第四章 研究結果之分析與探討
第二節 學生在補救教學活動的前測、後測結果分析
為了瞭解補救教學活動對於改善學生錯誤情形是否有成效，本節將針對高 二社會組兩班重修班71 名學生在「向量概念與基本運算二階段評量」之前測、
後測各題答題正確率、答題正確率人數分佈情形及錯誤類型人數之變化做比較探 討。
一、參與補救教學的學生於後測、延後測各題答題分析
為了瞭解參與補救教學的學生在前測、後測各題的答題情形，現將他們於「向 量概念與基本運算二階段評量」之前測、後測中各題的答題正確率列表並畫折線 圖表示。表4-2-1 為前測、後測的各題答題正確率做無母數檢定的結果；圖 4-2-1 為前測、後測的各題答題正確率折線圖。
表4-2-1 前後測各題答對率及答題差異情形
題號 前測答題正確率(%) 後測答題正確率(%) 無母數檢定 P 值
第1 題 5.6 80.7 0.000
第2 題 19.7 85.9 0.000
第3 題 31.0 97.2 0.000
第4 題 8.5 87.3 0.000
第5 題 12.7 88.7 0.000
第6 題 16.9 87.3 0.000
第7 題 50.7 95.8 0.000
第8 題 5.6 87.3 0.000
第9 題 15.5 87.3 0.000
第10 題 9.7 86.0 0.000
第11 題 28.2 76.1 0.000
第12 題 23.9 93.0 0.000
第13 題 0.0 62.0 0.000
圖4-2-1 前測、後測各題答題正確率折線圖
前測、後測答題正確率折線圖
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
前測答對率 後測答對率
由上面的圖表中可知：
1. 前後測各題答題正確率的比較：後測各題答對率都比前測都明顯提高許 多，有11 題答題正確率提高超過 50%，其中後測第 1、4、5、6、8、9、
10 題答題正確率提高超過 70%以上，後測第 2、3、12、13 題的答題正 確率均提高60%以上。
2. 後測正確率達 90%以上的題目有第 3 題、第 7 題、第 12 題。
表4-2-2 後測答題正確率達 90%以上的題目 題號 前測答題正確率(%) 後測答題正確率(%)
第3 題 31.0 97.2
第7 題 50.7 95.8
第12 題 23.9 93.0
(1) 第 3 題為判別學生向量加法之平形四邊形法運算概念是否正確，經補救 教學重新加強生活實例「力的合成」抽象出向量平行四邊形法之圖形表 徵，並使用畫出平行四邊形法圖形表徵來解題，顯示使用畫出圖形表徵 的補救教學策略對改善學生畫圖順序錯誤與依賴背誦公式口訣的錯誤是 有幫助的。
(2) 第 7 題題目為利用某兩向量寫出一組線性組合表示題目中給定的向量，
來比較大小，如：「2 a + ＞ AB 」。由答題正確率提高到 95.8%，表示b 經過補救教學，學生已經瞭解不能使用向量記號來比較大小關係。
(3) 第 12 題為關於向量內積不具消去律的題目，主要成因為學生將內積記號 當成乘法記號，而將實數乘法運算性質過度類推到向量內積運算。補救 教學的策略是透過正六邊形圖形等邊等角的特質，舉例說明向量內積消 去律不成立，之後再與實數消去律運算並列比較，討論為何實數具有消 去律，但向量內積不具消去律，探討消去律的根本原理在於實數乘法的 意義是在表達某一數的倍數，消去的動作，是消去同一個倍數，但是向 量內積並不是在表達某一向量的倍數，因此向量內積消去律不成立。由 第12 題答題正確率達 93.0%，顯示補救教學策略對於學生學習向量內積 不具消去律是有幫助的。
3. 答題正確對率達 80%-90%有第 2、4、5、6、8、9、10 題，見表 4-2-3。
表4-2-3 後測答題正確率達 80%-90%的題目 題號 前測答題正確率(%) 後測答題正確率(%)
第1 題 5.6 80.7
第2 題 19.7 85.9
第4 題 8.5 87.3
第5 題 12.7 88.7
第6 題 16.9 87.3
第8 題 5.6 87.5
第9 題 15.5 87.3
第10 題 9.7 86.0
這8 題，分析補救教學能達此成效的原因：
(1) 以方格紙當具體物，協助學生以多重表徵的方式建立向量記號、圖 形表徵與坐標向量表徵之間的連結，使學生能有清晰正確的向量概念，
對之後的學習，確實有很大的幫助。
(2) 以畫圖的方式協助學生建立向量加減運算和圖形表徵之間的連結，
確實能夠改善學生在向量加減運算的錯誤情形。
(3) 先學會在圖形中畫出投影量，再以投影量與內積的關係去理解向量 內積定義的教學策略，確實明顯改善學生把向量內積記號當成乘法記號 的錯誤情形。
4. 答題正確率未達 80%有二題，分別是第 11 和 13 題，見表 4-2-4。
表4-2-4 後測答題正確率未達 80%以上的題目 題號 前測答題正確率(%) 後測答題正確率(%)
第11 題 28.2 76.1
第13 題 0.0 62.0
這二題經過補救教學後，雖然有顯著改善，但仍未達預期效果。針對這兩 題的答題表現和補救教學的影響，分析如下：
(1) 題目 11：若 a bi ＝0，是否可推出 a = 0 或 b = 0 ？ □是 □否 我的理由是 ______
（1）任何數乘以零皆為零，所以 a 或 b 其中一個是 0，
才會 a bi ＝0。
（2） a bi ＝0 ⇒ a ＝ 0
b ，則 a ＝ 0 或 b ＝ 0
a ，則 b ＝ 0 。
（3） a bi ＝0，可能是 a ⊥ ，此時 a 和 b 皆不為 0 。 b
（4） a 和 b 可能為方向相反的向量，所以不一定 a ＝ 0 或 b ＝ 0 。
（5）其他理由：_____________________________________________
第11 題有 17 人答錯，其中有 1 人是第一階段的是否選相反，有 1 人
選得太快，若仔細看題目會勾選選項(3)，(見下面訪談實錄 1)，其中有 6 人是答題時仍然受到實數乘法運算或只注意內積定義中的長度相乘，而未 考慮到兩向量垂直時，內積也會是零(見下面訪談實錄 2)。
《訪談實錄1》
師：這一題你再看一次，你會選甚麼？
生：嗯… a bi ＝0，…嗯…不一定 a、b 為零…應該選(3)才對。
師：妳為什麼選(1)？
生：喔！我大概是選太快了。沒有想仔細。
《訪談實錄2》
師：這一題你再看一次，你會選甚麼？
生：(1)
師：為什麼？
生：對啊！零和任何數相乘都是零啊！
師：這個記號是「乘」喔？(手指著 a bi 中的內積記號) 生：不是，是內積。
師：那內積是怎麼算的？
生：a 長乘上 b 長再乘上 cosθ。啊！老師我知道了！θ 角為 90 度的時候，內積 也會是 0 啊！我忘記注意夾角了啦！我把它想成長度為零，內積就為零了。
(2)題目 13：圖中的 AB ADi 是否等於 AB ACi ？
（6） 因為 AD > AC ， AB = AB ， 所以 AB ADi ＞ AB ACi 。
（7） 因為 AD > AC ，且∠DAB＞∠BAC ，所以無法比較大小。
A B
D
C
（8） 因為 DAB∠ ＞∠BAC ，所以 AB ADi ＞ AB ACi 。
（9） 因為∠DAB＞ BAC∠ ，所以 AB ADi ＜ AB ACi 。
（10）其他理由：_______________________________________________
第13 題有 23 人答錯，其中有 19 人勾選項(1)，有 2 人勾選選項(2)，
有2 人勾選選項(5)，有 1 人是認為 DAB∠ ＝60°， BAC∠ ＝30°，之後自己設 定向量 AD 、 AC 、 AB 的長度大小有錯誤而算錯。有 1 人是寫：「因為
cos( ) ( )
AD ⋅ ∠DAB ⋅ AB ＝ AC ⋅cos(∠CAB) (⋅ AB )，所以 AD ABi ＝ AC ABi 」，這是用向量記號表示向量大小的錯誤，另外勾選選項(1)的人多 表示忘記要找投影量去算內積。他們知道內積公式但是不清楚餘弦值和角度 的關係(見下面訪談實錄 3)，勾選選項(5)自己設定角度去進行計算的 2 名學 生，在訪談時都想到要用投影量去計算內積(見下面訪談實錄 4)。大部分學 生雖然提醒可以從投影量與內積的關係去思考，但都忘記了或不知道怎麼在 圖形中找投影量和內積的關係，表示部分學生尚未完全理解內積的幾何意 義，仍無法從圖形中找到投影量，再透過投影量與內積的關係去求內積。
《訪談實錄3》
師：這一題你再做一次，答案會選哪一個？
生：(1)和(2)是明顯不對的，那應該要選(4)。
師：為什麼？
生：因為角度大，cos 小，我寫考卷的時候沒注意到。
師：喔！真的嗎？你記不記得投影量和內積的關係？
生：ㄟ…有啦！
師：那你在圖中看得出來投影量嗎？
生：ㄟ…忘記了。
《訪談實錄4》
訪談實錄
師：這一題為什麼∠DAB是60°， BAC∠ 是30°？
生：ㄟ…看起來有點像。
師：看起來像就可以這樣設角度嗎？
生：不行。
師：那要你再做一次，你會選哪一個答案？
生：老師，這四個都不對。
師：喔！所以你還是會選(5)。
生：對。
師：那你會怎麼做？
生：不知道。
師：那你記得投影量與內積的關係嗎？
生：ㄟ…記得。…老師，我知道了，答案是一樣大。
二、參與補救教學的學生在前測、後測的答題正確率人數分佈分析。
為了瞭解參與補救教學的學生在「向量概念與基本運算二階段評量」前測、
後測的個人表現，現將參與補救教學的71 名學生於前測、後測的答題正確率人 數分佈列表，表並畫長條圖表示。
表4-2-5 前測、後測的答題正確率人數分佈表 答題正確率 前測人數 後測人數
0% 13 0
7.7% 15 0
15.4% 13 0 23.1% 12 0
30.8% 7 0
38.5% 9 0
46.2% 2 2
53.8% 0 2
61.5% 0 3
76.9% 0 13 84.6% 0 11 92.3% 0 21
100% 0 17
圖4-2-2 前測、後測答題正確率人數分佈長條圖
0 5 10 15 20 25
0 7.7 15.4 23.1 30.8 38.5 46.2 53.8 61.5 69.2 76.9 84.6 92.3 100
前測人數 後測人數
由上述圖表，我們分下列幾點來進行討論：
1.由答題正確率人數分布圖可看出前測答對率人數分布都分佈在 0%到 46.2%之 間，而後測答題正確率人數分布則分佈在46.2%到 100%之間，顯示經過補救教 學，學生學習情況有明顯提升。
2.後測中有 17 人答題正確率答 100%，分析這 17 位學生在前測的答題情形（如 表4-2-6）。
表4-2-6 後測答題正確率為 100%的 17 位學生在前測各題答錯之人數統計表
題號 1 2 3 4 5 6 7
答錯人數 15 12 9 16 15 16 5
題號 8 9 10 11 12 13
答錯人數 15 14 13 10 14 17
這17 名學生在前測各題的答錯情形可看出除了第 3 題和第 7 題之外，其餘 各題犯錯情況都很可觀，顯示經過補救教學之後，對於這17 名學生而言，都能
3. 學生個人於後測答題正確率低於 70%的有 9 位，分析這 9 位學生在後測的答
A－1 認為向量記號可以表示向量的大小。如：
紙，讓學生對於向量記號與坐標向量表徵產生連結，使學生能瞭解並區分向量記 號和向量大小記號表達的意義。由前測有41 人認為向量記號可以表示向量的大 小，在經過補救教學後，41 人中有 37 人於後測時不再犯此錯誤類型，顯示此方 式的教學能有效的改善這類型的錯誤。
(二)類型 A－2 把相反方向的向量當成負值，如： AB = ，5 BA = − 。 5
針對此錯誤類型，補救教學的改善策略是在方格紙上先畫出一個向右一個向 左方向相反向量，向右的向量以正數表示，向左的向量以負數表示，再畫一個不 是向右也不是向左的向量，請學生也以數值來表示第三個出現的向量，若認為方 向相反的向量可以為負值的學生，會在想用數值表示第三個向量時，因為該向量 不是向左也不是向右，無法找到數值可以表示它的認知衝突中，瞭解到向量的方 向不會只局限於向左或向右兩個方向，正負數只能表示兩個方向。再利用方格紙 的特性，以坐標向量表示向量記號，來調整錯誤。 由前測犯錯人數 60 人，經過 補救教學後，此60 人中有 54 人於後測時不再犯此錯誤類型，顯示此方式的教學 能有效的改善學生「把方向相反的向量當成向量會有負值」的錯誤。
(三)類型 A－3 把向量大小記號當成絕對值記號
針對此錯誤類型，補救教學的改善策略是設計含有將向量大小記號當成絕對 值的錯誤訊息的問題，讓學生發現錯誤之處，再提醒學生注意當向量記號外面加 上「像絕對值」的記號是向量大小記號，不要把這個記號讀做「絕對值」。然後 並列對照絕對值運算，讓學生瞭解這兩個記號表達的意義不同，以及在補救教學
針對此錯誤類型，補救教學的改善策略是設計含有將向量大小記號當成絕對 值的錯誤訊息的問題，讓學生發現錯誤之處，再提醒學生注意當向量記號外面加 上「像絕對值」的記號是向量大小記號，不要把這個記號讀做「絕對值」。然後 並列對照絕對值運算，讓學生瞭解這兩個記號表達的意義不同，以及在補救教學