以 t 分配的隨機誤差項與隱藏馬可夫鏈建構選擇權定價模型 － 以台股指數市場為例
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(2) 謝辭 時光飛梭，研究所兩年的時間就這麼過去了，還記得剛升碩一時，總覺得 統計系就是學資料統計以及利用統計知識解釋分析結果等等，而未來就業可能 就直接走向科技相關的產業。直到碩二找了劉惠美教授擔任指導老師後，跟隨 著劉老師的腳步，開始踏入了金融領域的世界。一開始的我對金融領域一竅不 通，甚至連什麼是選擇權、什麼是價內價外都不理解，而劉老師便時時督促著 我不斷的接觸這方面的知識，並表示不懂的就查、不會的就自己推導，剛開始. 政 治 大. 有許多專有名詞都不懂，要硬著頭皮去看模型的建構的過程，真的很難熬也很. 立. 艱辛，但隨著時間一天一天的過去，我開始對選擇權定價模型有了初步的了. ‧ 國. 學. 解，也開始對金融市場產生興趣，並由於這一年下來的訓練，培養了能自己獨. ‧. 立推導模型的能力，並對定價模型有了不一樣的見解。. Nat. sit. y. 或許未來不一定會從事到這方面的工作，但這些經驗以及知識絕對是無法. n. al. er. io. 單單藉由讀書而獲得的，非常感謝劉惠美教授的指導，每次的 meeting 都能以. Ch. i Un. v. 輕鬆的方式來進行，讓我在撰寫論文時並沒有太大的壓力，最後能夠完成此篇. engchi. 論文，也很感謝我的研究夥伴楷文，同樣是金融俗的我們藉由每一次 meeting 前的互相討論，一步步地理解不懂的地方並互相幫助，才能夠讓這段碩二論文 旅途不那麼孤單，最後當然也要感謝家人的支持，讓我在就學的過程沒有任何 經濟壓力，能夠專心地完成學業。 蔡承軒 謹誌於 國立政治大學 中華民國 109 年 6 月. I DOI:10.6814/NCCU202000823.
(3) 摘要 本論文以修正 Black & Scholes ( B-S model )定價模型為研究方向，主要探 討的面向有二， 分別為 B-S 模型資產變動常態假設修正以及修正波動率恆定 的假設。本文首先利用台股指數選擇權日資料驗證 B-S 模型的假設在台股指數 市場的缺陷，再將 B-S 模型的隨機誤差項由常態分配假設修改為學生 t 分 配，在學生 t 分配的基礎之下建立新的定價模型稱為 TDB-S 模型；接著修正 波動率的恆定值假設，考慮波動率為有兩種隱藏狀態的馬可夫鍊，利用 Baum-. 政 治 大. Welch 法 (1970, Ann. Math. Statist) 迭代出隱藏馬可夫鏈的各項係數後，結合. 立. 佔據時間的機率分配與 TDB-S 模型的架構建構出另一個新的模型 ODMMTD. ‧ 國. 學. 模型。. ‧. 文末分析台股指數選擇權 2019/4/1 至 2020/4/1 的收盤價日資料，分別利. sit. y. Nat. 用本文建構的模型以及 B-S 模型四者不同模型搭配歷史估計量、 動差估計法. io. al. er. (MME) 與 最大概似估計法 ( MLE ) 三種不同的參數估計方法進行選擇權定. v. n. 價，並比較在深度價外、價外、價平、價內、深度價內與交割時間距離長短來. Ch. engchi. i Un. 做績效評估。而績效評估的標準分別使用平均絕對誤差、平均比例誤差與均方 根誤差三指標來比較模型的優劣。比較結果顯示：當權證處於價平與價外時， 利用 TDB-S 搭配 MLE 估計量的定價績效最佳；而當權證處於深度價外、價 內與深度價內時，利用 ODMMTD 模型搭配波動率的 MME 估計量的定價績 效最佳。當權證距離交割日的交易日小於 20 天時，由學生 t 分配配飾隨機誤 差項的模型並沒有顯著的績效提升，然而，當距離交割日大於 20 天時，學生 t 分配配飾的模型優點便明顯的展現出來，即 TDB-S 模型明顯優於 B-S 模 型，且 ODMMTD 模型明顯優於 ODMM 模型。. II DOI:10.6814/NCCU202000823.
(4) Abstract The main purpose of this article is to modify the Black & Scholes model (BS)(1973). The assumptions of B-S model are constant volatility and Gaussian distribution of asset returns which had been shown that violate the market phenomenon. Thus we try to use Student-t distribution to replace the error term of B-S model to capture the fat tail of distribution of asset returns and assume that the market volatility is a hidden Markov chain to grasp the market trend. Then we construct two new option pricing model which called TDB-S model and ODMMTD model based on the new assumptions. After that, we find the parameters of HMM such as transition matrix, initial states probability matrix by Baum-Welch method.. 政 治 大 and ODMMTD model these four models with TXO market data from 2019/04/01 to 立 At the end of this paper, we compared B-S model, ODMM model, TDB-S model 2020/04/01. The result is that the advantage of student-t distribution is weak if the. ‧ 國. 學. maturity date is less than 20 days. However, when maturity date is over 20 days, TDB-S model and ODMMTD model have significant improvement on their pricing. ‧. performance. Moreover, ODMMTD give the most accurate price when option is deep-. y. Nat. in-price or deep-out-price and TDB-S model have minimal model error when pricing. sit. in-price, at-price and out-price options. Our research also found that over three. er. io. method of estimating parameters (maximum likelihood estimate, method of moment. al. n. iv n C performance when using MLEs and ODMMTD model match MMEs have the best hengchi U performance. estimate and historical estimate) (MLE, MME, HE), TDB-S model have the best. III DOI:10.6814/NCCU202000823.
(5) 目錄 摘要 .......................................................................................................................... II ABSTRACT............................................................................................................. III 目錄 ......................................................................................................................... IV 表目錄 ...................................................................................................................... V 圖目錄 ..................................................................................................................... VI 第一章 緒論 .............................................................................................................1. 第一節 研究動機 ..................................................................................................1 第二節 研究目的與方法.......................................................................................3 第三節 研究架構與流程.......................................................................................4. 政 治 大. 第二章 文獻探討......................................................................................................6. 立. 第一節 資產報酬率分配.......................................................................................7. ‧ 國. 學. 第二節 波動率性質 ............................................................................................10 第三節 定價模型 ................................................................................................16. ‧. 第三章 TDB-S 模型建立 ........................................................................................19. y. Nat. 第一節 B-S 模型假設驗證 ..................................................................................20. io. sit. 第二節 常態假設修正 .......................................................................................26. n. al. er. 第三節 無風險投資組合 𝜋 ...............................................................................29. i Un. v. 第四節 風險中立市場下的 R 與 Μ ....................................................................31. Ch. engchi. 第五節 建立 TDB-S 定價模型 ..........................................................................34 第四章 ODMMTD 模型建立 ..................................................................................38. 第一節 隱藏馬可夫模型.....................................................................................39 第二節 ODMMTD 模型建構 ..............................................................................43 第三節 轉移速率矩陣 ........................................................................................47 第五章 定價模型績效評估 ....................................................................................52. 第一節 參數估計 ................................................................................................52 第二節 績效評估方式 ........................................................................................57 第三節 績效評估 ................................................................................................58 第四節 結論與未來方向.....................................................................................72 參考文獻 .................................................................................................................74 IV DOI:10.6814/NCCU202000823.
(6) 表目錄. 表 3.1 台股指數資產報酬率常態佈 ………………………….………22 表 5.1 短期交割 台股指數選擇權定價 MAE……………………..….59 表 5.2 中期交割 台股指數選擇權定價 MAE…………………….…..59 表 5.3 長期交割 台股指數選擇權定價 MAE………………….……..60 表 5.4 短期交割 台股指數選擇權定價 MPE……………………..…..61 表 5.5 中期交割 台股指數選擇權定價 MPE……………………..…..61. 政 治 大. 表 5.6 長期交割 台股指數選擇權定價 MPE……………………..…..62. 立. 表 5.7 短期交割 台股指數選擇權定價 RMSE…………………….…63. ‧ 國. 學. 表 5.8 中期交割 台股指數選擇權定價 RMSE…………………….…63. ‧. 表 5.9 長期交割 台股指數選擇權定價 RMSE…………………….…64. sit. y. Nat. 表 5.10 短期交割 固定自由度台股指數選擇權定價 MAE……….…65 . er. io. 表 5.11 中期交割 固定自由度台股指數選擇權定價 MAE…….……67 . n. al 表 5.12 長期交割 固定自由度台股指數選擇權定價 i v MAE…….……67 n U engchi 表 5.13 短期交割 固定自由度台股指數選擇權定價 MPE…….….…68. Ch. 表 5.14 中期交割 固定自由度台股指數選擇權定價 MPE………..…69 表 5.15 長期交割 固定自由度台股指數選擇權定價 MPE…….….…69 表 5.16 短期交割 固定自由度台股指數選擇權定價 RMSE……....…70 表 5.17 中期交割 固定自由度台股指數選擇權定價 RMSE….…...…71 表 5.18 長期交割 固定自由度台股指數選擇權定價 RMSE……....…71. V DOI:10.6814/NCCU202000823.
(7) 圖目錄. 圖 3-1 資產報酬率分佈…………………..……………………..………24 圖 3-2 資產報酬率分佈尾段……………..……………………..………24 圖 3-3 台股指數波動率走勢圖……………..………………………..…25 圖 3-4 資產報酬率配適分佈比較圖……………..…………………..…37 圖 3-5 馬可夫鏈配適圖……………………..………………………..…50 圖 5-1 自由度 MME 分佈圖……………...……………………...………65. 政 治 大. 圖 5-2 自由度 MLE 分佈圖……………..……………………....….……65. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. VI DOI:10.6814/NCCU202000823.
(8) 第一章 緒論. 首章節將闡述本文的研究動機與研究目的，包括修正 Black & Scholes 模型 ( B-S model ) 的原因以及修正過後的模型相較於 B-S 模型優勢的地方，並說明將 用何種方式做波動率和常態分配的修正以及修正模型時所遇到的困難之處。最後 介紹全文的研究架構與流程。. 第一節 研究動機. 立. 政 治 大. 在選擇權市場中，存在許多不同對選擇權價格定價的模型，而定價模型中包. ‧ 國. 學. 含了公式封閉解以及數值分析解兩種不同面向的模型。其中，Black-Scholes（後 簡稱：B-S）模型是最廣為人知的一個封閉解模型。B-S 模型假設在股價變動服從. ‧. 幾何布朗運動、波動率與無風險利率為恆定值、且不存在稅收與交易成本下所建. sit. y. Nat. io. al. n. 於常態分配即：. er. 立的模型，而根據此假設往下推演，可以發現其模型假設等價於資產報酬率服從. Ch. engchi. i Un. v. 𝑑S& = rS& 𝑑t + σS& 𝑑Z& 56. /. ⇒ ln /0 ～N((r – ２ )(T-t), σ; (T-t)) 1. 然而，近年來許多的研究指出，衍生性產品市場具有波動聚集的特性即當市 場處於高波動時，緊接而來的也將是高波動，反之亦然。並有多項研究指出許多 不同市場的資產報酬率不服從常態分配，而是具有厚尾、高峰特性的學生 t 分配， 如 Engle and Bollerslev (1986) 、Kan and Zhou (2003) 等等。而本文也透過觀察 1 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(9) 台股指數的日收盤價資料，發現台股指數的報酬率分佈與常態分配有些許出入， 其分佈在雙尾上並不如常態分佈般平坦，有相較於常態分佈更為厚尾的情形。當 進一步對台股指數選擇權報酬率分佈進行 shapiro 常態分配檢定時，可以發現不 管是單日報酬、雙日報酬、三日報酬等等，都有明顯的證據顯示其分配不服從常 態分配，而這結果也明顯與 B-S 模型的假設有所出入，故會影響 B-S 模型定價在 台股指數選擇權市場的績效。. 除了資產報酬率分配不服從常態外，我們也發現到，當已知現價、交割價及. 政 治 大. 交割到期時間，再利用台股指數的歷史數據推算歷史波動率代入 B-S 模型，其定. 立. 價結果與市場價格有所差距，尤其當股市處於波動率高峰期或低峰期時，定價的. ‧ 國. 學. 價格與實價差距更為巨大，如 2020 年 1 月到 2020 年 4 月新冠肺炎疫情期間，台. ‧. 股指數與其他衍生性產品市場的波動率都處於高峰期，若此時以歷史波動率代入. sit. y. Nat. 評價模型，可以發現 B-S 模型的定價價格會與市場價格相距甚大。這現象也顯示，. n. al. er. io. B-S 模型將波動率假設為恆定值會受到波動率的高峰期與低峰期影響甚大，使模. i Un. v. 型定價結果在市場不穩定期間失去參考價值，故應更改此項假設。. Ch. engchi. 在已知選擇權交割價 K、股票現價 S、無風險利率 r 以及選擇權交割到期時 間 T 的情況下，利用標的股的波動率代入 B-S 模型，即可得到一 B-S 模型估計的 標的股選擇權合理價格。而股票的波動率估計大致有兩種方法，一種是「歷史波 動率」而另一種是「隱含波動率」。其中，「歷史波動率」是利用過去一段時間 標的股報酬率的標準差來估計未來市場的波動率；而「隱含波動率」則是利用 BS 模型將選擇權交割價( K )、股票現價( S )、無風險利率( r ) 等資訊代入 B-S 模 型後利用模型公式反推而來的波動率估計。Canina and Figlewski (1993 ) 的研究 2 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(10) 顯示，相較於未修正的「隱含波動率」，「歷史波動率」更能顯掌握市場與未來 波動度的資訊，因此，本文在做台股指數市場研究時所使用的波動率為「歷史波 動率」。. 第二節 研究目的與方法. 此篇論文主要目的為修正兩項 B-S 模型在台股指數市場下有誤的假設，並在 新的假設下做選擇權定價模型的建構。首要想解決的問題是 B-S 模型的常態假設. 政 治 大 在台股指數市場中是否合理？觀察台股指數日收盤價資料後，可以看出其報酬率 立. ‧ 國. 學. 的分配在尾端並不如常態分配般平坦，而是有些厚度的，因此，我們認為若利用 學生 t 分配配飾隨機誤差後來建立定價模型，相較於常態分配來說， t 分配可能. ‧. 更能掌握分佈尾端厚尾的現象，也可能因此假設的變動而提升模型在台股指數市. y. Nat. n. al. er. io. sit. 場的定價更有績效。. Ch. i Un. v. 再者，波動率假設為恆定值一直是 B-S 模型為人詬病的一項假設，本文以具. engchi. 兩種不同的隱藏狀態的隱藏馬可夫鏈來描述波動率的變動，此兩種狀態可以看作 是波動率的高峰期與低峰期。接著，再利用 Baum-Welch 法 (1970) 來計算歷史波 動率的隱藏馬可夫鍊的各項係數，如初始狀態機率、轉換機率矩陣以及兩狀態下 波動率的平均值等。計算出各項係數後，利用以學生 t 分配配飾隨機誤差推導出 的 TDB-S 定價模型，結合 Pedler (1972) 所推導的兩狀態馬可夫鏈佔據時間的聯 合機率分配建立出新定價模型 ODMMTD。此模型相較於 B-S 模型不僅更能掌握 台股指數報酬率分佈厚尾的分佈狀態，也能表現出市場上波動率在隱藏馬可夫鍊. 3 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(11) 移動的狀態，使模型在定價時不再受到波動率高峰期與低峰期的影響而嚴重高估 或低估選擇權價格，進而使模型定價能更貼近市場價格。. 第三節 研究架構與流程. 本文總共分成五個章節，首章節緒論闡述研究動機與目的，使讀者能快速了 解此論文的主軸與研究方向。第二章為文獻探討，主要講述此篇論文所使用的技 術來源，以及 B-S 模型修正有關與波動率轉換有關的佐證論文，其中包含隱藏馬. 政 治 大 可夫鏈 ( Banachweicz, K., and A. Lucas. 2008 )、雙狀態佔據時間的聯合機率分配 立. ‧ 國. 學. ( Pedler 1972 )、制度轉換對選擇權定價的影響 ( Elliot, Chan, and Siu 2005 )、 forward Kolmogorov equation 以及二維馬可夫調整模型 ( Son-Nan Chen, Hsu ,. ‧. and Liang 2019 ) 等文獻探討。. io. sit. y. Nat. n. al. er. 第三章闡述建立新評價模型的過程，首先會以台股指數的歷史數據來說明. Ch. i Un. v. B-S 模型假設在台股指數市場的不合理之處，接著利用推導出的廣義 Ito-lemma. engchi. 證明某投資組合 𝜋 為無風險的投資組合，而後建立以學生 t 分配配飾隨機誤差的 選擇權定價模型 ( t-distribution based B-S model, 後簡稱 TDB-S model )。. 推導出初步模型後，第四章再將波動率視為有兩種狀態的隱藏馬可夫鏈，利 用兩狀態佔據時間 (occupation time) 的聯合機率分配與 TDB-S 模型做結合成為 新 的 選 擇 權 定價 模 型 稱作 一 維 馬可 夫 調 整 t 分 配 評 價模 型 (One-dimension Markov-modulated t distribution model, 後簡稱 ODMMTD model)，並簡單介紹轉. 4 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(12) 移速率矩陣 (Transition Rate Matrix) 與 Baum-Welch 迭代法如何解決 HMM 模型 的學習問題。. 第五章利用推導出的 TDB-S 與 ODMMTD 兩模型，與 B-S 模型和 ODMM 模 型 (Son-Nan Chen, Hsu , and Liang 2019) 四種不同模型搭配歷史估計量、最大概 似估計量與動差估計量三種不同估計量利用 2019/4/1 至 2020/4/1 的台指選擇權數 據做買權的定價，比較四模型定價價格與實價的差異，並分別以 MAE ( Mean Absolute Error )、MPE ( Mean Percentage Error )、RMSE ( Root Mean Square Error ). 政 治 大. 作為績效評分方法來做四模型績效評估。. 立. y. al. n. io. sit. Nat. er. ‧. ‧ 國. 學. Ch. engchi. i Un. v. 5 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(13) 第二章 文獻探討 自 1973 年 Black & Scholes 模型問世以來，便有許多學者對於資產報酬率的 常態分配假設存有質疑並加以研究，如 Mandelbort (1963)、Fama (1965) 等學者， 研究發現常態分配並無法完全掌握資產報酬率的分配，因為其厚尾與高峰現象是 常態分配無法表現出來的特性，因此多數學者認為常態分配不足以用來配飾資產 報酬率的分佈，應以比常態分配更具厚尾特性的學生 t 分配取代之。. 政 治 大 Engle (1982) 利用時間序列配飾股價波動率時時提出了 ARCH 模型，其模型 立. ‧ 國. 學. 中首度將利用時間序列配適波動率，使得波動率的假設不再為恆定值。在 ARCH 模型提出後，各式以 ARCH 模型為基礎的修正模型紛紛問世，如 GARCH、ARCH-. ‧. M、NARCH 等等。在這些將波動率視為隨機過程的定價模型問世之後，許多學. y. Nat. io. sit. 者也開始研究利率恆定性的問題，並將利率視為隨機過程來建立定價模型，之後. n. al. er. 更出現了隨機利率結合隨機波動模型與跳躍波動模型等等。. Ch. engchi. i Un. v. 本章共分為三個小節討論，第一節將整理古今中外各國學者對於資產報酬率 分佈服從常態分配的懷疑，並指出資產報酬率的分配應為具厚尾的學生 t 分配； 第二節將探討波動率自恆定性假設演變到如今的隨機波動的過程與各個波動率 估計與配飾方式的優缺點；第三節會介紹至今為止的幾個定價模型，並觀察各模 型在不同市場下的定價績效表現，並比較優劣。. 6 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(14) 第一節 資產報酬率分配. 1973 年 Black and Scholes 提出了著名的公式解選擇權定價模型簡稱 B-S 模 型，此模型的問世對當時的金融領域造成了一股轟動，之後更引發多位學者在 B-S 模型的基礎上建立新的選擇權定價模型。B-S 模型是假設在資產價格服從幾 何布朗運動、無風險利率為定值與波動率為定值下，利用資產價格與其衍生性產 品相互對沖的無風險投資組合推導出的定價模型，模型如下：. （一）模型假設. 政 治 大. 立. ‧ 國. 學. 1. 股價變動服從幾何布朗運動：. ‧. 即 𝑑S& = rS& 𝑑𝑡 + σS& 𝑑Z& . Nat. er. io. sit. y. 2. 無風險利率 r 是恆定值 3. 市場不存在稅收與交易成本. n. al. Ch. engchi. i Un. v. 4. 證券完全可分割（可取得任意張數的股票） 5. 歐式期權 （二）定價模型 S= = S& ・N(d? ) – K・eBC(=B&)・N(d; ) 其中， d? =. G M6 DEF H JK(LK )(NBO) I. 6. P・√ NBO. ；. 7 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(15) d; = 𝑑? – 𝜎・√ 𝑇 − 𝑡 ； S= ：期權合理價格 ； S& ：交易的金融資產現價 ； K：期權交割價格 ； r：連續複利記無風險利率 ； N()：常態分配累積分佈函數。. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. B-S 模型在發表後受到眾人的推廣，Black and Scholes 兩位學者並在 1997 年 時獲得了諾貝爾經濟學獎的肯定。然而， B-S 模型對於資產報酬率服從常態的假. ‧. 設在發表之後便受到眾多學者的挑戰與懷疑。. io. sit. y. Nat. n. al. er. 最早提出資產報酬率不服從常態分配的學者為 Mandelbort (1963) 與 Fama. Ch. i Un. v. (1965)，他們以時間序列的方法分析資產報酬率的分佈，其研究結果除了顯示資. engchi. 產報酬率不服從常態外，也發現資產報酬率分佈具有厚尾、尖峰與不對稱的特性， 並指出股票市場具波動群聚現象 (volatility clustering) 或稱波動率的持續性，即 表示當市場處於大波動時，伴隨而來的將是大波動；反之，小波動出現後將跟隨 著小波動。. 而後 Praetz (1972)、Blattberg and Gonedes (1974) 分別針對雪梨交易所及美 國道瓊指數的資產報酬率進行研究，Praetz (1972) 取自 1958 年後 8 年期間的 30 檔股票的報酬率分佈作為研究樣本，研究時利用學生 t 分配、常態分配、柏拉圖 8 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(16) 分配等多種不同分配對此 30 檔股票資料集做檢驗，其研究結果顯示，在眾多分 配比較過後，學生 t 分配對於資產報酬率具有最佳的配飾度；而 Blattberg and Gonedes (1974) 是取 1957 年至 1962 年美國道瓊指數內 30 個股票價格做單日報酬 率分析，同樣地，其研究結果也顯示，學生 t 分配相較於其他分配更能掌握資產 報酬率分配。. Upton and Shannon (1979) 與 Gray and French (1990) 兩者的研究結果也顯 示，單純以常態分配來闡述資產報酬率的分配並不夠精確，因為資產報酬率的厚. 政 治 大. 尾現象是常態分配無法表現出來的。其中，前者是隨機挑選美國 50 家上市公司. 立. 235 個月的資料進行分別進行單公司與多公司投資組合的日報酬、月報酬、季報. ‧ 國. 學. 酬與年報酬的常態分配檢定，結果顯示：多公司投資組合的報酬率分配較單公司. ‧. 報酬率分配更為貼近常態、單公司報酬率分配在考慮月報酬率、季報酬率、年報. sit. y. Nat. 酬率下，其分配與常態分配有所差異，而若考慮日報酬率的分配會相較於前三者. n. al. er. io. 貼近於常態；Gray and French 的研究是以 S&P500 指數與多檔美國個股的股價. i Un. v. 報酬率作為研究的目標，其研究以各個可能的分配做資料適合度檢驗，除了先前. Ch. engchi. 的 Praetz (1972) 檢驗過的分配外，Gray and French (1990) 再加入了幾項特別的 分配，如羅吉斯分配等，來做資料分配的檢定，其結果仍顯示眾多分配中，以學 生 t 分配最適合用於模擬股價報酬率分配。. Aparicio and Estrada (2001) 對歐洲十三個證券市場的日資料做股價報酬率 分佈的分析，結果顯示：幾乎所有資料都可以利用學生 t 分配來描述，僅一小部 分的資料可以用兩常態分佈的結合來表現，更進一步表示若僅使用一般的常態分 配做為報酬率分配模擬時，相較於其他分配會與市場實際狀況有最大的誤差。 9 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(17) 近年來，Lu (2005)、Xu and Hou (2006) 等學者也以不同方法與不同的市場實 際資料驗證了典型財務數據普遍具有高峰厚尾的特性，並一致認為常態分配不能 完全反映出實際數據的特徵；Hu and Kercheval (2009) 以美國五檔個股 2002/01 至 2005/04 的資訊做資產報酬率分佈的分析，其結果發現在多個分配中，以學生 t 分配與偏學生 t 分配配飾資產報酬率分佈最佳，Daniel, Michael and Rachid (2010) 研究了 S&P500 指數與道瓊指數報酬率分配，並指出在描述上述兩種市場的報酬 率分配時，以學生 t 分配來配飾非常合適。. 立. 政 治 大. 台灣學者林楚雄、吳欽杉、劉維琪 (2000) 以台灣店頭市場為研究目標，以. ‧ 國. 學. 1995 年至 1999 年共計 949 筆的日資料作為分析樣本，其研究結果發現，台灣店. ‧. 頭市場的波動率具有高度的持續性，且指出有明顯證據拒絕台灣店頭市場報酬率. y. sit. n. al. er. io. Nat. 服從常態的假設。. i Un. v. 除了台灣學者外，中國學者張慧蓮、汪紅駒 (2006) 與黃德龍、楊曉光 ( 2008 )，. Ch. engchi. 兩者皆研究了上海證券綜合指數與深圳證券交易所的股價指數，其結果都指出， 兩市場的股價報酬率具有尖峰厚尾的特性，學生 t 分配相較於常態分配更能配飾 其分配的特性；同為中國學者的 Chen and Yu ( 2013 ) 在研究中國歐式選擇權波 動率現象時，利用 Q-Q 圖檢測發現對數報酬率的分配不服從常態，且明顯看得出 厚尾現象。. 第二節 波動率性質. 10 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(18) 在時間序列分析模型中，Engle (1982) 首度提出了以時間序列形式表現波動 率狀態的自我回歸條件變異數 ( ARCH ) 模型，此模型不僅使波動率假設不再是 定值，更因為自我相關回歸的特性而能表現出波動率的群聚效應，使得 ARCH 模 型在當時的計量經濟領域中獲得了廣大的迴響。然而，因為 ARCH 模型僅假設當 期條件變異數與過去 p 期條件變異數誤差有相關即：. 如果 εO ～ARCH(q) 𝑌O = 𝛽𝑋O + εO . εO = YhO VO . 立. 政 治 大. E(εO ) = 0、Var(εO ) = 𝜎𝑡 ; > 0 且 E( ε𝑡 ε𝑡−1) = 0 . ‧ 國. 學. 其中，VO ]]^ N(0,1) ，hO = c + a?ε; OB? + …… + a` ε; OB` ～. ‧. 且 ∀ i > 0 , VO 與 εOB] 獨立. io. sit. y. Nat. n. al. er. 因為僅假設與過去 q 期誤差有相關，為了更充分刻畫出波動率的波動過程，. Ch. i Un. v. 往往會需要很多參數，也就表示在建立模型時需取較長的遞延期，如 AR(4)、AR(8). engchi. 等等，這種長期的遞延雖然能讓模型模擬出更細微的波動率變化，但是會增加解 釋上的困難。因此，Bollerslev (1986) 在 ARCH 模型的基礎上提出廣義自我回歸 條件變異數模型( GARCH )，除了假設當期條件變異數與前 q 期條件變異數誤差 有相關外，也假設當期條件變異數與前 p 期條件變異數有相關即：. εO ～GARCH(p,q) 𝑌O = 𝛽𝑋O + εO . εO = YhO VO , εO ~ N(0, hO ) 11 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(19) E(εO ) = 0、Var(εO ) = 𝜎𝑡 ; > 0 且 E( ε𝑡 ε𝑡−1) = 0 其中，VO ]]^ N(0,1) ～ hO = c + a? ε; OB? + …… + a` ε; OB` + β? hOB? + …… + βf hOBf 且 ∀ i > 0 , VO 與 εOB] 獨立. 其研究結果發現，GARCH 模型相較於 ARCH 模型不僅更具解釋能力、更能 掌握資產報酬率的厚尾現象且遞延期較具一般性，即不用像 ARCH 模型因為假 設的不足而需要取較長的遞延。而 Bollerslev (1987) 再提出了 GARCH-T 模型，. 政 治 大 其模型以學生 t 分配取代原始 GARCH 模型的資產報酬率誤差項的常態分配，分 立. ‧ 國. 學. 析結果顯示 GARCH-T 模型在報酬率厚尾的表現上更為突出。ARCH 與 GARCH 模型同時也表現出股價各期間的波動並非獨立，而是有前後相關的，也代表了股. ‧. 票波動具有持續性（波動群聚性）。. io. sit. y. Nat. n. al. er. 1987 年全球股市大崩盤，各國投資人更開始對波動率的恆定性產生懷疑，. Ch. i Un. v. Hull and White (1987) 共同發表了 Hull & White 隨機波動性模型，模型假設如 下：. engchi. 𝑑S& = ɸS& 𝑑t + σ& S& 𝑑Z& 𝑑σ&= 𝜇σ& 𝑑t + Δσ& 𝑑W& 其中，𝑑Z& 、𝑑W& 為維納過程且 cov (𝑑𝑍O , 𝑑𝑊O ) = 𝜌・d t 。. 12 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(20) Hull and White 並以此模型與 B-S 模型的定價對 S&P500 市場實價做比較， 其比較結果發現，在價平範圍內，B-S 模型的理論價格會明顯高於 Hull & White 隨機波動性模型，並表示若波動率與股價存在相關性時，不論正相關抑或是負相 關，隨機波動模型相較於 B-S 模型皆有明顯改善的跡象。. 在 Hull & White 模型提出後，陸續出現 Scott (1987)、Wiggins (1987)、Heston (1993) 等學者在波動率隨機運動的假設上做更正後，以 Hull & White 模型為基 礎建立出 Scott 定價模型與 Wiggins 定價模型。其兩者的修正分別如下：. 政 治 大. 立. 一、 Scott 模型的波動率. ‧ 國. 學. 𝑑S& = ɸS& 𝑑t + σ& S& 𝑑Z& . ‧. 𝑑σ&= 𝛽(σ q − σ& )𝑑 t + 𝛾𝑑W& . sit. y. Nat. n. al. er. io. 即 𝑑𝜎O 服從 Ornstein-Uhlenbeck 過程 其中，𝑑Z& 、𝑑W& 為維納過程。. Ch. engchi. i Un. v. 二、 Wiggins 模型的波動率 𝑑S& = ɸS& 𝑑t + σ& S& 𝑑Z& 𝑑σ&= f(σ& )𝑑t + Δσ& 𝑑W& 其中，𝑑Z& 、𝑑W& 為維納過程且 cov (𝑑Z& , 𝑑W& ) = 𝑑Z& ・𝑑W& 。. 13 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(21) 三、 Heston 模型的波動率 𝑑S& = ɸS& 𝑑t + YV& S& 𝑑Z& 𝑑V&= 𝜅(𝜃−Vt ) d t + ΔYV& 𝑑W& 其中，𝑑Z& 、𝑑W& 為維納過程。. Bakshi, Cao and Chen (1997) 用 S&P500 指數資料，分別以「B-S 模型」、「隨 機波動模型」(SV)、「隨機波動及隨機利率模型」(SVSI) 與「隨機波動與波動跳. 政 治 大 動模型」(SVJ) 四模型做定價後進行比較，其結果發現四模型的績效由最優到最 立 ‧. ‧ 國. 的影響甚大。. 學. 差分別是 SVJ、SVSI、SV、B-S，此結果也說明波動率的跳動狀態對於定價績效. y. Nat. io. sit. Corrado and Su (1998) 也以 S&P500 市場最為分析指標，比較 Hull & White. n. al. er. ( 1987 ) 隨機波動模型與其他固定波動模型在定價上的表現，其研究結果顯示，. Ch. i Un. v. 隨機波動模型的定價明顯優於固定波動模型；Nandi (1998) 探討在 S&P500 市場. engchi. 中，股價與波動性之間的關聯性，並發現當股價與波動之間具有關聯時，不管 是價內、價外、價平，隨機波動模型相較於固定波動模型在定價上皆有明顯改 善；Jiang (1999) 同樣以 S&P500 指數作為模型比較的資料集，分別用 sMSV 模 型、 aMSV 模型與 SVCI 等模型進行定價，其結果發現，加入隨機波動性的模 型其模型誤差顯著的降低。. 除了外國學者，台灣也有許多學者對於國內選擇權市場在隨機波動率模型下 的績效是否優於固定波動模型做研究。然而，國內學者的研究大多以 B-S 模型為 14 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(22) 定價模型，再以不同的波動率估計方式代入 B-S 模型中，如趙其琳 (1999)、曹金 泉 (1999)、楊玉菁 (2001)、林敦舜 (2002) 等學者，鮮少使用放寬的模型做比較。 單應翔 (1999) 以台灣第一支認購權證大華 01 作為研究對象，取自 1997 年 9 月 4 日到 1999 年 1 月 30 日的日收盤資料作為分析樣本，比較 B-S 與 SRCEV 兩 定價模型在不同波動率估計方式如隱含波動率、歷史波動率、ARCH 與 GARCH 下的績效，結果顯示除了隱含波動率外，在其他幾個波動率估計下，SRCEV 模型 效率皆優於 B-S 模型。. 立. 政 治 大. 陳香君 (2001) 以台股權證作為研究對象，以 GARCH 模型估計波動率，並. ‧ 國. 學. 代入 Hull & White 模型中，再分別以不同的波動率估計方式如歷史波動率、隱. ‧. 含波動率，以及不同的模型如 B-S 模型，比較各參數與模型之間的差異，其結果. y. sit. n. al. er. io. Nat. 發現隱含波動率搭配 Hull & White 隨機波動模型的定價績效是最佳的。. i Un. v. 汪傳政 (2002) 對 16 支認購權證做分析，以最小誤差平方估計法，對不同的. Ch. engchi. 資料型態做參數估計後代入 Heston 隨機波動模型與 B-S 模型中做定價比較，研 究結果顯示，Heston 隨機波動模型績效普遍優於 B-S 模型；陳浚泓 (2003) 利用 Hull & White 模型、Heston 隨機利率模型與 B-S 模型配合不同的波動率估計方 式，比較三模型在台股指數選擇權市場的績效，以理論價值在價內、價平、價外 的誤差來做評估，結果發現兩模型皆有高估的現象，且認為隨機模型並沒有顯著 優於 B-S 模型。. 15 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(23) 謝美鳳 (2003) 以台股指數為研究對象，比較 B-S 模型與二項式樹狀模型， 分別利用隱含波動率、歷史波動率以及 GARCH 波動率代入模型，利用絕對值平 方誤差、乖離率以及均方根誤差三指標做績效評比，研究結果顯示波動率的估計 中以歷史波動率估價最貼近市場價格，且定價模型以二項式樹狀模型優於 B-S 模 型。關旭東 (2004) 同樣以台股指數選擇權做研究樣本，分別以 Hull & White 與 B-S 模型再以不同的波動率估計方式代入模型做比較，其研究結果顯示 Hull & White 模型搭配 GJR-GARCH 波動率在台股指數市場定價上效果最佳。. 治 政 定價模型 第三節. 大. 立. ‧ 國. 學. 除了驗證資產報酬率具厚尾高峰現象與波動率的群聚性等研究，許多學者也 以 B-S 模型為基礎，重新做市場的假設與放寬 B-S 模型假設後重新建立新的選擇. ‧. 權定價模型，並以放寬條件後的定價模型與 B-S 模型分別搭配不同的參數估計量. y. sit er. io. al. iv n C h e n g c( Pure-Jump model ) Cox and Ross (1976) 提出單純跳躍模型 解釋資產價格 hi U n. Nat. 做績效的比較。. 時常因市場上的重大變動或人為操作而有大幅度地跳動。Merton (1976) 對 Cox and Ross 提出的單純跳躍模型進行修正後，提出跳動擴散模型 ( JumpDiffusion model ) 使模型不僅能掌握波動率的跳動且能展項資產報酬的厚尾現象. Jarrow and Rudd (1982) 同樣以 B-S 模型為基礎，並利用 B-S 定價價格加上 調整項，其中調整像取決於股票價格的高階動差，加入調整項後使得模型更能展 現標的資產分配的偏態與峰態，且可以在不知道資產價格分配下進行定價，只需. 16 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(24) 利用股票價格的高階動差來做修正項的調整，其研究結果發現，加入調整項的新 模型相較於 B-S 模型更能在不同的金融資產衍生性商品中靈活應用； Corrado and Su (1996) 利用 Gram-Charlier 展開式將 B-S 模型加入分配的偏態與峰態參數， 使模型更能掌握股票價格的分配，並利用 S&P500 的選擇權資料進行分析比較， 研究結果發現加入偏態與峰態修正的 B-S 模型較員使模型誤差明顯降低。. Hamilton (1989) 提出馬可夫狀態轉換模型 ( Markov Regime-Switching Model ) 指出利用馬可夫鏈配飾波動率狀態轉換相較於 B-S 模型更能展握資產報. 政 治 大. 酬率尖峰厚尾的現象以及波動率群聚性的特性，使模型定價更貼近市場價格。. 立. Ishijima and Kihara (2005) 利用隱藏馬可夫鏈配飾波動率狀態轉換，並以 2000/01. ‧ 國. 學. 至 2002/12 的 TOPIX 對數價格日資料證明此模型更能展現市場波動率微笑的現. y. sit. n. al. er. io. Nat. 波動群聚性。. ‧. 象，且指出相較於隨機波動模型，隱藏馬可夫鏈模型更具解釋能力，且更能掌握. i Un. v. Liew and Siu (2010) 利用 2008 年至 2010 年 IBM 股價的收盤價比較 HMM. Ch. engchi. 模型與 Black-Scholes-Merton 兩模型的定價績效，實證認為 HMM 模型定價的誤 差顯著的低於 Black-Scholes-Merton 模型。林宜嫻 (2012) 利用黃金的選擇權價格 比較馬可夫狀態轉換模型與 B-S 模型的績效，並利用模型的 MLE 做參數估計， 結果發現馬可夫狀態轉換模型較 B-S 模型定價更優. Chen, Pao and Kuo (2018) 利用兩種狀態的隱藏馬可夫鏈分別配飾波動率與無風 險利率的狀態，並利用兩佔據時間的聯合機率分配結合 B-S 模型建構了 ODMM 模 型 ( One-dimension Markov-Modulated ) 與 TDMM 模型 ( Two-dimension 17 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(25) Markov-Modulated )，並考慮市場的循環特性融入模型中，以 S&P50 的資料來做 模型的比較後發現，TDMM 模型較 ODMM 模型誤差小，顯然定價模型應該同時 考慮波動率轉換與利率轉換的風險。. 立. ‧ 國. y. sit er. al. n. io. Nat. ‧. 學. 政 治 大. Ch. engchi. i Un. v. 18 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(26) 第三章 TDB-S 模型建立. 第三章首節會以台股指數 2019 年 04 月 01 日到 2020 年 04 月 01 日的資料來 驗證 B-S 模型的常態分配假設是否正確；接著再以相同的資料來驗證波動率設為 恆定值的假設在台股指數市場下是否合理。若驗證結果顯示市場表現與模型假設 有出入，則更改其假設並在新的假設上建構定價模型。. 第二節中，根據首節驗證的台股指數選擇權的報酬率與 B-S 模型的常態假設. 政 治 大 明顯不同，因此做常態假設的修正，將隨機誤差項常態分配改為學生 t 分配。更 立. ‧ 國. 學. 改隨機誤差分配後，股價變動已不再是一 Ito-process，使得原始的 Ito-lemma 不 再適用，因此第二節將推導一個隨機誤差項為學生 t 分配可以適用的 t-Ito-lemma. ‧. 以利之後模型建立時使用。. sit. y. Nat. n. al. er. io. 第三節利用 t-Ito-lemma 驗證投資組合 𝜋 為無風險投資組合，並在無風險投. i Un. v. 資組合下將無風險利率與模型做連結。第四節利用無風險投資組合報酬率為無風. Ch. engchi. 險利率的關係式，將標的股的期望報酬率 𝜇 與無風險利率 r 的關係式找出。在 B-S 模型的假設下，標的股的期望報酬率即為無風險利率，然而，當模型假設隨 機誤差項為學生 t 分配後，其關係式必定有所差異，因此必須另外找出它們的關 係式，以避免模型產生額外的模型誤差。第五節在所有前置作業完成後，結合各 小節推導的式子，建構 TDB-S 定價模型。. 19 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(27) 第一節 B-S 模型假設驗證. 從文獻探討的結果可知，多數學者對於各個金融市場的資產報酬率研究發 現，常態分配無法精確的掌握資產報酬率的厚尾與高峰現象。有許多學者對台股 指數市場的資產報酬分配做研究也發現相同的情形。本節將再次對台股指數市場 的報酬做常態分佈的檢定，並同時做單日報酬到二十日報酬的檢定，觀察本研究 所使用的分析資料是否也與常態分佈的假設有所出入。. 一、 常態假設驗證. 立. ‧ 國. 學. 政 治 大. 在 B-S 定價模型中，其模型假設為：股價變動服從幾何布朗運動、波動率與. ‧. 無風險利率為恆定值、且不存在稅收與交易成本。其中，股價變動本身也是一個. sit er. io. y. Nat. Ito-process 即：. n. al. i n C&h,t)𝑑t + b(S&,t)𝑑ZU 𝑑S& = rS& 𝑑t + σS& 𝑑Z& = a(S , engchi &. v. 其中 a(S& ,t) = rS& , b(S& ,t)= σS& , 𝑑Z&～ N(0, 𝑑t) 。. 若給定 𝑑𝑋O 為一個 Ito-process 且函數 f(𝑋O ,t)為一個二階可微分的函數，則根據 Ito-lemma：. xy. xy. ? x6 y. xy. d f(X& , t)=( x& + xz a(S& , t) + ２ xz6 b(S& , t); ) 𝑑t + xz b(S& , t)𝑑Z& 20 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(28) 令 f(S& , t)= lnS& ,. xy x&. xy. = 0 ,. x/. ?. =. /1. xy. B?. x/. /1 6. , =. 56. 56. ２. ２. ⇒ 𝑑𝑙𝑛S& = (r – ) 𝑑t+ σ・𝑑Z& ～N((r – )𝑑t , σ; 𝑑t) 56. 56. ２. ２. ⇒ ln(S= ) – ln(S& ) = (r – )(T−t) + σ(Z= – Z&) ～N((r – )(T–t), σ; (T–t)) 56. /. ⇒ ln /0 ～ N((r – )(T-t), σ; (T-t)) ２. 1. ⇒ 在 B-S 模型假設下複利記股價報酬率服從常態。 . 因此當驗證 B-S 模型的常態誤差項假設是否正確時，可以藉由觀察股價報酬. 政 治 大 率是否服從常態來驗證。以下取台股指數 2019/04/01－2020/04/01 的收盤價資料 立 ‧. ‧ 國. 學. 來做檢驗，檢驗資料共 244 筆，檢驗步驟如下：. y. Nat. io. sit. 1. 將股價取對數。. n. al. er. 2. 將對數股價取遞延 1 期至遞延 20 期，即為單日報酬至 20 日報酬的資料。. Ch. i Un. v. 3. 對遞延 1 期至遞延 20 期的資料做 shapiro-wilks (1965) 常態檢定，看其分 佈是否服從常態。. engchi. 其中，遞延 1 期表示 𝑋O –𝑋OB? , t = 2,……,61；遞延 2 期表示 𝑋O –𝑋OB; , t = 3,… …,61，依此類推。檢驗結果結果如 <表一> 所示：. 註：此處使用 R 語言內建的 shapiro - wilks 常態檢定。. 21 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(29) 表 3.1 台股指數資產報酬常態檢定 lag. W-statistics. p-value. result. 0. 0.94598428. 7.47E-08. not normal. 1. 0.82728117. 9.74E-16. not normal. 2. 0.81548641. 3.03E-16. not normal. 3. 0.81203797. 2.31E-16. not normal. 4. 0.77420227. 6.91E-18. not normal. 5. 0.75322791. 1.25E-18. not normal. 6. 0.72862969. 7. 0.72174476. 0.72336379. 1.69E-19. 0.72103641. 1.56E-19. y. not normal. 0.73254894. 4.13E-19. sit. ‧ 國. 8.33E-20. not normal. al. not normal not normal. n. er. io. 11. not normal. 0.71526554. Nat. 10. 1.23E-19. ‧. 9. not normal. 學. 8. 立. 政 治 1.90E-19 大. i Un. v. 12. 0.74686511. 1.41E-18. 13. 0.75567926. e n g c3.19E-18 hi. not normal. 14. 0.76223899. 6.07E-18. not normal. 15. 0.76576426. 8.97E-18. not normal. 16. 0.77206071. 1.69E-17. not normal. 17. 0.77236567. 1.90E-17. not normal. 18. 0.77107188. 1.87E-17. not normal. 19. 0.77073184. 1.99E-17. not normal. 20. 0.77351096. 2.77E-17. not normal. Ch. not normal. 22 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(30) 由 <表 3.1> 結果顯示，對 2019/04/01－2020/04/01 的台股指數收盤價價格資 料，做複利報酬率分佈的 shapiro 常態檢定，發現不論是單日報酬或多日報酬， 其分配均有明顯證據顯示不服從常態分配。因此認為 B-S 模型的假設在台股指 數市場下並不適用，此驗證結果表示利用 B-S 模型對台股指數選擇權定價，可能 無法完全掌握資產報酬率的分配，而造成定價的偏差。. 我們進一步將遞延 1 期至遞延 3 期的分佈圖形畫出，觀察其布狀況與常態分 佈的差異之處為何，如 <圖 3-1> 與 <圖 3-1> 所示。由 <圖 3-2> 可以發現，. 政 治 大. 𝑑𝑙𝑛𝑆O 的分配在兩尾的分佈並不像常態分佈如此平坦，而是稍微有點厚度，且由. 立. <圖 3-1> 可以觀察到報酬率分配應具有偏態與峰態。因此猜測利用學生 t 分配. ‧ 國. 學. 來配飾隨機誤差項，會使得模型更能掌握複利報酬率兩尾的厚度以及分配的尖峰. y. sit. n. al. er. io. Nat. ‧. 現象，使模型定價更為貼近市場價格。. Ch. engchi. i Un. v. 23 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(31) 圖 3-1 資產報酬率分佈. 學. ‧ 國. 立. 政 治 大. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 圖 3-2 資產報酬率分佈尾段 24 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(32) 二、 波動率常數假設驗證. 除了模型分配的假設與台股指數資料實際狀況有所不同外，波動率假設為恆 定值在台股指數市場顯然也是一個很大的錯誤，下圖將以同筆資料畫出台股指數 波動率的走勢圖，如 <圖 3-3> 所示。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. io. sit. y. Nat. n. al. er. 圖 3-3 台股指數波動走勢圖. Ch. engchi. i Un. v. 由 <圖 3-3> 可知，若將波動率假設為定值，必定會與市場實際狀況有所出 入。當在估計波動率時，不同的投資者會以不同的時段做波動率的估計，若是有 些投資者在估計波動率時取的時段剛好位於波動率高峰期，則會高估市場波動率， 而造成高估選擇權價格的問題，反之，若剛好為波動率低峰期則會低估市場波動 率。因此，在做選擇權定價時，不應只使用單一的歷史波動率做估計，此論文中 將波動率假設為有兩種隱藏狀態的馬可夫鍊，再利用 Baum-Welch 法來偵測股市 波動率的隱藏狀態，使模型更能掌握市場波動率的實際變動情形。. 25 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(33) 第二節 常態假設修正. 由 <表 3-1> 的結果可以得知，對於台股指數的日收盤價資料而言，其資產 報酬率皆有明顯的證據顯示不服從常態，而此結果明顯與 B-S 模型的假設有所出 入，若不更動此假設便會造成模型誤差的增加，使模型的定價價格失去參考價值。 因此，本節將以學生 t 分配取代 B-S 模型中隨機誤差項的常態分配，使模型更能 掌握資產報酬厚尾的現象。. 政 治 大. 一、 模型修正. 立. ‧ 國. 學. 在 B-S 模型中，模型假設股價變動服從幾何布朗運動，即：. ‧ sit. y. Nat. 𝑑S& = 𝜇S& 𝑑t + σS& 𝑑Z& ，其中 Z& 為布朗運動. n. al. er. io. ⇒ 𝑑S& = 𝜇S& 𝑑t + σS& ε√𝑑t , 其中 𝜀～N(0,1) ………………………………….(3-1). Ch. engchi. i Un. v. 由第一節資料驗證結果得知，隨機誤差項 𝜀 的常態假設與市場實際情形有 所出入，因此，欲將 𝜀 的分配改為學生 t 分配後，再進一步推導模型。即將 (3-1) 式修改如 (3-2) 式所示. 𝑑S& = 𝜇S& 𝑑t + σS& 𝜀・√𝑑t , 其中 𝜀～t(𝑑𝑓) ………………………………………(3-2) 令 𝑑S& = a(S& ,t)𝑑t + b(S& ,t)𝜀 , 其中 a(S& ,t) = 𝜇S& , b(S& ,t) = σS& √𝑑t. 26 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(34) 對隨機誤差項的分配做更動後，股價變動的假設已不是 Ito-process，因此 無法直接使用 Ito-lemma，必須推導一個隨機誤差項為 t 分配的隨機過程能夠使 用的引理，才能做後續模型的建立，因此在下一節將推導 t-Ito-lemma 以利後續 建構模型使用。. 二、 t-Ito-lemma. 政 治 大. 由於模型修正後，股價變動不再是一個 Ito-process。因此原始的 Ito-lemma 在. 立. 新模型假設下的推導已不再適用，需要重新推導一個 t-Ito-lemma。首先，假設 . ‧ 國. 學. ΔX = a(S& ,t)𝛥𝑡 + b(S& ,t)𝜀 , 其中 𝜀～t(𝑑𝑓). ‧. y. Nat. n. er. io. al. sit. 令 f = f (x,t) 為一個二階可導函數，. ⇒ 𝛥f = f(x+𝛥x,t+𝛥t) – f(x,t). Ch. engchi. i Un. v. 其中，. f(x+𝛥x,t+𝛥t) = f(x,t) +. xy. 𝛥t + x&. xy. 𝛥x + xz. ? xy. ? xy. 𝛥t ; +; xz 𝛥x ; + ; x&. x6 y xz x&. 𝛥x𝛥t + ⋯⋯. ⇒ 𝛥f = f(x+𝛥x,t+𝛥t) – f(x,t) =. xy. 𝛥t + x&. xy. 𝛥x + xz. ⇒ lim 𝛥f = df = ‰&→‹. xy. ? xy. 𝛥t ; + ; x&. 𝑑t + x&. xy. ? x6 y. 𝛥x ; + ; xz6. x6 y xz x&. 𝛥x𝛥t + ⋯⋯. ? x6 y. 𝑑x + ; xz6 𝑑x ; ……………………………....……..……(3-3) xz 27 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(35) 其中，𝛥x𝛥t , 𝛥𝑡 ; 與其它 𝛥𝑡 的高次項趨近於 0 當𝛥𝑡 →0. 又 𝛥x ; = (a(S& , t)𝛥t + b(S& , t)ε ); = a(S& , t); 𝛥t ; + b(S& , t); ε; + 2a(S& ,t)b(S& ,t)．𝛥t．ε ⇒ Var(Δx ; ) = Var(a(S& , t); 𝛥t ; + b(S& , t); ε; + 2a(S& ,t)b(S& ,t)．𝛥t．ε) = Var( b(S& , t); ε; + 2a(S& ,t)b(S& ,t)． 𝛥t · ε). 政 治 大 = b(S ,立 t) Var(ε ) + 4a(S ,t)b(S , t) ．𝛥t．cov(ε,ε ) + •. ;. &. &. Ž. ;. 學. ‧ 國. &. 4(a(S& , t); ・b(S& , t); Δt ; ·var(ε; ). ‧ sit. io. n. al. er. ‰&→‹. y. Nat. 其中， lim 4(a(S& , t); b(S& , t); 𝛥t ;Var(ε; ) ≈ 0。. i Un. v. ⇒ lim Var(𝛥x ; ) = lim (b(S& , t)• Var(ε; )) + lim (4a(S& ,t)b(S& , t)Ž ．𝛥t．cov(ε,ε; )) ‰&→‹. ‰&→‹. Ch. ‰&→‹. engchi. ≈ 0 , if b(S& ,t) ∊ O(√𝑑t) ⇒ lim Δx ; = E(Δx ; ) =E(b(S& , t); ε; + 2a(S& ,t)b(S& ,t)． 𝛥t．ε) ‰&→‹. = (b(S& , t); E(ε; )+ 2a(S& ,t)b(S& ,t) ．𝑑t．E(ε) ^•. = b(S& , t); ^•B; ……………………………………………………….…....(3-4). 其中， 𝑑𝑓 是學生 t 分配的自由度且 E(ε) = 0 28 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(36) 再將 (3-4) 式帶入 (3-3) 式可以得到： . 𝑑f = =. xy. xy. 𝑑t + x&. 𝑑𝑥 + xz. xy. xy. 𝑑t + x& xy. = ( x& +. ? x6 y ;. xz6. ^•. ((b(S& , t); ^•B;). (a(S& ,t)𝑑t + b(S& ,t)ε) + xz xy. xy. ? x6 y ;. xz6. ^•. (b(S& , t); ^•B;). ? x6 y. ^•. a(S& ,t))𝑑t + xz b(S& ,t)ε + ; xz6 b(S& , t); ^•B; …………………….(3-5) xz. 政 治 大. 將 (3-5) 式 t-Ito-lemma 推導出來後，之後對於隨機誤差為學生 t 分配. 立. 的模型，在進行建構時便能直接利用此引理。在模型建構時，仿照 B-S 定價模型. ‧ 國. 學. 的建構過程，首先必須先利用標的股與其衍生性產品的對沖，建立一無風險的投. ‧. 資組合，藉由無風險投資組合的報酬率為無風險利率，推導出 TDB-S 模型的偏. sit er. io. y. Nat. 微分方程，再給定邊際條件 f(S= , T)，則可根據 Feynman-Kac 引理建構出模型。. n. a. v. l C 無風險投資組合 第三節 n i 𝜋. hengchi U. 由前一小節推導可以得知，當股價變動服從 𝑑X = a(S& ,t) 𝑑t + b(S& ,t)𝜀 且 b(S& ,t) ∊ O(√𝑑t) 時，則可以使用 t-Ito-lemma，即 (3-5) 式。. 根據 (3-2) 式：. 𝑑S& = 𝜇S& 𝑑t + σS& 𝜀・√𝑑t , 其中 𝜀～t (𝑑𝑓) 在新股價變動的假設下：a(S& ,t)= 𝜇S& , b(S& ,t)= σS& √𝑑t ∊ O(√𝑑t) 29 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(37) ⇒ 新模型的股價變動假設可以適用 t-Ito-lemma。. 令 f(S& ,t) 為某標的股 𝑆O 的衍生性產品價格，給定投資組合： . xy. 𝜋 = −f(S& ,t) +. x”H. S& xy. ⇒ 𝑑π = − 𝑑f + x” 𝑑S& H. 由 (3-2) 式與 (3-5) 式可知：. 政 治 大. 立. xy. ? x6 y. xy. ^•. a(S& ,t)) 𝑑t + x/ b(S& ,t)ε + ; x/ 6 b(S& , t); ^•B; x/. 𝑑f = ( x& 𝑑t +. 1. 1. xy x/1. ? x6 y. xy. ^•. ‧. xy. ⇒ 𝑑π = − (( x& 𝑑t +. 1. a(S& ,t))𝑑t + x/ b(S& ,t)ε + ; x/ 6 b(S& , t); ^•B;) + 1. 1. Nat. xy. y. xy. 學. ‧ 國. 𝑑S& = 𝜇S& 𝑑t + σS& ε√𝑑t . io. n. al. er. 1. sit. x/ (µS& 𝑑t + σS& ε√𝑑t) …………………………………………………….(3-6). Ch. engchi. i Un. v. 其中，a(S& ,t) = µS& , b(S& ,t) = σS& √𝑑t ，代入 (3-6) 式：. xy. ⇒ 𝑑π = − ( x& −. ? x6 y ; x/1. xy. 6. ^•. σ; S& ; ^•B;) 𝑑t −. xy x/1. µS& 𝑑t. xy. − x/ σS& ε√𝑑t + x/ ( µS& 𝑑t + σS& ε√𝑑t) 1. xy. = − ( x& −. 1. ? x6 y ;. x/6. ^•. σ; S& ; ^•B;) 𝑑t…………………………..……………………….(3-7). 30 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(38) 由 (3-7) 式可以發現，投資組合 𝜋 = −f(S& ,t) +. xy x”H. S& 的變動 𝑑π 不含隨機項. ε ，因此可知，投資組合 𝜋 是一個無風險投資組合，下一節將利用 t-Ito-lemma 以及泰勒展開式，將無風險利率 r 與市場期望報酬率 µ 做連結。. 第四節 風險中立市場下的 r 與 µ. 在風險中立的市場中，股價的成長率為無風險利率 r，而此小節欲將標的股. 政 治 大 的期望報酬率 µ 與無風險利率 r 的關係式找出。在 B-S 模型的假設中，隨著假設 立. ‧ 國. 學. 推演可以得知，其市場期望報酬率即為無風險利率，而當隨機誤差分佈更改委學 聲 t 分配後，期望報酬率與無風險利率的關係必有所改變。. ‧. n. al. er. io. sit. y. Nat. 根據 (3-2) 式. Ch. 𝑑S& = 𝜇S& 𝑑t + σS& 𝜀·√𝑑t , 𝜀～t (𝑑𝑓) 令 f(S& ,t) = ln(S& ) ⇒. xy x&. =0,. xy x/1. =. ? /1. ,. x6 y x/1. 6. =. engchi. i Un. v. B? /1 6. 利用 (3-5) 式的 t-Ito-lemma ,. xy. 𝑑ln(S& ) = ( x& 𝑑t +. xy. ? x6y. xy. ^•. a(S& ,t)) 𝑑t + x/ b(S& ,t)𝜀 + ; x/ 6 b(S& , t); ^•B; x/ 1. 1. ?. ?. 1. /1. = (0．𝑑t + / µS& )𝑑t +. 1. ? B?. ^•. σS& √𝑑t．𝜀 + ; / 6 σ; S& ; 𝑑t ^•B; 1. 31 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(39) ^•·56. = (𝜇 – ;(™B;)) 𝑑t + σε√𝑑t ……………...………………………………………....(3-8) ^•·56. ⇒ ln(S= ) − ln(S& ) = (𝜇 – ;(^•B;))(T–t) + σε√T– t . ^•·56. 令 a∗ = (𝜇 – ;(^•B;)) , b∗ = σ√T– t. ⇒ ln(S= ) = ln(S& ) + a∗ ．(T– t) + b∗ ．ε. 政 治 大. ⇒ S= = exp( ln(S& ) +a∗ ．(T– t) + b∗ ．ε ) =. /1. /. 立. exp(ln(S& ) +a∗ ．(T– t) + b∗ ．ε). 1. ?. /1. E( exp(ln(S& ) +a∗ ．(T– t) + b∗ ．ε) ). ‧. ⇒ E( /0 ) =. 學. /1. ?. ‧ 國. ⇒. /0. sit. y. Nat. io. er. 根據泰勒二項展開式：. n. al. f(x) = f(u)+ f œ (u) (x– u) +. C y (Ÿ) h žž. ;. engchi. (x– u); + ⋯⋯. i Un. v. 在給定 u = E(ε) 下：. /. E( /0 ) = 1. ? /1. E( exp(ln(S& ) + a∗ ．(T– t) + b∗ ．ε) ). ?. ≈ / E{ exp(ln(S& )+ a∗ ．(T– t) + b∗ ．u) 1. + b∗ ．exp(ln(S& ) + a∗ ．(T– t)+ b∗ ．u)(ε– u) 32 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(40) + . ¡∗. 6. ;. exp(ln(S& ) + a∗ ．(T– t)+ b∗ ．u)(ε– u); )}. ?. ∗ ．(=–&)K¡∗ ．Ÿ. {eDE(/1) K¢ /. =. 1. ?. = / · eDE(/1) K¢. ∗ (=–&)K¡∗ Ÿ. 1. ¡∗. +. 6. ;. ．(1+. ¡∗. ∗ ．(=–&)K¡∗ ．Ÿ. eDE(/1) K¢. Var(ε)}. 6. ;. Var(ε)). ∵ 在風險中立市場下，標的股的期望成長率與無風險利率 r 一致。. /. 政 治 大. E( /0 ) = eC·(=B&) 1. ?. ⇒ / · eDE(/1) K¢. 立 ．(1+. ¡∗. ∗ (=–&)K¡∗ Ÿ. ;. Var(ε)) = eC·(=B&) . 學. ‧ 國. 1. 6. ∵ ε～t (𝑑𝑓) ⇒ u= E(ε) = 0 。 ¡∗. ·(1+. 6. ;. ·Var(ε)) = eC·(=B&)…….................................(3-9). sit. io. 同時對 (3-9) 式等號兩邊取 ln()，可以得到：. n. al. Ch. engchi. ¡∗. −ln(S& )+ ln(S& )+a∗ (T−t) + ln(1+ ^•·56. ⇒ (𝜇 – ;(^•B;))(T−t) + ln(1+ C·(=B&)BDE(?K. ⇒𝜇= . (=B&). i Un. v. 6. ·Var(ε)) = r(T−t). ;. 56(=B&)·^•. ¦6 (0§1)·¨© ) 6·(¨©§6). er. y. Nat. 1. ∗ (=–&)K¡∗. ‧. ?. ⇒ / · eDE(/1) K¢. ;·(^•B;). ) = r(T−t). ^•·56. + ;(^•B;)……………………..............................…..(3-10). 則 (3-10) 式即 𝜇 與 𝑟 的關係式。. 33 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(41) 將 (3-10) 式期望報酬率與無風險利率的關係式推導出來後，以下便可將 期望報酬率 𝜇 以無風險利率 r 的關係式替代，替代後再建構模型使模型能夠 以無風險利率的參數來定價選擇權價格。第五節將以前四小節所做的前置推 導，開始建構 TDB-S 定價模型。. 第五節 建立 TDB-S 定價模型. 如同 B-S 模型的建構過程，此節必須先將 TDB-S 模型的偏微分方程導出，. 政 治 大 在給定邊際條件後，根據 Feynman-Kac 引理將定價模型的公式解求出。由第三 立 «•. ‧ 國. 學. 節推導的 (3-7) 式可得知，投資組合 𝜋 =−f(𝑆O ,t) + «” 𝑆O 為一無風險投資組合。. y. Nat. ? x6 y. xy. ^•. ? x6 y ;. x/6. ⇒ r．f(S& ,t) =. al. n. xy. ⇒ − ( x& −. ^•. σ; S& ; ^•B;)𝑑t = (−f(S& ,t) +. xy x/. 𝑟S& +. xy x&. er. io. 𝑑π = − ( x& − ; x/6 σ; S& ; ^•B; ) 𝑑t = π．r．𝑑t. sit. ‧. 則投資組合 𝜋 的報酬率為無風險利率 r 。. Ch. −. ?. engchi. x6 y. ; x/6. ^•. i Un. v. xy S )．r．𝑑t x/ &. σ; S& ; ^•B;. …….................................……..(3-11). (3-11) 式為 TDB-S 模型的定價偏微分方程，若再給定邊際條件：. f(S= ,T) = (S= − K)K ，. 其中 K 為選擇權交割價，則可根據 Feynman-Kac 定理：. 34 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(42) f(S& ,t) = C& = E(eBC(=B&) (S= − k)K )…………………………………….……...………..(3-12). 推導出 (3-12) 式定價公式後，必須知道 𝑆N 的機率分配才能夠利用此公式 解定價模型。因此，以下將推導 𝑆N 的機率分配，根據第四小節所導出的 (3-10) 式 𝜇 與 r 關係式，可以將 (3-8) 式改寫成以 r 表示的形式：. 𝑑ln(S& ) = r．(T−t) − ln(1 +. 56 (=B&)^•. )+ σε√𝑑t ………………………………….…..(3-13). 政 治 大 ⇒ ln(S ) − ln(S ) = r·(T−t) )+ σε√𝑑t 立− ln(1 + 56 (=B&)^•. &. ;(^•B;). ⇒ S= = exp(ln(S& )+r·(T-t) − ln(1 +. )+ σε√𝑑t. ) , b = σ√𝑑t. io. sit. ;(^•B;). al. n ∗. S= = exp(a + b．𝜀) ⇒𝜀=. y. 56 (=B&)^•. er. Nat. 令 a∗ = ln(S& ) + r(T−t) − ln(1 +. ;(^•B;). ‧. 56(=B&)^•. 學. ‧ 國. =. ;(^•B;). Ch. engchi. i Un. v. DE/0B¢∗ ¡ x¯. ⇒ Jacobian = | x/ | = 0. ? ¡．/0. 已知， f ¯ (x) =. ¨©±² ) 6 ¨© Y^•³°( 6 ). °(. z6. (1 + ^• )B. ¨©±² 6. x ∊ ℜ. ,. DE (/)B¢∗. f/0 (S) = f ¯(. ¡. ?. )¡．/ =. ¨©±² ) 6 ¨© Y^•³°( 6 ). °(. (1 +. (DE (/)B¢∗)6 B ¨©±² ? ) 6 ¡．/ ^•．¡6. ,. S>0. 35 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(43) 根據 (3-12) 式：. 𝐶O = E(eBC(=B&) (S − K)K ) ∞. = ∫· eBC(=B&) (S − K) · f/0 (S) 𝑑S ∞. = ∫· eBC(=B&) (S − K) ·. ¨©±² ) 6 ¨© Y^•³°( 6 ). °(. (1 +. (DE (/)B¢∗)6 B ¨©±² ? ) 6 ¡．/ ^•．¡6. 𝑑S……… (3-14). 政 治 大. 推導出 (3-14) 式結果，即可使用 R 語言寫出 TDB-S 定價模型。建構完 TDB-. 立. S 模型後，我們想觀測以學生 t 分配配適隨機誤差項的 TDB-S 模型，是否相較於. ‧ 國. 學. B-S 模型更能掌握台股指數市場資產報酬率的分配。由 (3-13) 式可以看出，. ‧. TDB-S 模型假設下，股票報酬率是服從 location-scale t 分配，接著利用 2019/04/01. sit. y. Nat. 至 2020/04/01 的台股指數資料，將 TDB-S 模型的 MLE 與 B-S 模型的 MLE 估計. al. n. er. io. 出來後分別代入分配中，比較兩者對於台股指數市場報酬率的配適狀況差異。. Ch. engchi. i Un. v. <圖 3-4> 中的紅線為 TDB-S 模型所配適的資產報酬率分配、藍線為 B-S 模 型所配適的資產報酬率分配，而黑線為實際台股指數的單日報酬率分配，可以明 顯地從圖中看出，更改隨機誤差項為 t 分配後，對資產報酬率的配適更能掌握到 尖峰以及厚尾的現象，以利模型降低定價時的模型誤差。. 36 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(44) . 政 治 大. 立 圖 3-4 資產報酬率配適分佈比較圖. ‧ 國. 學. ‧. 雖然相較於 B-S 模型，TDB-S 模型在資產報酬率掌握上更為精確，然而，. sit. y. Nat. TDB-S 模型還是在波動率假設為恆定值下所建構的定價模型，如此無法完全解. al. n. er. io. 決在緒論所提及的 B-S 模型的假設在台股指數市場上的缺陷。. Ch. engchi. i Un. v. 因此，第四章我們將考慮波動率的變動狀況，希望在 TDB-S 模型中融入波 動率的變動狀況，讓模型更能掌握波動率的群聚性以及波動率的跳動，進而使定 價能更貼近市場實價。第四章我們將假設波動率為具有兩種隱藏狀態的連續型馬 可夫鏈，可以看作是波動率高峰狀態與低谷狀態，利用台股指數的歷史數據來尋 找轉移速率矩陣、起始狀態機率矩陣等等，使新模型更能精準掌握市場的波動率 狀況。. 37 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(45) 第四章 ODMMTD 模型建立. 在第三章第一節中，我們驗證了兩項在台股指數歷史資料上 B-S 模型假設的 缺失，而在第三章後段利用學生 t 分配取代隨機誤差項的常態分配，並推導出 TDB-S 模型解決了常態分配假設無法掌握資產報酬率厚尾的缺失，第四章我們將 來解決第二項「波動率恆定值」假設的問題。. 政 治 大. B-S 模型的 「波動率恆定值」 假設一直以來都受到學者與業界投資人的質. 立. 疑，普遍認為此項假設將金融市場假設得太過理想，此過度理想的假設也明顯增. ‧ 國. 學. 加了 B-S 模型在定價時的模型誤差，為了解決這項棘手的問題，本文假設波動率 為具有兩種隱藏狀態的連續型馬可夫鏈，再利用 Pedler (1971) 所推導的兩狀態馬. ‧. 可夫鏈佔據時間的聯合機率分配將 ODMMTD 模型建構出來。. er. io. sit. y. Nat. al. 第四章將分為四個小節討論，第一小節中我們將簡介兩狀態的隱藏馬可夫鏈. n. iv n C 性質，並簡單介紹如何解決 HMMh的學習問題，即已知觀測值下，該如何利用 Eengchi U M 法迭代出未知參數，此方法稱為 Baum-Welch 演算法；第二小節將假設波動率 為兩隱藏狀態的 HMM 下，資產的報酬該如何以數學式表示，接著同樣利用 t-Itolemma 推導出 ODMMTD 模型；第三小節會簡單的介紹轉移速率矩陣 (Transition rate matrix) 與轉移機率矩陣 (Transition probability matrix)的，並推導轉移速率 矩陣與轉移機率矩陣之間的轉換關係，以利後方估計模型參數時使用。. 38 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(46) 第一節 隱藏馬可夫模型. 此小節將簡單介紹隱藏馬可夫鏈，包含隱藏馬可夫鏈的發展、何謂隱藏狀 態與一些隱藏馬可夫鏈的性質，並定義馬可夫鏈的各項參數，以利後續做 ODMMTD 模型建構時能更清楚地闡述。. 一、 隱藏馬可夫模型簡介. 政 治 大 Baum and Petrie (1986) 兩位學者最早提出隱藏馬可夫鏈 (Hidden Markov 立. ‧ 國. 學. Model , 後簡稱 HMM) 的概念，HMM 是一種由馬可夫鏈 (Markov Chain) 衍生而 來的統計模型，其傳達觀念類似於馬可夫鏈，即把一段隨機過程看作是多種不同. ‧. 狀態間的轉移，且當前狀態只與上一刻的狀態轉移有關，和其他的狀態無關，而. y. Nat. io. sit. 此特性即為馬可夫鏈的「無記憶性質」。HMM 問世早期，通常運用於語音辨識. n. al. er. 系統上的研究，如 Rabiner (1989) 等。在 20 世紀後，衍生性產品市場蓬勃發長，. Ch. i Un. v. HMM 模型開始被運用於描述波動率抑或是利率上的轉變情形，尤其波動率具有. engchi. 持續性，若是能知道當前波動率處於何種隱藏狀態，將能有效減少定價模型的模 型誤差。. HMM 狀態間的轉換主要由三種矩陣表示，分別為：初始狀態矩陣 (Initial Matrix)、轉移機率矩陣 (Transition Matrix) 以及輸出矩陣 (Emission Matrix)。相 較於馬可夫鏈中每個狀態都可以由資料中實際觀察到，隱藏馬可夫鏈顧名思義就 是其狀態為隱藏狀態，無法直接由資料本身觀察到，必須利用觀察到的已知資訊 來估計隱藏狀態之間的轉變，且同樣具有「無記憶性」即第 i 個隱藏狀態只與第 39 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(47) i-1 個隱藏狀態有關，與先前的隱藏狀態皆無關，而當前的觀測值僅與當前的隱 藏狀態有關。. 二、 HMM 架構. 在做推演定價公式前，我們首先定義隱藏馬可夫鏈的各項變量。假設有一個 HMM 模型，具有 N 種可能的隱藏狀態與 M 種可能的觀察值，且共有 T 個觀測 值，我們可以做以下的定義：. 立. 政 治 大. 2. 可能的觀察值集合 V = {𝑉? , 𝑉; , ⋯ ⋯ , 𝑉ºB? , 𝑉º }. 學. ‧ 國. 1. 可能的隱藏狀態集 S = {𝑆? , 𝑆; , ⋯ ⋯ , 𝑆¸B? , 𝑆¸ }. ‧. 3. 觀察值序列 O = {𝑂? , 𝑂; , ⋯ ⋯ , 𝑂NB? , 𝑂N }. sit. y. Nat. 4. 隱藏狀態序列 Q = {𝑞? , 𝑞; , ⋯ ⋯ , 𝑞NB? , 𝑞N }. n. al. er. io. 5. 轉移機率矩陣 A = [𝑎]¾ ] , 其中 𝑎]¾ = P( 𝑞OK? =𝑆¾ |𝑞O =𝑆] ) ； 1 ≤ i , j ≤ N. i Un. v. 6. 輸出矩陣 B = [𝑏¾ (𝑉À )] , 其中 𝑏¾ (𝑉À ) = P( 𝑂O =𝑉À |𝑞O =𝑆¾ ) ；. Ch. engchi. 1 ≤ j ≤ N , 1 ≤ k ≤ M , ∀ t ∊ {1,2,⋯⋯,T}. 7. 初始矩陣 𝛑 = [π] ] , 其中 π] = P( 𝑞? =𝑆] ) ； 1 ≤ i ≤ N. 定義完 HMM 相關的矩陣與觀察值的代號後，以下將介紹 Baum-Welch 演算 法，包括演算法的觀念以及其迭代過程。本文後段即利用此演算法搭配波動率的 估計序列來將 HMM 的各項參數迭代出來，並將迭代出的參數代入模型內以進行 選擇權的定價。. 40 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(48) 三、 Baum-Welch 演算法. Baum-Welch 演算法是一種用來尋找 HMM 未知參數的 E-M ( Expectation− Maximization ) 演算法，利用給定的觀測值特徵向量，求出 HMM 參數的最大概 似估計值；即當只有觀測值的序列 O 時，該如何利用 E-M 的方式找出其他的未 知參數如轉移機率矩陣 A 、輸出矩陣 B 與初始狀態機率矩陣 𝛑。 首先定義：. 1. 未知參數 𝜃 = 𝜃(A,B, 𝛑). 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. 2. 𝛼] (𝑡) = P(𝑂? = 𝑜? , 𝑂; = 𝑜; , ⋯ ⋯ , 𝑂OB? = 𝑜OB? , 𝑂O = 𝑜O , 𝑞O = 𝑆] | θ ). y. sit. n. al. er. io. Nat. 機率。. ‧. 𝛼] (𝑡) 表示給定參數 θ 下觀測值序列為 𝑜? , 𝑜; ,……,𝑜O 且時刻 t 狀態為 𝑆]. i Un. v. 3. 𝛽] (𝑡) = P(𝑂OK? = 𝑜OK? , 𝑂OK; = 𝑜OK; , ⋯ ⋯ , 𝑂N = 𝑜N | θ, 𝑞O = 𝑆] ). Ch. engchi. 𝛽] (𝑡) 表示給定參數 θ 與時刻 t 狀態為 𝑆] 下，後續的觀測值序列為 𝑜OK? , 𝑜OK; ,……,𝑜N 的機率. 4. γ] (𝑡) = P(𝑞O = 𝑆] |O, θ ) γ] (𝑡) 表示在給定觀測值序列 O 與 θ 下，t 時刻的狀態為 𝑆] 的機率. 5. ξ]¾ (𝑡) = P(𝑞O = 𝑆] , 𝑞OK? = 𝑆¾ | O, θ ) ξ]¾ (𝑡) 表示在給定觀測值序列 O 與 θ 下，t 時刻的狀態為 𝑆] 、t+1 時刻的 41 DOI:10.6814/NCCU202000823.
(49) 狀態為 𝑆¾ 的機率. 接著，利用向前-向後過程迭代出 𝛼] (𝑡) 與 𝛽] (𝑡)。. 向前過程 － Step1：𝛼] (1) = π] ・𝑏] (𝑜? ) Step2：𝛼] (𝑡 + 1) = 𝑏] (𝑜OK? )・∑¸ ¾Ì? 𝛼¾ (𝑡 ) ・𝑎¾]. 向後過程 －. 政 治 大. 立. 學. ‧ 國. Step1：𝛽] (𝑇) = 1. Step2：𝛽] (𝑡) = ∑¸ ¾Ì? 𝛽¾ (𝑡 + 1) ・𝑎]¾ ・𝑏¾ (𝑜OK? ). ‧ sit. n. al. er. io. y. Nat. 根據貝氏定理，可以得到下列式子：. (O) Ñ (O)・Òi v Í( ` Ì” ,Ï |Ð ) n (O) C hÍ(Ï |Ð ) = ∑ UÑ (O)・Ò engchi. γ] (𝑡) = P( 𝑞O = 𝑆] |O, θ ) =. H. Î Ô ÓÕ² Ó. Î. ξ]¾ (𝑡) = P( 𝑞O = 𝑆] , 𝑞OK? = 𝑆¾ |O, θ ) = = ∑Ô. Î. Ó. Í( `H ̔Π,`H±² Ì”Ó ,Ï| Ð ). ÑÎ (O)・ÖÎÓ ・×Ó (ØH±²)・ÒÓ (OK?). Ô ÎÕ² ∑ÓÕ² ÑÎ (O)・ÖÎÓ ・×Ó (ØH±²)・ÒÓ (OK?). Í(Ï |Ð ). . ¸ 其中，γ] (𝑡) = ∑¸ ¾Ì? ξ]¾ (𝑡) 且 ∑]Ì? γ] (𝑡) = 1. 最後執行更新過程：. 42 DOI:10.6814/NCCU202000823.
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