：艾薛爾的平面鑲嵌版畫

艾薛爾在「平面規則分割」裡有提到主題元素(motif)、平移單位(sliding cell) 及數學骨架(lattice)等概念。

一、 主題元素(motif)

在鑲嵌版畫上所看到的圖案，如：魚、鳥、昆蟲、蜥蜴或純幾何 圖案等，皆為主題元素，而數學家則稱之為磁磚(tile)。

二、 平移單位(sliding cell)

一個圖案能夠以重複排列的方式密鋪整個平面，稱為平移單位。

以圖 2.4.1 艾薛爾編號《E038 蛾》為例，其平移單位是一隻蛾，但 根據主題元素設計的不同，平移單位可能不只一種。以圖 2.4.2

《E043 花與葉》為例，其平移單位是一朵花配一片葉，但平移單位 會根據要選擇每朵花周圍相鄰的哪一片葉子搭配，有 3 種組合。

圖2.4.1 《E038 蛾》 圖2.4.2 《E043 花與葉》

三、 數學骨架(lattice latticelattice)

一個多邊形如果恰好包含個一平移單位，且能夠以重複的排列方 式密鋪整面，稱為數學骨架，此以下面 4 張圖表示 4 種不同的數學骨 架。

圖2.4.3 《E056 蜥蜴》 圖2.4.4 《E095 鳥》

圖2.4.5 《E109 遲遲疑疑的傢伙》 圖2.4.6 《E065 蛾》

圖 2.4.3 的紅框 60—90—120—90 度鳶形為蜥蜴的數學骨架，仔細觀察可以 看出鳶形裡的區塊旋轉後能拼成蜥蜴，也就是此鳶形內恰包含一個平移單位─

蜥蜴，由圖 2.4.7 可以看出此鳶形能以重複的排列方式密鋪整個平面；圖 2.4.4 的藍框正三角形為鳥的數學骨架，可以觀察出正三角形裡的區塊旋轉能拼成 鳥，由圖 2.4.8 可以看出此正三角形能以重複的排列方式密鋪整個平面；圖 2.4.5 遲遲疑疑的傢伙的數學骨架為紅框正方形，此正方形裡的區塊翻面與平移 能拼成遲遲疑疑的傢伙，由圖 2.4.9 可以看出此正方形能以重複的排列方式密鋪 整個平面；而圖 2.4.6 蛾的數學骨架為紅框等腰三角形，此等腰三角形裡的區塊 縮放與旋轉後可以拼成一隻蛾，由圖 2.4.10 可以看出此等腰直角三角形能伸縮 後以重複的排列方式密鋪整個平面。由上述可知，除伸縮的圖 2.4.10 外，數學 骨架的面積恰等於一個平移單位的面積。

圖2.4.7 《E056 蜥蜴》 圖2.4.8 《E095 鳥》

圖2.4.9 《E109 遲遲疑疑的傢伙》 圖2.4.10 《E065 蛾》

艾薛爾在他的筆記中將數學骨架主要分成兩大系統：三角形及四邊形，其 中三角形包含正三角形、銳角三角形及由六個正三角形組成的正六邊形，四邊 形包含正方形、矩形、菱形、平行四邊形、鳶形及由兩個相同五邊形所組成的 正方形，也就是如本章第一節所述，超過四邊以上的多邊形均可以由三角形以 及四邊形數學骨架發展而來。更清楚區分，本研究另外增加無窮等比系列這一 類。

對於如何密鋪平面的問題，艾薛爾在筆記中整理出三種移動規則：平移 (translation)、軸向(axes)及滑行鏡射(glide reflection)。軸向為以一個點為軸心發 展圖案，滑行鏡射為平移與鏡射(reflection)的合成。另外有一種單純的鏡射 (reflection)規則在艾薛爾作品中有被使用到，但他並沒有特別整理在自己的分類 裡。本研究用旋轉表示軸向，並用其中下四種規則：平移、旋轉、鏡射及滑行 鏡射來說明如何密鋪平面。其中使用滑行鏡射時，其鏡射軸與滑行方向通常是

平行的；若其鏡射軸與滑行方向恰好垂直，就像是單純翻書般的翻面，即為純

圖 2.4.7，《E056 蜥蜴》的數學骨架為 60—90—120—90 鳶形，其密鋪方式 為：以蜥蜴的左前肢為旋轉點旋轉一次 60 度，共 6 次；再以右後肢關節為旋轉

圖2.4.13 《E058 兩隻魚》 圖2.4.14 《方極限》

圖 2.4.11，《E038 蛾》的數學骨架為平行四邊形，其密鋪方式為：沿著其中 一組平形邊方向的直接平移；以及沿著另一組平形邊方向的直接平移。以這兩 種方式的交替使用密鋪於平面。

圖 2.4.12，《E043 花與葉》的數學骨架為 60—120 菱形，其密鋪方式為：

以三朵花相接的位置為旋轉點旋轉一次 120 度，共 3 次；再以三片葉相接的位 置為旋轉點旋轉一次 120 度，共 3 次。以這兩種方式的交替使用密鋪於平面。

圖 2.4.13《E058 兩隻魚》的數學骨架為等腰三角形，其密鋪方式為：將兩 隻魚以水平線為鏡射軸上下翻面，再沿著底邊的方向向左右平移；以及以底邊 中點為旋轉點旋轉一次 180 度，共 2 次。以這兩種方式的交替使用密鋪於平 面。

圖 2.4.14《方極限》的數學骨架為等腰直角三角形，其密鋪方式為：將較 大魚縮小 2倍後的較小魚，翻面、旋轉並平移使較大魚斜邊中點處的鰭與兩 隻較小魚直角處的鰭密合而無縫隙；再以這種方式無限密鋪下去所成的一個有 限大直角三角形為單位，以直角為旋轉點旋轉 90 度，共 4 次，可密鋪於平面上 的一個正方形內部。