學生在補救教學活動的後測、延後測結果分析

為了瞭解補救教學活動教學成效的保留情形，本節將針對高二社會組兩班 重修班71 名學生在「向量概念與基本運算二階段評量」後測、延後測的各題答 題正確率、答題正確率人數分佈情形及錯誤類型的變化作進一步探討。

ㄧ、參與補救教學的學生於後測、延後測各題答題分析

為了瞭解參與補救教學的學生在後測、延後測各題的答題情形，現將學生於 後測、延後測中各題的答題正確率列表並畫折線圖表示，以無母數檢定分析瞭解 後測、延後測各題答題的差異情形。表4-3-1 為後測、延後測的各題答題正確率 及答題差異情形；圖4-3-1 為後測、延後測的各題答題正確率折線圖：

表4-3-1 後測、延後測的各題答題正確率及答題差異情形 題號 後測答對率 延後測答對率 無母數檢定 p 值

1 81.7 80.1 1.000 2 85.9 90.1 0.453 3 97.2 97.2 1.000 4 87.3 78.9 0.180 5 88.7 78.9 0.650 6 87.3 84.5 0.791 7 95.8 91.6 0.453 8 87.3 84.5 0.727 9 87.3 83.1 0.375 10 85.9 84.5 1.000 11 76.1 77.5 1.000 12 93 87.3 0.125 13 62 60.6 1.000

圖4-3-1 後測、延後測的各題答題正確率折線圖

錯。第4 題下降比例 8.4%(6 人)，由學生在第 4 題後測和延後測答題情況得知 有1 人是後測答錯，而延後測答對，有 7 人是在後測答對，但延後測答錯。現 將這兩題答題情況分析如下：

(1) 第 5 題後測答錯，而延後測答對的 2 人，在後測時 1 人是勾選第一階段是否 的時候，勾選錯誤；另一人則由(B－1)三角形加法的和向量起點和終點位置 相反所引起的向量減法錯誤。

(2) 第 5 題在後測答對，但延後測答錯的 9 人，他們在延後測中有 6 人是由(B

－1)三角形加法的和向量起點和終點位置相反所引起的向量減法錯誤，有 3 人是由(B－2)選錯平行四邊形加法的對角線當成和向量所引起的減法錯 誤。但是這9 人中除了 1 人在延後測的安置中是犯有類型「B－1 在三角形 法兩向量相加時，把和向量的起點與終點位置寫相反。」的錯誤類型，其他 8 人均沒有在延後測的安置中犯有向量加法的錯誤類型。

(3) 第 4 題後測答錯，而延後測答對的 1 人，在後測時此人是認為把方向相反的 向量當成向量會有負值，且把向量大小記號當成絕對值，而延後測時則無此 情形。

(4) 第 4 題在後測答對，但延後測答錯的 7 人，此 7 人在延後測的答題情形中有 4 人是認為把方向相反的向量當成向量會有負值，且把向量大小記號當成絕 對值；另外3 人是認為向量記號可以表示向量的大小，且把向量大小記號當 成絕對值，但是這7 人中除了 1 人在延後測的安置中是同時犯有類型「A－

1 認為向量記號可以表示向量的大小」、「A－2 把相反方向的向量當成負值」

與「A－3 把向量大小記號當成絕對值」，1 人在延後測的安置中是犯有類型

「A－2 把相反方向的向量當成負值」與「A－3 把向量大小記號當成絕對 值」，其他5 人均沒有在延後測的安置中犯有向量加法的錯誤類型。

由(1)和(2)第 5 題的答題分析顯示學生在向量加法運算上，還不太穩定，偶而 有時仍然會在加法運算錯誤。由(3)和(4)第 4 題的答題分析顯示學生在向量記

形，以及有時仍會把向量大小記號當成絕對值記號。

38.5 46.2 53.8 61.5 69.2 76.9 84.6 92.3 100

後測人數

表4-3-4 延後測答題正確率比後測答題正確率下降之下降比率人數分佈表 下降比率(%) 人數

-7.69 27 -15.38 5 -30.77 1

表4-3-5 延後測答題正確率比後測答題正確率上升之上升比率人數分佈表 上升比率(%) 人數

7.69 13 15.38 1 23.08 1 由表 4-3-4 及表 4-3-5 可發現：

1.延後測答題正確率比後測答題正確率下降的人數有 33 人，而延後測答題正確 率比後測答題正確率上升的人數有15 人，另有 23 人在後測與延後測答題正確率 維持相同，整體而言有38 人在延後測答題正確率沒有下降，由此可見補救教學 活動具有一定程度的保留效果。

2.再整理分析延後測答題正確率比後測答題正確率下降的 33 人，將此 33 人在後 測正確，但延後測答錯的題目與人次列表，如表4-3-6。

表4-3-6 延後測答題正確率下降 33 人，在後測正確，但延後測答錯的題目與人 次表

題

號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 人

次 5 1 1 8 6 4 1 2 2 5 0 1 3 從表4-3-6 可知道這延後測答題正確率下降的 33 人，在後測正確，但延後測答 錯的題目發生較多人次的是第4 題、第 5 題、第 1 題和第 10 題。

三、參與補救教學的學生在後測、延後測錯誤類型分析

在第二節關於前測、後測的錯誤類型分析中，已明瞭參與補救教學的學生在 經過補救教學之後，主要錯誤類型的錯誤情形已有明顯的改善。現在，為了瞭解

補救教學活動對於改善學生主要錯誤類型的保留情形，研究者將參與補救教學的

定P 值小於 0.05，其餘 8 個類型的無母數檢定皆大於 0.05，表示這些類型的後測 與延後測犯錯人數差異不大，意味著補救教學在這8 個類型具有好的保留效果。

類型「C－3 認為兩組向量內積中，可以利用『向量大小』或『兩向量夾角』

其中一個條件的大小來判斷內積大小，或當向量大小和向量夾角都不相同時，則 無法比較內積的大小。」在後測有22 人，延後測有 27 人，表示經過補救教學後，

在後測與延後測犯有此錯誤類型人數仍然超過參與補救教學人數15%(含

15%)，故，以下針對類型 C－2 和類型 C－3 這兩個類型的補救教學成效分析於 下：

(一)類型 C－2 不了解向量夾角的定義

在後測中有9 人犯此錯誤類型，在延後測又增加為 18 人犯此錯誤類型。本 錯誤類型在延後測犯錯的18 人中，有 11 人是後測沒有犯此類型，而延後測有犯 此類型，這18 位人中，部分是因為沒看清楚題目是要找哪兩個向量的夾角而犯 錯(見下面訪談實錄 1)，大多數是在判斷向量夾角時，因為看到「夾角」兩個字，

又回到舊經驗的夾角概念，而忽略必須要將兩向量起點重合的步驟，但經過提醒 就會想起向量夾角的定義(見下面訪談實錄 2)。學生若未經過特別提醒，很容易 受圖形影響，使用舊經驗中的夾角概念，表示他們還是很容易對向量夾角的概念 和舊經驗夾角概念產生混淆，顯示本研究的補救教學對於學生在錯誤類型「不了 解向量夾角的定義」的保留效果不佳。

為何本研究的補救教學在「類型C－2 不了解向量夾角的定義」的保留效果 不佳？向量夾角的定義以龍騰版(許志農，民 96)為例：「將兩向量平移，使其始 點重合，此時他們的夾角θ(0°≦θ≦180°)」，這個定義內容和舊經驗兩邊的「夾 角」概念相比較，多了「使兩向量的起點重合」這個步驟，為此補救教學在向量 夾角的說法，特別做一個加強的動作：「兩向量起點放在同一點之後，那兩個向 量射出去的方向所形成的夾角，就是向量夾角。注意向量的夾角只有一個(0°≦

θ≦180°)。」教材設計示例如下圖4-3-3(參閱附錄八補救教學教材)圖中的虛線

圖4-3-3 以張開角的概念呈現「向量夾角」圖示

目的是要讓學生平移向量使起點重合後，以張開角的概念去理解「向量夾角 的定義」，但是由後測犯錯人數和延後測反錯人數差異很明顯來看，表示這個策 略未能發揮保留的效果。針對保留效果，研究者認為：

1. 教學活動進行中，研究者缺乏讓學生利用舊有的「夾角」概念和新概念「兩 向量夾角」聯結，教學時應可以在向量平移使起點重合在一起後，讓學生利用 舊經驗「夾角的『頂點』」讓學生聯結到新概念「兩向量重合在一起的『起點』」， 再加強兩向量方向所射出去的夾角，使學生能產生有意義的學習，應可改善本 類型保留效果不佳的情形。

2.教材設計未編製適量的練習題，加強學生平移向量使起點重合的概念。

檢視補教教材在向量夾角部分的練習題，有5 題練習題是學生只要畫出向 量圖形之後，不需平移就會符合兩向量射出去的方向張開角的典範圖形；但是 教材中只編了2 題必須要作平移向量使起點重合的題目，如果想改變學生因循 舊經驗的「夾角」概念，最需要的其實是這樣的練習。缺乏這類的練習，則容 易受圖形中所呈現向量方向的影響，反而勾起學生舊經驗的「夾角」概念，如 下圖4-3-4，看到圖形時就會形成直覺，忽略將兩向量的起點放在同一點，而 導致向量夾角的錯誤。研究者若能多編製5 題必需要平移向量使起點重合的題 目，也許能讓教學成效提高，也能讓保留效果提高。

B

A

C

a

b θ

圖 4-3-4 圖形中呈現向量方向的向量夾角圖形 與舊經驗兩邊的「夾角」圖形之比較

同樣地，檢視補救教學教材中，向量夾角之後的內積運算的教材內容，要 利用到向量夾角概念的練習題中，總共編了25 題合乎兩向量射出去的方向張 開角典範圖形的題目，但只編了2 題必須要作平移向量使起點重合的題目，顯 示教材設計未注意到在學習過程中，要適時地返回「平移向量使起點重合」的 概念，而未能讓新概念作持久穩固的遷移。

3.針對學生需經提醒才會想到「向量夾角」與舊經驗中兩邊的「夾角」不同的情 形，部分是因讀題目敘述時，會只注意到「兩向量的夾角」中的「夾角」一詞，

因而產生混淆。教師若能在教學進行時，請學生特別將「向量的夾角」用筆框 起來，以及作練習時特別將題目中的「向量的夾角」用筆框起來，也許可以讓 學生產生自我提醒的作用，而不需要透過教師提醒才會注意題目中問的是「向 量夾角」。

《訪談實錄1》

師：你這一題為什麼選(1)啊？

生：正三角形每個角都是60 度啊！

師：可是這一題是問向量的夾角耶！

生：對啊…喔…我看錯向量了。

師：那你知道這兩個向量的夾角是幾度？

A

B

C

受圖形中呈現出向量 方向影響學生理解向 量夾角的圖形。

舊經驗：兩邊的夾角概念圖示

生：我知道，要把向量的起點移到同一點上…是 120 度。

師：正確！

《訪談實錄2》

師：你這一題為什麼選(1)啊？

生：角ABC 是 60 度。

師：這兩個向量的夾角是角ABC 嗎？

生：向量夾角…啊！我想成夾角了。

生：向量夾角…啊！我想成夾角了。