第二章 文獻探討
第三節 定價模型
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謝美鳳 (2003) 以台股指數為研究對象，比較 B-S 模型與二項式樹狀模型，
分別利用隱含波動率、歷史波動率以及 GARCH 波動率代入模型，利用絕對值平 方誤差、乖離率以及均方根誤差三指標做績效評比，研究結果顯示波動率的估計 中以歷史波動率估價最貼近市場價格，且定價模型以二項式樹狀模型優於 B-S 模 型。關旭東 (2004) 同樣以台股指數選擇權做研究樣本，分別以 Hull & White 與 B-S 模型再以不同的波動率估計方式代入模型做比較，其研究結果顯示 Hull &
White 模型搭配 GJR-GARCH 波動率在台股指數市場定價上效果最佳。
第三節 定價模型
除了驗證資產報酬率具厚尾高峰現象與波動率的群聚性等研究，許多學者也 以 B-S 模型為基礎，重新做市場的假設與放寬 B-S 模型假設後重新建立新的選擇 權定價模型，並以放寬條件後的定價模型與 B-S 模型分別搭配不同的參數估計量 做績效的比較。
Cox and Ross (1976) 提出單純跳躍模型 ( Pure-Jump model ) 解釋資產價格 時常因市場上的重大變動或人為操作而有大幅度地跳動。Merton (1976) 對 Cox and Ross 提出的單純跳躍模型進行修正後，提出跳動擴散模型 ( Jump-Diffusion model ) 使模型不僅能掌握波動率的跳動且能展項資產報酬的厚尾現象
Jarrow and Rudd (1982) 同樣以 B-S 模型為基礎，並利用 B-S 定價價格加上 調整項，其中調整像取決於股票價格的高階動差，加入調整項後使得模型更能展 現標的資產分配的偏態與峰態，且可以在不知道資產價格分配下進行定價，只需
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利用股票價格的高階動差來做修正項的調整，其研究結果發現，加入調整項的新 模型相較於 B-S 模型更能在不同的金融資產衍生性商品中靈活應用； Corrado and Su (1996) 利用 Gram-Charlier 展開式將 B-S 模型加入分配的偏態與峰態參數，
使模型更能掌握股票價格的分配，並利用 S&P500 的選擇權資料進行分析比較，
研究結果發現加入偏態與峰態修正的 B-S 模型較員使模型誤差明顯降低。
Hamilton (1989) 提出馬可夫狀態轉換模型 ( Markov Regime-Switching Model ) 指出利用馬可夫鏈配飾波動率狀態轉換相較於 B-S 模型更能展握資產報 酬率尖峰厚尾的現象以及波動率群聚性的特性，使模型定價更貼近市場價格。
Ishijima and Kihara (2005) 利用隱藏馬可夫鏈配飾波動率狀態轉換，並以 2000/01 至 2002/12 的 TOPIX 對數價格日資料證明此模型更能展現市場波動率微笑的現 象，且指出相較於隨機波動模型，隱藏馬可夫鏈模型更具解釋能力，且更能掌握 波動群聚性。
Liew and Siu (2010) 利用 2008 年至 2010 年 IBM 股價的收盤價比較 HMM 模型與 Black-Scholes-Merton 兩模型的定價績效，實證認為 HMM 模型定價的誤 差顯著的低於 Black-Scholes-Merton 模型。林宜嫻 (2012) 利用黃金的選擇權價格 比較馬可夫狀態轉換模型與 B-S 模型的績效，並利用模型的 MLE 做參數估計，
結果發現馬可夫狀態轉換模型較 B-S 模型定價更優
Chen, Pao and Kuo (2018) 利用兩種狀態的隱藏馬可夫鏈分別配飾波動率與無風 險利率的狀態，並利用兩佔據時間的聯合機率分配結合 B-S 模型建構了 ODMM 模型 ( One-dimension Markov-Modulated ) 與 TDMM 模型 ( Two-dimension
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Markov-Modulated )，並考慮市場的循環特性融入模型中，以 S&P50 的資料來做 模型的比較後發現，TDMM 模型較 ODMM 模型誤差小，顯然定價模型應該同時 考慮波動率轉換與利率轉換的風險。
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l C h engchi U ni ve rs it y 第三章 TDB-S 模型建立
第三章首節會以台股指數 2019 年 04 月 01 日到 2020 年 04 月 01 日的資料來 驗證 B-S 模型的常態分配假設是否正確；接著再以相同的資料來驗證波動率設為 恆定值的假設在台股指數市場下是否合理。若驗證結果顯示市場表現與模型假設 有出入，則更改其假設並在新的假設上建構定價模型。
第二節中，根據首節驗證的台股指數選擇權的報酬率與 B-S 模型的常態假設 明顯不同，因此做常態假設的修正，將隨機誤差項常態分配改為學生 t 分配。更 改隨機誤差分配後，股價變動已不再是一 Ito-process，使得原始的 Ito-lemma 不 再適用，因此第二節將推導一個隨機誤差項為學生 t 分配可以適用的 t-Ito-lemma 以利之後模型建立時使用。
第三節利用 t-Ito-lemma 驗證投資組合 𝜋 為無風險投資組合，並在無風險投 資組合下將無風險利率與模型做連結。第四節利用無風險投資組合報酬率為無風 險利率的關係式，將標的股的期望報酬率 𝜇
與無風險利率 r 的關係式找出。在 B-S 模型的假設下，標的股的期望報酬率即為無風險利率，然而，當模型假設隨 機誤差項為學生 t 分配後，其關係式必定有所差異，因此必須另外找出它們的關 係式，以避免模型產生額外的模型誤差。第五節在所有前置作業完成後，結合各 小節推導的式子，建構 TDB-S 定價模型。
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第一節 B-S 模型假設驗證
從文獻探討的結果可知，多數學者對於各個金融市場的資產報酬率研究發 現，常態分配無法精確的掌握資產報酬率的厚尾與高峰現象。有許多學者對台股 指數市場的資產報酬分配做研究也發現相同的情形。本節將再次對台股指數市場 的報酬做常態分佈的檢定，並同時做單日報酬到二十日報酬的檢定，觀察本研究 所使用的分析資料是否也與常態分佈的假設有所出入。
一、 常態假設驗證
在 B-S 定價模型中，其模型假設為：股價變動服從幾何布朗運動、波動率與 無風險利率為恆定值、且不存在稅收與交易成本。其中，股價變動本身也是一個 Ito-process 即：
𝑑S& = rS&𝑑t + σS&𝑑Z& = a(S&,t)𝑑t + b(S&,t)𝑑Z& ,
其中a(S&,t) = rS& , b(S&,t)= σS& , 𝑑Z&～ N(0, 𝑑t) 。
若給定 𝑑𝑋O 為一個 Ito-process 且函數 f(𝑋O,t)為一個二階可微分的函數，則根據
Ito-lemma：
d
f(X&, t)=( xy x& + xzxya(S&, t) + ２? xzx66yb(S&, t);) 𝑑t + xzxyb(S&, t)𝑑Z&‧ 國
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令 f(S&, t)= lnS& , xyx& = 0 , x/xy = /?
1 , x/xy = /B?
16
⇒ 𝑑𝑙𝑛S& = (r – 5２6) 𝑑t+ σ・𝑑Z& ～N((r – 5２6)𝑑t , σ;𝑑t)
⇒ ln(S=) – ln(S&) = (r – 5２6)(T−t) + σ(Z= – Z&) ～N((r – 5２6)(T–t), σ;(T–t))
⇒ ln//0
1 ～ N((r – 5２6)(T-t), σ;(T-t))
⇒ 在 B-S 模型假設下複利記股價報酬率服從常態。
因此當驗證 B-S 模型的常態誤差項假設是否正確時，可以藉由觀察股價報酬 率是否服從常態來驗證。以下取台股指數 2019/04/01－2020/04/01 的收盤價資料 來做檢驗，檢驗資料共 244 筆，檢驗步驟如下：
1. 將股價取對數。
2. 將對數股價取遞延 1 期至遞延 20 期，即為單日報酬至 20 日報酬的資料。
3. 對遞延 1 期至遞延 20 期的資料做 shapiro-wilks (1965) 常態檢定，看其分 佈是否服從常態。
其中，遞延 1 期表示 𝑋O–𝑋OB? , t = 2,……,61；遞延 2 期表示 𝑋O–𝑋OB; , t = 3,…
…,61，依此類推。檢驗結果結果如 <表一> 所示：
註：此處使用 R 語言內建的 shapiro - wilks 常態檢定。
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表 3.1 台股指數資產報酬常態檢定
lag W-statistics p-value result 0 0.94598428 7.47E-08 not normal 1 0.82728117 9.74E-16 not normal 2 0.81548641 3.03E-16 not normal 3 0.81203797 2.31E-16 not normal 4 0.77420227 6.91E-18 not normal 5 0.75322791 1.25E-18 not normal 6 0.72862969 1.90E-19 not normal 7 0.72174476 1.23E-19 not normal 8 0.71526554 8.33E-20 not normal 9 0.72336379 1.69E-19 not normal 10 0.72103641 1.56E-19 not normal 11 0.73254894 4.13E-19 not normal 12 0.74686511 1.41E-18 not normal 13 0.75567926 3.19E-18 not normal 14 0.76223899 6.07E-18 not normal 15 0.76576426 8.97E-18 not normal 16 0.77206071 1.69E-17 not normal 17 0.77236567 1.90E-17 not normal 18 0.77107188 1.87E-17 not normal 19 0.77073184 1.99E-17 not normal 20 0.77351096 2.77E-17 not normal
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由 <表 3.1> 結果顯示，對 2019/04/01－2020/04/01 的台股指數收盤價價格資 料，做複利報酬率分佈的 shapiro 常態檢定，發現不論是單日報酬或多日報酬，
其分配均有明顯證據顯示不服從常態分配。因此認為 B-S 模型的假設在台股指 數市場下並不適用，此驗證結果表示利用 B-S 模型對台股指數選擇權定價，可能 無法完全掌握資產報酬率的分配，而造成定價的偏差。
我們進一步將遞延 1 期至遞延 3 期的分佈圖形畫出，觀察其布狀況與常態分 佈的差異之處為何，如 <圖 3-1> 與 <圖 3-1> 所示。由 <圖 3-2> 可以發現，
𝑑𝑙𝑛𝑆O 的分配在兩尾的分佈並不像常態分佈如此平坦，而是稍微有點厚度，且由
<圖 3-1> 可以觀察到報酬率分配應具有偏態與峰態。因此猜測利用學生 t 分配 來配飾隨機誤差項，會使得模型更能掌握複利報酬率兩尾的厚度以及分配的尖峰 現象，使模型定價更為貼近市場價格。
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圖 3-1 資產報酬率分佈
圖 3-2 資產報酬率分佈尾段
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二、 波動率常數假設驗證
除了模型分配的假設與台股指數資料實際狀況有所不同外，波動率假設為恆 定值在台股指數市場顯然也是一個很大的錯誤，下圖將以同筆資料畫出台股指數 波動率的走勢圖，如 <圖 3-3> 所示。
圖 3-3 台股指數波動走勢圖
由 <圖 3-3> 可知，若將波動率假設為定值，必定會與市場實際狀況有所出 入。當在估計波動率時，不同的投資者會以不同的時段做波動率的估計，若是有 些投資者在估計波動率時取的時段剛好位於波動率高峰期，則會高估市場波動率，
而造成高估選擇權價格的問題，反之，若剛好為波動率低峰期則會低估市場波動 率。因此，在做選擇權定價時，不應只使用單一的歷史波動率做估計，此論文中 將波動率假設為有兩種隱藏狀態的馬可夫鍊，再利用 Baum-Welch 法來偵測股市 波動率的隱藏狀態，使模型更能掌握市場波動率的實際變動情形。
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第二節 常態假設修正
由 <表 3-1> 的結果可以得知，對於台股指數的日收盤價資料而言，其資產 報酬率皆有明顯的證據顯示不服從常態，而此結果明顯與 B-S 模型的假設有所出 入，若不更動此假設便會造成模型誤差的增加，使模型的定價價格失去參考價值。
因此，本節將以學生 t 分配取代 B-S 模型中隨機誤差項的常態分配，使模型更能 掌握資產報酬厚尾的現象。
一、 模型修正
在 B-S 模型中，模型假設股價變動服從幾何布朗運動，即：
𝑑S& = 𝜇S&𝑑t + σS&𝑑Z& ，其中 Z& 為布朗運動
⇒ 𝑑S& = 𝜇S&𝑑t + σS&ε√𝑑t , 其中 𝜀～N(0,1) ……….(3-1)
由第一節資料驗證結果得知，隨機誤差項 𝜀 的常態假設與市場實際情形有
所出入，因此，欲將 𝜀 的分配改為學生 t 分配後，再進一步推導模型。即將 (3-1)
式修改如 (3-2)
式所示
𝑑S& = 𝜇S&𝑑t + σS&𝜀・√𝑑t , 其中 𝜀～t(𝑑𝑓) ………(3-2)
令 𝑑S& = a(S&,t)𝑑t + b(S&,t)𝜀 , 其中 a(S&,t) = 𝜇S& , b(S&,t) = σS&√𝑑t
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對隨機誤差項的分配做更動後，股價變動的假設已不是 Ito-process，因此 無法直接使用 Ito-lemma，必須推導一個隨機誤差項為 t 分配的隨機過程能夠使 用的引理，才能做後續模型的建立，因此在下一節將推導 t-Ito-lemma 以利後續 建構模型使用。
二、 t-Ito-lemma
由於模型修正後，股價變動不再是一個 Ito-process。因此原始的 Ito-lemma 在 新模型假設下的推導已不再適用，需要重新推導一個 t-Ito-lemma。首先，假設 ΔX = a(S&,t)𝛥𝑡 + b(S&,t)𝜀
,
其中 𝜀～t(𝑑𝑓)
令 f = f (x,t) 為一個二階可導函數，
⇒ 𝛥f = f(x+𝛥x,t+𝛥t) – f(x,t)
其中，
f(x+𝛥x,t+𝛥t) = f(x,t) + x&xy𝛥t + xzxy𝛥x + ?;xyx&𝛥t; +?;xzxy𝛥x; + xz x&x6y 𝛥x𝛥t + ⋯⋯
⇒ 𝛥f = f(x+𝛥x,t+𝛥t) – f(x,t)
= xyx&𝛥t + xzxy𝛥x + ?;xyx&𝛥t; + ?;xzx66y𝛥x; + xz x&x6y 𝛥x𝛥t + ⋯⋯
⇒ lim 𝛥f = df = x&xy𝑑t + xzxy𝑑x + ?;xzx66y𝑑x; ………....……..……(3-3)
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其中，𝛥x𝛥t , 𝛥𝑡;
與其它 𝛥𝑡 的高次項趨近於 0 當𝛥𝑡 →0
其中，𝛥x𝛥t , 𝛥𝑡;