第四章 研究結果之分析與探討
第一節 高中生在向量概念學習上主要錯誤類型及其成因分析 研究者利用第二次開放性試題和第三次開放性試題，針對 59 名高二社會組
學生答題錯誤情形，進行分析、歸納，整理出學生在向量概念與運算上的錯誤類 型有十三種，分述於下：
A. 向量記號使用概念的錯誤
1.認為向量記號可以表示向量的大小。如： AB = 或 a ＝2。 5 2.把相反方向的向量當成負值。如： AB = ，5 BA = − 。 5 3.把向量大小記號當成絕對值記號。
4.認為兩向量平行就是兩向量方向相同。
B. 向量加減運算概念的錯誤
1.在三角形法兩向量相加時，把和向量的起點與終點位置寫相反。
2.在平行四邊形法兩向量相加時，使用錯誤的對角線表示它的和向量。
3.認為向量記號相加或相減就是長度相加或相減。
4.認為向量相加的過程和結果，長度相加也有一樣的過程和結果。
5.只在等號的一邊乘上一數去分母的錯誤。
C. 向量內積運算概念的錯誤
1.認為向量的內積運算符號就是數的乘法運算符號 2.不了解向量夾角的定義。
3.誤把內積記號當成加號。
4.認為兩組向量內積中，可以利用「向量大小」或「兩向量夾角」其中一個
條件的大小來判斷內積大小，或當向量大小和向量夾角都不相同時，則無法 比較內積的大小
以上每一個錯誤類型在「向量概念與基本運算二階段評量」中，會有幾個 不同的選項呈現該類型的錯誤表現，若一個學生有選到某一錯誤類型的50%以上 (包含 50%)的選項，我們就認定該生有犯有此一錯誤類型。若某一類型，犯此類 錯誤類型之人數達施測人數的15%以上(包含 15%)，即認定該錯誤類型為本研究 之主要錯誤類型。研究者將學生在開放性試題答題情形與第一次預試結果進行比 較，發現第A 類之 4「認為兩向量平行就是兩向量方向相同」、第 B 類之 2「認 為在平行四邊形法兩向量相加時，使用錯誤的對角線表示它的和向量」、第B 類 之4「認為向量相加的過程和結果，長度相加也有一樣的過程和結果」、第 B 類 之5「 只在等號的一邊乘上一數去分母的錯誤」以及第 C 類之 3「誤把內積記 號當成加號」這五個錯誤類型的學生犯錯情形，在第一次預試時未達施測人數的 15%以上，故不列入本研究的主要錯誤類型。但是因為其中第 B 類之 2「認為在 平行四邊形法兩向量相加時，使用錯誤的對角線表示它的和向量」在本研究針對 高二社會組暑期重修班學生施測時，有超過前測施測人數的15%以上(包含 15%)，仍列為本研究之主要錯誤類型之一。因此，本研究所指學生在向量概念 學習上的主要錯誤類型有以下九種：
A.向量記號使用概念的錯誤
A－1 認為向量記號可以表示向量的大小。如： AB = 或 a ＝2。 5 A－2 把相反方向的向量當成負值。如： AB = ，5 BA = − 。 5 A－3 把向量大小記號當成絕對值記號。
B.向量加減運算概念的錯誤
B－1 在三角形法兩向量相加時，把和向量的起點與終點位置寫相反。
B－2 在平行四邊形法兩向量相加時，使用錯誤的對角線表示它的和向 量。
C.向量內積概念的錯誤
C－1 認為向量的內積運算符號就是數的乘法運算符號 C－2 不了解向量夾角的定義。
C－3 認為兩組向量內積中，可以利用「向量大小」或「兩向量夾角」其中一 個條件的大小來判斷內積大小，或當向量大小和向量夾角都不相同時，則無 法比較內積的大小。
現將各主要錯誤類型之學生錯誤成因分述如下：
類型 A－1 認為向量記號可以表示向量的大小。如： AB = 或 a ＝2。 5
在「向量概念與基本運算二階段評量」前測統計結果有 41 人犯此錯誤類型。
此類型的成因為：
1.因為受到向量「是『同時』具有大小和方向的量」，與舊經驗線段記號『同時』
表示線段本身及線段的長度的影響。認為向量記號好像線段記號一樣，也可以 同時表示長度大小和向量本身。
2.受到向量概念--「向量是『同時』具有大小和方向的量」，認為向量記號表示長 度大小，而向量記號「 AB 」上面的箭頭則表示向量的方向。
3.因為零向量的幾何表徵為一點，學生無法感受到方向或因為無長度，而認為一 點為零，但是知道記號 0 是零向量，而不知道記法「 0 」的圖形表徵是一點。
也就是對於記號 AA 和記號0 沒有連繫在一起。
《訪談實例A－1－1》 (學生編號 30821)
師：你為什麼寫向量AB 等於 2？(師在紙上寫 AB ＝2) 生：因為這個向量的長度是2。
師：這個記號（手指著紙上的 AB ＝2）為甚麼讓妳覺得是表示向量的長度？
(師在紙上畫出向量 AB 的圖形表徵 )
生：(手指在向量 AB 的圖形表徵從 A 比到 B)向量不是同時具有大小和方向的量 嗎？這個記號不就是指這個向量。
師：那長度呢？
生：就是向量AB 等於 2 啊！(手指著紙上寫 AB ＝2)
師：妳的意思是不是說向量AB 的定義是同時具有大小和方向的量，所以這個記 號向量AB(手指著紙上的 AB ＝2)就是指這一個畫出來的向量(手指著向量
AB 的圖形表徵)，同時這個記號向量 AB(手指著紙上的 AB ＝2)也能表示 它的長度？
生：對。
師：為什麼妳會認為這個記號向量AB(手指著紙上的 AB ＝2)同時表示這個向量 (手指著向量 AB 的圖形表徵)，又同時用這個記號(手指著紙上的 AB ＝2)表示長 度？
生：老師，線段不是就是這樣嗎？(生在紙上寫線段 AB )
師：(在紙上畫出線段 AB 的圖形表徵 )妳是說線段
AB(手指著在紙上的線段 AB )是表示這個線段又同時表示這個線段的長 度。
生：對啊！
師：那妳看過這個記號嗎？(師在紙上寫 AB ) 生：有啊！
師：那記號是甚麼意思？
A
B
A
B
生：加絕對值是表示距離。
師：甚麼距離？
生：表示A 點到 B 點的距離？
師：那這個記號(手指著紙上的 AB )和向量 AB 等於 2(手指著紙上的 AB ＝2) 意思一樣囉！
生：嗯，一樣。
師：為什麼還要用這記號(手指著紙上的 AB )表示一樣的意義？
生：這個是多加的吧!
師：甚麼意思，為什麼妳覺得這個(手指著紙上的 AB )是多加的？
生：因為我們也可以這樣寫啊！(生在紙上寫 AB ＝ AB )
師：那妳認為這個等於這個嗎？(師在紙上寫 AB ＝ AB ) 生：嗯…好像可以又好像不行…
《訪談實錄A－1－2》 (學生編號 21431)
師：現在我問你像這樣(在紙上畫出向量 AB 和向量 AC 在一直線上，方向相反)
向量 AB 的長度為 2，就寫成 AB ＝2，向量 AC 的長度為 3，方向和向量 AB 相反，你會怎麼寫？
生：嗯， AB ＝3。
師：為什麼不是 AB ＝－3？(在紙上寫 AB ＝－3) 生：是這樣寫喔？那我有一題就選錯了。
師：不是啦！能不能這樣寫？
C A B
3 2
師：為什麼？
生：因為長度那有負的？
師：所以你的 AC ＝3 是表示長度是 3？
生：對。
師：耶！那你不是說向量是同時具有大小和方向的量嗎？那方向呢？怎麼告訴人 家向量 AC 的方向？
生：上面的箭頭就表示方向了啊！(手指著 AC 上的箭頭，再用手比圖中 A 到 C 的方向)
《訪談實錄A－1－3》 (學生編號 30809)
師：你知道這是甚麼？(教師在紙上寫出 AA ，問學生) 生：向量。
師：甚麼向量？
生：AA 向量。
師：那你為甚麼寫，「因為一點，沒有長度，所以是0」？(師手指出該生在開放 測驗所寫的答案)
生：對啊！從A 點到 A 點就是一點啊！所以是零。
師：好，那你看過這個記號嗎？(在紙上寫記號 0 ) 生：零向量。
師：很好，那AA 向量( AA )和這個零向量( 0 )有沒有關係？
生：好像一樣。ㄟ！好像不一樣…不一樣啦！
師：真的！趕快告訴我，甚麼不一樣？
生：那個AA 向量( AA )是一點，一點是零。這個零向量( 0 )不是一點。
師：妳說『一點是零』是這個0 嗎(師在紙上寫 0) 生：對！
師：那AA 向量( AA )不是向量，而是 0 囉!
生：嗯…對！
師：為什麼要用向量記號(手指著 AA 上面的箭號)。
生：就是要說那是A 點，A 點到 A 點。
師：那零向量( 0 )的圖形是不是一點？(手指著紙上的 0 ) 生：不是吧！它好像沒有圖形ㄟ！
師：那它(手指著紙上的 0 )是甚麼？
生：不知道ㄟ！好像零加a 等於 a。(在紙上寫 0 ＋ a ＝ a ) 師：為什麼零向量( 0 )會這樣？
生：好像它是向量裡面的零啊！
類型 A－2 把相反方向的向量當成負值，如： AB = ，5 BA = − 。 5
在「向量概念與基本運算二階段評量」前測統計結果有 60 人犯此錯誤類型。
此錯誤類型的成因為：
1. 受反向量概念影響，即 AB 的反向量記為「 BA ＝－ AB 」，因為反向量前面 的負號，再加上向量記號與線段記號的錯誤連結，而有如果 AB ＝5，則 BA ＝
－5 之錯誤表示法，導致以向量記號表示正負數。
2.受到舊經驗中數線上正負號表示相反方向，與新概念向量概念中向量具有方向 的影響，而認為方向向右的向量，以向量記號記為正數，方向向左的，以向量 記號記為負數，產生以正負數值表示向量記號的情形。
《訪談實錄A－2－1》 (學生編號 30815) 師：為什麼妳寫『向量有正負』？
生：因為向量有方向啊！
師：為什麼有方向就有正負？
生：因為 AB 和 CD 方向相反。
師：哪怎麼看妳寫的 AB ＝5 或－5？
生：如果 AB ＝5，那 CD ＝－1；如果 AB ＝－5，那 CD ＝1。
《訪談實錄A－2－2》 (學生編號 30816) 生：老師，不是向右為正，向左為負嗎？
師：哪這跟向量有什麼關係？
生：所以向右的向量就是正啊！向左的向量就是負啊！
師：那這不是向右也不是向左呢？(師在紙上畫出兩個不是向右也不是向左的向 量)
師：那這兩個向量還有正負數可以表示嗎？
生：……嗯！好像不行。
類型 A－3 把向量大小記號當成絕對值記號。
在「向量概念與基本運算二階段評量」前測統計結果有62 人犯錯誤類型「把 向量大小記號當成絕對值記號。」
此錯誤類型成因為：
1.因為向量大小記號像絕對值記號，而把向量大小記號當成絕對值記號。
2.因為教師在授課時將向量大小記號讀成「絕對值」或「像絕對值的記號」，而 讓學生把這個記號當成絕對值記號。
3.因為受舊經驗中有去絕對值的影響，類推到向量大小記號上，也當成去絕對值 符號。如： b = c ，去絕對值得 b ＝ c 。
A
B
C D
4.因為機械式背誦公式，只要看到絕對值就要平方，又因為只背公式的方式為「絕 對值平方＝ a 2+2 a bi + b 2」而沒有判斷此時是在處理 a bi ，並非
a + b 。甚至有學生連看到 a 都第一件事都只想到要平方，因為教師在課 堂上做解題教學時，常強調見到「向量絕對值就要平方」之故。
《訪談實錄A－3－1》 (學生編號 30809)
師：妳寫這個是取絕對值？(手指著該生在開放性試題的答案 AB + BC ＝ 5+ −
( )
3 ＝2 )生：對啊！這個不是絕對值嗎？(手指著 AB + BC 上像絕對值的兩槓。) 師：為什麼？
生：這不是絕對值嗎？
師：為什麼妳認為這是絕對值記號？
生：因為絕對值就是這樣啊！(手指著 AB + BC 上像絕對值的兩槓。)
《訪談實錄 A－3－2》 (下課的閒聊)
研究者：你知道，我問了好幾個你們班的學生，把這個向量長度(大小)記號讀做 絕對值ㄝ！
A 教師：啊！哪可能是因為我在上課時有說這個是「像絕對值」的記號的關係吧 吧！
B 教師：我也是啊！我都給它讀做絕對值 AB( AB )ㄟ！那不然勒！那要怎麼 讀？
研究者：書上是寫『像量大小，以記號 AB 』表示。
研究者：我現在是給它改讀做向量AB 的長度記號( AB )。
A 教師：啊！那這樣也比較好一點。
B 教師：那我們以後就這樣讀好了。
《訪談實錄 A－3－4》 (學生編號 30806)
師：妳為什麼寫這樣？(手指著學生的答案 a bi 2＝ a 2+2a bi + b 2) 生：啊！不小心寫錯了！
師：妳為什麼寫這樣？(手指著學生的答案 a bi 2＝ a 2+2a bi + b 2) 生：啊！不小心寫錯了！