第四章 研究結果
第三節 學生喜歡的證明方法
第三節 學生喜歡的證明方法
針對本研究的研究目的與研究問題，本節逐一回答：（一）高一生喜歡 的證明方法；（二）高一生喜歡的證明特徵；（三）高一生認為各個證明方 法比較具有的特徵；（四）高一生認為各個證明方法比較具有的效果；
（五）高一生認為各個證明方法的難易度；（六）高一生認為各個證明方法 的正確度；（七）證法被喜歡的程度與證法的特徵之相關；（八）證法被喜 歡的程度與證法的效果、難易度、正確度之相關。最後，並進一步將特徵 較為接近的證法進行比較。
（一）高一生喜歡的證明方法
本研究將學生對證法的喜歡程度分成六個等級，分別為非常不喜歡、
不喜歡、算是不喜歡、還算喜歡、喜歡、非常喜歡，並分別以 0 分、1 分、
2 分、3 分、4 分、5 分代表。計算各證法的平均分數，得到的結果如下表 所示：
表 四-56 學生對各證法喜歡程度的平均分數
證法 平均分數
典型證法 3.2
(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法 1.1
數值條列證法 0.8
圖形證法 2.0
(a−b)2 ≥0起始的證法 1.9 ( a − b)2 ≥0起始的證法 1.9 將表 四-56 的結果以下圖表示：
78 第四章 研究結果
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
宮 商 角 徵 羽
典型 其他
卷別 宮 商 角 徵 羽
其他證法 Generic 數值 圖形 (a−b)2 ≥0 ( a− b)2 ≥0 圖 四-31 學生對各證法喜歡程度的平均分數
由圖 四-31 與第二節的分析可以看出，學生對【典型證法】的喜歡程 度均顯著高於其他五個證法。因此在這六個證法中，學生最喜歡的證明方 法為【典型證法】。
（二）高一生喜歡的證明特徵
在各項證明特徵中，學生喜歡的人次百分比如下表所示：
表 四-57 學生喜歡各項證明特徵的人次百分比
編號 特徵 人次百分比（％）
3 這個證法主要是用運算的方式來證明 77.15 4 這個證法主要是用圖形的方式來證明 71.04 1 這個證法主要是用抽象符號來證明 67.36 5 這個證法主要是用實際數字來證明 58.99 2 這個證法主要是用特例來證明 40.96
第三節 學生喜歡的證明方法 79
80 第四章 研究結果
「特例」最低，只有四成的學生喜歡。在「步驟與銜接」方面，只有「銜 接自然」有高達九成的學生喜歡，「符號多、想法難、步驟多」喜歡的學生 都不到四成。在「效度、嚴謹度、一般性」方面，每項學生喜歡的比例均 超過八成。
（三）高一生認為各個證明方法比較具有的特徵
學生覺得各個證法具有各項特徵的人次百分比如下表所示（網底表示 人次百分比已達三分之二）：
表 四-58 學生覺得各個證法具有各項特徵的人次百分比 人次百分比（％）
編號 特徵
典型 Generic 數值 圖形 (a−b)2 ≥0 ( a− b)2 ≥0 3 用運算 89.1 80.7 33.3 7.7 79.1 76.5 1 用抽象符號 67.9 3.2 11.1 20.5 44.2 50.0
5 用數字 21.2 93.6 100 15.4 20.9 17.7 2 用特例 10.3 74.2 61.1 28.2 27.9 23.5
4 用圖形 8.5 3.2 44.4 97.4 9.3 8.8 6 銜接自然 81.8 41.9 33.3 56.4 39.5 55.9
8 符號多 37.0 6.5 11.1 15.4 27.9 11.8 7 步驟多 25.5 48.4 61.1 23.1 27.9 8.8 9 想法難 14.6 32.3 0.0 38.5 25.6 20.6 11 有效 92.7 41.9 44.4 84.6 72.1 79.4 10 不等式適用 83.0 25.8 27.8 33.3 32.6 50.0 12 嚴謹 70.3 16.1 16.7 46.2 53.5 38.2
第三節 學生喜歡的證明方法 81 人次百分比（％）
編號 特徵
典型 Generic 數值 圖形 (a−b)2 ≥0 ( a− b)2 ≥0 13 具一般性 61.8 29.0 33.3 43.6 41.9 41.2
由表 四-58 可以看出，學生覺得各證法較具有的特徵如下：
1. 【典型證法】：主要是用運算的方式來證明、主要是用抽象符號來證 明、這個證法步驟的銜接自然、這個證法是有效的、要證明不等式都 可以用這個證法的想法、這個證法是嚴謹的。
2. 【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】：主要是用運算的方式來證明、
主要是用實際數字來證明、主要是用特例來證明。
3. 【數值條列證法】：主要是用實際數字來證明。
4. 【圖形證法】：主要是用圖形的方式來證明、這個證法是有效的。
5. 【(a−b)2 ≥0起始的證法】：主要是用運算的方式來證明、這個證法是 有效的。
6. 【( a − b)2 ≥0起始的證法】：主要是用運算的方式來證明、這個證法 是有效的。
統整以上六點的結果如下表：
表 四-59 各證法比較具有的特徵
特徵 典型 Generic 數值 圖形 (a−b)2 ≥0 ( a − b)2 ≥0
用運算
9 9 8 9 9
用抽象符號
9 8 8 8
用數字
8 9 9 8 8 8
用特例
8 9 8 8 8
用圖形
8 8 9 8 8
銜接自然
9
符號多
8 8 8 8 8
82 第四章 研究結果
特徵 典型 Generic 數值 圖形 (a−b)2 ≥0 ( a − b)2 ≥0
步驟多
8 8 8 8
想法難
8 8 8 8 8
有效
9 9 9 9
不等式適用
9 8 8 8
嚴謹
9 8 8
具一般性
註：1. 「
9
」 表示覺得該證法具有該特徵的人次百分比已達三分之二。2. 「
8
」 表示覺得該證法具有該特徵的人次百分比未達三分之一。3. 「 」表示人次百分比已達三分之一未達三分之二。
由表 四-59 可以看出，學生認為【典型證法】、【(a−b)2 ≥0起始的證 法】、【( a − b)2 ≥0起始的證法】主要都是用運算，且不是用實際數字與 特例的方式來證明；【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】、【數值條列證 法】則主要是用實際數字來證明；而【圖形證法】主要是用圖形的方式來 證明。另外，【典型證法】與其他證法在各項特徵上差異的情形如下表所 示：
表 四-60 【典型證法】與其他證法在各項特徵上差異的情形 特徵 Generic 數值 圖形 (a−b)2 ≥0 ( a − b)2 ≥0
用運算 Ｘ Ｘ
用抽象符號 Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ
用數字 Ｏ Ｏ
用特例 Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ
用圖形 Ｏ Ｏ
銜接自然 Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ
符號多 Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ
步驟多 Ｏ Ｏ Ｘ
想法難 Ｏ Ｏ
有效 Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ
不等式適用 Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ
嚴謹 Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ
具一般性 Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ
第三節 學生喜歡的證明方法 83
特徵 Generic 數值 圖形 (a−b)2 ≥0 ( a − b)2 ≥0 註：1. 「Ｏ」表示比【典型證法】顯著多了該項特徵。
2. 「Ｘ」表示比【典型證法】顯著少了該項特徵。
3. 「 」表示該特徵與【典型證法】無顯著差異。
以下將報導幾個較有趣的特徵，其他的特徵請見附錄「學生覺得六個 證法具有各項特徵的人次百分比」。
特徵 2：主要是用特例來證明
【 典 型 證 法 】、【 圖 形 證 法 】、【 (a−b)2 ≥0 起 始 的 證 法 】、
【( a − b)2 ≥0起始的證法】，在證明的過程中，都是使用文字符號 a、 b，並非只針對某一種特定的情形。然而，仍有大約四分之一的學生覺得，
【圖形證法】、【(a−b)2 ≥0起始的證法】與【( a− b)2 ≥0起始的證法】
「主要是用特例來證明」。對於【圖形證法】，也許有些學生覺得，「有些學 生認為演繹證明不能保證沒有反例，證明只是針對那一個附圖，或是那個 特定的形狀，對於其他的形狀則必須再證一次，不能用同一個證明代表全 部 的 情 形 」（ 楊 凱 琳 ， 民 93 ）。 至 於 【 (a−b)2 ≥0 起 始 的 證 法 】 與
【( a − b)2 ≥0起始的證法】，可能學生也將「特殊技巧」視為一種「特 例 」。 對 本 研 究 的 研 究 樣 本 而 言 ， 如 果 只 是 要 學 生 判 斷(a−b)2 ≥0 及 ( a − b)2 ≥0是否正確，或是從這兩個式子導出算幾不等式，應該不成問 題。關鍵在於，要如何在一開始想到這兩個式子。可能因此讓學生覺得這 是一種「特殊技巧」，進而視為一種「特例」。
特徵 6：步驟的銜接自然
相較於【典型證法】，學生覺得其他證法步驟的銜接都比較不自然。在
【圖形證法】中，有幾位學生表示看不懂 ab 是怎麼出現的，可能因此覺 得 【 圖 形 證 法 】 步 驟 的 銜 接 不 自 然 。【 (a−b)2 ≥0 起 始 的 證 法 】 與
【( a − b)2 ≥0起始的證法】，如前段所言，從看完題目到想出第一個式
84 第四章 研究結果
子，之間似乎沒有很強的關聯性，可能因此讓學生覺得【(a−b)2 ≥0起始的 證 法 】 與 【 ( a − b)2 ≥0 起 始 的 證 法 】 步 驟 的 銜 接 不 自 然 。 至 於
【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】與【數值條列證法】，倒是一個相當 有趣的結果。有些教師認為，學生對於數字的運算，會覺得比用符號的運 算自然，但從【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】與【數值條列證法】
的結果來看，似乎有相反的結果。以【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證 法】為例，當我們看到(5 3)− 2 ≥0時，通常不會想到利用乘法公式將(5 3)− 2 展開，而是會直接將(5 3)− 2看成22 = 。再看【數值條列證法】，其實每一4 組數字代入算幾不等式都是對的，然而卻後卻突然出現了刪節號而直接推 出結論，可能因此讓學生覺得步驟的銜接不自然。
特徵 7：步驟很多
如 果 考 慮 各 證 法 列 出 的 步 驟 數 ， 步 驟 由 多 到 少 的 證 法 依 序 為 ：
【(a−b)2 ≥0的 generic （ 啟 蒙 ） 證 法 】、【 圖 形 證 法 】、【 典 型 證 法 】、
【(a−b)2 ≥0起始的證法】、【( a − b)2 ≥0起始的證法】、【數值條列證 法】。而學生覺得有「步驟很多」這個特徵的比例由高到低的證法依序為：
【數值條列證法】、【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】、【(a−b)2 ≥0起始 的證法】、【典型證法】、【圖形證法】、【( a − b)2 ≥0起始的證法】。由此可 見，學生在判斷證法是否具有「步驟很多」這個特徵時，並不是直接看所 列出的步驟數，而是會將自己閱讀證法的歷程列入考慮。以【數值條列證 法】為例，雖然列出的步驟數只有三步，但學生可能覺得每代一組數字就 是一個步驟，因此在「步驟很多」這個特徵上反而高居第一名。
特徵 9：想法很難
學生覺得【數值條列證法】比【典型證法】不難，因為【數值條列證 法】是條列數值實例的證法，與直觀上的想法相同。【圖形證法】需要瞭解
第三節 學生喜歡的證明方法 85
ab 是怎麼來的，因此學生覺得【圖形證法】的想法比【典型證法】難，
亦屬合理。反而是【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】利用數字運算的 證法，學生也覺得比【典型證法】的想法難，與一般直觀上的想法有些落 差。然而，學生也覺得【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】步驟的銜接 比【典型證法】不自然。如果以這個角度來看，學生覺得【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】的想法比【典型證法】難，就合情合理了。另一個 值得注意的地方是，【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】是【(a−b)2 ≥0 起始的證法】的啟蒙證明（generic proof），但【(a−b)2 ≥0的 generic（啟 蒙）證法】在許多特徵的表現上，似乎不如【(a−b)2 ≥0起始的證法】理 想，例如：步驟比較多、證法比較無效等。可見用數字運算取代符號，對 學生的學習不見得比較容易。
特徵 11、特徵 12：證明是有效的、證明是嚴謹的
【 典 型 證 法 】、【 圖 形 證 法 】、【 (a−b)2 ≥0 起 始 的 證 法 】、
【( a − b)2 ≥0起始的證法】，都是一般在高中數學的課程中，老師可能會 教給學生的證法。對一位數學老師而言，雖然教給學生的證法不見得每個 人都一樣，但一定會注重有效、嚴謹兩大條件。然而，相較於【典型證 法 】， 學 生 卻 覺 得 【 圖 形 證 法 】、【 (a−b)2 ≥0 起 始 的 證 法 】 與
【( a− b)2 ≥0起始的證法】都比【典型證法】不嚴謹。以【圖形證法】
而言，可能學生覺得用一個圖來代表所有的情形就算一種證法，會有所疑 慮。至於【(a−b)2 ≥0起始的證法】與【( a− b)2 ≥0起始的證法】，一來 學生可能會覺得並沒有交代第一個步驟(a−b)2 ≥0與( a− b)2 ≥0是怎麼 來的，二來則是在運算的過程中，都有次方增減的問題，可能會讓同學覺 得是否需要考慮增減根的情形。不過這個現象學生的真實想法，仍有待進 一步的研究探討。
86 第四章 研究結果
（四）高一生認為各個證明方法比較具有的效果
學生覺得各個證法能達到各項效果的人次百分比如下表所示（網底表 示人次百分比已達三分之二）：
表 四-61 學生覺得各個證法能達到各項效果的人次百分比 人次百分比（％）
表 四-61 學生覺得各個證法能達到各項效果的人次百分比 人次百分比（％）