骨架鋪滿整個平面的方式。圖 2.4.7，《E056 蜥蜴》的數學骨架為 60—90—120—90 鳶形，其密鋪方式為：以蜥蜴的左前肢為旋轉點旋轉一次 60 度，共 6 次；再以右後肢關節為旋轉點旋轉一次 120 度，共 3 次。以這兩種方式的交替使用密鋪於平面。圖 2.4.8，《E095 鳥》的數學骨架為正三形，其密鋪方式為：分別以鳥頭左側、右邊翅膀下以及鳥尾左側為旋轉點一次旋轉 180 度，共 2 次。以這三種方式的交替使用密鋪於平面。圖 2.4.9《E109 遲遲疑疑的傢伙》的數學骨架為正方形，其密鋪方式為：將一隻遲遲疑疑的傢伙以水平中線為鏡射軸上下翻面，再沿著水平線向左右平移；以及沿著鉛直線向上下的直接平移。以這兩種方式的交替使用密鋪於平面。圖 2.4.10《E065 蛾》的數學骨架為等腰直角三角形，其密鋪方式為：以直角頂點對稱於斜邊另一側的對稱點為旋轉與縮放中心，將蛾單純一次旋轉 90 度，共 4 次；以及旋轉 45 度並放大 2 倍，或是旋轉 45 度並縮小 2 倍，這兩個動作都可以執行無窮多次。以這三種方式的交替使用密鋪於平面。. 圖2.4.11 《E038 蛾》. 圖2.4.12 《E043 花與葉》 17.

(24) 圖2.4.13 《E058 兩隻魚》. 圖2.4.14 《方極限》. 圖 2.4.11，《E038 蛾》的數學骨架為平行四邊形，其密鋪方式為：沿著其中一組平形邊方向的直接平移；以及沿著另一組平形邊方向的直接平移。以這兩種方式的交替使用密鋪於平面。圖 2.4.12，《E043 花與葉》的數學骨架為 60—120 菱形，其密鋪方式為：以三朵花相接的位置為旋轉點旋轉一次 120 度，共 3 次；再以三片葉相接的位置為旋轉點旋轉一次 120 度，共 3 次。以這兩種方式的交替使用密鋪於平面。圖 2.4.13《E058 兩隻魚》的數學骨架為等腰三角形，其密鋪方式為：將兩隻魚以水平線為鏡射軸上下翻面，再沿著底邊的方向向左右平移；以及以底邊中點為旋轉點旋轉一次 180 度，共 2 次。以這兩種方式的交替使用密鋪於平面。圖 2.4.14《方極限》的數學骨架為等腰直角三角形，其密鋪方式為：將較大魚縮小 2 倍後的較小魚，翻面、旋轉並平移使較大魚斜邊中點處的鰭與兩隻較小魚直角處的鰭密合而無縫隙；再以這種方式無限密鋪下去所成的一個有限大直角三角形為單位，以直角為旋轉點旋轉 90 度，共 4 次，可密鋪於平面上的一個正方形內部。. 18.

(25) 第三章：從數學觀點看艾薛爾的平面鑲嵌版畫第一節：尋找數學骨架單一數學骨架可以是三角形、四邊形、五邊形或六邊形，但要如何判斷一個鑲嵌圖案的數學骨架是什麼形狀的多邊形，我們可以由一般密鋪平面的幾種主要方式：平移、旋轉、滑行鏡射與鏡射，與無窮系列中的正多邊形中心旋轉縮放、螺線型與等腰直角三角形的概念來尋找線索。下面依各種類別分別說明如何由密鋪方式尋找其數學骨架。一、平移以《E038 蛾》為例：先觀察圖 3.1.1 的平移單位是什麼？一隻蛾，我們以圖 3.1.2 藍框的蛾作為此鑲嵌版畫的平移單位，並說明如何尋找蛾的數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面？觀察此平移單位與其相鄰平移單位的關係，綠框為綠框左上與右下的平移，而黑框為綠框的右上與左下平移，可以用此密鋪方式來密鋪平面的多邊形為四邊形中的正方形、矩形或平行四邊形。. 圖3.1.1 《E038 蛾》. 圖3.1.2 蛾的外框. 這數學骨架除須滿足兩對邊互相平行，還須滿足一個數學骨架只能有一個平移單位。如圖 3.1.3 當畫了下面那一條紅色的線時，對邊必須是紫色的線之一，另一組對邊則將紅線與紫線端點相連，如圖 3.1.4 的紅色平行四邊形。此平行四邊形即為蛾的數學骨架，檢查是否只包含一個平移單位並仔細觀察此平行四邊形的四個頂點有什麼特點，可以發現此平行四邊 19.

(26) 形不僅只包含一個平移單位，且四個頂點『皆為』蛾的頭頂（或尾巴）。. 圖3.1.3. 圖3.1.4. 除了尋找共同點，還需探索有無其他可能性？圖 3.1.5 是將紅色平行四邊形沿著左下到右上的底邊，將頂點推移一段距離到蛾右下的翅膀上，如圖 3.1.6 的紫色虛線，再檢查是否滿足數學骨架的定義。. 圖3.1.5. 圖3.1.6. 由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為平移的數學骨架時，依平移單位可以選四個共同點相連，如圖 3.1.7 的《八面玲瓏》的平移單位是八張臉，選其中一女人的髮髻的頭頂為共同點，則此紅色矩形即為八面玲瓏的數學骨架。而如圖 3.1.8 將紅色矩形的水平邊向平行自己的方向平移仍是八面玲瓏的數學骨架。因此每個人所選的頂點不同，就會有不同的數學骨架，由此可知數學骨架不唯一。. 20.

(27) 圖3.1.7. 圖3.1.8. 二、旋轉以《E056 蜥蜴》為例：先觀察圖 3.1.9 的平移單位是什麼？一隻蜥蜴，我們以頭朝左邊的紅色蜥蜴作為此鑲嵌版畫的平移單位，並說明如何尋找蜥蜴的數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面? 觀察圖 3.1.10 紅框的平移單位與其相鄰的平移單位的關係，藍框為紅框以左前肢端點為旋轉點，一次旋轉 60 度，綠框是紅框的右後肢關節處為旋轉點，一次旋轉 120 度。而粉紫框是紅框的右前肢或尾巴為旋轉點，一次旋轉 180 度。可進一步觀察到如果將紅框及藍框視為一個鑲嵌圖案，即可以以平移方式密鋪平面。由此可以推測這四個旋轉點為數學骨架的其中四個頂點，滿足這種特性的數學骨架會是哪個多邊形呢？. 圖3.1.9 《E056 蜥蜴》. 圖3.1.10 蜥蜴的外框. 可以知道有兩個旋轉點的角度分別為 60 度與 120 度，兩個 180 度的旋轉點可視為相間於 90 度，因此數學骨架可能為鳶形，而且此鳶形的每個角度分別為 60 度、90 度、120 度與 90 度，如圖 3.1.11 的鳶形，檢查其是否滿足數學骨架定義？蜥蜴的數學骨架還有可能是哪個多邊形呢？圖 21.

(28) 3.1.12 為將原本的鳶形以 60 度與 120 度的頂點連接對角線切為兩塊，再將其中一塊以 60 度的頂點旋轉 60 度成為一個正三角形，檢查此正三角形否滿足數學骨架定義？艾薛爾在此圖上的註記也是將其視為三角形的系統。. 圖3.1.11. 圖3.1.12. 由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為旋轉的數學骨架時，在平移單位上挑出旋轉點，如圖 3.1.13《E095 鳥》的平移單位是一隻鳥，圖中的點為平移單位的旋轉點，選擇其中三個旋轉點為數學骨架的三個邊中點，再依密鋪方式選擇正確的數學骨架為正三角形。圖 3.1.14 的各個頂點為平移單位鄰近的旋轉點或頂點之其中一點，圖中的平行四邊形是鳥另一種數學骨架。因此每個人選的旋轉點不同，就會有不同的數學骨架，由此可知數學骨架不唯一。. 圖3.1.13. 圖3.1.14. 三、滑行鏡射以《E109 遲遲疑疑的傢伙》為例：先觀察圖 3.1.15 的平移單位是什. 22.

(29) 麼？一隻遲遲疑疑的傢伙，我們以圖 3.1.16 紅框的遲遲疑疑的傢伙作為此鑲嵌版畫的平移單位，並說明如何尋找遲遲疑疑的傢伙的數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面呢？觀察紅框的平移單位與其相鄰的平移單位的關係，橘框為紅框的上下直接平移，藍框為紅框先以水平線為鏡射軸鏡射，再左右滑行後貼齊。. 圖3.1.15 《遲遲疑疑的傢伙》. 圖3.1.16 遲遲疑疑的傢伙的外框. 可以用此密鋪方式來密鋪平面的多邊形為三角形以及四邊形中的正方形、矩形、平行四邊形、鳶形或梯形，因為上下為平移，試著依平移密鋪的結論，先選共同點，如圖 3.1.17 選頭頂，檢查所選的數學骨架是否滿足其定義，檢查後可以知道此綠框正方形即為遲遲疑疑的傢伙的數學骨架。在鏡射情況使用平移密鋪的結論時，必須留意左右遲遲疑疑的傢伙有對水平線鏡射的關係，如圖 3.1.18，經檢查後發現黑虛線框平行四邊形不是遲遲疑疑的傢伙的數學骨架，因為黑虛線框平行四邊形對水平線鏡射後，無法與原黑虛線框平行四邊形左右密合。. 圖3.1.17. 圖3.1.18. 如果選的共頭點同樣為遲遲疑疑的傢伙的頭頂，如圖 3.1.19，數學骨 23.

(30) 架變為等腰三角形，檢查後可以發現其滿足數學骨架的定義，也能依遲遲疑疑的傢伙密鋪方式密鋪平面。. 圖3.1.19 由上述可以得到下面的結論：尋找密鋪方式為滑行鏡射的數學骨架時，在平移單位上挑出四個共同點相連，如圖 3.1.20《E024 鳥與魚》的平移單位是一隻鳥搭配一隻魚，取其平移單位為左魚右鳥，並挑鳥尾巴（魚嘴角）為共同點，所以圖 3.1.20 的數學骨架為矩形；圖 3.1.21 的共同點一樣取的是鳥尾巴，卻有不同形狀的數學骨架。因此每個人選的共同點不同，就會有不同的數學骨架，由此可知數學骨架不唯一。. 圖3.1.20. 圖3.1.21. 四、鏡射以《E081 蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶》為例：先觀察圖 3.1.22 的平移單位是什麼？蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶各一隻；再仔細觀察，這四隻動物每一隻都是有對稱軸的對稱圖形，我們在圖 3.1.23 將這四隻動物描繪出來後，對每隻動物繪上他們的對稱軸，將會發現這四條對稱軸恰為成一個正方 24.

(31) 形，而正方形內部恰有四隻動物各半隻。圖 3.1.24 這個正方形就是此鑲嵌版畫的平移單位，並將以此說明如何尋找蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶的數學骨架。. 圖3.1.22 《E081蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶》. 圖3.1.23 蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶的外框. 圖3.1.24. 圖3.1.25. 此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面呢？觀察圖 3.1.25 中央黑框的平移單位與其相鄰的平移單位的關係，藍框為黑框對左下邊的直接鏡射，橘框為黑框對左上邊的直接鏡射，紫框為黑框對右上邊的直接鏡射，綠框為黑框對右下邊的直接鏡射。用此密鋪方式的必要條件是四個軸對稱，因此只有多邊形為四邊形中四個角皆為直角的正方形與矩形。如圖 3.1.26，以原先正方形所推移出的平行四邊形不是蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶各半隻的數學骨架，因為它無法包含四種動物恰好各半隻。. 25.

(32) 圖3.1.26. 圖3.1.27. 除了尋找共同點，還需探索有無其他可能性？圖 3.1.27 原本的正方形數學骨架對中心放大 2 倍並旋轉 45 度所成，是包含了蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶各一隻的數學骨架，而其密鋪方式則改為對四邊中點做 180 度的旋轉。. 圖3.1.28. 圖3.1.29. 由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為純鏡射的數學骨架時，依對稱軸的連接可以連成一正方形，或者如圖 3.1.28 的《E069 魚，鴨與蜥蜴》的平移單位是一正三角形，此正三角形是由三隻具有對稱性的魚，鴨與蜥蜴的三條對稱軸所圍成，則此正三角形即為魚，鴨與蜥蜴各半隻的的數學骨架。而如圖 3.1.29 將正三角形的三邊向外擴張為面積 2 倍大小的正六邊形，則是魚，鴨與蜥蜴各一隻的的數學骨架，而其密鋪方式則改為對其中三個頂點做 120 度的旋轉。因此每個人所選的方式不同，就會有不同的數學骨架，由此可知數學骨架不唯一，但在選擇最小的數學骨架時，只有兩種：正三角形與正方形可以滿足純鏡射的方式。也因此，使用純鏡射作為密鋪方式時，其中所用的平移單位不能只有一個，且每一個都不能是 26.

(33) 完整的一個，需要每一個都各取一部份來完成三角形或正方形。在討論時所有可以根據純鏡射的方式所能使用的數學骨架，還有矩形、等腰直角三角形與 30—60—90 度的直角三角形可以用於純鏡射密鋪，但因為是不等邊，所以艾薛爾並沒有依此方式所創作的作品。. 五、正多邊形中心旋轉縮放以《E065 蛾》為例：先觀察圖 3.1.30 的平移單位是什麼？一隻蛾；我們以圖 3.1.31 紅框的蛾作為此鑲嵌版畫的平移單位，並說明如何尋找蛾的數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面？觀察此平移單位與其相鄰平移單位的關係，綠框為紅框對中心縮小並順時針或逆時針旋轉而得到，藍框為紅框對中心放大並順時針或逆時針旋轉而得到，可以用此密鋪方式來密鋪平面的多邊形為何呢？. 圖3.1.30 《E065蛾》. 圖3.1.31 蛾的外框. 要如何找出這個數學骨架呢？如圖 3.1.32，先取同樣大小的四隻蛾的尾部相連，可以得到一個正方形，再如 3.1.33，取另外四隻較小且同樣大小的蛾的尾部相連，可以得到另一個正方形。此較小正方形的四個頂點恰接在較大的正方形的四邊中點上，因此我們可以判斷小正方形為大正方形縮小 2 倍並旋轉 45 度而得到。依此方式繼續向內做正方形可發現，正方形之間會另外圍成許多個不等大小的等腰直角三角形，此等腰直角三角形即為蛾的數學骨架。. 27.

(34) 圖3.1.32. 圖3.1.33. 檢查是否只包含一個平移單位，並仔細觀察此等腰直角三角形的三邊有什麼特點。可以發現此等腰直角三角形不僅只包含一個平移單位，且滿足其兩股各為一個較大等腰直角三角形斜邊的一半，而其斜邊亦需與兩個較小等腰直角三角形各取一股相鄰，還須滿足一個數學骨架只能有一個平移單位。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面呢？觀察圖 3.1.34 中央紅框的平移單位與其相鄰的平移單位的關係，綠框為紅框對中心縮小 2 倍並順時針或逆時針旋轉 45 度而得到，藍框為紅框對中心放大 2 倍並順時針或逆時針旋轉 45 度而得到。. 圖3.1.34 由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為正多邊形中心旋轉縮放的數學骨架時，依平移單位可以選共同點相連為一正多邊形，如圖 3.1.35 的《生命之路Ⅱ》的平移單位是一黑一白兩隻魟魚，而相同大小的魟魚組合共有四對，選其魟魚左側尖點為頂點圍成一正方形，如圖 3.1.36。. 28.

(35) 圖3.1.35 《生命之路Ⅱ》. 圖3.1.36. 再依照相同的方式，如圖 3.1.37 選擇適當的比例將此正方形縮放多次，並將頂點向內連線，可圍成如圖 3.1.38 的等腰梯形，則此等腰梯形即為黑白魟魚各一隻的數學骨架。. 圖3.1.37. 圖3.1.38. 而如圖 3.1.39 用圓形去圍出生命之路Ⅱ的數學骨架的數學骨架。此概念是將艾薛爾的《E102 魟魚》平移與滑行鏡射方向變形為向中心縮小與四對圍繞一圈所得到的。因此每個人所選的頂點不同，就會有不同的數學骨架，由此可知數學骨架不唯一。. 29.

(36) 圖3.1.39. 圖3.1.40 《E102 魟魚》. 另外可以觀察下圖 3.1.41，這就是將圖 3.1.42 變形為對稱後的《E038 蛾》，令平移方向變形為向中心縮小與四隻圍繞一圈所得到的《E065 蛾》。亦即是說，所謂正多邊形中心旋轉縮放，都是以圓內接正多邊形為概念，而我們不取圓弧為骨架，而取直線的弦作為其數學骨架。. 圖3.1.41. 圖3.1.42 《E038 蛾》的變形. 六、螺線型以《漩渦》(Whirpools)為例：先觀察圖 3.1.43 的平移單位是什麼？一隻魚；但在圖案中段有為了接續兩個螺旋所美化過的魚，所以我們只擷取其中一半來解析，如圖 3.1.44。. 30.

(37) 圖3.1.43 《漩渦》. 圖3.1.44. 仔細觀察會發現，紅灰兩色魚游動的方向是不同而且無交會的，順著牠們的身體的中心線繪製，可以畫出兩條不交會且互相圍繞的螺旋線，如圖 3.1.45。而在圖 3.1.46 中，我們先畫出一支藍框的魚作為此鑲嵌版畫的平移單位，並說明如何尋找魚的數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面？觀察此平移單位與其相鄰平移單位的關係，綠框『看似』為藍框鏡射後對中心放大或縮小並逆時針旋轉而得到，紅框『看似』為藍框鏡射後對中心放大或縮小並順時針旋轉而得到，可以用此密鋪方式來密鋪平面的多邊形為何呢？. 圖3.1.45. 圖3.1.46. 要如何找出這個數學骨架呢？如圖 3.1.47，先取每一隻魚靠外側的魚鰭頂點相連，可得數個看似直角三角形的骨架，結合剛剛所繪出的外框魚，就可在圖 3.1.48 比較它們之間的關係。. 31.

(38) 圖3.1.47. 圖3.1.48. 將底圖拿掉，並將直角三角形一率設定為等腰直角三角形（不等腰三角形亦可畫出類似圖案），如下圖 3.1.49，由 A0，A1，A2，A3 到 A4 繞為一圈且相接回 A0，均為邊常等比例 r 的縮小，可得一算式為：. r 3  2r 2  2  0 ，解出唯一實根 r . 1 3.  19  3 33  3. 3. . 19  3 33  2  0.839. 為這些三角形之間的比例；另外觀察這些三角形的間隙所包含的另一組三角形，它們之間的比例應該也是 r ，要再多比較的是如圖 3.1.50 中 A0 與 B0 之間的比例 t 值為何，計算得到算式： t 3  2t 2  2t  2 2  0 ，解得唯一實根 t . 2 3.  17  3 33  3. 3. . 17  3 33  1  0.769 。. 圖3.1.49. 圖3.1.50. 要特別注意的是，在圖 3.1.49 中，由 A4 相接回 A0 時，A4 的直角頂點並非接在 A0 的斜邊中點上，而是按照前述比例分配，所以在描繪魚的外框時，向內與向外游的魚會有一些差異，如圖 3.1.51 與圖 3.1.52。這兩圖分別是藍框的魚與數學骨架的等腰直角三角形，以及綠框的魚與數學骨 32.

(39) 架的等腰直角三角形，這兩圖數學骨架與魚外框就有一個差異：以圖 3.1.51 的藍魚內側鰭的頂點為分界，靠近頭所接的紅魚比靠近尾巴所接的綠魚還要小；但在圖 3.1.52 的綠魚內側鰭的頂點為分界，靠近頭所接的紅魚比靠近尾巴所接的藍魚還要大，也就是說，就算依照數學骨架的等腰直角三角形將兩條魚縮放到一樣大的大小，他們靠近內側的鰭的位置也不會一樣。所以在這種結構中，必要兩種相近但是不同的魚框架，正好是向內與向外而錯開的兩種魚。. 圖3.1.51. 圖3.1.52. 雖然在分析中我們需要使用兩種不同的魚外框，但他們使用一樣的等腰直角三角形作為數學骨架，因此我們就把它們當作是類似形狀的變形。事實上，在製作過程中是利用圖 3.1.53 的《圍繞》(Fish Vignettes)與它們圖 3.1.54 的數學骨架所分析出的單隻魚，如圖 3.1.55，將其內側鰭頂點，也就是等腰直角三角形斜邊中點稍微向左或向右移動變形而得，圖 3.1.56 的魚就是將內側鰭向魚頭稍微拉近而得。. 圖3.1.53 《圍繞》. 圖3.1.54 33.

(40) 圖3.1.55. 圖3.1.56. 此鑲嵌版畫是如何以此兩類不同的平移單位密鋪整個平面呢？觀察圖 3.1.57 兩條不同的螺線，在各自螺線的的數學骨架便以前述約 0.839 的比值順著螺線向內縮小或向外放大，可以無限延伸；或者翻面後變化為不同的平移單位與約 0.769 倍大小，可切換到另一條螺線並一樣以約 0.839 的比值順著螺線向內縮小或向外放大。. 圖3.1.57. 圖3.1.58. 由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為沿著螺線旋轉縮放的數學骨架時，依平移單位可以選共同點相連為一直角三角形，或者如前一章節的圖 2.2.14 的黃金螺線與正方形，做出如圖 3.1.58 的矩形結構，並在矩形中畫出兩股螺線。此矩形結構恰包含由等腰直角三角形所變形出的兩種不同的平移單位，所以在矩形內有兩段弧線。這是唯一一幅在平面上的雙螺線結構圖。而三條螺線以上的結構則被歸類到正多邊形中心旋轉縮放。. 34.

(41) 七、等腰直角三角形類型以《方極限》(Square Limit)為例：先觀察圖 3.1.59 的平移單位是什麼？一隻魚，我們以圖 3.1.60 藍框的魚作為此鑲嵌版畫的平移單位，並說明如何尋找蛾的數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面？觀察此平移單位，會發現與艾薛爾所繪製的並無法完全密合，這是因為艾薛爾在這幅創作中為了畫面美觀做了許多美化使得魚的外框並非全部都一樣。而我們希望以單一種框架完成此類密鋪。. 圖3.1.59 《方極限》. 圖3.1.60 魚的外框. 觀察圖 3.1.61 我們所繪框架與其相鄰平移單位的關係，淺藍框與藍框一樣大小而以左側其為中心旋轉 90 度而得，兩隻較小紅框為藍框翻面、縮小並旋轉後恰好完整密合，較大綠框則是藍框翻面、放大並旋轉後與藍框和淺藍框完整密合。可以用此密鋪方式來密鋪平面的多邊形為圖 3.1.62 的等腰直角三角形。. 圖3.1.61. 圖3.1.62. 35.

(42) 這數學骨架除須滿足較大的等腰直角三角形的邊長為較小的 2 倍，而兩個較小的拼合與較大的剛好一致外，還須滿足一個數學骨架只能有一個平移單位，如圖 3.1.63 中每一個等腰直角三角形中都剛好恰含一隻魚。這等腰直角三角形的三個頂點有什麼特點，可以發現此每個 45 度的頂點皆為魚頭與魚尾相接的位置，且如圖 3.1.64 每個相接的位置剛好 4 個魚頭與 4 個魚尾相間；而直角的頂點鰭有兩種狀況的相接，分別為圖 3.1.63 的兩個直角與一個較大斜邊密合外，也有如圖 3.1.65 的四個直角鰭的相接；也還有另一種如圖 3.1.66 的兩條同樣大小魚在斜邊中點上的旋轉 180 度相接。. 圖3.1.63. 圖3.1.64. 圖3.1.65. 圖3.1.66. 特別地，這是唯一的一種數學骨架的表現方式，並無其他數學骨架可以同時包含等大小旋轉密鋪與等比例縮放密鋪。下圖 3.1.67 的《越來越小》(Smaller and Smaller)是使用等腰直角三角形做無限密鋪的另一個例子，圖 3.1.68 所繪出的數學骨架與蜥蜴外框與《方極限》一樣，有因為艾薛爾美化而產生的誤差。 36.

(43) 圖3.1.67. 圖3.1.68. 由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為無窮密鋪的的等腰直角三角形數學骨架時，依平移單位可以選有 8 個數學骨架 45 度的連接點，如圖 3.1.69 的《德魯斯插圖》的平移單位也是蜥蜴，選其中頭部或尾部 8 個相接的位置相連，如圖 3.1.70 所圍成的藍色等腰直角三角形即包含兩隻蜥蜴，再取斜邊中線分割為完整的兩隻。則此藍色等腰直角三角形即為德魯斯插圖中蜥蜴的數學骨架。. 圖3.1.69 《德魯斯插圖》. 圖3.1.70. 37.

(44) 第二節：如何密鋪整個平面除無窮密鋪有所縮放外，由數學骨架的定義可以知道面積與平移單位相同，也就是一個多邊形的數學骨架可以經由裁切、縮放後重新拼貼，變成一個看似更有趣平移單位。但要如何與拼貼才能密鋪又不失生動活潑呢？接下來延續上一節的例子繼往探究。. 一、平移以《E038 蛾》為例：圖 3.2.1 的紅色平行四邊形為蛾的數學骨架，也就是此平形四邊形可以經由裁貼變成蛾的鑲嵌圖案。圖 3.2.2 為平行四邊形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需剪掉 6 小塊，再拼貼至正確的位置，以小寫英文字母表示需裁切的部分，大寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現規律：裁左下邊拼貼至右上邊、裁右上邊拼貼至左下邊、裁左上邊拼貼至右下邊、裁右下邊拼貼至左上邊。這與密鋪的方式有這很大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的蛾可以密鋪平面。. 圖3.2.1 紅色平行四邊形的數學骨架. 圖3.2.2 切割、拼貼後的輪廓線. 先將平行四邊形密鋪於平面，並留下裁切線，如圖 3.2.3。將裁切線及輪廓畫至與其相鄰的平行四邊形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動整塊平行四邊形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪平面的鑲嵌圖案。將一個平行四邊形的裁貼經由想像擴大到無窮多起平行四邊形的裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。. 38.

(45) 圖3.2.3 密鋪於平面的平行四邊形及其輪廓二、旋轉以《E056 蜥蜴》為例：圖 3.2.4 的黑色 60—90—120—90 鳶形為蜥蜴的數學骨架，也就是此鳶形可以經由裁貼變成蜥蜴的鑲嵌圖案。圖 3.2.5 為鳶形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需剪掉 8 小塊，再拼貼至正確的位置，以大寫英文字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現：A、B 以 120 度頂點為旋轉點旋轉 120 度拼貼至 a、b；而 C、D、E、F、G 則以 60 度頂點為旋轉點旋轉 60 度拼貼至 c、d、e、f；H 則以 60 度頂點為旋轉點旋轉兩次 60 度拼貼至 h。這與平移單位的密鋪方式有這很大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的蜥蜴可以密鋪平面。. 圖3.2.4 黑色鳶形的數學骨架. 圖3.2.5 切割、拼貼後的輪廓線. 先將鳶形密鋪於平面，並且留下裁切線，如圖 3.2.6。將裁切線及輪廓線畫至與其相鄰的鳶形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動整塊鳶形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪於平面的鑲嵌圖案。將一個鳶形的裁貼經由想像擴大到無窮多的鳶形一起裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。 39.

(46) 圖3.2.6 密鋪於平面的鳶形及其輪廓三、滑行鏡射以《E109 遲遲疑疑的傢伙》為例：圖 3.2.7 的綠色正方形為遲遲疑疑的傢伙的數學骨架，也就是此正方形可以經由裁貼變成遲遲疑疑的傢伙的鑲嵌圖案。圖 3.2.8 為正方形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需剪掉 6 小塊，再拼貼至正確位置，以大寫英文字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現：A、B、C 為上下平移拼貼至 a、b、c，而 D、E、F 都是以水平線為鏡射軸鏡射後滑行拼貼至 d、e、f。這與平移單位的密鋪方式有這很大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的遲遲疑疑的傢伙可以密鋪平面。. 圖3.2.7 綠色正方形的數學骨架. 圖3.2.8 切割、拼貼後的輪廓線. 先將正方形密鋪於平面，並且留下裁切線，如圖 3.2.9。將裁切線及輪廓線畫至與其相鄰的正方形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動整塊矩形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪於平面的鑲嵌圖案。將一個正方形的裁貼經由想像擴大到無窮 40.

(47) 多起，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。. 圖3.2.9 密鋪於平面的正方形及其輪廓四、鏡射以《E081 蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶》為例：圖 3.2.10 的黑色正方形為蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶各半隻的的數學骨架，也就是此正方形可以經由裁貼、複製變成展開為蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶各一隻的鑲嵌圖案。圖 3.2.11 為正方形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需將正方形分割為 4 小塊，再將其複製鏡射至正確位置，以大寫英文字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現：A、B、C、 D 分別以它們所對應的正方形的四邊為對稱軸，將自身複製鏡射到另一邊去而得到 a、b、c、d。這與平移單位的密鋪方式有這很大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶可以密鋪平面。. 圖3.2.10 黑色正方形的數學骨架. 圖3.2.11 切割、複製、拼貼後的輪廓線. 先將正方形密鋪於平面，並且留下切割線，如圖 3.2.12。將切割線及輪廓線畫至與其相鄰的正方形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬 41.

(48) 動其中各半隻蝙蝠、鳥、蜜蜂和蝴蝶的整塊正方形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪於平面的鑲嵌圖案。將一個正方形的裁貼經由想像擴大到無窮多起，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。. 圖3.2.12 密鋪於平面的正方形及其輪廓五、正多邊形中心旋轉縮放以《E065 蛾》為例：圖 3.2.13 的黑色等腰直角三角形為蛾的數學骨架，也就是此等腰直角三角形可以經由縮放、裁貼變成蛾的鑲嵌圖案。圖 3.2.14 為等腰直角三角形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需將等腰直角三角形分割為 6 小塊，再將其縮放、旋轉至正確位置，以大寫英文字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現：A、B 以上方 O 點為中心，縮小 2 倍並逆時針旋轉 45 度而至 a、b；同樣的 D、E 以上方 O 點為中心，縮小 2 倍並順時針旋轉 45 度而至 d、e；而 C 以上方 O 點為中心，放大 2 倍並逆時針旋轉 45 度而至 c；F 以上方 O 點為中心，放大 2 倍並順時針旋轉 45 度而至 f。這與平移單位的密鋪方式有這很大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的蛾可以密鋪平面。. 42.

(49) 圖3.2.13 黑色等腰直角三角形的數學骨架. 圖3.2.14 切割、縮放、拼貼後的輪廓線. 先將等腰直角三角形密鋪於平面，並且留下切割線，如圖 3.2.12。將切割線及輪廓線畫至與其相鄰的等腰直角三角形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動並縮放整塊等腰直角三角形，而搬動縮放的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪於平面的鑲嵌圖案。將一個等腰直角三角形的裁貼經由想像擴大到無窮大小的無窮多起，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。. 圖3.2.15 密鋪於平面的等腰直角三角形及其輪廓六、螺線型以《漩渦》為例：圖 3.2.16 與圖 3.2.18 的等腰直角三角形均為數學骨架，但內部分割的形狀略有不同，如圖 3.2.17 與 3.2.19 所示的輪廓線。. 43.

(50) 圖3.2.16 向內游動的魚的數學骨架. 圖3.2.17 向內魚的輪廓線. 圖3.2.18 向外游動的魚數學骨架. 圖3.2.19 向外魚的輪廓線. 這兩組輪廓線都是由圖 3.2.20 的《圍繞》的魚所變形而成。圖 3.2.21 為等腰直角三角形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需將等腰直角三角形分割為 5 小塊，再將其縮放、翻面與旋轉至正確位置，以大寫英文字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現：A 以上方 O 點為中心，放大 2 倍並翻面後，旋轉至 a；同樣的 B、C 以上方 O 點為中心，放大 2 倍並翻面後，旋轉至 b、c；而 D 以上方 O 點為中心，縮小 2 倍並翻面後，旋轉至 d；E 以上方 O 點為中心，縮小 2 倍並翻面後，旋轉至 e。這與平移單位的密鋪方式有這很大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的魚可以密鋪《圍繞》的平面。. 44.

(51) 圖3.2.20 黑色等腰直角三角形的數學骨架. 圖3.2.21 切割、縮放、翻面、拼貼後的輪廓線. 再比較圖 3.2.17 與圖 3.2.19，就發現兩者都是由圖 3.2.21 變形而來，一個是向魚頭偏移，一個是向魚尾偏移。. 先將等腰直角三角形密鋪於平面，並且留下切割線，如圖 3.2.22。將切割線及輪廓線畫至與其相鄰的等腰直角三角形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動並縮放、翻面整塊等腰直角三角形，而搬動縮放、翻面的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪於平面的鑲嵌圖案。將一個等腰直角三角形的裁貼經由想像擴大到無窮大小的無窮多起，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。. 圖3.2.22 密鋪於平面的螺線型等腰直角三角形及其輪廓七、等腰直角三角形類型以《方極限》為例：圖 3.2.23 的黑色等腰直角三角形為魚的數學骨架，也就是此等腰直角三角形可以經由裁貼變成魚的鑲嵌圖案。圖 3.2.24 為等腰直角三角形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需將等腰直角三角形分割為 4 小塊，再將其拼貼至正確位置，以大寫英文字母表示需裁 45.

(52) 切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現：A、B 以斜邊中點為旋轉中心，旋轉 180 度至 a、b；C、D 以直角頂點為旋轉中心，旋轉 90 度至 c、d。這與平移單位的密鋪方式有這很大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的魚可以密鋪平面。. 圖3.2.23 黑色等腰直角三形的數學骨架. 圖3.2.24 切割、縮放、拼貼後的輪廓線. 特別地，由密鋪方式可以發現圖 3.2.25 中，將魚的外框分為 A、B、 C、D 四段後可以發現，為了滿足這個外框能如圖 3.2.26 一般的與大小不一定相同的外框相接，圖 3.2.25 除了需滿足 A 段與 B 段形狀相同、C 段與 D 段形狀相同之外，還需要滿足將 A 段對著銳角頂點縮小 2 倍並上下翻轉後，再旋轉至 D 段的位置將一致。也就是說，A、B、C、D 四段外框其實是完全相似的。. 圖3.2.25 將魚外框分為四段. 圖3.2.26 數學骨架與輪廓線. 先將等腰直角三角形密鋪於平面，並且留下切割線，如圖 3.2.27。將切割線及輪廓線畫至與其相鄰的等腰直角三角形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動並縮放、翻面整塊等腰直角三角形，而搬動縮放、翻 46.

(53) 面的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪於平面的鑲嵌圖案。將一個等腰直角三角形的裁貼經由想像擴大到無窮大小的無窮多起，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。. 圖3.2.12 密鋪於平面的等腰直角三角形及其輪廓. 47.

(54) 第三節：變為無窮一、正多邊形中心旋轉縮放在艾薛爾對他作品所做的註記中，會寫著每一幅作品的由來與淵源。而其中無窮系列的作品的有許多都是由他一般平面鑲嵌的作品延伸而來。而此變形方式的其中一種，以數學語言解釋就是由歐氏幾何跨越到非歐幾何的範疇。如圖 3.3.1 的所變形出對稱的《E038 蛾》與圖 3.3.2 的《E065 蛾》，可觀察到圖 3.3.1 由蛾頭到蛾尾所產生的對稱軸均為鉛直方向的平行線，而在圖 3.3.2 中將這些平行線於上方無窮遠處的交點拉至畫面中心而聚焦於一點變形。. 圖3.3.1 對稱化的《E038蛾》. 圖3.3.2 《E065 蛾》與四散的分割線. 而在圖 3.3.3 中我們將《E038 蛾》的原圖重新美工在一正方形的數學骨架裡，並仿照上圖的變形方式變形為圖 3.3.4 的模樣，也就是將《E065 蛾》的原圖重新美工在一等腰直角三角形的數學骨架裡。. 圖3.3.3 等大小正方形鑲嵌. 圖3.3.4 48. 不等大小等腰直角三角形鑲嵌.

(55) 《E038 蛾》的數學骨架只使用了平移的方式，因此變形為《E065 蛾》之後每一隻蛾的外框都是相似形狀的，但在艾薛爾的其他作品中，像是如圖 3.3.5《E102 魟魚》所變形出的圖 3.3.6《生命之路Ｉ》，一樣是將垂直方向的平行軸線，將無窮遠處的交點拉至畫面中心而聚焦於一點變形而成。. 圖3.3.5 《E102 魟魚》與垂直方向的分割線. 圖3.3.6 《生命之路Ｉ》與中心四散的分割線但在圖 3.3.7 中我們將《E102 魟魚》的原圖重新美工在一矩形的數學骨架裡，並仿照上圖的變形方式變形為圖 3.3.8 的模樣，也就是變形為《生命之路Ｉ》的框架，數學骨架為一等腰梯形。. 49.

(56) 圖3.3.7 美工後的《E102 魟魚》與數學骨架. 圖3.3.8 數學骨架為等腰梯形的美工版《生命之路Ｉ》由《E038 蛾》到《E065 蛾》，以及由《E102 魟魚》到《生命之路Ｉ》最大的差別是：《E065 蛾》的每一隻蛾的外框都是相似形狀的，但《E 生命之路》裡魟魚的外框卻有兩種不同的形狀，一種是向內游動的黑魚，另一種是向外游動的白魚。原因就在於，原本《E102 魟魚》中的黑魚跟白魚之間移動的方式是「滑行鏡射」而非「平移」，所以在圖 3.3.8 《生命之路Ｉ》的美工版本中，環繞一圈的 16 隻魟魚在圖 3.3.7 中的關係是「滑行鏡射」的，而使黑白兩隻魟魚的各個部位對中心的距離並不一致，導致變形的狀況也無法一致，才會產生兩種不同的外框。. 二、螺線型如圖 3.3.9 的以等腰直角三角形為數學骨架的《圍繞》，將斜邊上的中線相連到中心，畫出兩條紅色與藍色的並差距 45 度十字軸。將這兩條十字軸向逆時針方向稍為扭轉，並保持數學骨架仍為等腰直角三角形的形狀，再加上一些縮放，便成為圖 3.3.10 的《漩渦》，可觀察到圖 3.3.10 中紅色十字軸與藍色十字軸仍保持 45 度的差距，但其數學骨架所框住的魚確有需要非為向外游出以及向内游入的兩種，使得向内游入的魚被藍色十字軸分割為兩塊時，魚頭部分所佔的數學骨架比魚尾的部分所佔的數學骨 50.

(57) 架較小一些，反之向外游出的魚被紅色十字軸分割為兩塊時，魚頭部分所佔的數學骨架比魚尾的部分所佔的數學骨架較大一些。使得兩種方向的魚使用同樣的數學骨架，但切割出的外框略有不同。. 圖3.3.9 《圍繞》的數學骨架. 圖3.3.10 《漩渦》紅魚與灰魚的不同扭曲. 而在圖 3.3.11 中我們將《圍繞》的原圖重新美工在一等腰直角三角形的數學骨架裡，並仿照上圖的變形方式變形為圖 3.3.12 的模樣，也就是將《漩渦》的原圖在原本的等腰直角三角形的數學骨架中產生變形。而主要的變形就是等腰直角三角形斜邊中點的變化。. 圖3.3.11 等比例等腰直角三角形鑲嵌. 圖3.3.12 等比例等腰直角三角形鑲嵌. 由《圍繞》到《漩渦》，由原本四隻圍繞成一股封閉的圓形弧線，變成每一隻都接在一起的，向內與向外的兩條螺線。然而向內與向外的變形並不一致，所以產生兩種不同的外框。 51.

(58) 三、等腰直角三角形類型如圖 3.3.13 的《E101 分裂》及圖 3.3.14《德魯斯插圖》(原名：平面規則分割之六, Plate VI, Regelmatige valkverdeling)的蜥蜴，都是由圖 3.3.15 的《E035 蜥蜴》作為原型而繪製出來的。而且，它們的數學骨架明顯的都是等腰直角三角形。. 圖3.3.13 《E101 分裂》. 圖3.3.14 《德魯斯插圖》. 圖3.3.15《E035 蜥蜴》. 圖 3.3.16 為艾薛爾筆記中的手稿，即是由《E035 蜥蜴》的一隻蜥蜴出發，慢慢分裂為兩隻較小的蜥蜴，也就是《E101 分裂》。. 圖3.3.16 艾薛爾筆記中的手稿. 在圖 3.3.17 中所繪出的數學骨架，即是將等腰直角三角形內的一隻蜥蜴依照上圖劃分為兩隻，也就是兩個較小的等腰直角三角形。 52.

(59) 而圖 3.3.18 所繪出的《德魯斯插圖》的數學骨架，則是跳過分裂的過程，直接畫出兩隻較小蜥蜴的結果。. 圖3.3.17 《E101 分裂》的數學骨架. 圖3.3.18《德魯斯插圖》的數學骨架. 繪製蜥蜴的外框時，如同前一節的《方極限》所示，須注意圖 3.3.19 的蜥蜴外框分為 A、B、C、D 四段，且這四段外框其實是完全相似的，才能如圖 3.3.20 一樣做出等大小的鑲嵌，或是不等大小的鑲嵌。. 圖3.3.19 將蜥蜴外框分為四段. 圖3.3.20 數學骨架與輪廓線. 圖 3.3.21 就是表現使用此種蜥蜴鑲嵌時，所能表現的三種鑲嵌方式。只使用等大小的鑲嵌即為圖 3.3.15《E035 蜥蜴》的鑲嵌方式，而圖 3.3.13 的《E101 分裂》及圖 3.3.14《德魯斯插圖》則是等大小鑲嵌與不等大小鑲嵌均有使用。. 53.

(60) 圖3.3.21 蜥蜴的三種鑲嵌方式圖 3.3.22 則是將 8 隻蜥蜴鑲嵌於一點，左邊是使用等大小的鑲嵌，變形到右邊則為 4 種不同的大小各 2 隻的鑲嵌。. 圖3.3.22. 8隻鑲嵌於一點由等大小到不等大小. 54.

(61) 第四章：教材內容說明第一節：數位教材說明數位教材不僅讓內容更加活潑，還能讓更多人欣賞到鑲嵌藝術進而欣賞經由數學的平移、旋轉、鏡射及滑行鏡射所形成的美麗世界。本研究將艾薛爾鑲嵌版畫開發成數位教材，開發出的數位教材包含：鑲嵌教學影片、鑲嵌圖型著色，以及鑲嵌圖型拼圖，在此以編號《E109 遲遲疑疑的傢伙》一一介紹所開發出的兩種數位教材：. 一、鑲嵌教學影片為讓使用者欣賞鑲嵌圖案的形成過程及鋪滿方式，研究並開發教學影片並分為四段，第一段如圖4.1.1將數個數學骨架依重複的平鋪方式密鋪於整個平面即為數學舞台，由數學舞台中的中央的綠色正方形為密鋪平面的起始，以鉛直線為鏡射軸鏡射後依水平方向左右滑行，鏡射後的綠色正方形變為橘色，再以鉛直方向上下平移並再次變換顏色，之後依上述的密鋪方式構成數學舞台，觀察圖4.1.2中《E109 遲遲疑疑的傢伙》的密鋪方式可以發現第一段數學骨架的密鋪方式就是遲遲疑疑的傢伙鑲嵌圖案的密鋪方式。. 圖4.1.1 密鋪平面的正方形. 圖4.1.2 密鋪平面的遲遲疑疑的傢伙. 第二段由第一段數學舞台的一個正方形變大拉開序幕，此變大的正方 55.

(62) 形即為遲遲疑疑的傢伙的一個數學骨架，這裡依圖4.1.2中央綠色遲遲疑疑的傢伙的數學骨架為例，將數學骨架內非綠色遲遲疑疑的傢伙身體一部份的六個區塊編號A、B、C、D、E、F，並將這六小塊依數學原理的鏡射貼到正確的位置，如圖4.1.3與圖4.1.4，即裁貼出綠色遲遲疑疑的傢伙。. 圖4.1.3. 鉛直方向的平移裁貼. 圖4.1.4 水平方向的滑行鏡射裁貼. 第三段先將第二段所裁貼出的遲遲疑疑的傢伙著上顏色，並將著色好的遲遲疑疑的傢伙進行藝術表演，表演內容為遲遲疑疑的傢伙展示出其主要的密合方式，由其中兩隻不同顏色的遲遲疑疑的傢伙表演主要的兩種密合方式，如圖4.1.5。. (1) 鉛直方向的平移密合. (2) 水平方向的滑行鏡射密合圖4.1.5. 第四段銜接第一段的數學舞台，並留下數學舞台的虛線邊，將遲遲疑疑的傢伙依第一段數學骨架的密鋪方式一隻隻放到數學骨架上，如圖 4.1.6，放的時候除了需注意遲遲疑疑的傢伙在數學骨架上的正確位置外，仍須依照第三段的表演，也就是主要的兩種密合方式，這樣才能與相鄰的獅子互相貼合，如圖 4.1.7。. 56.

(63) 圖4.1.6. 在數學骨架上的位置. 圖4.1.7 兩種方式密鋪平面. 教學影片還搭配了背景音樂，除了讓使用者帶著舒適的心情欣賞鑲嵌藝術外，部分教學影片還會配合主題撥放適合的音樂。在播放影片時的左邊有一個小標題：艾薛爾鑲嵌藝術─遲遲疑疑的傢伙，此標題除了讓大家知道這一幅鑲嵌版畫的名字是遲遲疑疑的傢伙外，其實此標題還是一個暫停按鈕，是為了方便讓使用者停下來欣賞或思考。在未開始播放影片的封面除了一開始看到的封面圖外，還隱藏了兩個畫面，第一張封面圖是艾薛爾其他的版畫作品，或是由我們美工之後的彩圖，且影片封面圖是與該鑲嵌版畫相關的，例如編號《E109 遲遲疑疑的傢伙》影片的封面圖是我們美工之後的《遲遲疑疑的傢伙》，如圖4.1.8，詳細封面圖的介紹會在本研究的第四章第二節的《E109 遲遲疑疑的傢伙》工作單上說明；按一下影片右上角的隱藏按鈕會進入第二張圖片，此圖片為當年艾薛爾畫《E109 遲遲疑疑的傢伙》鑲嵌版畫的原圖，再按一次右上角的隱藏按鈕，會如圖4.1.9在第二張的原圖上畫上數學骨架。. 圖4.1.8 遲遲疑疑的傢伙的封面圖. 圖4.1.9 畫上數學骨架的原圖. 57.

(64) 二、鑲嵌圖形拼圖對於廣大的使用者我們亦開發了拼圖，以圖4.1.10《E109 遲遲疑疑的傢伙》拼圖為例。除了增加趣味性外，也可以讓使用者更了解遲遲疑疑的傢伙鑲嵌，遊戲規則為：相鄰兩隻遲遲疑疑的傢伙顏色不相同且所有遲遲疑疑的傢伙必須在紅色框內（不可重疊），即完成拼圖；在拼圖畫面的左邊隱藏了兩個按鈕，按下「艾薛爾鑲嵌拼圖」按鈕回到主畫面，按下「遲遲疑疑的傢伙」按鈕會在紅框內增加數學骨架，讓初學者可以按遲遲疑疑的傢伙在數學骨架上的正確位置協助完成拼圖；此外，按下主畫面右上方的隱藏按鈕會出現圖4.1.11的解答畫面。. 圖4.1.10 遲遲疑疑的傢伙拼圖. 圖4.1.11 拼圖解答. 58.

(65) 第二節：工作單內容說明為讓使用者更有效率的使用這兩種數位教材，本研究亦開發出工作單，希望藉由工作單能讓數位教材的使用者更清楚了解鑲嵌藝術中的幾何數學。工作單內容包含：引言之鑲嵌版畫創作背景與封面圖說明、影片總回顧之數學與藝術、細說影片第二段之如何由數學骨架裁貼出鑲嵌圖案、表演欣賞之主要密合方式、密鋪平面之形成鑲嵌圖，以及回饋單。本研究為下述 23 幅版畫《E024 鳥與魚》、《E026 燕子與昆蟲》、《E038 蛾》、《E043 花與葉》、《E056 蜥蜴》、《E058 兩隻魚》、《E063 悲觀者樂觀者》、《E065 蛾》、《E095 鳥》、《E101 分裂》、《E109 遲遲疑疑的傢伙》、《E133 交錯的六邊形》、《八面玲瓏》、《方極限》、《方極限蜥蜴》、《生命之路Ⅰ》、《生命之路Ⅱ》、《生命之路Ⅲ》、《烏得勒支公墓壁畫》、《圍繞》、《越來越小》、《漩渦》以及《德魯斯插圖》製作工作單，並依鑲嵌版畫編號由小到大一一排序。. 59.

(66) E024 鳥與魚工作單撰稿：蘇章瑋引言：《E024 鳥與魚》是荷蘭版畫家艾薛爾在1938年11月所作的一幅作品，作品中每隻鳥與魚的身體使用單一顏色―藍色及白色來著色，主要繪畫工具為鉛筆、墨水及水彩。影片中的封面圖是艾薛爾在同年12月所作的一幅版畫《天空與水二》(sky and water Ⅱ)，如下圖所示：. 從圖中上半部可以觀察到白色天空中黑色的鳥朝著兩個相反地方向飛行，往下看去鳥兒則溶入黑色的水中，並顯現出白色的魚包圍出鳥的形狀，且魚也游向兩個不同的方向。艾薛爾分別用兩種顏色表現天空與水以及生活在其中的動物型態，相互之間鑲嵌佈滿空間呈現出一幅美麗的畫面。《天空與水二》(sky and water Ⅱ) 與前作品《天空與水一》(sky and water Ⅰ)的差別在哪呢？讓我們透過影片一探究竟吧！請在電腦上點選《E024 鳥與魚.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、鳥與魚的數學與藝術我們可以把鳥與魚的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由矩形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，這矩形正是鳥與魚的數學骨架。第二幕：將數學舞台的一個矩形放大，從這矩形剪下八小塊後，依數學原理的平移及左右翻面後貼到正確的位置，再畫上鳥與魚之間的分割線，即裁貼出鳥與魚。第三幕：將鳥與魚外框的內部著上顏色成為藝術品，並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的鳥與魚們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將鳥與魚一隻一隻放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿就是所謂的鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 三角形 □ 正方形 □ 矩形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 60.

(67) 3. 影片中有幾種顏色的鳥與魚？ □ 兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的鳥與魚們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣二、如何從數學骨架裁貼出鳥與魚綜合下面兩個方式即可裁貼出鳥與魚，方式如下：甲、將矩形剪下八個小區塊 A , B , C , D , E , F , G , H，並將這八個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e；F → f ； G → g；H → h. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移與翻轉： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8). A → a：將 A 區塊向左平移到 a B → b：將 B 區塊向右平移到 b C → c ：先將 C 區塊左右翻轉，再平移到 D → d：先將 D 區塊左右翻轉，再平移到 E → e ：先將 E 區塊左右翻轉，再平移到 F → f ：先將 F 區塊左右翻轉，再平移到 G → g：先將 G 區塊左右翻轉，再平移到 H → h：先將 H 區塊左右翻轉，再平移到. c d e f g h. 裁貼出鳥與魚後可以發現：矩形的其中兩個頂點分別在鳥的尾巴及魚的嘴角，這就是鳥與魚在數學骨架上的正確位置。. 61.

(68) 三、真的是鳥與魚磁磚嗎由藝術表演可以知道經過數學原理形成的鳥與魚可以互相密合，其密合方式有兩種： (1) 左右的密合. (2) 上下的密合. 而整個磁磚的密合亦可分為兩種： (1) 左右的密合. (2) 上下的密合. 有了這兩種密合方式，就可以將鳥與魚磁磚密鋪在平面上了。四、鳥與魚的鑲嵌圖透過了解鳥與魚在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出鳥與魚鑲嵌圖，左下圖是先將魚放在數學骨架上的正確位置，其他的鳥與魚除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩種密合方式密鋪。. 62.