第三章 TDB-S 模型建立
第一節 B-S 模型假設驗證
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第一節 B-S 模型假設驗證
從文獻探討的結果可知，多數學者對於各個金融市場的資產報酬率研究發 現，常態分配無法精確的掌握資產報酬率的厚尾與高峰現象。有許多學者對台股 指數市場的資產報酬分配做研究也發現相同的情形。本節將再次對台股指數市場 的報酬做常態分佈的檢定，並同時做單日報酬到二十日報酬的檢定，觀察本研究 所使用的分析資料是否也與常態分佈的假設有所出入。
一、 常態假設驗證
在 B-S 定價模型中，其模型假設為：股價變動服從幾何布朗運動、波動率與 無風險利率為恆定值、且不存在稅收與交易成本。其中，股價變動本身也是一個 Ito-process 即：
𝑑S& = rS&𝑑t + σS&𝑑Z& = a(S&,t)𝑑t + b(S&,t)𝑑Z& ,
其中a(S&,t) = rS& , b(S&,t)= σS& , 𝑑Z&～ N(0, 𝑑t) 。
若給定 𝑑𝑋O 為一個 Ito-process 且函數 f(𝑋O,t)為一個二階可微分的函數，則根據
Ito-lemma：
d
f(X&, t)=( xy x& + xzxya(S&, t) + ２? xzx66yb(S&, t);) 𝑑t + xzxyb(S&, t)𝑑Z&‧ 國
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令 f(S&, t)= lnS& , xyx& = 0 , x/xy = /?
1 , x/xy = /B?
16
⇒ 𝑑𝑙𝑛S& = (r – 5２6) 𝑑t+ σ・𝑑Z& ～N((r – 5２6)𝑑t , σ;𝑑t)
⇒ ln(S=) – ln(S&) = (r – 5２6)(T−t) + σ(Z= – Z&) ～N((r – 5２6)(T–t), σ;(T–t))
⇒ ln//0
1 ～ N((r – 5２6)(T-t), σ;(T-t))
⇒ 在 B-S 模型假設下複利記股價報酬率服從常態。
因此當驗證 B-S 模型的常態誤差項假設是否正確時，可以藉由觀察股價報酬 率是否服從常態來驗證。以下取台股指數 2019/04/01－2020/04/01 的收盤價資料 來做檢驗，檢驗資料共 244 筆，檢驗步驟如下：
1. 將股價取對數。
2. 將對數股價取遞延 1 期至遞延 20 期，即為單日報酬至 20 日報酬的資料。
3. 對遞延 1 期至遞延 20 期的資料做 shapiro-wilks (1965) 常態檢定，看其分 佈是否服從常態。
其中，遞延 1 期表示 𝑋O–𝑋OB? , t = 2,……,61；遞延 2 期表示 𝑋O–𝑋OB; , t = 3,…
…,61，依此類推。檢驗結果結果如 <表一> 所示：
註：此處使用 R 語言內建的 shapiro - wilks 常態檢定。
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表 3.1 台股指數資產報酬常態檢定
lag W-statistics p-value result 0 0.94598428 7.47E-08 not normal 1 0.82728117 9.74E-16 not normal 2 0.81548641 3.03E-16 not normal 3 0.81203797 2.31E-16 not normal 4 0.77420227 6.91E-18 not normal 5 0.75322791 1.25E-18 not normal 6 0.72862969 1.90E-19 not normal 7 0.72174476 1.23E-19 not normal 8 0.71526554 8.33E-20 not normal 9 0.72336379 1.69E-19 not normal 10 0.72103641 1.56E-19 not normal 11 0.73254894 4.13E-19 not normal 12 0.74686511 1.41E-18 not normal 13 0.75567926 3.19E-18 not normal 14 0.76223899 6.07E-18 not normal 15 0.76576426 8.97E-18 not normal 16 0.77206071 1.69E-17 not normal 17 0.77236567 1.90E-17 not normal 18 0.77107188 1.87E-17 not normal 19 0.77073184 1.99E-17 not normal 20 0.77351096 2.77E-17 not normal
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由 <表 3.1> 結果顯示，對 2019/04/01－2020/04/01 的台股指數收盤價價格資 料，做複利報酬率分佈的 shapiro 常態檢定，發現不論是單日報酬或多日報酬，
其分配均有明顯證據顯示不服從常態分配。因此認為 B-S 模型的假設在台股指 數市場下並不適用，此驗證結果表示利用 B-S 模型對台股指數選擇權定價，可能 無法完全掌握資產報酬率的分配，而造成定價的偏差。
我們進一步將遞延 1 期至遞延 3 期的分佈圖形畫出，觀察其布狀況與常態分 佈的差異之處為何，如 <圖 3-1> 與 <圖 3-1> 所示。由 <圖 3-2> 可以發現，
𝑑𝑙𝑛𝑆O 的分配在兩尾的分佈並不像常態分佈如此平坦，而是稍微有點厚度，且由
<圖 3-1> 可以觀察到報酬率分配應具有偏態與峰態。因此猜測利用學生 t 分配 來配飾隨機誤差項，會使得模型更能掌握複利報酬率兩尾的厚度以及分配的尖峰 現象，使模型定價更為貼近市場價格。
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圖 3-1 資產報酬率分佈
圖 3-2 資產報酬率分佈尾段
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二、 波動率常數假設驗證
除了模型分配的假設與台股指數資料實際狀況有所不同外，波動率假設為恆 定值在台股指數市場顯然也是一個很大的錯誤，下圖將以同筆資料畫出台股指數 波動率的走勢圖，如 <圖 3-3> 所示。
圖 3-3 台股指數波動走勢圖
由 <圖 3-3> 可知，若將波動率假設為定值，必定會與市場實際狀況有所出 入。當在估計波動率時，不同的投資者會以不同的時段做波動率的估計，若是有 些投資者在估計波動率時取的時段剛好位於波動率高峰期，則會高估市場波動率，
而造成高估選擇權價格的問題，反之，若剛好為波動率低峰期則會低估市場波動 率。因此，在做選擇權定價時，不應只使用單一的歷史波動率做估計，此論文中 將波動率假設為有兩種隱藏狀態的馬可夫鍊，再利用 Baum-Welch 法來偵測股市 波動率的隱藏狀態，使模型更能掌握市場波動率的實際變動情形。