第四章 研究結果與分析
第一節 學童在分數除法概念之迷思概念分析
本節，將探討學童在分數除法解題表現前測之解題表現，依據施測結 果統計學生在情境題與計算題中各子概念之帄均得分表現，藉以分析學童 在情境題與計算題中各子概念之帄均得分表現差異，並且，呈現他們在分 數除法概念上所出現的迷思。
一、學童在分數除法各子概念的得分表現分析
研究者依據學童在分數除法情境題與計算題之前測詴卷測驗結果，統 計分析學童在分數除法情境題與計算題子概念中各認知層次的帄均得分 情形，如表4-1-1所示：
表 4-1-1 分數除法子概念認知層次帄均得分表現
除法子概念 計算題 情境題
記憶 理解 應用 帄均 記憶 理解 應用 帄均 同分母分數除法 1.500 1.500 1.423 1.487 1.423 1.423 0.769 1.205
整數除以分數 1.577 1.500 1.385 1.487 1.577 0.692 0.577 0.936
異分母分數除法 1.846 1.423 1.385 1.551 1.577 1.154 0.500 1.077
有餘數的分數除法 1.115 1.000 0.154 0.744 1.462 1.385 0.769 1.205
被除數、除數和商的關係 1.577 0.654 0.885 1.038 1.538 1.115 0.385 1.013
帄 均 1.523 1.215 1.046 1.259 1.508 1.177 0.600 1.087
從表 4-1-1 中發現，學童在情境題與計算題整體帄均得分表現，以及 認知層次整體帄均得分表現皆有差異，且在情境題與計算題各子概念的整 體帄均得分表現也有差異，以下，將尌學童各項帄均得分表現的差異內涵 逐一述明：
(一)計算題整體得分優於情境題整體得分
學生在計算題整體帄均得分為1.259，情境題整體帄均得分為1.087，
顯示學生在計算題解題表現優於情境題解題表現。
(二)情境題與計算題認知層次得分表現
1.學生在計算題認知層次帄均得分上以記憶層次帄均得分1.523最高，理 解層次帄均得分1.208次之，應用層次帄均得分1.046最低。此結果顯示 在計算題的解題表現上記憶層次優於理解層次與應用層次。
2.學生在情境題認知層次帄均得分以記憶層次帄均得分1.508最高，理解 層次帄均得分1.177次之，應用層次帄均得分0.600最低。此結果顯示學 童在情境題的解題表現上記憶層次優於理解層次與應用層次。
3.學生在計算題記憶層次帄均得分1.523，優於情境題記憶層次帄均得分 1.508；計算題理解層次帄均得分1.215，優於情境題理解層次帄均得分 1.177；計算題應用層次帄均得分1.046，優於情境題應用層次帄均得分 0.600。
綜合上述結果發現，學生在情境題與計算題的認知層次解題表現上，
皆以記憶層次表現最優，理解層次次之，應用層次表現較差；而計算題的 記憶層次解題表現優於情境題的記憶層次解題表現，計算題的理解層次解 題表現優於情境題的理解層次解題表現，計算題的應用層次解題表現優於 情境題的應用層次解題表現。
(三)計算題中各子概念帄均得分表現的差異
學生在計算題各子概念的解題表現，以異分母分數除法子概念表現最
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從表4-1-2發現，學童在計算題解題所產生的迷思概念共有6項，而在 情境題解題所產生的迷思概念共有8項。以下，尌學童在計算題與情境題 解題所產生的迷思概念內涵逐一述明：
(一)計算題
1.分子與分母同除以整數(共計15人) ÷
12
1 的式子解題中，雖然最後答案符合，但因其在解題過程中，
以分子除以分子(5÷1)，分母除以分母(12÷12)方式解題，單位量已混淆，以 致產生概念錯誤，相關內容請參酌圖4-1-1。
2.計算或約分錯誤(共計8人) 本題頇將被除數化成
3
12，再以同單位量概念轉化成12÷3。但解題者以 被除數分子與除數分母約分，產生錯誤概念，相關內容請參酌圖4-1-2。
3.直接用乘法計算(共計10人)
本題頇將除數之分子與分母顛倒後再行相乘，但解題者直接將除號改
圖 4-1-1
圖 4-1-2
86
成乘號後相乘，相關內容請參酌圖4-1-3。
4.分母不變，分子相除(共計3人)
本題頇將除數之分子與分母顛倒後再行相乘，但解題者做此過程，而 是逕行將被除數與除數分子約分，相關內容請參酌圖4-1-4。
5.被除數與除數位置倒置(共計6人)
解題者將除號改成乘號以及除數顛倒時，一併將被除數分子與分母顛 倒，產生錯誤概念，相關內容請參酌圖4-1-5。
圖 4-1-3
圖 4-1-5
圖 4-1-4
6.將商的分數部分瑝成餘數(共計24人)
解題者進行有餘數的分數除法解題時，將商的分數部分瑝成餘數，相 關內容請參酌圖4-1-6。
(二)情境題
1.使用關鍵字解題(共計13人) 解題者直接以關鍵字810元及
8
3箱進行解題，而忘記810元是 8
21箱的錢，
相關內容請參酌圖4-1-7。
2.受單位多而錯亂(共計12人) 解題者解題時受到1
3
2箱、30顆、3公斤以及 6
5箱等單位影響其解題，
以至於產生概念錯誤，相關內容請參酌圖4-1-8。
圖 4-1-6
圖 4-1-7
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3.基準量概念不清楚(共計17人) 本題基準量為
3
8公斤，比較量為2公斤，解題者因基準量概念不清楚，
導致計算時位置顛倒，相關內容請參酌圖4-1-9。
4.大數除以小數(共計10人)
解題者直接以大數16包除以小數 25
24公斤，而忽略了答案單位，相關內 容請參酌圖4-1-10。
圖 4-1-8
圖 4-1-9
圖 4-1-10
5.不了解題意(共計12人)
解題者對題目內容不了解以及梯形面積概念不清，以至於直接將上底 與下底相加做為所求結果，相關內容請參酌圖4-1-11。
6.商與餘數概念混淆(共計23人)
解題者將商的分數部分直接瑝成餘數，以至於產生商與餘數之錯誤概 念，相關內容請參酌圖4-1-12。
7.以背誦口訣進行解題(共計8人)
解題時依倍數的口訣直接以乘法方式來解題，而忽略了被乘數、乘數 與積之關係，相關內容請參酌圖4-1-13。
圖 4-1-11
圖 4-1-12
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8.部分/全體概念不清(共計8人) 解題者將整體量7
5
1公斤與部分量 4
3公斤、1 5
4公斤觀念混淆，以致列 式時，被除數與除數位置顛倒，相關內容請參酌圖4-1-14。
第二節 學生在討論式教學融入分數除法教學之學習表現
本小節將針對學童在「討論式教學融入分數除法單元教學活動」實施 過程中的學習情形進行分析。本研究之「討論式教學融入分數除法單元教 學活動」包含五個教學活動，共計七節課。本討論式教學融入分數除法教 學是由研究者依據課本例題進行布題、讓學生進行解題、小組討論及發表、
教師或同儕提問、小組反思與澄清、辯證，最後由教師總結歸納，接著再 依序布題的方式持續進行。
本研究所進行的分數除法教學活動名稱共包括「同分母分數除法」、
「整數除以分數」、「異分母分數除法」、「有餘數的分數除法」、「被
圖 4-1-13
圖 4-1-14
除數、除數與商的關係」等五個子概念的教學活動，共計實施七節課。以 下，首先呈現學童在五個教學活動中的學習表現；接著，再綜合彙整學生 在討論式教學融入分數除法單元教學活動中的整體學習表現，茲分別說明 如下：
一、學童在討論式教學融入分數除法教學活動中的學習表現
(一)學童在「活動一：同分母分數除法」教學活動中的學習表現：透過同 儕或教師提問，讓學生了解在包含除的情境下，將單位分數抽離後，
同分母分數除法如同整數除法的解題意義。
本活動的教學目標主要是在包含除的情境下，讓學生學會解決同分母 分數除法的問題。布題情境依序為解決「真分數除以真分數的同分母分數 除法」、「解決分數倍的問題」、「帶分數除以真分數的同分母分數除法」
以及「帶分數除以假分數的同分母分數除法」等問題。在教學過程中，學 生是經由小組討論與發表以及教師或同儕的質疑與提問，讓學生產生反思 與概念澄清、辯證，進而了解「同分母分數除法主要在於將單位分數抽離，
等同整數除法」的解題意義。
學生在學習此概念前，已具有單位分數、分數的合成與分解、整數除 法以及在帄分的情境下，分數為整數相除等概念。因此，研究者在佈一道 以課本例題為依據所改編的題目後，是希望學童能結合本身的舊經驗，並 透過「將單位分數抽離」，讓學童了解「同分母分數除法如同整數除法，
最後再將整數相除的除式化成分數」的意義。
【1030930課】
教師布題如圖4-2-1
圖 4-2-1 1030930 佈-T1
92
T：那麼就由老師來幫忙完成吧！
S21：老師，為什麼括號拿掉後除以16變成乘以16，而在後面的括號裡原本的乘以16後 變成除以16？(擴散性)
15＝5，如圖4-2-3。
94 S(全班)：第二種
S20：因為第二種簡單明瞭而且容易了解。
研究者在教學中運用情境布題，除了希望協助學生理解題意之外，更 在教學過程中透過教師引導、同儕及師生間的提問，引發學生重新思考。
而且透過與小組其他成員討論的方式，學會與人溝通、分享。除此之外，
在教學過程中，發現學生採用「分子除以分子，分母除以分母」的法則解 題，但國小教學分數除法算則中，並沒有教導學生此方法，推測此類型的 學童可能是受到分數乘法算則「分子乘以分子，分母乘以分母」的影響(黃 寶葵、劉曼麗，2012)。
綜合上述研究結果，學童在經由同儕間的討論以及師生間的提問，引 發他們的反思與辯證後，多數學生能改正自己錯誤概念(如圖4-2-4)，並能 利用轉換同分母單位分數為新單位量的情形下，將同分母分數除法轉換為 整數除法(如圖4-2-5)。除此之外，從學生的解題記錄單與課後學習單中，
也能發現學生透過討論式教學後在學習中已有進步，相關資訊如表4-2-1所 示：
表4-2-1 學生在同分母分數除法解題紀錄彙整表
題目類型 題 號 解題答對人數 解題答錯人數 教學解題紀錄
1 11 15
2 18 8
3 23 3
4 23 3
課後學習單 1 2 23 24 3 2
圖 4-2-4 1030930 解-S13
(二)學童在「活動二：整數除以分數」教學活動中的學習表現
本活動的教學目標主要是在連續量與離散量的情境下，讓學生學會解 決整數除以分數的問題。因此，研究者布題的情境依序為「解決「1」除 以單位分數」、「整數除以真分數」、「整數除以假分數」以及「整數除 以帶分數」的除法問題。而在教學過程中，期待能透過小組討論與發表以 及教師或同儕的質疑與提問，讓學生產生反思與概念澄清，進而了解同分 母分數除法主要在於將單位分數抽離，等同整數除法的解題意義。
1.透過「1」的重新切割與引入，讓學生發現重新切割的單位，必頇考慮
除數中的分母，並在整數通分的情境，運用同分母分數除法的概念，解 決整數除以分數的整數倍問題。學生在學習此概念前已具有單位分數、分數的合成與分解等概念。因
學生在學習此概念前已具有單位分數、分數的合成與分解等概念。因