數學證明的特徵

第二章 文獻探討

第一節 數學證明的特徵

數學證明的本質

所謂數學證明（以下可簡稱為「證明」），「不只在不同的文化有不同的 含意，就連在不同的時代也有不同的含意。」（Wilder，1968）林福來等

（民 84）根據數學哲學觀的分類來探討數學證明的對應觀，例如：「直觀主 義」的數學證明屬於直觀推理；「非形式主義（準經驗主義、擬經驗主 義）」的數學證明是一種改進推測的手段；「邏輯主義」的數學證明是從公 設或以證明的命題出發，以邏輯論證推得結論的過程。

以上從較哲學的角度探討數學證明的本質，另一個看待證明本質的角 度是，當一個人被問到「證明是什麼？」時，這個人在腦中所浮現最直接 的想法，顧名思義，證明即「引用證據使其明顯」。Mason et al.（1982）提 出了證明的三項功能：使自己信服、使朋友信服、使敵人信服，就是這個 道理。

綜合以上所述，數學證明即「用演繹的方法來說道理」。既然證明是

「對所下的結論說道理」，那麼講法（證明方法）當然往往不只一種。然 而，既然都是數學證明，為什麼需要不同的方法？這個問題與數學證明所 扮演的角色有關。因此，接下來將探討數學證明所扮演的角色有哪些。

數學證明所扮演的角色

在數學領域中，證明是一個檢驗知識的方法（Hoyles，1997）。而許多 學生也認為證明的目的為：提出事實、解釋、發現定理或想法，其中以認 為證明的目的為提出事實的學生最多（Healy & Hoyles，1998）。另外，根 據林福來（民 90）針對國內青少年代數論證信念所作的調查發現，對於證 明的思維方式，在回答「數學證明的目的是什麼？」的問題當中，超過三

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分之二的學生表示「要追根究底」、「是要求為什麼」；但是在「數學證明是 什麼？」的問題當中，將近一半的學生提到最多的是舉例說明、提出證 據。然而，如果證明只是提出證據，那麼要證明一個定理只要一個方法就 夠了。但實際上，一個定理往往有許多不同的證明方法。由此可見，除了 提出證據之外，證明還扮演著其他的角色。不同的證明方法，其所扮演的 角色與功能也不盡相同。一般而言，數學證明所扮演的角色有：確認一個 敘述為真、解釋為什麼一個敘述為真、溝通數學知識、發現或創造新數 學、將敘述系統化到公理系統（Bell，1976；de Villiers，1999；Hanna，

1983，1990）。

Tall（1979）做了一個實驗，他選了兩個證明 2 是無理數的證法，請 大學一年級的學生選擇他們比較喜歡的證法。第一個是利用反證法，第二 個則是說明任何整數的平方，它的標準分解式中，質因數的次方一定是偶 數，所以任何有理數的平方不可能是2

1 ，因為 2 只有一次方。大部分的學 生選擇了第二個證法，因為他們覺得證法二說明了為什麼「 2 是無理數」

這件事是對的，而不是只有「確認」。以形式化證明的角度來看，證法二可 能較不嚴謹，但對學生較有感覺。這說明了有些時候，嚴謹並不是學生是 否喜歡證明的必要條件。以 Tall 的實驗為例，雖然證法二較不嚴謹，但卻 較能使學生更瞭解為什麼 2 是無理數。由此可見，證明可視為一個傳達數 學 敘 述 真 實 性 給 他 人 的 方 式 ， 幫 助 別 人 瞭 解 這 個 敘 述 為 什 麼 是 真 的

（Alibert et al.，1991）。數學證明活動不僅在核實命題，更重要的是在使人 透過證明方法去理解接受一個形式的命題，甚至是在證明的過程中導致另 一個新命題的發現（蕭文強，民 87）。

數學是「猜測－證明－發現」的實際活動，如果數學的學習就是一種 數學發現，學生必須要有機會做問題，並在適當層次上使用猜測，然後證 明數學事實（Polya，1965）。因此，Alibert（1988）發展了一種教學法，在

第一節 數學證明的特徵 7

一個約 100 人的微積分課堂中，讓學生自行提出猜想，然後互相討論，直 到說服所有的人。例子如下：

若 I 是一個實數線上的閉區間，a 是 I 中一個固定的數，且 x 是 I 中的 一個數，對在 I 上可積分的函數 f，假設

( ) ^x ( )d F x =

∫

此時老師提問：「請同學提出『若 f……，則 F……』這種形式的猜 測。」之後學生提出了約 20 個猜想，例如「若 f 遞增，則 F 遞增」，而事 實上這個敘述是錯的。在不斷舉反例、修正敘述，到最後證明敘述為真，

整個過程一共花了兩個小時。在以上的例子中，當學生要說服他人自己提 出的猜想是正確的時候，雖然一開始可能會想用例子來證明，但後來學生 會發現用例子來證明是不夠的，進而嘗試以形式化的數學證明與他人進行 溝通，來說服他人自己提出的猜想是正確的。

在數學史上，為了證明某個敘述，發現或創造新數學的例子屢見不 鮮，例如非歐幾何、費馬最後定理等等。當一個敘述被證明為真時，也就 被納入整個系統成為其中的一部分了。

證明的形式與特徵

中學課程的數學證明可被分類為代數形式的證明與幾何形式的證明。

代數形式的證明可以「唯一的」依靠邏輯規則，因為符號的運算有一定的 法則可依循。而可接受的幾何形式的證明往往仍需輔以代數式，因為純幾 何形式的證明無法精確地表達出概念的定義（Yang & Lin，2009）。舉例來 說，一個「畫出來」的線段一定有寬度，但「概念上」的線段卻是沒有寬 度的。

Kondratieva（2009）指出一般而言，學生相信圖形，並且在圖形的基 礎上喜歡簡短的解釋。但這個共通點不只發生在學生身上，也發生在成人

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身上。在言語邏輯模式的運作中，成人使用視覺表徵代表他們的想法。

Kondratieva 進一步指出圖形具有很強大的說服力，學生可以使用一種「操 作性思考（manual thinking）」的形式來接觸、實驗、學習、下結論。具有

「已發展的視覺想像力（developed visual imagination）」的學生，甚至不需 要為了在心裡看見「為什麼」而接觸實物，例如：學生只要看到兩個三角 形「兩邊一夾角」均相等的「圖形」，就瞭解這兩個三角形能「重合」，而 不需要實際操作三角形的模型。也就是說，這些學生不一定需要接觸實 物，因為這些學生可以視覺化要證明的數學物件。

儘管視覺推理具有許多優點，然而 Kondratieva（2009）也指出視覺推 理的效力還是有限制的。在證明乘法公式(a+b)² =a² +2ab+ 時，有些老b² 師會用以下的圖形來證明：

圖 二-1 證明(a+b)² =a² +2ab+ 使用的圖形 b²

然而，(a+b)² =a² +2ab+ 這個公式對所有的正數、負數、甚至是複數都b² 成立，上圖卻只能證明正數的情形，此即視覺推理的第一個限制，通常只 能證明部分的情形。第二個例子是關於「 64 65= 」的證明，使用的圖形如 下：

a a

b

b

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圖 二-2 證明「 64 65= 」使用的圖形

這裡顯示出了視覺推理的第二個限制，眼見不足為憑。在上圖的下半部 中，看起來是個實心的矩形，實際上矩形內部卻有空心的部分。最後，視 覺推理的第三個限制則是，如果只將圖形視為幾何物件（如：點、線、

面）的集合，那麼圖形並不會傳遞任何想法給學生（Arnhiem，1969）。學 生需要瞭解幾何物件的結構及其必要的性質，圖形的角色是幫助學生掌握 命題大概的想法。因此，雖然圖形很受直觀推理的歡迎，但是在嚴謹的證 明方面，圖形並不能完全取代抽象的幾何物件；圖形代表理想的情形，或 者是理想情形的整個家族。舉例來說，當一個人畫出一條線段時，這條

「畫出來」的線段只是用來代表「理想上」的線段，因為理想上的線段是 沒有寬度的。但只要是畫出來的線段，無論再怎麼細，也都有寬度。此 外，圖形也包含經壓縮的資訊，需由讀者將這些資訊從壓縮的狀態展開

（Kondratieva，2009）。

許多學者（Hanna，1989, 1990；Healy & Hoyles，2000）指出，有意義 的證明應該是對於學生能夠「解釋為什麼（explain why）」的證明，教學時 也應該讓「解釋為什麼」的證明重於「展示為什麼（show why）」的證明。

正如前一小節所述，證明的其中一項功用為「解釋為什麼一個敘述為真」。

Tall（1979）指出，啟蒙證明（generic proof）是學生容易瞭解的，且具有

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可 一 般 化 的 特 性 。 至 於 啟 蒙 證 明 是 什 麼 ？ 簡 單 來 說 ， 就 是 在 啟 蒙 例

（generic example）上完成的證明（Leron & Zaslavsky，2009）。例如我們想 要證明以下的敘述： 2000；Stylianides，2007）。Leron 與 Zaslavsky（2009）指出，啟蒙證明使 學生能夠在直觀與熟悉的脈絡中掌握整個證明的主要想法，暫時中止一般

化（generalize）、形式化（formalize）、與符號化（symbolize）等令人畏懼

的議題。事實上，從啟蒙證明到形式化證明的過程中，學生很可能覺得他 們自己正在完成相同的證明。在較複雜的證明中，透過一連串一次比一次