檢討和建議

研究者在研究過程中，仍有許多疏失不足之處，現針對過程疏漏之處，提出 檢討改進之道，並根據研究成果，提供有關數學教學、教材設計與未來研究之建 議，作為教學或未來相關研究參考之用。

一、檢討：

(一) 對於研究方法的檢討：

1. 關於試題設計的檢討：

(1) 題目 1 的理由選項(1) A 點到 A 點並未移動，所以為零。和理由選項(2) AA 表示 A 點，無長度，所以一點為零。研究者原本是認為理由選項 (1)是認為一點的圖形表徵，讓學生覺得就是 0；理由選項(2)則是利用 向量概念中的「大小」為0，而認為 AA 為 0。雖然在預測時沒有學生 反應意思很接近，但在後測時有學生反應意思很像，而這兩個選項的 也都歸類為同一個錯誤類型「認為向量記號可以表示大小」，因此研究 者認為確時可以將這兩個選項合併，增加一個選項：「設A＝5，AA ＝ 5－5＝0。」這個選項也可診斷學生受到舊經驗在數線上一點代表一個 數值的負面影響，以及扭曲新經驗坐標向量表示法的規則「終點坐標 減起點坐標」雙重的影響。故題目1 可改為：

題目1： AA 是否等於 0？

□是 □否 我的理由是 ________

（1） AA 表示 A 點，並未移動，無長度，所以一點為零。

（2）因為 0 不是向量，所以 AA 應為 0 。

（3） AA 表示 A 點，沒有方向，所以為零。

（4）設 A＝5， AA ＝5－5＝0。

（5）其他理由：_______________________________________________

(2) 題目 4，原選項(1) 取絕對值結果都是正的，所以是一樣的。例如：設

AB ＝4， BC ＝2， AB + BC ＝｜4＋2｜＝6， AB + BC ＝｜

4｜＋｜2｜＝6 所以 AB + BC ＝ AB + BC 。

因為這個理由選項原來是將學生在開放性測驗的錯誤答案直接放進 來，學生的想法是將兩向量 AB 和 BC 都當成正數，而選項中關於學 生想法的敘述「取絕對值結果都是正的，所以是一樣的」，比較不能把 學生將向量記號當成正數，這樣的錯誤原因呈現出來，因此修正成：

(1)當 AB 和 BC 都是正數，則取絕對值結果相等。

例如：設 AB ＝4， BC ＝2，則 AB + BC ＝ AB + BC 。 2. 研究對象的檢討：

本研究的研究對象為高二暑期重修班的學生，由於重修班的性質很特 殊，學生修完課之後，又回到自己的班級上課，開學後，升上高三又是緊 鑼密鼓地準備升學考試，追蹤訪談非常不容易， 因此若能改以研究者自己 授課班級的學生來進行教學實驗，一方面學生和教師較為熟悉，一方面教 學實驗的時間也可較有彈性，應能對改善學生錯誤情形幫助更大。

3. 訪談的檢討：

本研究探討關於學生錯誤原因的部份，都必須透過訪談來蒐集資料，

由於研究者訪談經驗不足，以及在開放測驗和前測之後與學生訪談時間受 限於下課十分鐘的限制，有些訪談無法探詢到學生錯誤的真正原因。

在開放測驗以及前測之後，訪談學生關於類型「A－2 把方向相反的向 量當成向量會有負值。如： AB ， BA = − 。」的錯誤成因，當時由學生5 訪談中得知學生把方向向右的向量以正數表示，方向向左的向量以負數表 示，研究者認為是受數線向右為正，向左為負的影響。後來，由延後測犯 錯誤類型「C－3 認為兩組向量內積中，可以利用『向量大小』或『兩向量 夾角』其中一個條件的大小來判斷內積大小，或當向量大小和向量夾角都

可能是受國中、高一理化「作用力在位移方向的分力」的舊經驗的影響。

顯示研究者在探索學生回應答案的敏感度不夠，未能往學生舊經驗中深刻 地挖掘，以致疏忽了學生記號使用錯誤的另一根本原因。未來作研究時應 多瞭解學生的先備知識，才能以更客觀或多角度去發掘學生錯誤成因。

(二) 對於補救教學教材的檢討：

1. 關於利用方格紙的特性，讓學生能瞭解坐標向量表示法部分的教材，關於 x 分量與 y 分量的圖形表徵部分應做修正，原本教材是把 x 分量與 y 分量的 圖形表徵以箭號表示起點到終點的x 分量與 y 分量增加或減少，但這有可 能引發學生再度產生「以正負數表示向量記號」的錯誤，應改成沒有箭號 的圖形表徵，以免和向量的圖形表徵產生混淆。

例如：原教材如下：

若一個向量OA 以原點 O 當起點，終點 A 點落在座標平面上的點座標為(x,y)， 則向量OA 可記為(x,y)，其中x為向量 OA 的x分量，y 為向量 OA 的 y 分量。

例如：A 點的點座標為( 2 , 3 )，

則OA ＝( 2 , 3 )，x分量＝2，

y 分量＝3。以向量( 2 , 3 ) 就可以表示OA 的方向。

OA 的大小為 OA ＝ 2² +3² ＝ 13 。

應修正為：

若一個向量OA 以原點 O 當起點，終點 A 點落在座標平面上的點座標為(x,y)， 則向量OA 可記為(x,y)，其中x為向量 OA 的x分量，y 為向量 OA 的 y 分量。

例如：A 點的點座標為( 2 , 3 )，

A

O

x y

X 分量＝2 y 分量＝3

則OA ＝( 2 , 3 )，x分量＝2，

然後再讓投影量的圖形表徵和記號表徵 a ⋅cosα產生連結：

下圖中向量 a 在向量 b 方向上的投影量，可以記號______________來表達。

若能利用這樣有順序步驟去建立表徵連結的題目，應能改善學生投 影量的記號表徵 a ⋅cosα 和投影量圖形表徵產生連結的情形。

(2)原本研究者為了避免學生對餘弦函數的恐懼而放棄學習，補救教學設計 特意採用方格紙，只需要畫出投影量，利用方格紙的特性找出投影量的 值，就可利用投影量與內積的關係計算出內積值來，可能對這些學生產 生了反效果，因為教材設計大多是採用方格紙，讓對餘弦函數不瞭解的 人，只要在方格紙上數方格數量，就可計算內積，或是由坐標向量內積 公式去計算內積，結果造成這些學生仍然無法讓投影量的圖形表徵和記 號表徵 a ⋅cosα產生連結。因此，補救教學教材的練習題若能增加像 下面的問題，也就是在附有方格紙的練習題上都追加一些讓學生必須用 記號表達投影量的小題，應有可能改善這些學生投影量的記號表徵

cos

a ⋅ α和投影量圖形表徵未產生連結的情形。

α a

b

α a b

A

B

?

(1)~(2)是題組：

(1)先畫出 BC 在 BA 上的投影量，並以記號______________來表示。

(2) BC BAi

＝(_____________)⋅(_________________) (以投影量的方式用文字表示)

＝(_____________)⋅(_________________) (用記號表示)

＝(_________)⋅(__________)＝(_________) (用數值計算)

(3)~(5)是題組：

(3)同此圖中兩向量，畫出 BA 在 BC 上的投影量，並以記號_________來表示。

(4)先利用方格紙找出該夾角的餘弦函數值 cos(___)＝__________

(5) BC BAi

＝(_____________)⋅(_________________) (以投影量的方式用文字表示)

＝(_____________)⋅(_________________) (用記號表示)

＝(_________)⋅(__________)＝(_________) (用數值計算)

(3)在向量內積的教材設計，應再增加單一概念單一步驟的練習題，讓學生 不依賴方格紙，去練習新記號與新概念的機會。例如：「 a 的長度為 5，

b 的長度為 3，兩向量夾角為 30°，求 a bi 之值。」這類的練習。因為 舊經驗數值乘法對學生的影響深遠，所以只有透過讓學生多使用內積運 算，才可能在短時間內降低舊經驗的負面影響。此外多增加對照比較的 機會，也可避免讓學生再度返回將 a bi 視為 a b 的情形。

A

B C

(三) 教學過程的檢討：

1. 由於暑期重修班學生來自於不同的班級，同學之間不熟悉，研究者與同學 也不熟悉。在此情形下，研究者除了盡力鼓勵學生之外，還必須不時注意 同學的眼神。只要學生的眼神中顯示可能有答案，就走到他的身邊，以鼓 勵、加分等等方式為誘因，請他發表想法，再轉述給全體同學聽，或把想 法寫在黑板上。這樣的做法，確實讓課堂漸漸有了討論的氣氛，雖然學生 們仍不太敢舉手表達，但已經能聽到台下有答案的聲音傳來，聽到有些人 會輕聲和周圍的人展開討論，此時研究者會走到討論群的周圍，聽聽學生 的想法，然後再將學生們的想法轉述給全班，再繼續逐一分析討論。因此，

如果能在補救教學一開始時，讓學生自行分組，可能會有彼此較熟悉的同 學同在一組，也許能較快進入討論氣氛，增進教學效果。

2.教學過程未注意有效地利用舊經驗的關鍵概念，讓學生產生正向學習遷移：

a.在進行「兩向量夾角」教學活動時，研究者忽略讓學生利用舊「夾角」

概念和新概念「兩向量夾角」產生聯結的關鍵，就是教學時可以在向量 平移使起點重合在同一點時，讓學生將舊經驗「夾角的『頂點』」聯結 到新概念「兩向量重合在一起的『起點』」，再加強兩向量方向所射出去 的夾角，使學生產生有意義的學習，應可改善類型「C－2 不了解向量 夾角的定義」保留效果不佳的情形。

b.補救教學要利用舊經驗時，必須要注意學生舊經驗中哪個部分是聯結新 概念的關鍵。補救教學在投影量的教學上，是利用「竹竿被太陽照射在 地面上的影子」類比到「向量 a 在向量 b 方向上的投影量」，而投影量 的圖形與記號表徵 a cosθ 的教學，應該要注意的就是「影子長應是竹 竿長的某個倍數關係，所以影子長要利用竹竿長來表達」教學的過程中 未能把握住--「要用竹竿長來表達影子長」--這個讓學生圖形表徵與記

號表徵聯結的關鍵概念。

c. 補救教學在內積的教學上，未能把握住「有效分力是由作用力決定」的 關鍵概念，所以要表達有效分力，就像「影子長＝竹竿長^⋅(某倍數)」一 樣，要利用「作用力」去表達「在位移方向上的『有效分力』」，補救教 學少了這段搭橋動作，因而未能協助部分學生建立有效分力的圖形表徵 與記號表徵間產生聯結，也因此無法讓投影量的圖形表徵與記號表徵間 產生聯結而造成投影量與內積定義間的聯結無效。

d.補救教學時應該把握將舊經驗中的記號修改成數學上正確記號的關鍵 時刻，例如：舊經驗作正功W= f ⋅ ，其中的 f 是有效分力 f 的大小，s 將f 轉譯成向量大小，讓學生改成 W= f ⋅ s 。教師在教學時應把握 機會請學生釐清理化的符號系統和數學的符號系統的差異，最關鍵的差 異就是理化的「力」使用的記號是 f ，「力的大小」就用 f 來表示，但 是數學在向量記號的使用上並不如此，例如：向量 a 的大小就不會使用 記號a 來表示，而是使用向量大小記號 a 來表示。因為這樣可避免學 生有長度大小為2 的向量，就以為其向量記號為 2 的錯誤情形。

3.在補救教學進行時，發現部分學生搞不清楚為什麼鈍角時的餘弦函數值為 負值，以及不瞭解為什麼兩向量夾角為鈍角時的投影量為負值，研究者對 這些學生針對廣義三角函數的定義，做補救教學。當時是重講一次廣義三

3.在補救教學進行時，發現部分學生搞不清楚為什麼鈍角時的餘弦函數值為 負值，以及不瞭解為什麼兩向量夾角為鈍角時的投影量為負值，研究者對 這些學生針對廣義三角函數的定義，做補救教學。當時是重講一次廣義三