第四章 研究結果
第二節 學生對【典型證法】與其他證法的想法差異
32 第四章 研究結果
第二節 學生對【典型證法】與其他證法的想法差異 33
【(a b− )2 ≥ 的 generic（啟蒙）證法】 0 表 四-7 學生對【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】與【典型
證法】的喜歡程度百分比同質性檢定
數值 自由度 漸近顯著性 (雙尾) Pearson 卡方 174.294* 5 .000
概似比 156.417 5 .000
* 2 格 (16.7%) 的預期個數少於 5。 最小的預期個數為 4.70。
由表 四-7 可以看出，學生對【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】與
【 典 型 證 法 】 的 喜 歡 程 度 不 同 。 再 由 表 四 -6 可 以 看 出 ， 學 生 對
【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】的喜歡程度較【典型證法】低。
（二）學生認為【典型證法】與【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】的 正確度
本研究以學生認為老師會給【典型證法】與【(a−b)2 ≥0的 generic
（啟蒙）證法】的分數，代表兩個證法的正確度，各分數人數比例如下 表：
表 四-8 學生覺得老師會給【典型證法】與【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】的分數
人次百分比（％）
選項 典型證法
(a−b)2 ≥0的 generic
（啟蒙）證法
０ 0.94 20.00
１ 0.00 3.08
２ 2.20 12.31
３ 9.75 29.23
４ 28.30 23.08
５ 58.81 12.31
34 第四章 研究結果
第二節 學生對【典型證法】與其他證法的想法差異 35
36 第四章 研究結果
【(a b− )2 ≥ 的 generic（啟蒙）證法】 0 表 四-11 【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】與【典型證法】
難易度百分比同質性檢定
數值 自由度 漸近顯著性 (雙尾) Pearson 卡方 3.385* 1 .066
連續性校正 2.476 1 .116
* 1 格 (25.0%) 的預期個數少於 5。 最小的預期個數為 4.54。
由表 四-11 可以看出，學生覺得【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證 法】的難易度與【典型證法】無顯著差異。
（四）學生覺得【典型證法】與【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】能 達到的效果
學生覺得【典型證法】與【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】能達 到以下三種效果的情形如下表：
表 四-12 學生覺得【典型證法】與【(a−b)2 ≥0的 generic（啟 蒙）證法】能達到之效果的情形
人次百分比（％）
效果 典型證法
(a−b)2 ≥0的 generic
（啟蒙）證法
能讓我更瞭解算幾不等式 76.25 28.13
能讓我更相信算幾不等式 78.98 36.51
能讓我更喜歡算幾不等式 50.64 28.13
第二節 學生對【典型證法】與其他證法的想法差異 37
38 第四章 研究結果
【(a b− )2 ≥ 的 generic（啟蒙）證法】 0 例均不同。再由表 四-12 可以看出，學生覺得【(a−b)2 ≥0的 generic（啟 蒙）證法】顯著比【典型證法】不能使其「更瞭解、更相信、更喜歡」算 幾不等式。
（五）學生覺得【典型證法】與【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】具 有特徵的情形
學生覺得【典型證法】與【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】具有 特徵的情形如下表：
表 四-14 學生覺得【典型證法】與【(a−b)2 ≥0的 generic（啟 蒙）證法】具有特徵的情形
人次百分比（％）
編號 特徵
典型證法
(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法
3 主要是用運算的方式來證明 89.09 80.65
1 主要是用抽象符號來證明 67.88 3.23
5 主要是用實際數字來證明 21.21 93.55
2 主要是用特例來證明 10.30 74.19
4 主要是用圖形的方式來證明 8.48 3.23
6 這個證法步驟的銜接自然 81.82 41.94
8 這個證法用了很多符號 36.97 6.45
7 這個證法步驟很多 25.45 48.39
9 這個證法想法很難 14.55 32.26
11 這個證法是有效的 92.73 41.94
10 要證明不等式都可以
用這個證法的想法 83.03 25.81
12 這個證法是嚴謹的 70.30 16.13
13 這個證法可以套用到一般的狀況
（如：所有正數、所有圖形……） 61.82 29.03
第二節 學生對【典型證法】與其他證法的想法差異 39
40 第四章 研究結果
【(a b− )2 ≥ 的 generic（啟蒙）證法】 0 數值 自由度 漸近顯著性 (雙尾) Pearson 卡方 22.447 1 .000
銜接自然
連續性校正 20.343 1 .000 Pearson 卡方 11.144 1 .001
符號多 連續性校正 9.788 1 .002
Pearson 卡方 6.655 1 .010
步驟多 連續性校正 5.589 1 .018
Pearson 卡方 5.710 1 .017
想法難 連續性校正 4.542 1 .033
Pearson 卡方 51.935* 1 .000 有效 連續性校正 48.091 1 .000
Pearson 卡方 44.393 1 .000 不等式適用
連續性校正 41.470 1 .000 Pearson 卡方 32.422 1 .000
嚴謹 連續性校正 30.169 1 .000 Pearson 卡方 11.422 1 .001
具一般性
連續性校正 10.126 1 .001
* 表至少一格的預期個數少於 5
由表 四-15 與表 四-14 可以看出，相較於【典型證法】：
1. 【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】主要是用特例與實際數字來證 明；步驟很多且想法很難。
2. 【(a−b)2 ≥0的 generic（啟蒙）證法】並非以抽象符號為主；用的符 號較少但步驟的銜接不自然；無效、不嚴謹、不具一般性，且想法不 能用在證明其他不等式上。
第二節 學生對【典型證法】與其他證法的想法差異 41
42 第四章 研究結果
第二節 學生對【典型證法】與其他證法的想法差異 43
44 第四章 研究結果
第二節 學生對【典型證法】與其他證法的想法差異 45
【數值條列證法】
圖 四-13 學生覺得【典型證法】與【數值條列證法】難不難的 情形
學生覺得【典型證法】與【數值條列證法】難不難的情形是否有顯著 差異的結果如下表：
表 四-21 【數值條列證法】與【典型證法】難易度百分比同質 性檢定
數值 自由度 漸近顯著性 (雙尾) Pearson 卡方 54.932* 1 .000
連續性校正 51.740 1 .000
* 0 格 (.0%) 的預期個數少於 5。 最小的預期個數為 7.04。
由表 四-21 可以看出，學生覺得【數值條列證法】與【典型證法】的 難易度不同。再由表 四-20 可以看出，學生覺得【數值條列證法】較【典 型證法】難。
（四）學生覺得【典型證法】與【數值條列證法】能達到的效果
學生覺得【典型證法】與【數值條列證法】能達到以下三種效果的情 形如下表：
表 四-22 學生覺得【典型證法】與【數值條列證法】能達到之 效果的情形
人次百分比（％）
效果 典型證法 數值條列證法
能讓我更瞭解算幾不等式 76.25 34.38
能讓我更相信算幾不等式 78.98 37.50
能讓我更喜歡算幾不等式 50.64 9.38
46 第四章 研究結果
第二節 學生對【典型證法】與其他證法的想法差異 47
【數值條列證法】
「更瞭解、更相信、更喜歡」算幾不等式。
（五）學生覺得【典型證法】與【數值條列證法】具有特徵的情形
學生覺得【典型證法】與【數值條列證法】具有特徵的情形如下表：
表 四-24 學生覺得【典型證法】與【數值條列證法】具有特徵 的情形
人次百分比（％）
編號 特徵
典型證法 數值條列證法
3 主要是用運算的方式來證明 89.09 33.33
1 主要是用抽象符號來證明 67.88 11.11
5 主要是用實際數字來證明 21.21 100
2 主要是用特例來證明 10.30 61.11
4 主要是用圖形的方式來證明 8.48 44.44
6 這個證法步驟的銜接自然 81.82 33.33
8 這個證法用了很多符號 36.97 11.11
7 這個證法步驟很多 25.45 61.11
9 這個證法想法很難 14.55 0.00
11 這個證法是有效的 92.73 44.44
10 要證明不等式都可以
用這個證法的想法 83.03 27.78
12 這個證法是嚴謹的 70.30 16.67
13 這個證法可以套用到一般的狀況
（如：所有正數、所有圖形……） 61.82 33.33
48 第四章 研究結果
第二節 學生對【典型證法】與其他證法的想法差異 49
【數值條列證法】
數值 自由度 漸近顯著性 (雙尾) 連續性校正 18.920 1 .000
Pearson 卡方 4.807 1 .028
符號多 連續性校正 3.730 1 .053
Pearson 卡方 10.029 1 .002
步驟多 連續性校正 8.371 1 .004
Pearson 卡方 3.013* 1 .083 想法難 連續性校正 1.872 1 .171
Pearson 卡方 35.772* 1 .000 有效 連續性校正 31.353 1 .000
Pearson 卡方 28.500* 1 .000 不等式適用
連續性校正 25.410 1 .000 Pearson 卡方 20.530 1 .000
嚴謹 連續性校正 18.240 1 .000 Pearson 卡方 5.444 1 .020
具一般性
連續性校正 4.330 1 .037
* 表至少一格的預期個數少於 5
由表 四-25 與表 四-24 可以看出，相較於【典型證法】：
1. 【數值條列證法】主要是用特例、圖形、實際數字來證明。
2. 【數值條列證法】並非以抽象符號與運算為主；用的符號較少，步驟 多且銜接不自然；想法不能用在證明其他的不等式上，無效，不嚴 謹，且不能套用到一般的狀況。
50 第四章 研究結果
第二節 學生對【典型證法】與其他證法的想法差異 51
52 第四章 研究結果
【圖形證法】
表 四-28 學生覺得老師會給【典型證法】與【圖形證法】的分 數
人次百分比（％）
選項 典型證法 圖形證法
０ 0.94 0.00
１ 0.00 0.00
２ 2.20 3.28
３ 9.75 11.48
４ 28.30 26.23
５ 58.81 59.02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0分 1分 2分 3分 4分 5分
證法一 證法四
證法一：典型證法 證法四：圖形證法
圖 四-17 學生覺得老師會給【典型證法】與【圖形證法】的分 數
學生認為【圖形證法】正確度的平均分數為 4.4 分，標準差為 0.8 分。
另外，學生認為【典型證法】與【圖形證法】的正確度是否有顯著差異的 結果如下表：
第二節 學生對【典型證法】與其他證法的想法差異 53
54 第四章 研究結果
【圖形證法】
圖 四-18 學生覺得【典型證法】與【圖形證法】難不難的情形 學生覺得【典型證法】與【圖形證法】難不難的情形是否有顯著差異 的結果如下表：
表 四-31 【圖形證法】與【典型證法】難易度百分比同質性檢 定
數值 自由度 漸近顯著性 (雙尾) Pearson 卡方 49.898* 1 .000
連續性校正 46.741 1 .000
* 0 格 (.0%) 的預期個數少於 5。 最小的預期個數為 6.44。
由表 四-31 可以看出，學生覺得【圖形證法】與【典型證法】的難易 度不同。再由表 四-30 可以看出，學生覺得【圖形證法】較【典型證法】
難。
（四）學生覺得【典型證法】與【圖形證法】能達到的效果
學生覺得【典型證法】與【圖形證法】能達到以下三種效果的情形如 下表：
表 四-32 學生覺得【典型證法】與【圖形證法】能達到之效果 的情形
人次百分比（％）
效果 典型證法 圖形證法
能讓我更瞭解算幾不等式 76.25 67.19
能讓我更相信算幾不等式 78.98 80.65
能讓我更喜歡算幾不等式 50.64 45.90
第二節 學生對【典型證法】與其他證法的想法差異 55
56 第四章 研究結果
【圖形證法】
（五）學生覺得【典型證法】與【圖形證法】具有特徵的情形
學生覺得【典型證法】與【圖形證法】具有特徵的情形如下表：
表 四-34 學生覺得【典型證法】與【圖形證法】具有特徵的情 形
人次百分比（％）
編號 特徵
典型證法 圖形證法
3 主要是用運算的方式來證明 89.09 7.69
1 主要是用抽象符號來證明 67.88 20.51
5 主要是用實際數字來證明 21.21 15.38
2 主要是用特例來證明 10.30 28.21
4 主要是用圖形的方式來證明 8.48 97.44
6 這個證法步驟的銜接自然 81.82 56.41
8 這個證法用了很多符號 36.97 15.38
7 這個證法步驟很多 25.45 23.08
9 這個證法想法很難 14.55 38.46
11 這個證法是有效的 92.73 84.62
10 要證明不等式都可以
用這個證法的想法 83.03 33.33
12 這個證法是嚴謹的 70.30 46.15
13 這個證法可以套用到一般的狀況
（如：所有正數、所有圖形……） 61.82 43.59
第二節 學生對【典型證法】與其他證法的想法差異 57
58 第四章 研究結果
【圖形證法】
數值 自由度 漸近顯著性 (雙尾) 連續性校正 10.096 1 .001 Pearson 卡方 6.663 1 .010
符號多 連續性校正 5.721 1 .017
Pearson 卡方 .095 1 .758
步驟多 連續性校正 .011 1 .918
Pearson 卡方 11.668 1 .001
想法難 連續性校正 10.173 1 .001 Pearson 卡方 2.580* 1 .108 有效 連續性校正 1.670 1 .196
Pearson 卡方 40.027 1 .000 不等式適用
連續性校正 37.514 1 .000 Pearson 卡方 8.162 1 .004
嚴謹 連續性校正 7.125 1 .008
Pearson 卡方 4.312 1 .038 具一般性
連續性校正 3.595 1 .058
* 表至少一格的預期個數少於 5
由表 四-35 可以看出，相較於【典型證法】：
1. 【圖形證法】主要是用圖形與特例的方式來證明；想法難。
2. 【圖形證法】並非以抽象符號與運算為主；符號少但步驟的銜接不自 然；不嚴謹且不具一般性，及想法不能用在證明其他的不等式上。
第二節 學生對【典型證法】與其他證法的想法差異 59
【(a b− )2 ≥ 起始的證法】 0
【(a−b)2 ≥0起始的證法】
(a−b)2 ≥0···(1)
⇒ a2 −2ab+ ≥b2 0···(2)
⇒ a2+2ab+ ≥b2 4ab···(3)
⇒ (a+b)2 ≥(2 ab)2 ···(4)
⇒ a+ ≥b 2 ab（∵a+b、 2 ab 為正數）···(5)
⇒ 2
a b
+ ≥ ab ···(6)
（一）學生對【典型證法】與【(a−b)2 ≥0起始的證法】的喜歡程度
（一）學生對【典型證法】與【(a−b)2 ≥0起始的證法】的喜歡程度