學生對證明的態度與想法

更複雜的「部分」啟蒙證明，從最簡單的啟蒙證明逐漸增加複雜性，最後 達到原形式化證明的複雜性，這樣的過程是可能的。在這一連串的啟蒙證 明中，每個啟蒙證明將使「整個證明中細微且在前一個啟蒙證明中未被強 調」的地方更顯著。

啟蒙證明具有使學生掌握整個證明主要想法的優點，然而，啟蒙證明 也有缺點。最明顯的地方就是，啟蒙證明並沒有真正證明所要證明的定理

或敘述（Leron & Zaslavsky，2009）。根據給定的前提，為了確保定理的結

論確實成立，完整、形式化、與演繹的證明是必要的。實際上，在啟蒙證 明的脈絡中，形式化證明某些細微的部分可能不會容易地顯露出來，也就 是說，在啟蒙證明中某些「自然」出現的結果，如果是一般化的證明，則 需要用到定理的某些前提，才能保證該結果會成立。Leron 與 Zaslavsky

（2009）舉了一個抽象代數的例子，證明：

每個排列（permutation）可以被分解成互斥循環（disjoint cycle） 的乘積。

並以

( )( )( )

1 2 3 4 5 6 7

1 6 3 2 4 5 7 6 1 2 4 7 3 5

⎛ ⎞

⎜ ⎟=

⎝ ⎠

當作啟蒙證明的啟蒙例。在一般化的證明中，必須使用排列的「一對一」

性質，才能確保「循環」與「互斥」的存在性。然而，在上述的啟蒙證明 中，「循環」與「互斥」會「自然地」出現，並且不需要用到「一對一」的 性質。

第二節 學生對證明的態度與想法

學生對證明的態度為何

根據 Healy 與 Hoyles（2000）的研究，將證明分為經驗、敘述、代數

12 第二章 文獻探討

三種形式。結果發現，學生喜歡敘述形式的論證勝過代數形式。這個現 象，從 Bell（1976）的研究結果中也可以看出一些端倪。根據 Bell 對 36 位 中學生所做的研究，當學生要證明一個對所有的數值都成立的猜想時，沒 有任何一位學生使用代數形式的證明。

Knuth（2002）指出，當老師在判斷喜不喜歡一個證法時，會有四種判 斷的標準。這四種標準分別為：方法是否有效、內容是否正確、過程是否 詳細、是否需要高等數學的知識。以下將分別討論這四種標準的意思：

1. 方法是否有效：用來證明的方法在數學上是否為一種有效的形式，例 如：數學歸納法、窮舉法。

2. 內容是否正確：證明的對或錯。

3. 過程是否詳細：在證明的過程中，是否清楚地說明每個步驟的由來。

4. 是否需要高等數學的知識：是否利用一般人可能不會學到的數學知識 來證明，例如：微積分。

需要強調的是，Knuth 這篇文章的研究對象是老師，而非學生。因此，

當研究哪些因素與學生喜歡一個證明方法有關時，Knuth 的研究結果可能並 非全部適用，例如：結論的第三點「過程是否詳細」。當數學家在判斷一個 證明是否有效時，判斷的依據是這個證明是否犯了邏輯上的錯誤，而不會 考慮「過程是否詳細」。例如從 P 推到 Q 是根據定理 A，雖然數學家可能只 寫出「 P⇒ 」而沒有說明是「根據定理 A」，但這仍是一個正確的數學證Q 明。然而，對老師而言，當學生寫出一個「沒有邏輯錯誤」但「過程不詳 細」的證明時，老師會考慮學生是否真的瞭解其中的細節，因此會出現

「過程是否詳細」這樣的結論。另一方面，當學生閱讀一個「沒有邏輯錯 誤」但「過程不詳細」的證明時，學生考慮的就不是「寫證明的人是否瞭 解其中的細節」，而是會有「這個式子是怎麼來的」的感覺。以上述 P 推到 Q 的例子來說，當學生看到的是「 P⇒ 」而不是「 PQ ⇒ （∵定理 A）」Q

第二節 學生對證明的態度與想法 13

時，學生想的並不是「他真的知道為什麼 P 可以推到 Q 嗎？」，而是「P 真 的可以推到 Q 嗎？」。Mamona-Downs 與 Downs（2009）指出，學生相信證 明的功用是象徵他們個人的「思考」，而不是明確「溝通」的有效途徑。因 此，對於證明中兩個步驟的銜接，有時候老師覺得其中有某些細節是需要 交代的，但學生卻覺得很明顯時，可能就會出現「沒有邏輯錯誤」但「過 程不詳細」的證明，因為就學生的「思考」而言，這樣的銜接是很自然 的。以向量空間為例，當學生剛開始學習向量空間時，學生可用的性質只 有定義中的十個條件。此時有些學生會認為「如果 x 是向量空間中的任意 向量，則 0⋅ = 」這個性質是很自然的（雖然他們並不瞭解這個性質是由x 0 定義中的十個條件推出來的），卻忽略了他人可能會想「為什麼這個性質是 對的」。

數學證明與其他科學證明的不同在於，只有數學證明是以演繹法進行 的，因此數學證明的結論具有一般性；也就是說，只要符合數學證明的前 提，結論就會永遠成立，這是其他科學所沒有的特徵。以牛頓第二運動定 律為例，當物體的速度接近光速或體積小如原子時，雖然符合定律的條 件，但卻不符合定律的結論。然而，Fischbein 與 Kedem（1982）指出，學 生並非總是瞭解建立具有一般性證明的必要性，甚至當他們建立具有一般 性的證明時，他們可能仍然給予不具一般性的例子。相似的結果還有 Chazan 與 Porteous 的研究。Chazan（1993）提到學生無法辨識經驗性證明 的特殊性，也無法欣賞形式證明的一般性，並認為實例就是證明，形式證 明只是證據。另一方面，Porteous（1990）也發現只有 15%的學生會提供具 一般性的敘述來證明，而其他的學生則會接受經驗性證明的敘述所傳達的 真確性。此外，楊凱琳（民 93）指出：

有些學生認為演繹證明不能保證沒有反例，證明只是針對那 一個附圖，或是那個特定的形狀，對於其他的形狀則必須再證一 次，不能用同一個證明代表全部的情形。學生決定反例是不是存

14 第二章 文獻探討

在的重點在於，與這個圖形相關的知識與已知所給的條件限制，

而不是演繹證明的完成與否。

綜合以上所述，學生似乎較不喜歡代數形式的證法（Healy & Hoyles，

2000 ； Bell ， 1976 ）， 也 不 一 定 瞭 解 建 立 具 有 一 般 性 證 明 的 必 要 性

（Fischbein & Kedem，1982）。甚至，學生覺得用演繹法證明完畢的結論不 一定具有一般性（Chazan，1993）。此外，學生覺得證明代表的是他們思考 的過程，而可能忽略了數學證明所扮演溝通的角色。由此可見，學生對證 明的認知及情意與實際上的數學證明是有段落差的，例如：一般性是數學 證明重要的特徵，但學生卻不一定瞭解建立具有一般性證明的必要性；數 學用演繹法進行證明以確保結論的一般性，但學生卻認為演繹證明不能保 證反例不存在。雖然如此，學習數學證明在數學教育上卻是一個重要的議 題，表示學習數學證明對學生是有好處的。接下來，將探討證明對學生數 學學習的影響。

證明對學生數學學習的影響

Yang 與 Lin（2009）指出，學習數學證明的目標包含：建立有效的命 題、使他人信服、瞭解數學證明。因此，如果學生能夠學會數學證明，表 示學生瞭解數學證明是什麼，也就是說，當學生看到一個數學證明時，能 夠判斷這個證明是否符合數學證明的特徵。對數學而言，凡不能證明的結 論，無論直觀上多麼可能，都不能看成事實（張海潮，民 97）。因此如果學 生能夠學會數學證明，表示學生能夠利用數學證明的方法判斷一個命題是 否有效。更進一步，學生能夠利用數學證明與他人溝通，使他人相信一個 命題是正確的。

第一節提到數學證明具備了確認一個敘述為真、解釋為什麼一個敘述 為真、溝通數學知識、發現或創造新數學、將敘述系統化到公理系統等等 功能。而根據 Healy 與 Hoyles（1998）的研究，認為證明的目的是提出事

第二節 學生對證明的態度與想法 15

實的學生最多。由此可見，證明的許多角色並不容易被學生所察覺，例 如：解釋為什麼一個敘述為真、溝通數學知識等。對此，Hanna（1997）指 出，在課堂中學習數學證明的價值為「使學生反思證明在數學學習裡的角 色，及作為提升理解的重要工具」。

在國內的數學課程中，學生第一次正式學習形式化的數學證明是在國 中三年級的時候。到了高中，學生幾乎從高一到高三都會接觸到形式化的 證明。Tall（1991）指出，從初等數學到高等數學的重要轉折在於：從「敘 述」到「定義」、從「取信」到根據定義並依循邏輯的證明。曾政清（民 92）則進一步詮釋 Tall 的觀點：「若是藉由形式化的定義與演繹證明來瞭解 學習幾何與代數課程，可以達到一般化與抽象化的目標。」也就是說，學 習數學證明，能夠使學生將概念一般化與抽象化，而這也正是高等數學與 初等數學的不同之處。

以上是證明對學生數學學習影響的探討。在前一小節中，提到了 Healy 與 Hoyles（2000）的研究。這個研究除了發現學生喜歡敘述形式的論證勝 過代數形式之外，還發現：學生的反應與教師背景、教師自己選擇的想法 及教師給高分的論證方式等變數並沒有顯著的關聯性；學生選擇最接近自 己想法的證明方式，與判斷證明的效力與解釋力具有顯著正相關。也就是 說，這個研究可以歸結出下列結論：

(1) 學生對「敘述」形式證明的喜歡程度高於「代數」形式；

(2) 學生對證法的喜歡程度與「老師的背景」、「老師的想法」、「老師給證 法的分數」無顯著相關；

(3) 學生對證法的喜歡程度與「證明的效力」、「證明的解釋力」有顯著正 相關。

本研究以算幾不等式為例，提出了六個證明方法。綜合本節所述，學 生對證明的認知及情意與實際上的數學證明是有段落差的。然而，學習數

16 第二章 文獻探討

學 證 明 對 學 生 有 許 多 好 處 （ Yang & Lin ， 2009 ； Hanna， 1997 ； Tall ， 1991）。因此，與「瞭解學生喜歡的證明方法」相關的研究便誕生了。目前 相關研究的對象幾乎都是國外的學生，例如 Healy 與 Hoyles（2000）對英 國學生所做的研究。近年來，國內學生在數學與科學上的表現已經被評價

學 證 明 對 學 生 有 許 多 好 處 （ Yang & Lin ， 2009 ； Hanna， 1997 ； Tall ， 1991）。因此，與「瞭解學生喜歡的證明方法」相關的研究便誕生了。目前 相關研究的對象幾乎都是國外的學生，例如 Healy 與 Hoyles（2000）對英 國學生所做的研究。近年來，國內學生在數學與科學上的表現已經被評價