存活分析之原理與特色

存活分析法一開始主要應用於醫學領域，用來分析如癌症病人之存 活時間，比較兩組使用不同藥物病患之存活率，但目前以廣泛發展在各 種領域上，如：違約風險計算、產品功能持續時間…等等。於運輸領域 上，亦可應用於如汽機車使用年限、鋪面養護決策、事故處理時間…等。

存活分析又稱為事件-時間分析（time-event analysis），是用來研究或 分析樣本所觀察到的某一段時間長度之分配的方法，一段時間長度通常 是從一特定事件（event）起始之起始時間點算起, 計算到某一特定事件 發生的時間點為止,在經過此特定時間後，會發生某種特定事件的機率，

通常稱此特定時間為事件時間或存活時間（survival time），若發生特定 事件則稱為失敗（failure）。事件時間之資料常存在於不同領域中，最常 見的為在醫學或流行病學常以死亡、疾病發生、疾病復發代表特定事件；

反之若在特定時間上並未發生特定事件則稱為設限（censored）；另外也 出現於工程學中之產品可靠度分析、商業研究中之客戶忠誠度、企業存 活時間、經濟學上之失業時間及再就業時間等等。由上述說明可發現，

存活時間是存活分析中最主要的分析變數，因此定義存活時間時，必須 要有以下三項基本要求：

(1) 明確定義存活時間測量的起點（start time）

(2) 明確定義存活時間測量的終點，亦即失敗事件（event）

(3) 定義存活時間之量測單位

在收集存活時間時，並非所有觀察對象都可以收集到完整的資料，

或追蹤足夠長的時間，針對這些不完整的資料，稱為設限資料，例如：

針對病人進行癌症復發時間之研究，但在實驗結束時，部分觀察對象並 未發生復發的情形，但在研究結束之後仍可能復發。設限資料為存活分 析中考量之關鍵問題，資料對於存活時間僅提供部份資訊，但是透過存 活分析，即可將這些擁有不完整資訊的設限資料有用的部份納入分析，

避免刪除不完整資料時發生的偏誤現象，一般而言產生設限資料的原因 大致包含下列三點，設限資料之示意圖如圖3.1 所示，個體 A、C 及 E 為設限資料之範例，個體B 及 D 為完整資料之範例。

(1) 研究結束時，個體未發生失敗事件。(圖 3.1 之 A 個體)

(2) 研究途中，因為不同原因使得無法繼續追蹤個體。(圖 3.1 之 C 個體) (3) 個體於研究期間內脫離。(圖 3.1 之 E 個體)

圖3. 1 設限資料示意圖

本研究主要透過資料調查方式，了解目前民眾申裝之情形，將失敗 事件定義為已申裝電子收費系統，因此對每一樣本而言，可能產生個體 未發生失敗事件情形之設限資料，民眾於進行調查時未申裝電子收費系 統，因不同原因無法繼續追蹤以及個體離開之情形造成之設限資料，由 於收費方式只有人工及電子收費兩類，並不會產生由於不同原因導致無 法追蹤或離開之情形。

下列根據存活時間所構成之存活函數及危險函數等加以定義，假設T 為某群體中單獨個體之存活時間，其為連續且非負之隨機變數， 為 機率密度函數，則T 之累積分配函數（cumulative distribution function）

之機率模式如式(3.1)所示：

(3.1)

而「個體研究事件存活時間超過某特定時間t 之機率」即為存活函數

（survival function），其機率模式如式(3.2)所示：

(3.2)

存活函數為一單調遞減的函數且 ，存活曲

線下的面積則代表特定事件的平均壽命，如式(3.3)所示：

(3.3)

若對 做一階微分，可獲得當個體以時間為軸演變時，在任何 一個 之時間內，發生死亡機率的大小，以 表示，如式 (3.4)所示：

(3.4)

在存活分析中，上述之概念可用另一方式描述，也就是危險函數

（hazard function）。相對於存活函數觀念，危險函數指的是「個體存活 的時間至少有t ( T t)，但個體在下一瞬間（t+△t）立即失敗的風險」，

也就是瞬間失敗率或稱條件失敗率，危險函數亦可透過機率密度函數及 存活函數之計算得到。危險函數如式(3.5)所示：

(3.5)

由式(3.3)可得 ，則式(3.5)可轉換為：

(3.6)

將式(3.6)兩邊同時積分並取指數形式，可得存活函數如式(3.7)所示：

(3.7)

則個體在時間點t 之機率密度函數可得：

(3.8)

一般而言，常見的存活函數推估方法為1958 年由 Kaplan 與 Meier 提出的Product-Limit Estimate（或稱為 Kaplan-Meier Estimate）估計方法，

是屬於無母數（Non- parametric）的統計分析方法。另外，較常見的危險 函數推估方法是為由Cox 於 1972 年所提出的 Cox 等比率風險模型

（Proportional Hazard Model），又稱為 Cox 迴歸模型(Cox’s Regression Model)。此兩種模式將於接下來進行詳細介紹。