呈現一段時間內行為變化的一個好方法就是以行為的改變值對時間點作圖，
會得到一個點狀分佈圖，而對這些點以適當的函數適配可以加以描述行為的型 態，並得到一個曲線，我們稱為表現曲線，用以描述系統的改變（Cohen, Dunbar, &
MacClelland, 1990; Kramer, Strayer, & Bucklley, 1990; Logan, 1988; R. A. Newell &
Rosenbloom, 1981; Snoddy, 1926）而此曲線能不能真正代表學習的情形呢？只要我 們能夠選擇所觀察變項是對動作改變敏感度高的變項，表現的結果可以當作為學 習的結果（K. M. Newell, Liu, & Mayer-Kress, 2001）。
Snoddy（1926）以鏡相追蹤（mirror-tracing task）的實驗提出學習曲線概念，
以練習者表現與試作的次數各取其對數，得到呈現一個近乎線性的曲線，這也是 研 究 者 所 宣 稱 的 學 習 曲 線 。 學 習 曲 線 的 樣 式 很 多 ， 一 般 常 見 的 有 對 數 曲 線
（powerlaw 曲線）、指數曲線（exponential曲線）、S型曲線等（Mazure & Hastie, 1978;
R. A. Newell & Rosenbloom, 1981; K. M. Newell, Liu & Mayer-Kress, 2001 ）。而學 習曲線的不同往往代表著動作有不同的型態（Liu, Mayer-Kress, & K. M. Newell, 2004）。
以下將針對兩種常見的對數函數曲線、指數函數曲線做探討。另外學習是個 人的動作行為，但我們研究上常常以群體的成績來研究學習曲線，因此本節也探 討以平均運動學習表現來製作曲線，可能會掩蓋一些重要訊息的情形。
一、對數函數曲線
傳統的練習率所呈現的學習函數為對數函數，一般而言，將表現與練習次數 各取其對數，兩者可得線性關係，用來說明經由練習後表現改變的趨勢（Schmidt &
Lee, 2004）。R. A. Newell and Rosenbloom（1981）甚至宣稱運動學習的進步情形一 定會是一個對數函數曲線。對數函數會持續地進步（如圖2-4），當各個子系統獨立
運作時，其分別有不同的變化率，當子系統獨立運作時表現在外的整體學習曲線 可能為對數函數之型態（K. M. Newell ,Liu, & Mayer-Kress, 2001）。對數函數其基 本的函數形式如公式一。
Y＝y
0+aN
rpow（公式一）
Y 是表現結果，
y
0是一個常數，N 是練習次數，r
pow是一個指數。當 N等於 1 時 ，N
rpow 也 等 於 1；這時y
0+a
就 是 起 始 的 表 現 值 （ R. A. Newell &Rosenbloom, 1981）。例如圖2-4是學習者練習飛鏢擲準的60次練習成績（誤差），以 練習成績與次數所做的的點狀分配圖，如當其練習表現呈對數函數曲線特性時，
應該就會像底下的圖一樣，成績會不斷的進步，但是進步的程度緩慢。
次
0 10 20 30 40 50 60 70
誤差
0 5 10 15 20 25
圖2-4 對數函數曲線示意圖
雖然以對數曲線作為運動學習曲線獲得相當多的支持，但是以這個函數來否 決其它形式的曲線是值得商榷的，對數函數也不一定就是唯一依據的做法（Chen, 2002）。早在1978 年，Mazur & Hastie（1978）就指出各種學習函數都可以找得到 符合的資料，而近年來，也有研究者提出以群體或小組的方式將資料加以平均的 做法，容易使得結果偏向對數函數（Myung, Kim & Pitt, 2000）。
二、指數函數曲線
相對於對數曲線的是指數曲線。其基本函數形式如公式二：
Y＝y
0+a e
−rexp(n+n0) （公式二）在這個函數中
y
0 是漸近值（asymptote），代表最佳表現；a 是起始的表現；r
exp是改變率；n 代表練習時間（或次數）。指數曲線會快速接近漸近值（如圖2-6）（陳 秀惠，2003）；當一個學習者練習擲飛鏢六十次的成績（誤差）與練習次數呈現指 數函數曲線時，就會呈現圖2-5的情形，成績會快速的接近漸近值，在此圖中漸近 值就是17，可是之後的進步幅度就會非常少。
次
0 10 20 30 40 50 60 70
誤差
0 5 10 15 20 25 30
圖2-5 指數函數曲線圖
K. M. Newell ,Liu, & Mayer-Kress,（2001）指出當行為已在動作目標的軌道上 朝向吸引子方向前進時，其變化率為單一改變率，也就是指數函數，因此也可以 用指數函數的學習曲線來證實說目標已經往吸引子的方向前進。K. M. Newell等指 出，在短時間的練習下因為沒有系統的重整下而出現的指數行為，但如果把練習 時間延長，則可能因動作景觀的重整而出現對數行為。
三、以平均方式來判定學習曲線可能會發生的錯誤
有 研 究 指 出 對 數 函 數 是 唯 一 可 以 描 述 動 作 的 學 習 曲 線 （ R. A. Newell
&Rosenbloom, 1981），但為何在傳統的研究中指出對數函數是唯一可以描述學習曲 線呢？相關研究提出可能是因為使用群體資料的平均數所造成的偽訊（Sidman, 1952; Estes,1956 ;Heathcote, Brown, & Mewhort, 2000），但運動學習注重的部分是個 體經由練習後個體表現改變的過程，如果以群體平均數的方式進行學習曲線的繪
製，可能掩蓋掉很多訊息，所以探討個體和群體的學習曲線應該是不同（Estes, 1956;
Kling, 1971; Sidman, 1952;Heathcote, Brown, & Mewhort, 2000）。研究者推論，當系 統已朝向固定點前進時，其時間刻度應為單一時間刻度的指數函數的型態（Chen, 2002; K. M. Newell, Liu, & Mayer-Kress, 2001），但是每位參加者為單一個獨立的個 體，每個人以不同的固定率朝向吸引子，而團體的平均資料形成多個時間刻度，
而將單個時間刻度的現象混雜，將無法看出以單一個改變率前進。所以，以群體 平均數、個體的方式進行學習曲線的繪製應是不同（Estes, 1956; Heathcote & Brown, 2000; Sidman, 1952; Kling, 1971）。在 K. M. Newell等時，也指出練習者本來有各自 的指數函數行為，但是這種不同的指數函數的結果以群體平均的方式，結果變成 了對數函數曲線，原因就是因為平均後被導向對數函數。且值得注意的，平均後 所表現出來的曲線雖然讓雜訊消除了，但也可能掩蓋了這些可能不只是雜訊的短 時間變化所蘊含的運動學習含意（Liu, Mayer-Kress, & K. M. Newell, 2004）。
四、確認學習函數的其它方法—逐次改變率
我們對於學習函數的型態判斷是以學習資料進行統計上的 R2值來判斷，但 是這樣的判斷方式如果遇到太相近的 R2值時，便無法判斷屬於何種學習曲線（Liu, Mayer-Kress, & K. M. Newell, 2004），因此學者也希望如果在 R2值太接近而無法 判斷時，能夠有輔助的方式來協助判斷。逐次改變率的檢查方法就是一種常用的 輔助方法，也稱做R 檢查法，當學習曲線的型態無法以 Rn 2的值判斷時可以當作 輔助判斷的方法（Liu, Mayer-Kress, & K. M. Newell, 2004）。
Liu 等（2004）指出在研究中如果對於學習函數的適配的確是顯示出沒有差 異，正好鼓勵研究者去找出不同的狀況對於學習函數的判斷方法，如可以使用Rn 檢查法 （逐次改變率檢查法）的方法來做判斷。
R 檢查法這種判斷方法是個早就已經被使用的判斷方法，尤其是當我們用來n
決定行為在一段時間的改變是否屬於一個單一的變化情形時候（Liu 等， 2004），
而最明顯而完美的指數函數情形，當然就是以數學統計方式來看資料的改變變化 時，R 值能呈現一直線，也就是改變率呈現固定的狀況（Liu 等）n 。
計算每次改變率R （公式六）n ，分析其斜率作為判定學習函數的另一個方式。
Wn 為第 n 次得分，Wn+1為第 n+1 次得分，Bexp是最佳表現，也就是進行指數 函數適配時所得到的
y
0值。R =(Wn n- Wn+1)/( Wn-Bexp) （公式六）
當我們得到每兩次間的逐次改變率後，我們會將得到的這個值對練習次數（時 間）進行適配，看有無明顯的型態出現，以輔助判斷該技能學習曲線的型態。
五、小結
以學習函數曲線來判斷動作行為是一個有效率的方法，本節探討了指數、對 數學習函數曲線，每一種曲線表現形式對照動力系統分別有其意義存在，也就是 說雖然呈現出的只是曲線型態的改變，但其實已在動作內涵上有了極大的改變，
這個改變也可以說是整個動作的景觀已經重整與否，吸引子是否以處更穩固技能 水準狀態。另外，我們在運動學習上習慣用群體平均後的成績來判斷學習曲線，
瞭解學習情形，但學習是很個人的事，用群體的成績可能讓一些重要訊息混淆，
或者造成誤判，可能會因為平均卻將個人原有的指數函數行為判斷為對數函數行 為，而暖身現象過去的文獻通常也都是以群體成績來看其暖身減低的情形，因此 本研究也將針對群體表現與個人表現的暖身減低情形做研究。最後，當我們無法 以R2值來判斷該學習行為的學習曲線型態時，可以以R 檢查法來輔助判斷 n