子載波波束形成器之內插

由 4.3.1.2 小節，使用子載波群子化的概念雖然可以有效降低運算的 複雜度，但在g愈小的的狀況下，也就是使用愈少的波束形成器的狀況之 下，容易降低造成系統效能，因此可以利用不同的內插法來取代子載波群 組化。以下分別討論四種不同內插法的概念以及對系統效能的影響，其中 包 含 了 線 性 內 插 法 、 Cubic Spline Interpolation 、 Lagrange Interpolation 以 及 B-spline Interpolation 。 其 中 Lagrange Interpolation 以 及 B-spline Interpolation 可 以 使 用 Farrow Structure，可以簡化硬體的複雜度。

z 線性內插法(Linear Interpolation)

線性內插的概念，如圖 4.16 所示，假設相鄰的權重向量存在線性關 係，利用線性內插的方式，計算出相鄰的權重向量值。其數學表示如下:

( ) ( ) ( ( 1) ( ))

w_u w u w w

k k k k

= +U + − (4.23)

其中U 代表兩相鄰已知權重向量之間距，w k( )為第k個已知的權重向 量，w_u( )k 為由w k( )與w k( +1)做線性內插所求得的第u個權重向量。

圖 4.16 線性內插法

圖 4.17 與圖 4.18 分別為在頻率選擇性衰落的通道中，不受同頻干擾 與受到一個同頻干擾(5dB)時，使用線性內插法與子載波群組化的比較 圖，系統參數如表 4.1 所示。觀察圖 4.17 與圖 4.18，當線性內插法的間

距愈大時，系統效能會愈差。但相較於子載波群組化，有較理想的效能表

z Cubic Spline Interpolation

現實世界中的信號，其波形經常是連續的，且其微分後的數值也是連 續的，Spline Interpolation 便是根據此概念所發展出來的。“Cubic Spline＂一個常見用來做 Spline Interpolation 的方法。其為一種利用 3 階多項式(third-order polynomial) 來實現內插的技術，其假設在兩個 不同內插區間的邊界上，一階微分與二階微分會相等。上述假設符合一般 連續信號的特性。利用接收的L點資料 (w₀ ~w_L−1)，如圖 4.19 所示，建 立位於第i個區間之連續曲線，此連續曲線可用 3 階多項式可表示

3 2

3, 2, 1, 0,

i( ) i i i i i i i

w f =C f +C f +C f +C (4.24)

共有4 (× L−1)個係數需要求解，因此必須建立4 (× L−1)組方程式，才 可求得全部係數。假設兩相鄰多項式之一階微分與二階微分，在代入邊界 處的數值後會相等，則共可以得到2 (× L− +1) (L− +2) (L−2)組方程式。此 時，必須再假設位於起始點w₀與終點w_L−1之斜率為已知，才可獲得4 (× L−1) 組方程式，才可求得全部係數。

圖 4.19 Cubic Spline Interpolation

圖 4.20 與圖 4.21 分別為在頻率選擇性衰落的通道中，不受同頻干擾 與受到一個同頻干擾(5dB)時，使用 Cubic Interpolation 與線性內插法

的比較圖，系統參數如表 4.1 所示。

觀察圖 4.20 與圖 4.21，使用 Cubic Interpolation 相較於線性內插

法，由於 Cubic Interpolation 使用微分的概念，因此容易受到雜訊所影 響，除了造成系統效能表現不如線性內插法，而且 Cubic Interpolation 必須求得一組龐大方程組之解，在實際硬體設計時並不實用，因此選用線 性內插會是較佳的選擇。

z Lagrange Interpolation & B-spline Interpolation

Lagrange Interpolation 之概念如圖 4.22 所示[31]，為一個維度 (L−1)之多項式，且此多項式會通過L個已知的取樣點。此多項式之數學

圖 4.22 Lagrange Interpolation 示意圖

有關 B-spline 部分[31]，一個簡單建立 B-spline 的方式為將方波

1( )

h t 自己和自己做迴旋(convolve)，如圖 4.23 所示

圖 4.23 Construction of B-splines

由圖 4.23，h t₂( )、h t₃( )和h t₄( )，分別稱為 Linear B-spline， Quadratic B-spline 和 Cubic B-spline，其數學表示式為

2

由[31]，Farrow Structure 是一個用於實現連續可變的延遲元素 (continuously variable delay element)非常有效的方法。基本概念在

於設計一組濾波器在欲求內插的範圍內(desired range)，0≤ ≤d 1，去近 似(approximation)一個少量延遲(fractional delay)的信號，即是近似 一個少量延遲(fractional delay)的信號之P階多項式之係數。

, 此即為著名的 Farrow Structure，如圖 4.24 所示。

利用 Farrow Structure 可以產生任意時間延遲的信號。其延遲信號 之正確性會與濾波器的長度L與多項式的階數P有關。由[31]，當L=4，

3

P= 時 即 有 不 錯 的 效 果 。 一 些 利 用 多 項 式 為 基 礎 的 內 插 器 (interpolator)，如 Lagrange interpolation 和 B-spline interpolator 可用 Farrow Structure，不需任何近似，完整的實現。

增加濾波器的長度可使內插器獲得較佳的相角與振幅響應。但是濾波 器愈長會增加運算量，且增加硬體複雜度。由表 4.3 與表 4.4，列出 Farrow Structure 之c_{m n,} 的係數。

表 4.3 Cubic Lagrange 係數

,

Cm n _{m=0 m=1 m=2 m=3}

0

n= 0 -1/6 0 1/6

1

n= 0 1 1/2 -1/2

2

n= 1 -1/2 -1 1/2

3

n= 0 -1/3 1/2 -1/6

表 4.4 Cubic B-spline 係數

,

Cm n _{m=0 m=1 m=2 m=3}

0

n= 0 0 0 1/6

1

n= 1/6 1/2 1/2 -1/2

2

n= 2/3 0 -1 1/2

3

n= 1/6 -1/2 1/2 -1/6

圖 4.24 Farrow Structure

由表 4.3 與表 4.4，Cubic Lagrange 內插器與 Cubic B-spline 內插

器之係數相當的簡單，且可用少量的乘法器與加法器所完成。由[31]，可 將 Farrow Structure 簡化如圖 4.25 及圖 4.26。

圖 4.25 Cubic Lagrange 內插器

圖 4.26 Cubic B-spline 內插器

後置-快速傅立葉轉型結構，若針對每個不同子載波分別計算其權重

向量，所需的計算量過於龐大。因此，只計算在幾個特定的子載波上的權 重向量，其餘子載波之權重向量透過內插之方式求得，透過此方式可有效 減低運算量。即利用圖 4.25 及圖 4.26 所設計之內插器架構，來內插子載 波上所需之權重向量值。

圖 4.27 所示，分別為使用者信號在頻率選擇性衰落通道中，包含兩 條能量相等之路徑(two rays equal power channel)，使用不同內插法之 比較圖，詳細的系統參數如表 4.1 所示。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10^-2 10^-1 10⁰

SNR (dB)

BER

Subcarrier Clustering,Interval=32

Cubic Lagrange(Farrow Structure),Interval=32 Cubic B-spline(Farrow Structure),Interval=32 Cubic Spline,Interval=32

Linear,Interval=32

圖 4.27 各類型內插法比較圖

由圖 4.27 所示，在兩條能量相等之路徑之通道環境中，使用線性內 插法會是較為理想的選擇。

使用不同內插法來降低後置-快速傅立葉轉換型波束形成器之複雜 度，在效能表現上有所不同，所需的乘法量會亦有所不同。將不同內插法 所需的乘法量列於表 4.5。

表 4.5 各類型內插法複雜度分析 Interpolation

Type

Subcarrier

Clustering Linear Cubic Spline[32]

Cubic Lagrange

Cubic B-spline Multiplication 0 1 4

K 4

L + 5 7

:

K number of reference signals :

L reference signal spacing