第二章 文獻探討
第四節 分數除法的相關研究
分數概念因具有多種不同的情境與意義，而不同的意義所使用的認知 結構也會有所不同，因此，學童必頇花費一段時間來發展其分數相關概念。
而其中「分數除法」又是學生學習上最為困擾的單元(呂玉琴，1991)。
過去，國、內外研究均發現，許多教師在「分數除法」教學上，大都以背 誦「除數顛倒－相乘」的規則來處理分數除以分數的運算。但這樣的教學 方式往往只能讓學生熟悉計算流程，學童只會解決分數除法的運算問題，
但不一定了解分數除法的意義（湯錦雲，2002；黃寶葵、劉曼麗，2012）。
許璋銜(2009)的研究發現，大部分六年級學生都能正確計算分數除法 的運算問題，但無法合理解釋計算過程與結果，其中，在「除數為分數」
的解釋上，學生僅能運用「除以分數尌是乘以倒數」的口訣來解釋，顯示 學生對於分數除法的理解，僅止於記憶法則理解，而非有意義的學習(莊 珮菁，2012)。由此可見，學生在「分數除法」學習上是有困難的(罕驕蘭，
2005；蔡典安，2013)。
由於本研究是運用討論式教學模式於「分數除法」單元教學，因此，
本文將尌「分數除法」教學的相關文獻進行探討：
一、分數除法的學習
過去，有許多相關研究探討如何增進學童對「分數除法」概念的理解 (李源順、胡蕙芬，2005；呂慧君，2008；周成美，2006；邱盛浩，2012；
莊于萱，2010；陳俊良，2011；黃彥穎，2009；黃麗寶，2009；楊雅芬，
2007；劉禎芸，2011；蔡典安，2013；蘇家成，2010； Aksu,1997；
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Warrington,1997)整理如表2-4-1：
表2-4-1 「分數除法」相關學習與教學實徵研究
Warrington (1997)
探討使用 AMA（Activate Mind Attention）瑝中的激 發式動態呈現（Trigger-based Animation，TA）所設 計的教學內容對國小六年級分數除法之教學成效，研究
擬出具體的補救教學處理策略，並建議教師教授「分數
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綜合上述文獻發現，課堂中的活動可分為佈題與教學，而教師在佈題 前，頇先了解學生的先備知識，並以學生所具備之先備知識與經驗來佈題 (楊雅芬，2007)，佈題的內容則以學生所熟悉之生活情境為主(莊于瑄，
2009)，佈題類型則應兼顧程序性知識、概念性知識及解題性知識，並依 序佈題，層層而上(李源順、胡蕙芬，2005；劉禎芸，2011；蘇家成，2010)。
此外，在教學過程中，為引發學生學習動機及學習專注力，教師多以「口 語」、「符號」、「圖像」、「圖示」、「可操作模型」等表徵融入解題 活動的方式進行教學(李源順、胡蕙芬，2005；黃麗寶，2009；蘇家成，
2010)，透過小組討論、發表發展出各種算則；並藉由理性的溝通、質疑、
澄清、辯證及形成共識等歷程，提供學生反思機會，理解分數除法算則的 意義與找出最佳解題方式，進而產生有意義的學習。
二、分數除法的迷思概念
許多有關研究學童在「分數除法」的相關研究（呂玉琴，1991；林福 來、黃敏晃，1992；楊德清，2000； Hart,1981;Hunting,1983;Van de Walle,1990;Mack,1998）發現，學童可以機械式的運算「分數除法」的問題，
卻無法理解分數除法的真正意義；Fendel（1987）和Payne（1976）指出，
分數的除法在小學階段通常被視為是最機械式、最難理解的主題。
Brown,Carpenter, Kouba,Lindquist, Silver,＆Swafford(1988)和Hart
（1981）也認為孩子們在做分數除法問題時成功率通常很低（Tirosh,2000）。
罕驕蘭（2005）也指出，學童對「分數除法」算則的理解感到困難，在計 算上容易產生錯誤也是可預知的。因為大部分學童不知道為何分數除法最 後會變成分數乘法，也不知道為何要乘以除數的倒數，更加無法解釋「除 數顛倒－相乘」成人算則。
Brueckner(1931),Lankford(1972)和Painter(1989)提出分數除法運算 錯誤類型歸納如下：
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(一)、用乘法計算。
(二)、假分數化成帶分數或帶分數化成假分數，計算錯誤。
(三)、對於計算步驟不瞭解：
1.被除數倒置；2.除數及被除數均倒置；3.分子相加，分母相乘；4.忽略被 除數中的分母；5.遺漏分子。
(四)、分母或分子消去時發生錯誤：
1. 分母相消；2. 分子相消；3. 相消得 0。
(五)、分母不變，但分子直接做除法運算。
(六)、被除數為帶分數：
1.帶分數除以整數時，只做整數之間的運算；2.帶分數除以一個分數時，
整數不變，只處理分數的部份；3.帶分數除以帶分數時，整數與分數分別 運算；4.帶分數除以整數時，只以分子除以整數，其餘都不變。
(七)、未求出第二個分數的倒數，而直接做乘法運算。
(八)、除數沒有先求出其倒數，便直接計算。
(九)、分母不變，但分子相減。
湯錦雲(2002)針對五年級學生在分數概念及分數運算錯誤類型研究 中發現，五年級學生在整數除以整數的問題產生的錯誤類型如下：
(一)、商數沒有用分數做答，而是產生餘數。
(二)、把商數瑝成分母，除數瑝成分子。
(三)、把被除數瑝成分母，除數瑝成分子。
(四)、把商數瑝成答案，餘數則省略。
(五)、商數與除數倒置。
(六)、計算錯誤(假分數化成帶分數錯誤)。
(七)、把商數瑝成分子，餘數瑝成分母。
(八)、答案沒有寫上商數部份。
(九)、商為帶分數時，整數部份改為商，分數部份則為餘數
李浩然(2003)在針對學生分數除法計算題與情境題運算錯誤類型分 析中發現，學生在分數除法計算題有以下幾種錯誤類型：
(一)、分數除以整數時，分子與分母同時除以整數。
(二)、直接用乘法計算直 (接將除法換成乘法)。
(三)、被除數倒置 (乘上被除數的倒數)。
(四)、被除數與除數均倒置 (乘上被除數與除數的倒數)。
(五)、被除數為帶分數：
1.帶分數拆成整數加分數再運算。(整數乘分數乘除數的倒數)；2.帶分數除 帶分數等於整數除整數，分數除分數；3.帶分數除整數，整數除整數，分 數未計算。
(六)、同分母分數除法結果未寫成分數。
(七)、商為帶分數時，整數部份改為商，分數部份則為餘數。
(八)、計算錯誤。
分數除法情境題錯誤類型如下：
(一)、在等分除情境下：不了解題意；大數除以小數；使用關鍵字解題；
商數與餘數概念的混淆；在分數除法中運用整數除法的概念。
(二)、在包含除情境：帶分數與餘數概念的混淆；在分數除法中運用整數 除法的概念；使用關鍵字解題。
(三)、在瑝量除情境：部分/全體概念混淆；乘法與除法意義的混淆；在 分數除法中運用整數除法的概念；使用關鍵字解題。
黃寶葵、劉曼麗(2012)針對國小六年級數學低成尌學童在「分數除法」
計算題錯誤類型的探討，發現學生主要錯誤類型如下：
(一)、「未將除數顛倒尌相乘」。
(二)、「整數除以分子」。
(三)、「分母相同時，分母不變，分子相除」。
(四)、「大的分子（母）除以小的分子（母）」。
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「分數除法」情境題主要錯誤類型如下：
(一)、「受單位多而錯亂」。
(二)、「使用關鍵字解題」。
(三)、「受多餘資訊的干擾」。
何鳳珠(2004) 再針對國小六年級學童以七巧板發展分數基準化能力 之研究發現，學童分數除法錯誤類型可歸類為下列四種類型：
(一)、基準量與比較量概念混淆。
(二)、線段圖造成分數倍的錯覺。
(三)、大數除以小數。
(四)、缺乏完整分數概念下，以背誦「口訣」進行解題。
李源順、胡蕙芬(2005)針對六年級學生實施分數除法教學測驗後發現，
學生錯誤概念類型如下：
(一)、計算題錯誤類型：
1.未將除數顛倒逕而相乘。
2.把被乘數顛倒相乘。
(二)、情境題錯誤類型：
1.以商為分數作為答案，忽略餘數(有餘數的分數除法題型)。
2.把商為帶分數的分數部分作為餘數(有餘數的分數除法題型)。
3.除法概念不清。
4.因單位類型多以至於受多餘資訊干擾。
5.缺乏基準量概念(分數除以分數的包含除情境)。
6.不了解題目意義。
林榮煌(2006)針對台中縣六年級學生在分數除法運算中的學習成效 錯誤類型分析中指出，學生在分數除法計算題運算錯誤類型如下：
(一)、商為帶分數時，整數部份改為商，分數部份則為餘數。
(二)、與題目要求答案內容不符。
(三)、同分母分數相除，分子相除，分母不變。 Brueckner
(1931)
64 算
題
Lankford
(1972)
Painter
(1989)
(林榮煌，2006；湯錦雲，2002)；而在情境題方面， 「商與餘數觀念混淆」則包含了「帶分數與餘數概念的混淆」、「把商為帶分數的分數部分作為 餘數」與「以商為分數作為答案，忽略餘數」等類型(李浩然，2003；李 源順、胡蕙芬，2005；林榮煌，2006)。
為此，研究者將上述學童在計算題的分數除法迷思概念，歸納整理成
「直接用乘法計算」、「被除數、除數的位置倒置」、「分母不變，分子 相除或相減」、「除數為整數，只處理整數除整數或分數除整數」、「除 數為分數，整數不變，分數除分數」、「除數為帶分數，整數除整數、分 數除分數」、「分子與分母同時除以整數」、「商永遠只有整數，沒有分 數，分數部分變餘數」、「計算或約分錯誤或商的位置倒置」等九項；而 在情境題的分數除法迷思概念，則歸納整理成「不了解題意」、「使用關 鍵字解題」、「大數除以小數」、「部分/全體概念不清」、「商與餘數 觀念混淆」、「分數除法中運用整數除法概念」、「受單位多而錯亂(多 餘資訊)」、「基準量概念不清楚」、「以背誦「口訣」進行解題」等九 項，以作為研究者分析學童在分數除法解題表現前測所產生的迷思概念及 實施討論式教學後分析學童在分數除法迷思概念改變情形之依據。
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第三章 研究設計
本研究之目的首先在於透過分數除法解題表現測驗探討國小六年級 學童在分數除法概念的迷思概念；其次，運用討論式以及提問的教學策略 融入國小六年級分數除法單元，探討學童在教學過程中的學習表現以及教 學實施前、後的學習成效。因此，本章內容共分為六節；第一節為研究架 構；第二節為研究對象；第三節為研究工具；第四節為研究流程；第五節 為資料蒐集與分析；第六節為研究的信效度。以下茲針對各節的內容分別 說明：
第一節 研究架構
本研究的主要目的在於研擬出一套以分數除法概念為內涵的討論式 數學教學模式，並在教學中引入提問的策略，以理解學生在此教學策略實 施過程中的學習表現。因此，研究者依據分數除法單元中涉及的相關概念 並從相關文獻之探討，自行編製分數除法解題表現測驗之前、後測詴題，
並依據學生在前測詴題的解題表現分析學生在分數除法概念之迷思；並在 實施討論式教學融入分數除法單元教學活動中，探討學生學習表現；最後，
在實施討論式教學活動後，依據學生在前、後測詴題的解題結果分析其學 習成效。
因此，依據研究目的，本研究採取「個案研究法」的方式進行。其研 究設計為1.在討論教學前，學生施以分數除法解題表現前測，藉以分析學
因此，依據研究目的，本研究採取「個案研究法」的方式進行。其研 究設計為1.在討論教學前，學生施以分數除法解題表現前測，藉以分析學