高二學生在向量概念學習上的主要錯誤類型及其補救教學之研究

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(1)第一章緒. 論. 第一節問題背景與研究動機向量是近代數學中重要的基本概念之一，它是溝通代數和幾何的重要工具 (許志農，民 96)。這裡的『工具』就如同一種語言，能清晰地說出要被表達的數學內涵。向量有其特殊的表徵，它能同時表達具有大小與方向的幾何意義，且能以簡潔明確的代數式呈現蘊含的幾何意義與性質。在現今的高中數學課程中，向量占有重要的份量，相關課程內容在高二上學期有平面向量、空間向量、平面與直線的關係，以及球面與平面的關係；高二下學期則有直圓錐面與平面的截痕；高三上學期有列運算與一次方程組求解(高斯消去法、克拉瑪公式)、行列式的應用(求空間中平行四邊形面積、空間中求平行六面體體積)、矩陣運算等等，因此學習向量概念對於整個高中數學的學習非常重要。若學生在學習平面向量時，已有錯誤概念而沒有得到立即的診斷與補救，將會影響日後平面幾何與空間幾何的學習。現階段的學生除了在國中理化的力學中曾經討論過同時具有方向與大小的量之外，在高二學習的平面向量應算是學生們第一次正式接觸到向量概念。根據研究者的觀察，向量概念對學習能力較弱的學生產生困難的原因在於：第一、向量表徵與運算所要呈現的幾何意義對於學生而言是抽象而難以掌握的。學生在看到向量記號和題目的圖形時，常會忽略方向而只注意到長度；對於要使用向量表徵來處理他們心中想表達的概念與性質時，也有相當的困難，例如：學生寫出的向量記號會有「 − 2 或 2 」，或是把向量記號「 AB 」當成線段記號「 AB 」，還有把向量的大小關係寫成「 AB ＋ BC ＞. AC 」…等等。第二、學生在未能成熟地掌握新學習的數學概念時，常會將所學過的舊經驗做過. 1.

(2) 度類推，因此把數值運算的性質過度類推到向量運算的性質上。例如：若. a i b ＝ a i c 時，誤用消去律而消去向量 a ，得到 b ＝ c ，或是寫出 2. AB i AB ＝ AB …等等。第三、學生對於要使用向量運算來證明或表達幾何性質的過程是相當困難的，最常見的困難就是向量內積的幾何意義與向量內積的應用，例如大多數的學生不瞭解投影量與內積的關係，而不會使用內積去求投影量。此外，向量線性組合運算也是充滿困難的地方，許多學生努力地拼湊向量運算卻誤入不知所云的歧途。例如：想寫出三角形 ABC 的 AB 和 AC 兩邊中點連線所形成的向量，可以利用向量運算寫成「. 1 1 BA + AC 」或 2 2. 「. 1 1 CA + AB 」，若要寫出長度，則可以用向量長度大小記號 2 2. 「. 1 1 BA + AC 」來表達中點連線段長度，但是許多學生在這裡無法依 2 2. 據幾何性質與向量運算寫出正確的線性組合關係，而是寫出像「. 1 AB ＋ 2. 1 AC 」這類錯誤的答案，也有許多學生根本不會使用向量大小記號表示 2 向量長度。長期下來，對於向量有學習困難的學生總是望著這些向量記號興嘆，很難進入幾何的殿堂，從此而放棄學習的學生比比皆是。因此，為了能改善學生在向量學習上的錯誤概念，就必須診斷學生錯誤概念與成因，根據這些成因發展補教教學策略，進行補救教學。江淑美(1985)對 954 名高一學生進行平向量的測驗，在錯誤分析部分得到：部分學生在題目的敘述中無法感受到向量「大小」概念，或對「方向」感受不足，未能體會出向量加法的始點、終點、方向、逆向量等相關概念，很高比例的受試者不習慣透過操作解題。林進發(2001)對於高中生向量內積運算所做的研究和陳俊廷(2002)對於高中生在空間向量的研究都發現高二和高三學生會有把代數乘 2.

(3) 法性質過度類推到向量內積運算的錯誤，以及學生無法了解內積的幾何意義的情形。以上的研究皆顯示學生在向量概念與運算上所呈現的錯誤是複雜而多重的，學生為何會把舊經驗作過度類推？或新概念為何會讓學生產生混淆？很可能是教師在教學的過程所帶給學生的影響，例如：教師未針對學生會產生混淆的概念做徹底的釐清，或是教學時未注意到學生的舊經驗遷移到新概念時產生的負向遷移…等，因此探討學生形成錯誤的原因是本研究的重點。許多探討改變學生錯誤概念的研究指出：若能針對學生的錯誤概念成因，利用認知衝突，引起學生認知上的不平衡，再進行認知調整，將有助於學生得到正確的概念。因此，本研究在瞭解學生錯誤概念成因之後，試圖針對學生的錯誤成因，設計可以誘發認知衝突的活動，讓學生瞭解原有的想法是錯誤的，或對自己原有的想法產生懷疑，再針對關鍵性的概念，調整原有的錯誤概念；同時希望研究的結果能提供給數學教育工作者作為參考。. 3.

(4) 第二節研究目的與待答問題本研究的主要目的在探討高二學生在學習向量概念與運算之主要錯誤類型與其成因，同時依據錯誤類型的成因，提出有效的補救教學策略，設計教學活動，進行補救教學，並瞭解補救教學之成效。. 因此本研究主要待答問題如下：一、高二學生在學完平面向量單元之後，在向量概念與運算的學習有哪些主要的錯誤類型？二、造成這些主要錯誤類型的形成原因為何？三、針對這些主要錯誤類型與成因，如何設計合適有效的教材？四、經過補救教學之後，學生的主要錯誤類型是否有得到改善？五、經過補救教學一段時間之後，其正確概念的保留情形為何？. 4.

(5) 第三節理論架構本研究的補救教學的主要目的為改善學生的錯誤概念，理論基礎係以皮亞傑. (Pisget)的認知發展理論和奧斯貝(Ausubel)的教學理論為基礎，茲將此二理論分述於下：一、皮亞傑認知發展理論：. 1. 基模(scheme)：皮亞傑認為嬰兒出生不久，就會主動運用自己與生俱來的基本行為模式去認識周圍的世界，此模式由個體的經驗、意識、概念所整合，構成一個與外在現實世界相對應的抽象認知架構(張春興，民 78)，皮亞傑將此認知架構稱為基模，為個體認知的基本結構，當個體遇到外界刺激情境時，他會使用基模去核對、瞭解新事物。基模運用同化和調適兩種主動機制來成長改變。. 2. 同化(assimilation)與調適(accommodation)：依皮亞傑的認知發展理論，個體為適應環境，不斷改變認知結構，使其內在認知和外在環境保持平衡 (張春興，民 78)，主要分為兩個互補歷程：同化(assimilation)與調適(accommodation)。同化係指個體以其既有的基模或認知結構為基礎，去吸收新知識的歷程，即當新事物或新知識與個體原有的基模相一致時，個體會主動將新經驗吸收融入原有的基模中，以此擴大原有得基模成為新基模。但個體採用原有基模去瞭解新事物時，可能扭曲新訊息以遷就原有基模(朱敬先，民 86)，就學習層面而言，也就是學習者會利用既有的舊經驗去學習新知識，但在這過程中可能成功地習得新經驗，也可能會產生迷失概念或另有概念。調適是指當個體原有的基模不能同化新事物時，即其原有的基模和新經驗不一致時，為了順應新環境的要求，個體必須主動修改原有基模以發展更適切的基模。就教學而言，調適可視為當學習者舊經驗不足以讓他瞭解新概念時，就必須調整改變原有概念，即改變原有的基模產生新基模的學習歷程。當個體適應新情境，需要增加或改變其原有基模，此為調適。當新經驗. 5.

(6) 同化於既有基模，則基模會擴大並改變，所以同化也含有部分調適。當新經驗既不能同化也不能調適時，也就是個體對所接觸的新事物完全不理解時，個體會採取忽略它(朱敬先，民 86)。. 3. 平衡(equilibraton)：當個體因適應環境需要，其原有基模能夠同化新事物時，心理會產生平衡。但是當個體原有基模不能同化新事物時，則會產生失衡. (disequilibration)，而在個體的內在形成一種驅動力，促使個體調適既有的基模，擴大成為新基模，之後又恢復平衡。個體適應環境而產生認知改變與環境協調，此種由平衡到不平衡，再由不平衡到平衡的連續歷程，即為個體認知發展的歷程(張春興，民 78)。依皮亞傑觀點，個體思考的改變，發生於平衡的歷程中(朱敬先，民 86)。就教學而言，藉著問題情境，促使學習者能發現其原有的概念有錯誤，或發現原有概念和新知識間有差異，而引起學習者認知結構產生失衡，驅使學習者透過反思活動，不斷地同化或調整，重組其認知結構，尋找解決方法以改變既有的錯誤概念，達新的平衡狀態的過程，此可作為教學上「認知衝突」活動的設計原理。. 二、奧斯貝的教學理論：奧斯貝主張有意義的學習，和機械式學習(rote learning)不同。機械式學習強調機械式記憶孤立瑣碎的訊息。「有意義的學習」則是指學習者自己發現知識的意義，將之納入原有認知結構中，加以融會貫通，才是真正的學習(朱敬先，民. 84)。奧斯貝將學習分成兩種層面，第一層面包括接受式和發現式學習，第二層面為有意義的學習和機械式學習(見表 1-3-1)，強調並非所有的發現式學習都會是有意義的學習，接受式學習也不見得全是機械式的學習(林寶山，民 79)。。表 1-3-1 奧斯貝的學習分類表階段二：所接受的訊息被學習者接納時的方式是：. 6.

(7) 有意義的. 機械式的. 階段一：. 接. 1.有意義接受學習：. 3.機械式接受學習：. 所要學習. 受. 各種訊息先加以邏輯組織. 各種訊息是以最後的形. 的訊息是. 式. 後，再以最後之形式提供給. 式呈現，提供給學習者，. 透過學習. 學習者；學習者再將它們與. 學習者將之記憶起來。. 者的：. 已有之知識相關聯(即將之納入現有的認知結構中)。發. 2.有意義發現學習：. 4.機械式發現學習：. 現. 學習者獨自獲得各種訊息，. 各種訊息是由學習者獨. 式. 然後再將它們與已有之知識. 自獲得，隨後將之記憶起. 相關聯(即將之納入現有的. 來。. 認知結構中)。 (資料來源：林寶山，民 79，P.173) 奧斯貝根據其「有意義的學習」理論，倡導「解釋教學法」(Ausubel’s expository. teaching)，或稱之為「接受式學習」(reception learning)，主要的設計理念如下： 1. 採「前導組織」，呈現教材的組織與重點：「前導組織」是針對學習者已學習過的知識為基礎而設計的材料，它可以是一段文字敘述、一部電影或是一個問題。教師不需花太多時間即可完成，凡有助於學生瞭解新教材的概念皆做為「前導組織」來提示。「前導組織」如同學習者的既有知識與新概念之間的橋梁，讓學習者容易將新教材融入其舊知識之中。「前導組織」可分為「解釋性」及「比較性」兩種，「解釋性組織」. (expository organizer) 的方式為選取比所要介紹的概念還要一般(generality) 的概念來引導，即提供學習者先備知識或背景知識，幫助學習者學習新教材。「比較性組織」則是以相似及比較的方式將新知識和舊經驗相比較，使. 7.

(8) 新舊知識產生關聯(林寶山，民 79)。當所要學習的新知識與學生的舊經驗有所關聯時，就可採用比較性前導組織，讓學生比較新舊知識的異同，釐清相互間的關係，避免新舊知識混淆不清。 2. 內容安排原則為「漸進分化」(progressive differentiation)與「統合」(integrative. reconciliation)：「漸進分化」是指教材內容安排為層次分明的概念，最頂端的概念是最概括性的概念，先教最普遍、涵蓋最廣的概念，其次為涵蓋較少的概念，最後才教特殊訊息。「統合」(integrative reconciliation)是指課程中所教之觀念必須與以前所學之觀念相融貫統合，若缺乏統合的教材可能會讓學生對於前後所學的內容混亂不清、學生不瞭解教材間之關係、不能應用以前所學於新學習中，前後學習彼此無關，只是前後堆積而已(朱敬先，民 84)。 3. 借用相關例子，說明其間相互關係。奧斯貝重視例子的選擇，目的是藉著例子的呈現，使學生能將新知識與舊知識產生連結。關於例子的選取方式，若為抽象概念的教學，「好例子」要包括概念的「重要特徵」；如果是「類推」教學，則選取的例子則應包括某一種「關係」(林寶山，民 79)。奧斯貝的解釋教學法與講述法(lecture)不同，解釋教學法不只是教師單方面的講述而已，還包括師生的互動對答、提示、舉例、進行比較等活動，也鼓勵學生進行分組討論，促使學生自行將新舊知識產生關聯，進行有意義的學習。. 8.

(9) 第四節名詞界定 1. 向量概念：本研究所指的向量是指「同時具有大小與方向的量」 --此為向量的文字敘述表徵，記號表徵有記號 AB (有向線段表徵)和記號 a 這兩種表徵，向量的坐標向量表徵 ( x , y ) ，向量的圖形表徵為以起點連到終點加上箭號之有方向的線段，如下：終點. 起點 2. 向量內積：本研究所指的內積定義為高中數學課本中的『 a i b ＝. a. b cos θ ，其中θ為向量 a 和 b 的夾角』。. 3. 二階段評量：本研究所採用之二階段評量根源於 Treagust(1988)提出之雙層式. (two-tier)診斷測驗，其第一層為核心知識內容，第二層為解釋第一層知識內容的理由。本研究所的二階段評量為二階段診斷測驗，第一階段即 Treagust 的第一層，第二階段即第二層。第一階段的形式為是非題，主要是用來判斷學生數學核心概念的內容正確與否；第二階段為選擇題，共有五個理由選項，精鍊自開放試題所測得的學生錯誤答案，具有高度誘答力，做為探求學生在第一階段判斷數學核心概念內容對錯的理由，可根據學生選出的選項，安置學生的錯誤類型。本研究第五個選項為「其他理由：________________」，主要目的為當學生的理由不同於前面四個理由選項時，可自由地表達自己的理由。 4. 補教教學：補救教學是指教師診斷出學生錯誤概念與成因之後，針對這些形成錯誤概念的原因，設計能消除錯誤原因，協助學生學習正確概念的教學活動。以本研究而言，研究者先透過二階段評量瞭解學生的主要錯誤類型，再針對各錯誤類型的成因，設計補救教學教材，施行補救教學活動。 9.

(10) 5. 主要錯誤類型：多數學生在數學運算過程中，會有出現相同形式的錯誤，可將此同一錯誤形式歸納成為同一種錯誤類型。本研究所指錯誤類型係指根據本研究為發展二階段評量所施行之開放性試題所測出的錯誤答案，經與學生面談瞭解錯誤原因之後，整理歸納成的錯誤類型。安置標準為：若某一學生在二階段測驗中同一錯誤類型所選擇的選項數目，出現大於等於該類型所有選項數目的 50%，則將該生安置於此錯誤類型中，該生犯有此錯誤類型。若某一錯誤類型之犯錯人數占全數參與補救教學學生人數至少 15%，則將該類型歸為主要錯誤類型。. 10.

(11) 第二章文獻探討本研究文獻探討共分為四節，第一節為「二階段評量」，第二節為「數學概念的學習與教學」，第三節為「向量的錯誤類型及成因」，第四節「補救教學」。. 第一節二階段評量一、二階段評量的源起二階段評量是由 Treagust(1988)所提出，其試題部分共分為兩部分，第一部分是與概念內容有關的問題，第二部分是作答的理由。Treagust 認為教師們最需要的就是使用簡單的方法評量出學生的科學概念，而二階段評量正是可以符合教師們的需求，容易被教師們所接受，而且真正能對教學有幫助的評量方式。一般而言，二階段式評量診斷工具的第一階段是核心概念的內容，第二階段是探索理由。第一階段的題目提供一個情境脈絡讓學生做二選一或三選一的回答，第二階段提供幾個理由選項讓學生選擇，讓教師瞭解學生在第一階段回答的理由。國外有關診斷迷思概念常用的研究方法有以下 6 種(張惠博，民 88)：. (一)診斷式傳統測驗題：其優點為可用於大量施測，而缺點是難以詮釋學生的了解。. (二)概念圖法：最常被使用來展現概念關係的測量方法，是 Novak 於 1970 年代末期發展出來的。. (三)晤談法：對個案學童進行事例或事件晤談。 (四)關係圖法：如單字聯想、樹狀圖、圖形建構、網狀圖、語意分析等。 (五)Vee 圖：利用集合關係圖來推論根據何種觀念、原理、理論來支持其想法。 (六)二階段式測驗：Treagust(1988)利用二階段的選擇題來診斷學生在特定領域內的科學概念之理解。題目的第一部分是與內容有關，第二部分是作答的理由。近年來較常使用晤談法、概念圖及紙筆測驗來診斷學生的迷思概念。其中晤談法必須和學生做訪談，再將訪談資料做轉錄的工作，非常耗費人力和時間，訪談者的技巧也影響晤談的結果；若採用概念圖法，教師要先訓練學生學會畫概念圖，同時畫概念圖的過程對學生來說也要花費很長的時間來回答，而教師方面 11.

(12) 也必須做專門的訓練來評分和解釋學生的概念(Odom & Barrow, 1995)。因此晤談法及概念圖並不適合用於大規模的研究。傳統紙筆測驗題，雖然可以收集到大量的樣本資料，但卻無法瞭解到學生填答背後真正的原因，它只提供了對或錯的訊息(張靜儀、陳世峰，2002)，無法瞭解學生的迷思概念。針對傳統診斷評量工具無法瞭解學生填答背後真正的原因，二階段評量的第二階段理由選項是透過學生作業資料、開放測驗資料以及與學生訪談得來的，可以從學生在第二階段選答的理由選項瞭解學生的迷思概念；二階段評量的兩個階段都是選擇題的形式，可以不需要花費大量人力時間，而能在短時間內搜集到大量的樣本資料。本研究以二階段式(Two-tier)評量診斷工具，來診斷學生在「向量概念與基本運算」的迷思概念。所設計的二階段評量試題如圖 2-1-1：第一層為是非題。第二層為理由選項，每一題都有 5 個選項，其中最後一個選項為「其他理由：. 。」，當學生的理由都不是前面四個理由選項時，可以將自己. 的理由自由地表達出來。. ｝. 題目：………………………………………... 第一階段. ……………………………………….. □是. □否. 理由：(1)……………….…………………。. (2)…………………….……………。 (3)……………………….…………。 (4)………………………….………。 (5) 其他理由：_______________ 。. ｝. 第二階段. 圖 2-1-1 二階段評量試題的型態. 二、二階段評量工具的編製依據Treagust（1988）提出二階段評量工具設計的編製程序可分為：定義內容、獲得學生概念之相關證據、發展診斷工具三大部分，及其所包含的十個步驟，. 12.

(13) 茲將其發展步驟說明如下：. (一) 定義內容（Defining the content）前四個步驟是定義主題的概念範圍和相關內容知識的敘述，並發展概念圖。步驟1：確立命題知識敘述。就研究主題內容，找出包含在此領域內的知識，並將其中的概念逐項條列出來，以確定命題之範圍。確立命題知識的敘述，在課程發展及教學上具有很重要的地位。步驟2：發展概念圖。針對研究主題相關之概念，畫出階層式的概念圖，研究者可利用概念之間彼此的關聯性，仔細思考所選擇的教學內容之本質及範圍。步驟1和步驟2可以說是同時發展出來的，當命題敘述確立時，所對應的概念圖也同時成形，或是當概念圖確定時，所對應的命題敘述也同時成形，兩者是相輔相成的。步驟3：將命題知識敘述與概念圖連結比對。每個命題知識的敘述皆要與概念圖中對應之概念直接相關，確保被檢測的內容是具有其內部一致性，且彼此要能涵蓋整個主題。這是一種信度檢覈，看兩者是否真正能檢測和覆蓋於相同主題區域。步驟4：將試題內容效度化。命題敘述和概念圖是由學科學者、學科教師和學科專家檢核進行內容效度化，並由這些專家針對命題敘述和概念圖有任何矛盾或不恰當之處進行刪除或修正。當命題敘述及概念圖確定之後，在發展診斷工具的題幹時就會更加明確。. (二) 獲得學生概念之相關證據（Obtaining information about students’ conceptions）第二部分是發展診斷式的工具來偵測學生的迷思概念。首先透過對先前研究文獻的檢視，再和學生進行晤談以及利用開放性紙筆測驗後，得到學生的反應資料，來瞭解學生對該研究之學科內容的理解，如此該主題的學生概念之典型範例 13.

(14) 就可以被確定。步驟5：探索相關研究文獻在開始定義相關的學科問題或是探討學生的某種學科概念時，必須對於ㄧ些研究學生學科概念的相關文獻進行探討，來獲得學生的迷思概念以及學習時有困難的概念，藉此用來發展診斷工具。步驟6：與學生進行非結構性晤談利用非結構性開放式的問題與學生進行晤談，廣泛地獲得學生的知識結構或迷思概念，藉此瞭解學生對概念理解的程度。步驟7：發展開放性試題，讓學生可以自由回答每一個選擇題的設計都是依照命題敘述而來，而且每一題的選項都是用來發現學生的迷思概念。每一個選擇題的後面都包括了一個空白空間，讓學生可以填答他所選擇此答案的理由，藉此來收集學生的概念。. (三) 發展診斷工具（Developing a diagnostic instrument）第三部分診斷工具的建構包含了二階段題目的發展，第一階段要求學生對核心概念的內容進行做答，第二階段是在探索學生第一階段做答的理由為何。根據步驟5、6、7來發展題目的第二階段─理由選項。步驟8：發展二階段式的診斷工具每一測驗題中的第一階段選擇的是內容問題，通常有2至3個選項；第二階段是選擇第一階段的理由，通常包含4個可能的理由選項，選項為綜合上述文獻、晤談、和開放式紙筆測驗所獲得該題作答之理由，其中包含了迷思概念、正確概念或是完全錯誤的答案。然而學生必須兩階段都答對，此題才算答對。步驟9：設計一個特定的表格(雙向細目表) 設計一個特定的表格(雙向細目表)是為了確保所有題目皆能問到所列出的命題敘述，且概念圖中的概念皆涵蓋在主題範圍之下。步驟10：持續精鍊 14.

(15) 透過不同的班級或不同群的學生進行施測，不斷的修正診斷工具，來確保該診斷工具可以診斷出學生的迷思概念。. 三、二階段評量的優點以 Treagust 所提出的二階段評量診斷工具來診斷學生的錯誤概念，其優點如下：. (一)二階段評量能讓教師瞭解學生知識的本質和學生的錯誤概念(Treagust, 1988)，可提供教師作為擬定教學策略或補救教學的重要依據。邱明星(2006)指出不少國中生雖然能在傳統的教學中獲得記憶性的知識，能在第一階段正確作答，但卻在第二階段中顯示出對數學概念其實未能真正瞭解。教學者可以在某主題教學開始或結束時使用二階段評量(Treagust, 1988)，就能清楚掌握學生的迷思概念。. (二)二階段評量兼具了晤談法之質性的優點與測驗法之量化的優點。二階段評量的第二階段─理由選項，是透過文獻探討、開放性紙筆測驗，以及與學生晤談的結果，收集歸納編製而成，因此二階段評量可探索到學生選擇答案的推理過程，再加上二階段評量診斷工具的兩個階段都是選擇題的形式，所以可在短時間大規模探究學生的迷思概念。二階段評量不僅解決了晤談法耗費人力與時間的缺點，也解決了傳統評量中的選擇題不知學生填答所抱持之理由為何的缺點，同時還兼具晤談法及概念圖可得知學生心中的概念的優點。. (三)二階段評量可以減低學生猜對的機率，來提高題目評量的效果。二階段評量施測結果必須第一階段與第二階段都答對，才表示學生對於該題有正確的認知，如此可減低學生作答的猜對率，提高題目評量的效果(蕭志芳，. 2003)。根據 Odom & Barrow（1995）指出：在一個含有四個選項的典型選擇題測驗中，猜對答案的機率是 25%；但在二階段的選擇題中，如果第一階段含有兩個選項、第二階段含有五個選項，兩階段能做正確聯結而猜對者，其機率只有. 10%，相對的也提高題目評量的效果。 15.

(16) (四)二階段評量試題的設計可用來改良傳統選擇題的僵化模式，也可以引導學生改變只重視死背知識而不求理解的嚴重缺點。二階段評量試題的設計強調概念的理解，重視以學生的理由及包括已知的另有概念為基礎來設計二階段試題，近幾年來已成為許多研究學者所認同的研究工具，學生本身可以在作答的過程中學習、澄清自我概念並幫助原有概念間的連結，因此二階段評量試題也有助於教師瞭解學生在學習上的困難，並可以進一步解決教學中的盲點，提升學生的學習效果。. 四、使用二階段評量來診斷學生數學概念的例子在科學教育上，已經非常普遍使用二階段評量診斷學生迷思概念。近年來也有越來越多研究者，使用二階段評量來診斷學生的數學概念，例如：陳建蒼(2001) 利用二階段評量來診斷高一學生在對數函數的錯誤概念。陳俊廷(2002)利用二階段診斷評量來診斷高中生空間向量學習困難。陳忠雄(2003)利用二階段診斷評量來分析高中學生三角函數概念學習錯誤概念類型。以上研究皆指出二階段診斷評量確能診斷出學生的數學錯誤概念，並建議教師採用。根據以上研究可知，對於教師而言，使用二階段評量來診斷學生的迷思概念是一個相當適合的工具，因此本研究採用二階段評量來診斷高二學生對於向量概念與基本運算的迷思概念，並整理歸納成為錯誤類型，再針對錯誤瞭解成因，設計補救教學教材，進行補救教學活動。. 16.

(17) 第二節數學概念的學習與教學一、數學概念的形成. Henderson（1970）把概念分為兩大類，一類為具體概念（concrete concept）和抽象概念（abstract concept）。其中所謂的具體概念為具有物理上實質的例子，如書本、幾何板、尺；而抽象概念則為不具物理上實質的例子，如數學上會遇到的分數、複數、極限、多項式、機率等都是屬於抽象概念。數學概念之所以是屬於抽象概念，是因數學概念與其相應的真實事物或現象之間顯然存在一般和特殊的關係，也即由現實原型抽象出相應的數學概念，就是一種從特殊上昇到一般。這種在形成數學概念特有的抽象思維反應，已不是某一特定事物或現象的特徵，而是一類事物或現象的共同特性(鄭毓信，1998)。因此數學概念的形成是特殊的，Skemp(1979)認為形成數學概念的過程主要包括下列五種重要的特徵：：意識過程是指一個新的概念，透過環境經由感官輸入概 (一)意識（realization）念結構，此時新的概念與概念結構中的任一概念都沒有聯繫上。. (二)同化（assimilation）：同化過程是指在概念結構中找出與新概念相類似的概念。 (三)擴張（expansion）：擴張過程是指以概念結構中已有的概念來領悟這新的概念，使其成為概念結構中的一部分。：分化過程是指分辨新的概念與ㄧ些已有概念之間的異 (四)分化（differentiation）同處。. (五)重建（re-construction）：重建過程是指當問題的情境改變時，已建立的概念結構雖具有相關性，卻不適用於此情境，此時必須重建個體的概念結構。楊弢亮（民 71）在中學數學教學法通論提到，人類運用比較、分析、綜合、抽象、概括等一系列邏輯方法來獲取概念。對於數學概念而言，一個概念的屬性可分成本質屬性與次要屬性，例如直角三角形的主要屬性就是三角形的其中一個內角必須是直角，另兩個銳角的大小，以及三邊長都算是次要屬性。每一個概念. 17.

(18) 都有其質和量，即數學概念的內涵和外延：. (一)概念的內涵是一個概念所反應的對象的所有本質屬性的總和。 (二)概念的外延是適合該概念的一切對象的範圍。 (三)同類概念間的關係。針對概念的內涵和外延，Pines（1980）用圓錐形的結構（圖 2-2-1）來說明概念的內涵和外延，圓錐的底部稱之為延伸，表示概念延伸的部分，包含所有屬於此概念的事例。圓錐的頂部稱之為內涵，代表萃取出此概念的特質、共同性或定義等規律性。在學習時，由底部概念延伸部分推至頂端內涵部分，此過程稱為概念化，即由事例中發現其共同性，此概念化過程是一種歸納方式。若由頂端概念的內涵部分推至底部概念延伸部分，則是所謂的應用，此過程是一種演繹方式，即將概念之規律性應用於事例中。由下往上的概念化過程可能導出不正確的概念內涵；同樣地，若是對於概念的內涵特質不清楚的話，則由上往下應用於事例時，就會產生錯誤。內涵. 應用性. 概念化. 延伸. 圖 2-2-1 圓錐形的概念模型施良方（1996）從文獻中整理了三種較具代表性的理論，說明概念是怎麼形成的這個問題，分別為：. 1.. 聯結理論（association theory）：如果學生能夠正確地識別出某個概念的一個例子，就給予強化，告訴他是對的；如果學生對刺激識別錯了，則告訴他錯了，這樣，學生就不會形成錯誤的聯結。通過一系列嘗試，正確的反應與正當的刺激就連結起來了，學生的概念也就形成了。 18.

(19) 2.. 假設－檢驗理論（hypothesis-testing theory）：把學生看作是一個積極的信息加工者。學生是通過提出和檢驗各種假設來解決種種問題的，包括概念問題。用假設－檢驗理論解釋概念形成的主要代表 Bruner（1956），他的基本觀點是，在概念形成過程中，學生並不是被動地、消極地等待各種刺激的出現以形成聯想，而是積極地、主動地追究這一概念，通過一系列的假設－檢驗來發現這一概念。學生在形成概念的過程中，還會採取各種策略，以求加快發現這一概念的過程。. 3.. 範例理論（exemplar theory）：前面兩種概念形成的理論，都是以概念所具有的共同特性為前提。但是，認知心理學家 Rosch（1977）提出了一種完全不同的概念學習理論。他認為記憶中的種種概念，是以這些概念的具體例子來表示的，不是以某些抽象的規則或一系列相關特徵來表示的。例如，「鳥」這一概念，是用以往見到過的知更鳥、麻雀、老鷹等來表示的。對於任何一個概念來說，都有一些比較典型的範例和一些不大典型的範例，最典型的範例被稱為典範例（prototype）。因此，人們對日常概念的理解，必須著重於對典例的認知，以及其相關內容（Rosch，1977）。. 二、數學概念的學習數學概念的學習問題就在於過於抽象和一般化，所以數學概念多半必須由例子開始，讓學生從各式各樣的例子歸納出數學概念，關於數學概念的學習. Skemp(1987)提出兩個原則： (一)超過個人已有的概念階級的高階概念，不能用定義的方式來進行溝通，只能蒐集相關的例子、提供其經驗，再靠他自己抽象以形成概念。. (二)在數學中，有關的例子有時或多或少又含有其他概念，因此，我們在提供例子時必須先確定學生已經形成這些預先的概念了。教師所給的例子如果牽涉到太多其他的概念，就會對學生抽象出概念的屬性 19.

(20) 形成干擾，因此在學習概念的初期階段，最好使用低干擾例子，盡量將所要的概念具體化(Skemp，1995)。Skemp 所提的第二個原則又另外導致了兩個結論，首先，如果在連續抽象的某一步被誤解了，則此後每一步都要冒不少的風險。這種環環相扣的相關性在數學中尤其顯著。其次，在學習新概念時，所謂的先前概念必須唾手可得地擺在旁邊，才能順利獲取新的概念。. Henderson（1970）認為數學概念的「教學策略」有兩種： 1.. 例示化教學策略（E-move）：以正例和非例來進行，一般用於「概念的獲得」。. 2.. 屬性描述化教學策略（C-move）：在描述概念的屬性，一般用於「概念的同化」。. 上述這兩種教學策略在概念教學的過程中，如果能夠交替進行將會更有成效。然而，在使用 C-move 之前，應先運用 E-move，而 C-move 也能促進 E-move 的達成，若在未使用 E-move 之前就直接使用 C-move，這可能會造成 C-move 沒有達成，E-move 也沒有達成的情況。. Sowder(1980)也指出概念教學上的第一個變項是「概念的獲得與同化」。概念的獲得是來自許多例子和非例的呈現來作為新例子或是口頭的描述，並加以定義、適當的分類。而概念的同化是來自個體以既有的基模為準則去選擇環境中的事物，或是以既有的認知結構去辨識、解釋環境中的事物，這樣就可以把新的經驗同化到舊經驗裡。在概念的同化中，概念的定義或文字描述扮演著中心角色，有時會使用正例或非例來幫助同化。楊弢亮（民 71）提出數學概念的引入有下列四種方式：. 1. 利用學生的生活經驗：教師應收集和運用現實生活中能反映數學概念的事例，但是還必須要注意，數學概念與日常概念(常識)是有區別的，例如：生活中的「垂線」是由上到下的，但這並不是幾何學上「垂線」概念的本質屬性，因此教師在數學概念的教學中，既要充分利用學生的日常概念的積極作用，同時又要注意防止它的負面影響。 20.

(21) 2. 利用教材所提供的感性材料：先用實際事物、模型、圖表使學生瞭解新概念的直觀形象，再提出概念的定義。例如：溫度計、鐘等實物，稜柱、圓錐等模型，正弦曲線、指數曲線等圖表，都能使學生對新概念有鮮明的印象。. 3. 由定義引入：例如：圓的概念，如果引入它發生式的定義，既有直觀形象，又說明了對象的存在。. 4. 由舊概念引入新概念，其方式有四： (1) 種概念引入類概念：例如：在平行四邊形概念的基礎上，增加內函引入菱形和矩形概念。. (2) 採用對比方法：對於兩種對象，按照某些特性根據他們相似之點或區別之處，引入新概念。例如：相似三角形概念可以由全等三角形概念中抽去各邊相等這個屬性來引入。. (3) 利用逆反關係：根據逆反關係引入新概念。逆反關係包括逆運算、反函數、逆反性問題等。逆運算關係如：加法與減法、乘法與除法、乘方與開方，指數與對數，導數與原函數等。反函數關係如：指數函數與對數函數，反三角函數與三角函數等。逆反性問題如：已知方程式畫圖、已知圖形求方程式等。. (4) 運用概念的推廣：概念的推廣是從特殊化到一般化的過程，它體現了概念之間的聯繫。. (5) 運用特例的聯繫：作為一般性概念的特例，來引入新概念。例如：常用對數和自然對數就是一般對數的特例。. 三、概念與表徵概念表徵是學習數學概念的重要媒介，一個概念的表徵傳達了那個概念的重要屬性，也可以說是那個概念的一種特定形式的圖像(蔣邦治，1994)，同一個數學概念可以利用多種不同的形式來表徵。林福來(1997)即曾指出對於一個數學概念，能用不同的現象與表徵說明意 21.

(22) 義，表示對此概念有感覺。. Lesh, Post 和 Behr（1987）由溝通的觀點重新描述表徵的類別，將數學解題區分為五種表徵系統：：由真實世界的情境或知識來解釋與解決類似問題的 (一)真實腳本（real scripts）情境。：使用具體物，以顯示數學情境的內在關係 (二)具體操作（manipulative models）與操作。. (三)圖形與圖表（static pictures）：一種靜態的模式，也可能是心像。 (四)語言符號（spoken language）：包含此類領域特殊化的第二種語言。 (五)書寫符號（written symbols）：常用的數學算式或數學符號。五種表徵彼此之間是平面網狀是互動發展，如圖 2-2-2。. 圖形與圖表. 具體操作. 書寫符號. 真實腳本. 語言符號. 圖 2-2-2 表徵系統交互模式在向量概念的多重表徵表達上，「真實腳本」可以是日常生活中位移、傳球或施力等真實情境，「具體操作」則是利用方格紙來具體呈現向量概念中的「大小」和「方向」的本質屬性，「圖形與圖表」則是一般所指的一個段線加上方向所構成的向量圖形，「語言符號」則為向量的口語敘述如「從 A 點到 B 點所形成的向量」，「書寫符號」有向量記號表徵如 AB 和 a 、以及坐標向量表徵，如 v ＝(2 , 3)。表徵間的轉換是學習向量概念和表達向量概念最重要的基本能力。 22.

(23) 四、外在表徵與內在表徵概念表徵間的轉換非常仰賴學習者的心理活動，學習者由看見的圖形表徵或記號表徵，在他的內心產生聯結、對照、區分等活動，才能把他的思考、想法或理解使用表徵傳達出來。因此數學的學習活動牽涉到內在表徵與外在表徵，. Hiebert 和 Carpenter(1997)提出內在表徵指的是存在於個體心智中他人無法觀察到的狀態，外在表徵指語言符號等具體形式存在的表徵，個體透過外在表徵表達自己的想法，與他人溝通 (引自黃永和，1997)。 Tall & Vinner(1981)提出概念心像(concepr image)，是指個體對某概念在心裡所建立的圖像和符號，個體可以利用概念心像來作推理活動。. Skemp(1987)強調在做數學溝通時，必須透過數學符號(寫或說)，這些都是表面結構；若要達到真正的理解，必須補捉到學習者深層結構，如圖 2-2-3。表面結構. (輸入) 相. 彼. 符號族群. 心靈影像關. 此. 概念結構深層結構. 圖 2-2-3 Skemp 表面結構與深層結構關係圖他認為心靈影像如同磁鐵會對所收到的資訊發出吸引力，好像共鳴一樣，輸入的資訊由共鳴到的概念分析、解釋、理解，然後會有一組心靈影像「捕捉」到輸入的資訊。如果心靈影像對深層結構的吸引力大於表面結構，就會發生所謂的「理解」，但是，表面結構常常很占優勢，因為接收到的第一手資訊都是符號，如果學習數學都是發生只捕捉到表面結構，那就變成只會運用一些沒有內涵的空. 23.

(24) 洞符號。. Skemp 基於對於概念理解的看法，提出建立概念結構的教學輔助原則 (Skemp，1987)： (一)在學童學習概念階段，儘量以實物展示概念。 (二)不要只叫孩子背符號，在教一個新概念前要分析其基本基礎概念是否都已教過，以便孩子能將新概念適當同化。. (三)在學童學習數學階段，多用口頭解釋，少用文字解釋。 (四)在正式、濃縮的數學符號之間，可以使用非正式、暫時的約定符號，甚至是學生個別指定的，如此他們的概念已自動和符號結合。同時經由比較長或短、清楚或曖昧，及不一致的困擾，學生逐漸領悟約定標準符號的好處。. 五、幾何概念的獲得幾何概念屬性的獲得也同樣可從許多具體概念中再提取出相同的關係和性質，例如：獲得圖形「對稱」的概念，可以從許多具有對稱性質的平面圖形中，找出其中「一一對折，使之平分成兩半一樣大小」的共同關係。因此幾何屬性概念之建立和圖形表徵息息相關 (徐于婷，民 94) 。Skemp(1987)認為幾何中的視覺符號(即幾何圖形)和它所代表的概念更為接近。例如：過圓外一點作兩切線，作通過兩切點的半徑。光是這樣唸一次，大概不容易得到甚麼聯想，但看一下圖形就能立刻瞭解。因為視覺符號(圖形)比文字符號更能顯示概念間的關聯。. 圖 2-2-4 過圓外一點作兩切線，作通過兩切點的半徑此外，Skemp 認為要理解幾何也必須發展視覺形式的論證，例如以下面的圖 24.

(25) 形來告訴別人「過圓外一點作該圓之兩條切線段長相等」會比文字敘述要來得容易溝通，因為視覺符號(圖形)更能顯示其中的關聯。. 圖 2-2-5 過圓外一點作該圓之兩條切線段長相等學生在學習一個幾何圖形或幾何屬性的概念時，腦中所儲存的此一概念之概念心像，往往是此一概念類別所有正例的平均，也就是心理學家所指的範型比對理論(鄭昭明，民 82)。學習者在得到幾何圖形和幾何屬性之概念後，會對此概念以不同的表徵加以溝通，所以幾何概念的學習與圖形表徵關係密切。. Skemp 以文字符號書寫的幾何推論和用視覺符號(即圖形)進行的推論相比，結果使用視覺符號來進行推論會比較清晰易懂。例如推論「同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍」，整個文字符號推論的過程，大部分必須循著視覺符號(即圖形)進行(Skemp，1987)，或以向量運算而言，如果教師在黑板上只以文字符號書寫「 AB =. 3 1 AC + BC 」，而沒有搭配圖形讓學生瞭解這些向量的相關位置， 5 2. 學生可能覺得這些數學符號很複雜，而形成理解的干擾。張景媛（民 84）從國中生建構幾何概念的研究得到以下結論：. (一)傳統式幾何教學時，教師講述讓學生形成一些粗略的概念，但未仔細思考或自行建構概念，以致經常發生概念模糊不清，甚至形成有礙問題解決的錯誤概念。. (二)具體影像的呈現有助於學生建構心理表徵，因此幾何概念的學習，若能讓學生動手操作圖形或自行設計圖形，對學生理解圖形有所幫助。. (三)一個問題解決的歷程，若能將每一步驟建立次目標，分解練習，能使學生建構出好的心智模式，對整個解題歷程有所幫助，也較符合生手的思考歷程。. 25.

(26) (四)教師示範基本概念後，預留時間將概念記在筆記本上，學生即使在家也能溫習這些基本概念，家庭作業也可採溫習基本概念代替許多不會解答的問題。. (五)小組合作學習的方式有助於學生澄清一些錯誤概念，並能共同構想出不同的解決問題方法，增加學生解決問題的信心，因為方法不只一種，他知道轉來轉去都有解決問題的方法。. (六)小組競賽的方式可增加小組內成員共同努力以達成目標的精神，有助於學習的成效。. (七)合作學習中各個學生都應該負擔部分的責任或工作，以避免有學生在小組內沒有得到任何的學習效益。合作學習可搭配各種的學習方法，如批判思考、探究、問題解決或啟發式教學等，所以它是一種多元化的活動方式。. 六、對本研究的啟示小學數學教育要發展學生的「數感」，那中學教育就是要發展學生的「符號感」(鄭毓信，1998)，特別是向量概念的學習，發展學生的「符號感」非常重要。首先教學時必須注重以具體影像幫助學生建構向量的概念心像，讓學生看見的外在符號時與其內在表徵形成的聯結。教學時，還要努力讓學生內在概念結構強過他所看到的外在符號，因此教師的用語非常重要，如果教師教學能注重概念澄清，而不只是讓學生看到一大堆的符號演算，學生才可能使用有意義的數學符號進行表達，否則學生只是一味的模仿教師在黑板上呈現的演算方式。當學生內在概念結構比他所看到外在符號弱，就可能只是反覆地操弄這些空洞的符號，而不知其真正的意義，甚至因此將舊經驗中類似的概念或符號，作不當的類推。此外，還必須注重學生能在圖形中發現向量運算概念的圖形表徵，如果學生在圖形中無法發現向量運算概念的圖形表徵，就會盲目地分解向量或錯誤地分解向量，甚至誤以為內積記號就是數的乘法記號之情形…等。因此，本研究在教材設計與教學活動特別注意以圖形為基礎，利用學生的舊經驗圖像化，引導學生產生學習遷移，同時在圖像化的過程中，讓學生建立概念心像。多重表徵的呈現能協助學生 26.

(27) 學習向量概念，本研究利用方格紙作為具體媒介，幫助學生對向量產生「感覺」，使學生能順利地對向量圖形表徵、向量記號表徵、坐標向量表徵之間產生聯結。. 27.

(28) 第三節錯誤類型與成因的相關研究一、錯誤類型探討依建構主義的觀點，數學學習不應被看成是學生被動地接受教師授予的數學知識，而是以其已有知識經驗為基礎，主動建構的過程。 (張景媛，民 83，鄭毓信，1998，鄭麗玉，民 90) von Glasersfeld 對於學生如何建構知識，有下列兩項主張：(引自鄭麗玉，民 89). (一)知識並不是被動的接受，而是由具有認知能力的個體主動建構而來的。 (二)認知的功能是適應性的，用來組織外在的經驗世界，而不是用來發現客觀存在的事實。由 von Glasersfeld 的主張來看，教師教學其實是無法灌輸知識到學生腦海中的，教師的教學只是協助學生建構那個數學概念對自己的意義，所以 Tall &. Vinner(1981)把學生在學習數學概念時，他心中所產生的那個數學概念的表徵稱為概念心像(concept image)，概念心像有時會和正確的數學概念不一樣，而干擾學生學習數學(Tall, 1988)。這些干擾所造成的錯誤常常是有規律的，真正的原因並不是由於「疏忽」或「無知」所造成的，而且學生在出現這些錯誤時，往往是具有很清楚的自我意識和一定的自信心(鄭毓信，1998)，這樣的錯誤往往對學生學習數學概念造成很大的影響，而且他會一直出現同一種錯誤而不自知。鍾聖校(1994)認為迷思概念具有以下特性：. (一)過程性：錯誤概念是在概念發展或概念學習的過程中發現的，若以一直線表示概念發展的連續體，則錯誤概念是出現在此連續體的任意一點。. (二)不完備性：在各類概念錯誤的晤談資料中，可發現大量的受訪者回答不夠完整，且這種不完整的答案，並不是表達力的問題，而是對問題的思考不夠細密與周全，以致說出的概念也流於片面零碎或不夠完整。. (三)非正統性：與正統的、科學家的或專家的說法相比，這些錯誤概念就不同於前者。. 28.

(29) (四)思考性：錯誤概念雖然是一種陳述出來的內容，但它含有概念思考的成分。 (五)個別性：有許多錯誤概念及想法是相當特別的，屬於受訪者所有，這是因為人們以自己的想法，將外在訊息內化到自己的認知結構中，再用自己的經驗來建構事物的意義，故所得之概念想法相當具有個別性。. (六)普遍性：某些錯誤概念確實普遍性較高，例如學生普遍有「假設的內容必須是正確的」這種程序性知識錯誤概念。綜觀全球各地可發現許多一樣的錯誤概念。. (七)不穩定性：它是相當不穩定的，容易出現，也容易拋棄，晤談前後不一致的錯誤概念，實因學生對概念沒有清楚的認識，因而沒有確定的見解，想法易變，顯得不穩定。. (八)頑固性：有些錯誤概念雖經過一再講解，但它仍會一再出現，這讓學者們不得不承認其根深蒂固存在的事實。. Mayer(1985)把解題錯誤分成三大類： (一)遺漏的錯誤：是因對命題不能完整回憶的結果。 (二)細節的錯誤：是指在陳述句中，一個變數轉換到另一個變數的能力不足所致。 (三)轉換的錯誤：即無法將關係句的形式轉換為陳述句的形式。其中以轉換的錯誤最嚴重，其原因為學生對於關係的回憶缺乏表徵關係的語言知識所導致。錯解辨析(九章出版社，1995)將學生的錯誤類型分為四種類型：. (一)由於概念不清產生的錯誤：包含概念實質模糊、混淆相似概念及循環定義概念等所產生的錯誤。. (二)由於推理無據產生的錯誤：包含臆造定理、濫用法則、循環論證、論證不足及方法不對等所產生的錯誤。. (三)由於忽視條件產生的錯誤：包含忽視概念中的隱含條件、忽視所使用的定理、公式、法則的適用條件、忽視取值範圍的變化、忽視約束條件中的隱含條件、忽視條件的充分性與必要性、錯誤理解條件、遺漏或濫加條件、忽視 29.

(30) 結論特徵中的隱含條件，及把給定的一般條件特殊化等所產生的錯誤。. (四)由於考慮不周產生的錯誤：包含審題馬虎、形式套用、顧此失彼、忽視特例、以偏概全及檢驗不當等所產生的錯誤。楊弢亮（1992）將學生的錯誤歸納為下列幾種：. (一)概念混淆：如代數式與等式的概念混淆，就會把等式中恆等變形的法則誤用到代數式上。. (二)定義不明確：如把點到直線上任意一點的距離當作「點到直線的距離」。 (三)定理理解不清楚：如混淆了判定定理與性質定理。誤以為原命題成立，逆命題也成立，或沒辦法分辨清楚條件是充分還是必要。. (四)條件不注意：如在反三角函數關係式 sin(sin −1 x) = x 中沒注意 − 1 ≤ x ≤ 1 這個 3 3 條件，產生 sin(sin −1 ) = 的錯誤。 2 2 (五)邏輯錯誤：如幾何論證中，或是根據不足，或是推理不合邏輯；在軌跡的探求或證明中，沒有同時說明純粹性和完備性。. (六)法則不會：如三角函數表的查表法則不會。 (七)公式記錯：如發生 (a + b) 2 = a 2 + b 2 ， sin( A + B) = sin A + sin B 的錯誤。 (八)計算錯誤：主要是粗心大意或慌亂造成的。. 二、錯誤成因探討錯誤類型的成因主要是因為在學習過程中，學生為了要以自己原有的舊基模，去解釋新概念時，有時就會產生與正確的數學概念不一致的想法，因此形成迷思概念。系統性的錯誤根源於不恰當的一般化，也就是由於學習者把先前所學到的知識和方法作了不恰當的推廣(鄭毓信，1998)。此外，呂溪木(1983)認為學生會發生錯誤的原因，可能源自於學生日常生活經驗的自我學習，也可能是學生對於老師傳統機械式教學所獲得的概念一知半解。國外學者 Ashlock（1986）指出，有可能是因為教科書的內容令學生困擾，. 30.

(31) 覺得難以理解，而教師又沒有足夠的時間去回答每一位學生的問題，或是學生沒有充分的時間消化其接受的數學概念，往往也會建立錯誤的數學概念與規則。因此，教師的教學的過程常常會嚴重影響學生的學習，不當的教學也會使學生學不好數學。. Sutton & West(1982)，Head(1986)都曾提出學生產生錯誤概念的原因，主要有七個來源：. (一)與生俱來的。 (二)從日常生活經驗或用語而來的。 (三)從隱喻而來的。 (四)從類比產生的。 (五)來自同儕文化。 (六)正式或非正式的教學。 (七)字義的聯想、混淆、衝突或缺乏知識。 Radatz（1979）以認知理論中的訊息—過程模式，把數學上的錯誤歸因為： (一)語言困難導致的錯誤。 (二)空間訊息獲得的困難。 (三)不精熟先備的技能、運算和概念。 (四)不正確的觀念。 (五)使用不當的規則或策略。 Resnick（1989）的研究指出，錯誤演算規則的產生主要有兩個原因： (一)學習者把學過的演算規則類化並外推到其他的情境。例如：將負數乘以負數等於正數的規則運用到加、減運算。如算式： − A − B = A + B 。. (二)由於遺忘演算公式或規則限制（constraints）的緣故。例如：去括號時，忘了它的運算規則，而直接將括號拿掉。如算式： A − ( B + C ) = A − B + C 。. 31.

(32) Matz(1982)認為許多錯誤的規則都是由於學生對正確的規則作出錯誤類化 (misgeneralization)或過度類化(overgeneralization)而產生的。他發現學生喜歡用不恰當的外推法(extrapolation)，如：將乘法對加法的分配律. A × ( B + C ) = A × B + A × C 錯誤類推至乘法而得到 A × ( B × C ) = A × B + A × C ；將 ( AB ) 2 = A2 × B 2 錯誤類推至加法而得到 ( A + B) 2 = A2 + B 2 、 A + B = A + B 。根據 Matz 的分析，如果學生把舊時學過適用於某種情境下的規則，不當的應用於不同的情境，便會造成不當類推的錯誤。近年有關錯誤成因，還有 Stavy & Tirosh(1999)提出的直觀法則，用來解釋迷思概念與直觀法則之間的關聯，所謂直觀，是指心理學上不需經過推理或反省的歷程，即對事物或現象的性質作立即的判斷；或是學童在解題過程中，不是透過計算推理的，而是回歸直覺的想法，使用相同的規則或外在特徵來解答問題，以這種直觀的錯誤來看，直觀法則確實能合理的解釋學生對某些問題的反應。. Stavy & Tirosh 的直觀法則有三： (一)More A－More B：在比較型的問題中，學生會根據兩物體在某 A 量上有明顯不同，而去比較另一 B 量上的大小。. (二)Same A－Same B：在比較型的問題中，學生會根據兩物體在某 A 量相等，而去判斷另一 B 量相等。. (三)「Everything comes to an end」與「Everything can be divided by two」：在連續細分的問題中，物體被不斷平分成兩等份，是否有窮盡的問題，學生們傾向認為這個過程無法連續不斷持續進行下去，細分的過程達到原子或分子就會停止。例如：學生會認為一塊蛋糕無法一直分割下去。. 三、平面向量的錯誤類型及成因之相關研究江淑美(1985)為瞭解高一學生是否具備接受向量課程的成熟度，以及可能發生的學習困難，以英國 CSMS(Concepts in Secondary Mathematics and Science)研 32.

(33) 究小組所設計的題目，直譯成中文，針對 954 名高一學生進行測驗，其錯誤分析指出：. (一)自由向量中相等向量轉換的錯誤。例如 AE ＋ HG ，有 9.1%的受試者寫成 AG ，即忽略 AE ＋ HG 並未有連接點，必須經過向量的轉換平移才可得到答案。受試者直接取前向量 AE 的始點，後向量 HG 的終點，做為結果。. (二)向量有關概念(大小，方向，逆向量，等式的運算)尚未建立。例如：. (1)部分受試者無法從題目所給的向量圖形感受到向量「大小」的概念，或對向量「方向」的感受不足。. (2)部分受試者將 d + e 的結果，畫成所需答案的逆向量。 (3)20%的受試者對連續向量的運算及逆運算概念尚未完全建立。 (4)對連續向量加法的始點，終點，方向以及逆向量的相關性，尚未能體會。 (三)透過操作解題不習慣。 (四)用文字表達數學情境較差。例如：問受試者：「你如何校對海路的向量是對？抑不對？」學生無法以一種確切的表達方式來描述問題所期望的答案。. (五)受舊經驗的影響而誤答。例如：受試者受到幾何圖形的影響「正方形每邊均相等」而誤答，而未能考慮到方向問題。. (六)粗心錯誤。林福來(民 76)針對國中生反射、旋轉、平移概念發展研究，其中平移部分與向量概念關係密切，其研究分析指出：. (一)絕大多數學生能掌握保形、保大小及保平行的特性。. 33.

(34) (二)已能掌握平移距離，但未掌握方向：學生只能掌握到方向的部分概念，如：大域方向，或忽略箭號做反向平移，或受試題中有鉛直、水平線的影響，進行鉛直(水平)移動。. (三)已掌握平移方向，但未能掌握距離：學生忽略對應點，視物象之間的距離為平移距離，或學生受到對稱感的影響，平移向量與物的相對距離。郭祝武(民 84)針對五專生向量學習情形，運用工作分析(task analysis)法，設計評量試題，由紙筆測驗分析錯誤，瞭解學生錯誤原因，將錯誤分為建構錯誤(含錯誤概念，推理錯誤)及執行錯誤(含計算錯誤，列式不完整)，得到的結論為：. (一)大部分學生在向量單元問題上，較傾向機械式學習，而非經由理解的學習。喜歡直接套用公式，不注重公式的條件分析，因此有各種錯誤類型。. (二)因習慣利用自己想法或以前記憶的法則公式來解題，錯誤類型遂而產生。 (三)學生在整個概念學習發展過程中，因常規計算(routine manipulation)尚未完全自動化而影響概念形成。林進發(2001)研究高中生向量內積運算的錯誤類型有：. (一)長度大小錯誤 (1)作答未標示長度 (2)長度代用錯誤 (3)長度計算錯誤 (二)方向或夾角錯誤 (1)方向錯誤或未標示 (2)未注意逆向量或夾角定義不清，取錯夾角 (3)未將向量平移方向混淆，取錯夾角 (4)改變向量方向，但夾角未改變取錯夾角. (三)向量基本運算性質使用不當 (1)認為將兩向量內積誤用加法合併 (2)在長度符號中，誤用向量加法拆解向量，不當使用向量運算性質. (3)向量加法概念模糊不清. (四)內積基本運算性質錯誤 (1)向量內積具有結合律 (2)向量組合距離公式錯誤(3)向量內積定義錯誤 (五)餘弦函數值錯誤 (六)符號使用不當 34.

(35) (1)用內積符號表示線段乘積 (2)用外積符號表示線段乘積 (3)未加絕對值，直接以向量表線段長度. (七)其他錯誤類型 (1)計算錯誤 (2)圖形錯覺，以圖形估計角度 (3)不當分解向量，以致過於複雜無法計算 (4)符號意義混淆 (5)舊經驗引用錯誤 (6)自行發明無依據推論. (8)莫名的證明林進發針對以上錯誤類型提出錯誤原因：. (一)因概念不清產生的錯誤。 (1)定義概念實質模糊不清：例如(a)兩向量夾角必須將兩向量平移始點重合所夾的角度分為所定義的夾角，學生認為將兩向量平移使一向量始點與另一向量終點重合所夾的角度為所定義的夾角。(b)學生將內積定義為 a i b ＝. a. b 。(2)混淆相似概念產生的錯誤：學生因遺忘或當時所學的概念理解不. 夠透徹，錯誤的將舊相似概念用於新概念上。(a)學生將複數絕對值的計算概念錯誤的利用在組合向量的長度計算上。如： 3 a − 2 b ＝ 32 + ( −2) 2 (b)將數線絕對值計算概念錯誤的利用在組合向量的長度計算上。如： 3 a − 2 b ＝. 3＋(－2)＝1 (3)繪圖作答概念不清：將兩向量的始點重合，繪出終點到終點的錯誤向量。. (二)對圖形的錯覺：題目中沒有角度，學生自己由圖形估計角度。 (三)受先前學習過的知識或本單元學習經驗影響做錯誤的推論。 (1)將代數的乘法性質在向量內積做不當的推論。(2)受逆向量與夾角定義不夠熟悉的影響作不當的推論。(3)受向量加法影響，將兩向量內積用向量加法合併。如： AB i CB ＝ − AB i BC ＝ − AC ＝－5。(4)任意分解向量. (四)受舊知識相似概念與線索的引導，形成運算上的錯誤或不當的推論。 (1)受相似舊概念引導，將「功」(內積)推論為「力矩」(外積)。例如：題目問「物理學上的『力』，在數學上以『向量』來表示，請問『向量內積』可用甚 35.

(36) 麼表示？」，學生答案為「力矩」或「功率」。(2)受相似舊概念引導，將三角形邊長成比例做不當的推廣與應用。例如 45°－45°－90°的邊長比為 1：1： 2 ，類推到 30°－30°－120°的邊長比也是 1：1： 2 。(3)利用以前錯誤或. 不熟悉的經驗。如：餘弦函數變換錯誤，cos120°變換成 sin60°，或餘弦函數值代錯。(4)認為長度必須開根號，因距離公式有開根號。(5)內積長度與外積長度符號混淆，導致錯誤的算法。如： 3 a − 2 b ＝ 3 a. 2 b sin120°。. (五)符號使用不當，未能注意符號實質的表徵意義。 (1)不當的使用內積或外積符號來表示兩線段的乘積。(2)未加絕對值，直接以 2. 2. 向量表示線段。如： AC ＋ DB 。. (六)忽視題目中的已知條件或答案的隱藏條件所產生的錯誤 (1)忽略題目中的已知條件，未注意題目中的向量與圖形的向量方向相反，例如：夾角應為 120°，學生解成 60°。(2)忽視答案的隱藏條件：向量具有大小、方向兩大要素，而學生在答案上卻只著重在方向，往往忽略了向量的大小。. (七)受題目中情境設計與文字敘述的影響 (1)受題目情境設計的影響，無法確實掌握題意。 (2)受題目文字敘述的影響，無法確實掌握題意。. (八)無據的推論與多餘的證明 (1)自行發明的無依據推論。 (2)多餘的證明題目中的已知條件，再做無據推論。 (九)粗心計算錯誤 (1)將兩倍誤認為一半。 (2)粗心未注意符號。 (3)公式誤寫或計算錯誤。如： AB i CB ＝ AB. CB cosB. 四、對本研究的啟示綜合以上討論，可知錯誤概念的成因與學生的原有的知識基模是息息相關. 36.

(37) 的，學生對新概念還不夠理解時，過度類推的錯誤就會出現，所以在探討每個學生發生錯誤的原因時，最重要的原則就是要往學生的舊經驗去探索挖掘。就前述. Skemp(1987)所提的心靈影像理論來看，錯誤發生的關鍵，應在於新概念與舊經驗的某一個地方發生了「共鳴」，學生用這個舊經驗來解釋新概念而產生了錯誤，所以這樣的系統性錯誤會一而再、再而三的出現。綜合前人關於向量的研究，再對照研究者本身的教學經驗，若向量圖形呈現在白紙上或黑板上，學生多半會用大域方向來說一個向量的方向，非常符合林福來老師關於國中生研究的結論「學生只能掌握到方向的部分概念，如：大域方向」，但，若是以坐標向量來呈現向量的方向，則較少發現這樣的錯誤。前人的研究都發現學生有機械式學習的傾向，非常喜歡公式或口訣，而不注重條件分析，這也與研究者平日對學生的觀察非常穩合。但為何學生會喜歡背公式或口訣？為何學生多以機械式學習取代理解？其原因非常值得探索研究。愈是高等的數學，也愈需要使用符號溝通。研究者的教學經驗中常常發現符號使用不當的學生，究竟是甚麼原因造成學生發生符號使用不當？而符號使用不當追溯到最根本的情況是甚麼？此外，前人的研究也都發現學生的錯誤原因會受到舊經驗的影響，但是究竟是舊經驗的哪一部分影響到向量概念的學習？用. Skemp 的隱喻來說，是向量概念與舊經驗中哪個部分起了「共鳴」，使得學生用舊經驗解釋向量概念？這些都是本研究接下來想深入探索瞭解的。江淑美的研究對象為高一學生，郭祝武的研究對象為五專生，與本研究的研究對象為高二學生不同，而林進發研究的概念內容為向量內積，與本研究欲研究的概念內容包含向量加減法與內積運算不同。. 37.

(38) 第四節. 補救教學. 本研究補救教學的目的在消除學生的錯誤情形，因此先瞭解學生學習困難的原因，再根據學生發生錯誤的成因，設計適當的教學活動。教學過程中也必須依據學習者個別的需求來調整教學策略，以消除學生的錯誤。因此本研究的補救教學即為診斷教學。. 一、診斷教學的相關理論與原則. Piaget 的認知發展理論認為個體不斷地利用同化和調適的作用來適應外在環境。同化是指學生將外界的刺激納入既有的認知結構中;調適則是指當學生既有的概念不足以成功地瞭解新概念時，他必須改變既有的認知結構，以順應外界環境。診斷教學就是利用某些適當的情境或問題，誘發學生產生認知衝突，讓學生發現現有的想法已無法解決目前的問題，或已經與當下的情境產生矛盾，而懷疑自己現有的想法或發現現有的想法是錯誤的，此時再以調整策略，讓學生修改現有的想法概念，重新建構概念，達到概念改變的目的。要發生概念改變的條件為何？Posner， Strike ，Hewson 和 Gertzog (1982) 認為概念改變的四個條件：. (一)學習者必須對現有概念感到不滿意。當個體感到自己的概念不具功能性，才會改變他們所用以思考的概念。. (二)新的概念必須是可以理解的，個體才有可能進行概念改變。 (三)新的概念必須是合理的。 (四)新的概念必須是豐富的。它不僅有可能解決現有的問題，而且也應該提供未來探索的途徑作為產生思考的工具。. Bell（1992）經過多年的研究之後，提出診斷教學法（Bell，1992）的理論特性如下：（引自李源順，民 90）. (一)呈現的問題活動，要和學生以前的學習經驗相連結. 38.

(39) (二)選擇的問題，要涵蓋關鍵的概念和可能的錯誤概念 (三)設計的活動，要能引起有錯誤概念的學生的認知衝突 (四)提供學生正確性的回饋 (五)針對所要化解的衝突徹底討論，並且形成新的整合性知識結構 (六)在所討論的課題內形成關鍵性原則，利用進一步的問題做回饋，以鞏固學生的概念. (七)利用彈性的問題，確保不同初始概念了解層次的學生都有適當的挑戰性 (八)在未來的學習過程中，適時重返相同的概念點（包括利用不同的脈絡），直到產生持久且可遷移的了解。林福來等人(1992)所提出診斷教學的原理如下：. (一)教學設計之前，不僅要分析欲教的解題方法，同時要詳細敘述學生自己發展的解題策略。. (二)教學設計要能凸顯學生自己發展的解題策略的侷限性，使欲教的解法有明顯的學習動機。. (三)教學活動次序的安排，並從多種解題策略中選取欲教的策略。原則上要盡量減低學生的工作記憶量。. (四)學習過程中，學生要有資源自我檢查自己的答案是否正確，即一般所謂的立即回饋原則。. (五)對於學生共同常犯的錯誤，教學設計務須使學生主動察覺自己錯了，亦即產生認知衝突。. 二、診斷教學的步驟. Onslow(1986)認為先找出學生的系統性錯誤，再針對這些錯誤進行教學，最後讓學生的認知得到重新調整。其內容主要涵蓋三部分： (1)開放性的活動( 2) 含有認知衝突的討論(3)提供穩故概念的練習。林福來(1999)提出診斷教學理論的實行步驟： 39.

(40) (1)學生所犯迷思概念的診斷(2)針對學生的迷思概念進行認知衝突(3)調整學生認知的教學。(引自李源順，民 90). Stavy 和 Tirosh (1999)透過直觀法則，以認知衝突的異例呈現教學，幫助學生克服 moreA－moreB 法則的影響。Stavy 和 Tirosh 給學生兩個集合｛1,2,3,4,…｝和｛1,4,9,16,…｝，問學生這兩個集合的元素一樣多嗎？. 10 到 12 年級的學生會按照 moreA－moreB 法則的直觀法則，認為｛1,2,3,4,…｝裡面的元素比較多，因為｛1,2,3,4,…｝包含了｛1,4,9,16,…｝中的所有元素。接著 Stavy 和 Tirosh 再呈現相同的問題，但是改寫了形式：｛1,2,3,4,…｝和｛ 12 , 2 2 , 32 , 4 2 ,…｝問學生這兩個集合裡的元素哪一個比較多？結果學生反映出兩個集合的元素一樣多。在這個例子裡，衝突使第一個問題的回答有了改善。張川木(民 85)認為能促進概念改變教學法有下列四種：. (一)搭橋類比法：可分成兩步驟第一步驟：尋找概念錨（conceptual anchor）：「概念錨」是指直覺上看起來可以被瞭解的正確事件。教學上可藉此「錨」當作一媒體引領學生達到待教的目標。第二步驟：搭橋（bridging）。基於前述學生無法將「概念錨」和「目標」間做一類比，是以需要尋找介於兩者間的情境來充當橋樑，使二者銜接起來，這種試圖建立「概念錨」和「目標」的類比關係稱做「搭橋」歷程。此策略輔以蘇格拉底對話法效果更加顯著。. (二)異例法：在教學上是希望藉由這種認知衝突的歷程，學生可以察覺其腦海內既有知識和正統知識之間存有某種程度的差異，藉此幫助學生重建其認知結構。共分三階段：第一階段：製造暴露事件（creation of an exposing event）。製造暴露事件就 40.

(41) 是呈現一工作（task）給學生，然後要求學生說出對此工作的想法和其背後的理由。第二階段：引入異例。異例的作用在充當一媒介物，促使學生察覺到個人偏好的概念和真正觀察到的現象之間的差異，使學生產生認知衝突。第三階段：調適期（accommodation）。當認知衝突產生後，教師應鼓勵學生找尋答案來解釋異例，以便調整學生原先偏好之另有概念，並進而接受正統的科學知識。. (三)電腦模擬由於電腦模擬是一種交互作用的媒體，藉由模擬作用的歷程，學生可以直接探究他們對事物的想法，電腦模擬可以顯示一事物在一理想世界中是如何運行，幫助學生區分日常生活知識和科學知識之間的差異。. (四)蘇格拉底對話法師生間的對話歷程，幫助學生覺知其推理歷程之不一致，幫助他重建原有知識結構。第一階段：引出及澄清概念（eliciting and clarifying）第二階段：示範並解釋情境（demonstrating and explain situatoins）第三階段：概念遭逢和調適（ideational confrontation and accommodation）江愛華(2003)針對小數迷思概念的診斷教學研究結果發現高分群的學生比較容易在課堂中產生認知衝突，而低分群的學生可能因為先備知識不足，而不容易產生認知衝突。所以在造成認知衝突時，應顧及學生是否有充足的先備知識可供對照比較，否則以其原本的認知很難憑空產生認知衝突。. 三、對本研究的啟示綜合以上針對診斷教學的探討，瞭解到若要改變學生錯誤概念，最好的策略就是設法利用認知衝突，讓學生產生認知上的失衡，再針對錯誤關鍵進行調整， 41.

(42) 使有學生修正自己錯誤的機會，才能達到概念改變的目的。因此針對學生在向量學習上發生錯誤的成因，多為由舊經驗不當類推所產生的，本研究在補救教學的設計上，先充分瞭解學生的迷思概念與成因，針對每一個迷思概念制訂補救教學目標。同時注意學生的先備知識，利用學生的迷思概念，設計引發認知衝突的問題，凸顯學生的錯誤關鍵，讓學生瞭解現有的概念是錯誤的，再進行概念的調整，使學生得到正確的概念。此外，由於本研究找出的學生錯誤成因，多因為舊經驗的負面影響，而使得新經驗與舊經驗產生混淆，例如向量大小記號與絕對值記號發生混淆，或是內積記號與數的乘法記號發生混淆…等情況，本研究針對像這樣混淆的情形，設計問題讓新舊經驗對照比較，讓學生討論其中的異同，增加學生對新概念的理解。. 42.

(43) 第三章研究方法本章共分為五節，第一節為「研究設計」，第二節為「研究對象」，第三節為「研究步驟與流程」，第四節為「研究工具」，第五節為「研究限制」。. 第一節研究設計本研究設計主要分成兩部分，第一部分為調查高二學生在向量概念與基本運算的主要錯誤類型與成因，並根據這些主要錯誤類型與原因，發展二階段評量試題，第二部分是根據學生的主要錯誤類型與成因，提出對應策略，設計補教教學活動，進行補救教學，探討實施成效。為了瞭解高二學生在學習向量概念與向量基本運算時有哪些主要的錯誤類型及成因，研究者藉由三次開放性試題「向量概念與基本運算測驗試題(一)~ (一)」(附錄一~附錄三)蒐集高二學生在學過向量單元之後有哪些錯誤表現，經由面談瞭解學生形成的錯誤原因，歸納分析出學生的主要錯誤類型，同時根據學生在開放性試題的答案編製成二階段評量「向量概念與基本運算二階段評量試題」(前測)(附錄四)，作為補救教學診斷安置學生錯誤類型之用，同時發展「向量概念與基本運算二階段評量試題」(後測)(附錄四)，作為評估補救教學成效之用。本研究設計的第二部分是針對學生主要錯誤類型與成因，分別提出有效的改善策略，設計補救教學活動。接著於學年結束的暑假，針對研究者授課的兩班高二社會組重修班共 71 名學生實際實施補救教學活動，並於補救教學實施後，依據學生在二階段試題的前測、後測、延後測各題答題正確率、答題正確率人數分佈情形及錯誤類型人數之變化，作相關統計的分析比較，探討補救教學成效。本研究探討補救成效之研究方法採單組前測─後測設計方式（王文科，. 2002），以補救教學活動為操作的實驗變項，以學生在二階評量中答對題數與錯誤類型的犯錯人數作為觀察之結果，有關之變項如下表所列：. 43.