第二章 文獻探討
第一節 資產報酬率分配
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第一節 資產報酬率分配
1973 年 Black and Scholes 提出了著名的公式解選擇權定價模型簡稱 B-S 模 型，此模型的問世對當時的金融領域造成了一股轟動，之後更引發多位學者在 B-S 模型的基礎上建立新的選擇權定價模型。B-S 模型是假設在資產價格服從幾 何布朗運動、無風險利率為定值與波動率為定值下，利用資產價格與其衍生性產 品相互對沖的無風險投資組合推導出的定價模型，模型如下：
（一）模型假設
1. 股價變動服從幾何布朗運動：
即 𝑑S&
=
rS&𝑑𝑡+ σS&𝑑Z&
2. 無風險利率 r 是恆定值
3. 市場不存在稅收與交易成本
4. 證券完全可分割（可取得任意張數的股票）
5. 歐式期權
（二）定價模型
S= = S&・N(d?) – K・eBC(=B&)・N(d;)
其中，
d? = DEF
GHIJK(LKM66)(NBO)
P・√ NBO ；
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d; = 𝑑?
–
𝜎・√ 𝑇 − 𝑡；
S=：期權合理價格 ；
S&：交易的金融資產現價 ；
K：期權交割價格 ；
r：連續複利記無風險利率 ；
N()：常態分配累積分佈函數。
B-S 模型在發表後受到眾人的推廣，Black and Scholes 兩位學者並在 1997 年 時獲得了諾貝爾經濟學獎的肯定。然而， B-S 模型對於資產報酬率服從常態的假 設在發表之後便受到眾多學者的挑戰與懷疑。
最早提出資產報酬率不服從常態分配的學者為 Mandelbort (1963) 與 Fama (1965)，他們以時間序列的方法分析資產報酬率的分佈，其研究結果除了顯示資 產報酬率不服從常態外，也發現資產報酬率分佈具有厚尾、尖峰與不對稱的特性，
並指出股票市場具波動群聚現象 (volatility clustering) 或稱波動率的持續性，即 表示當市場處於大波動時，伴隨而來的將是大波動；反之，小波動出現後將跟隨 著小波動。
而後 Praetz (1972)、Blattberg and Gonedes (1974) 分別針對雪梨交易所及美 國道瓊指數的資產報酬率進行研究，Praetz (1972) 取自 1958 年後 8 年期間的 30 檔股票的報酬率分佈作為研究樣本，研究時利用學生 t 分配、常態分配、柏拉圖
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分配等多種不同分配對此 30 檔股票資料集做檢驗，其研究結果顯示，在眾多分 配比較過後，學生 t 分配對於資產報酬率具有最佳的配飾度；而 Blattberg and Gonedes (1974) 是取 1957 年至 1962 年美國道瓊指數內 30 個股票價格做單日報酬 率分析，同樣地，其研究結果也顯示，學生 t 分配相較於其他分配更能掌握資產 報酬率分配。
Upton and Shannon (1979) 與 Gray and French (1990) 兩者的研究結果也顯 示，單純以常態分配來闡述資產報酬率的分配並不夠精確，因為資產報酬率的厚 尾現象是常態分配無法表現出來的。其中，前者是隨機挑選美國 50 家上市公司 235 個月的資料進行分別進行單公司與多公司投資組合的日報酬、月報酬、季報 酬與年報酬的常態分配檢定，結果顯示：多公司投資組合的報酬率分配較單公司 報酬率分配更為貼近常態、單公司報酬率分配在考慮月報酬率、季報酬率、年報 酬率下，其分配與常態分配有所差異，而若考慮日報酬率的分配會相較於前三者 貼近於常態；Gray and French 的研究是以 S&P500 指數與多檔美國個股的股價 報酬率作為研究的目標，其研究以各個可能的分配做資料適合度檢驗，除了先前 的 Praetz (1972) 檢驗過的分配外，Gray and French (1990) 再加入了幾項特別的 分配，如羅吉斯分配等，來做資料分配的檢定，其結果仍顯示眾多分配中，以學 生 t 分配最適合用於模擬股價報酬率分配。
Aparicio and Estrada (2001) 對歐洲十三個證券市場的日資料做股價報酬率 分佈的分析，結果顯示：幾乎所有資料都可以利用學生 t 分配來描述，僅一小部 分的資料可以用兩常態分佈的結合來表現，更進一步表示若僅使用一般的常態分 配做為報酬率分配模擬時，相較於其他分配會與市場實際狀況有最大的誤差。
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近年來，Lu (2005)、Xu and Hou (2006) 等學者也以不同方法與不同的市場實 際資料驗證了典型財務數據普遍具有高峰厚尾的特性，並一致認為常態分配不能 完全反映出實際數據的特徵；Hu and Kercheval (2009) 以美國五檔個股 2002/01 至 2005/04 的資訊做資產報酬率分佈的分析，其結果發現在多個分配中，以學生 t 分配與偏學生 t 分配配飾資產報酬率分佈最佳，Daniel, Michael and Rachid (2010) 研究了 S&P500 指數與道瓊指數報酬率分配，並指出在描述上述兩種市場的報酬 率分配時，以學生 t 分配來配飾非常合適。
台灣學者林楚雄、吳欽杉、劉維琪 (2000) 以台灣店頭市場為研究目標，以 1995 年至 1999 年共計 949 筆的日資料作為分析樣本，其研究結果發現，台灣店 頭市場的波動率具有高度的持續性，且指出有明顯證據拒絕台灣店頭市場報酬率 服從常態的假設。
除了台灣學者外，中國學者張慧蓮、汪紅駒 (2006) 與黃德龍、楊曉光 ( 2008 )，
兩者皆研究了上海證券綜合指數與深圳證券交易所的股價指數，其結果都指出，
兩市場的股價報酬率具有尖峰厚尾的特性，學生 t 分配相較於常態分配更能配飾 其分配的特性；同為中國學者的 Chen and Yu ( 2013 ) 在研究中國歐式選擇權波 動率現象時，利用 Q-Q 圖檢測發現對數報酬率的分配不服從常態，且明顯看得出 厚尾現象。