建立 TDB-S 定價模型 - TDB-S 模型建立 - 以 t 分配的隨機誤差項與隱藏馬可夫鏈建構選擇權定價模型

第三章 TDB-S 模型建立

第五節建立 TDB-S 定價模型

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將 (3-10) 式期望報酬率與無風險利率的關係式推導出來後，以下便可將期望報酬率 𝜇 以無風險利率 r 的關係式替代，替代後再建構模型使模型能夠以無風險利率的參數來定價選擇權價格。第五節將以前四小節所做的前置推導，開始建構 TDB-S 定價模型。

第五節建立 TDB-S 定價模型

如同 B-S 模型的建構過程，此節必須先將 TDB-S 模型的偏微分方程導出，

在給定邊際條件後，根據 Feynman-Kac 引理將定價模型的公式解求出。由第三節推導的 (3-7)

^{式可得知，投資組合}

_{𝜋 =−f(𝑆}_O

,t) +

^«•_«”𝑆_O

為一無風險投資組合。

則投資組合 𝜋 的報酬率為無風險利率 r 。

𝑑π = − ( _x&^xy − ^?_;_x/^x⁶₆^yσ^;S_&^{; ^•}_^•B; ) 𝑑t = π．r．𝑑t

⇒ − ( ^xy_x& − ^?_;_x/^x⁶₆^yσ^;S_&^{; ^•}_^•B;)𝑑t = (−f(S_&,t) + _x/^xyS_&)．r．𝑑t

⇒ r．f(S_&,t) = _x/^xy𝑟S_& + ^xy_x& − ^?_;_x/^x⁶₆^yσ^;S_&^{; ^•}

^•B;

……...……..

(3-11)

(3-11) 式為 TDB-S 模型的定價偏微分方程，若再給定邊際條件：

f(S₌,T) = (S₌− K)^K ，

其中 K 為選擇權交割價，則可根據 Feynman-Kac 定理：

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根據 (3-12)

^式：

𝐶_O = E(eBC(=B&)(S − K)^K)

= ∫ e_·^∞ BC(=B&)(S − K) ·f_/₀(S) 𝑑S

= ∫ e_·^∞ BC(=B&)(S − K) · ^°(^¨©±²⁶ ⁾

Y^•³°(^¨©₆)(1 +^(DE (/)B¢_^•．¡₆^∗⁾⁶)^B^¨©±²⁶ _¡．/^? 𝑑S

………

(3-14)

推導出 (3-14)

式結果，即可使用 R 語言寫出 S 定價模型。建構完 TDB-S 模型後，我們想觀測以學生 t 分配配適隨機誤差項的 TDB-TDB-S 模型，是否相較於 B-S 模型更能掌握台股指數市場資產報酬率的分配。由 (3-13) 式可以看出，

TDB-S 模型假設下，股票報酬率是服從 location-scale t 分配，接著利用 2019/04/01 至 2020/04/01 的台股指數資料，將 TDB-S 模型的 MLE 與 B-S 模型的 MLE 估計出來後分別代入分配中，比較兩者對於台股指數市場報酬率的配適狀況差異。

<圖 3-4> 中的紅線為 TDB-S 模型所配適的資產報酬率分配、藍線為 B-S 模型所配適的資產報酬率分配，而黑線為實際台股指數的單日報酬率分配，可以明顯地從圖中看出，更改隨機誤差項為 t 分配後，對資產報酬率的配適更能掌握到尖峰以及厚尾的現象，以利模型降低定價時的模型誤差。

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圖 3-4 資產報酬率配適分佈比較圖

雖然相較於 B-S 模型，TDB-S 模型在資產報酬率掌握上更為精確，然而，

TDB-S 模型還是在波動率假設為恆定值下所建構的定價模型，如此無法完全解決在緒論所提及的 B-S 模型的假設在台股指數市場上的缺陷。

因此，第四章我們將考慮波動率的變動狀況，希望在 TDB-S 模型中融入波動率的變動狀況，讓模型更能掌握波動率的群聚性以及波動率的跳動，進而使定價能更貼近市場實價。第四章我們將假設波動率為具有兩種隱藏狀態的連續型馬可夫鏈，可以看作是波動率高峰狀態與低谷狀態，利用台股指數的歷史數據來尋找轉移速率矩陣、起始狀態機率矩陣等等，使新模型更能精準掌握市場的波動率狀況。

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l C h engchi U ni ve rs it y 第四章 ODMMTD 模型建立

在第三章第一節中，我們驗證了兩項在台股指數歷史資料上 B-S 模型假設的缺失，而在第三章後段利用學生 t 分配取代隨機誤差項的常態分配，並推導出 TDB-S 模型解決了常態分配假設無法掌握資產報酬率厚尾的缺失，第四章我們將來解決第二項「波動率恆定值」假設的問題。

B-S 模型的「波動率恆定值」假設一直以來都受到學者與業界投資人的質疑，普遍認為此項假設將金融市場假設得太過理想，此過度理想的假設也明顯增加了 B-S 模型在定價時的模型誤差，為了解決這項棘手的問題，本文假設波動率為具有兩種隱藏狀態的連續型馬可夫鏈，再利用 Pedler (1971) 所推導的兩狀態馬可夫鏈佔據時間的聯合機率分配將 ODMMTD 模型建構出來。

第四章將分為四個小節討論，第一小節中我們將簡介兩狀態的隱藏馬可夫鏈性質，並簡單介紹如何解決 HMM 的學習問題，即已知觀測值下，該如何利用 E-M 法迭代出未知參數，此方法稱為 Baum-Welch 演算法；第二小節將假設波動率為兩隱藏狀態的 HMM 下，資產的報酬該如何以數學式表示，接著同樣利用 t-Ito-lemma 推導出 ODMMTD 模型；第三小節會簡單的介紹轉移速率矩陣 (Transition rate matrix) 與轉移機率矩陣 (Transition probability matrix)的，並推導轉移速率矩陣與轉移機率矩陣之間的轉換關係，以利後方估計模型參數時使用。

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第一節隱藏馬可夫模型

此小節將簡單介紹隱藏馬可夫鏈，包含隱藏馬可夫鏈的發展、何謂隱藏狀態與一些隱藏馬可夫鏈的性質，並定義馬可夫鏈的各項參數，以利後續做 ODMMTD 模型建構時能更清楚地闡述。

一、隱藏馬可夫模型簡介

Baum and Petrie (1986) 兩位學者最早提出隱藏馬可夫鏈 (Hidden Markov Model , 後簡稱 HMM) 的概念，HMM 是一種由馬可夫鏈 (Markov Chain) 衍生而來的統計模型，其傳達觀念類似於馬可夫鏈，即把一段隨機過程看作是多種不同狀態間的轉移，且當前狀態只與上一刻的狀態轉移有關，和其他的狀態無關，而此特性即為馬可夫鏈的「無記憶性質」。HMM 問世早期，通常運用於語音辨識系統上的研究，如 Rabiner (1989) 等。在 20 世紀後，衍生性產品市場蓬勃發長，

HMM 模型開始被運用於描述波動率抑或是利率上的轉變情形，尤其波動率具有持續性，若是能知道當前波動率處於何種隱藏狀態，將能有效減少定價模型的模型誤差。

HMM 狀態間的轉換主要由三種矩陣表示，分別為：初始狀態矩陣 (Initial Matrix)、轉移機率矩陣 (Transition Matrix) 以及輸出矩陣 (Emission Matrix)。相較於馬可夫鏈中每個狀態都可以由資料中實際觀察到，隱藏馬可夫鏈顧名思義就是其狀態為隱藏狀態，無法直接由資料本身觀察到，必須利用觀察到的已知資訊來估計隱藏狀態之間的轉變，且同樣具有「無記憶性」即第 i 個隱藏狀態只與第

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i-1 個隱藏狀態有關，與先前的隱藏狀態皆無關，而當前的觀測值僅與當前的隱藏狀態有關。

二、 HMM 架構

在做推演定價公式前，我們首先定義隱藏馬可夫鏈的各項變量。假設有一個 HMM 模型，具有 N 種可能的隱藏狀態與 M 種可能的觀察值，且共有 T 個觀測值，我們可以做以下的定義：

1. 可能的隱藏狀態集 S = {𝑆_?, 𝑆_;, ⋯ ⋯ , 𝑆_¸B?, 𝑆_¸} 2. 可能的觀察值集合 V = {𝑉_?, 𝑉_;, ⋯ ⋯ , 𝑉_ºB?, 𝑉_º} 3. 觀察值序列 O = {𝑂_?, 𝑂_;, ⋯ ⋯ , 𝑂_NB?, 𝑂_N} 4. 隱藏狀態序列 Q = {𝑞_?, 𝑞_;, ⋯ ⋯ , 𝑞_NB?, 𝑞_N}

5. 轉移機率矩陣 A = [𝑎_]¾] , 其中 𝑎_]¾ = P( 𝑞_OK?=𝑆_¾|𝑞_O=𝑆_] ) ； 1 ≤ i , j ≤ N 6. 輸出矩陣 B = [𝑏_¾(𝑉_À)] , 其中 𝑏_¾(𝑉_À) = P( 𝑂_O=𝑉_À|𝑞_O=𝑆_¾ ) ；

1 ≤ j ≤ N , 1 ≤ k ≤ M , ∀ t ∊ {1,2,⋯⋯,T}

7. 初始矩陣 𝛑 = [π_]] , 其中 π_] = P( 𝑞_?=𝑆_]) ； 1 ≤ i ≤ N

定義完 HMM 相關的矩陣與觀察值的代號後，以下將介紹 Baum-Welch 演算法，包括演算法的觀念以及其迭代過程。本文後段即利用此演算法搭配波動率的估計序列來將 HMM 的各項參數迭代出來，並將迭代出的參數代入模型內以進行選擇權的定價。

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三、 Baum-Welch 演算法

Baum-Welch 演算法是一種用來尋找 HMM 未知參數的 E-M ( Expectation− Maximization ) 演算法，利用給定的觀測值特徵向量，求出 HMM 參數的最大概似估計值；即當只有觀測值的序列 O 時，該如何利用 E-M 的方式找出其他的未知參數如轉移機率矩陣 A 、輸出矩陣 B 與初始狀態機率矩陣 𝛑。

首先定義：

1. 未知參數 𝜃 = 𝜃(A,B, 𝛑)

2. 𝛼_](𝑡) = P(𝑂_? = 𝑜_?, 𝑂_; = 𝑜_;, ⋯ ⋯ , 𝑂_OB? = 𝑜_OB?, 𝑂_O= 𝑜_O , 𝑞_O = 𝑆_]| θ ) 𝛼_](𝑡) 表示給定參數 θ 下觀測值序列為 𝑜_?, 𝑜_;,……,𝑜_O且時刻 t 狀態為 𝑆_] 機率。

3. 𝛽_](𝑡) = P(𝑂_OK? = 𝑜_OK?, 𝑂_OK; = 𝑜_OK;, ⋯ ⋯ , 𝑂_N = 𝑜_N | θ, 𝑞_O = 𝑆_])

𝛽_](𝑡) 表示給定參數 θ 與時刻 t 狀態為 𝑆_]下，後續的觀測值序列為 𝑜_OK?, 𝑜_OK;,……,𝑜_N的機率

4. γ_](𝑡) = P(𝑞_O= 𝑆_]|O, θ )

γ_](𝑡) 表示在給定觀測值序列 O 與 θ 下，t 時刻的狀態為 𝑆_]的機率

5. ξ_]¾(𝑡) = P(𝑞_O= 𝑆_], 𝑞_OK? = 𝑆_¾| O, θ )

ξ_]¾(𝑡) 表示在給定觀測值序列 O 與 θ 下，t 時刻的狀態為 𝑆_]、t+1 時刻的

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狀態為 𝑆_¾的機率

接著，利用向前-向後過程迭代出 𝛼_](𝑡) 與 𝛽_](𝑡)。

向前過程－

Step1：𝛼_](1) = π_]・𝑏_](𝑜_?)

Step2：𝛼_](𝑡 + 1) = 𝑏_](𝑜_OK?)・∑^¸_¾Ì?𝛼_¾(𝑡)・𝑎_¾]

向後過程－ Step1：𝛽_](𝑇) = 1

Step2：𝛽_](𝑡) = ∑^¸_¾Ì?𝛽_¾(𝑡 + 1)

・

𝑎_]¾

・

𝑏_¾(𝑜_OK?)

根據貝氏定理，可以得到下列式子：

γ_](𝑡) = P( 𝑞_O= 𝑆_]|O, θ ) = ^Í( `_Í(Ï |Ð )^H^Ì”^Î^,Ï |Ð ) = ^Ñ^Î^(O)・Ò^Î^(O)

∑^Ô_ÓÕ²Ñ_Ó(O)・Ò_Ó(O) ξ_]¾(𝑡) = P( 𝑞_O= 𝑆_], 𝑞_OK? = 𝑆_¾|O, θ ) = ^Í( `^H^Ì”^Î_Í(Ï |Ð )^,`^H±²^Ì”^Ó^,Ï| Ð )

= ^Ñ^Î^(O)・Ö^ÎÓ^・×^Ó^(Ø^H±²^)・Ò^Ó^(OK?)

∑^Ô_ÎÕ²∑^Ô_ÓÕ²ÑÎ(O)・Ö_ÎÓ・×Ó(Ø_H±²)・Ò_Ó(OK?)

其中，γ_](𝑡) = ∑^¸_¾Ì?ξ_]¾(𝑡) 且 ∑^¸_]Ì?γ_](𝑡) = 1

最後執行更新過程：

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隱藏狀態的 HMM，接著利用歷史資料與 Baum-Welch 演算法迭代出歷史波動率

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HMM 模型的各項參數，再結合 Pedler (1971) 的兩種狀態佔據時間的聯合機率分配與 TDB-S 模型，推導出 ODMMTD 模型。

首先定義符號：

𝐺^ê ：波動率的隱藏狀態； 𝐺^ê = 1,2。

J_ì ：第 i 狀態的佔據時間； i = 1,2。

R = í𝜆_?? 𝜆_?;

𝜆_;? 𝜆_;;ï 為轉移速率矩陣。

在假設波動率有兩種隱藏狀態下，標的股價變動可以由下式表示：

𝑑S_& = 𝜇S_&𝑑t + σS_&ε√𝑑t , 𝜀～t (𝑑𝑓)

且 𝑑S_& = (𝑑S_&|G^ñ=1) + (𝑑S_&|G^ñ=2)

⇒ 𝑑S_&|J_?=j_? = µ_?S_& j_? + σ_?S_&εY j_? + µ_;S_&(T − j_?) + σ_;S_&εYT − j_?

根據 (3-8)

式： 𝑑ln(S_&) = (𝜇 – _;(^•B;)^{^•·5}⁶ ) 𝑑t + σε√𝑑t

𝑑ln(S_&)|J_?=j_? = (µ_? – _;(^•B;)^{^•·5}^²⁶) j_? + σ_?ε Y j_? + (µ_; – _;(^•B;)^{^•·5}⁶⁶)(T − j_?)

+ σ_;ε YT − j_?

令 a_ì = (µ_ì – _;(^•B;)^{^•·5}^ó⁶ ) j_ì , b_ì = σ_ìY j_ì ; i = 1,2 .

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= ∫ {∫ e_‹⁼ _·^∞ BC(=B&)(S₌− k) ·f(S₌|J_?)dS₌} · f(J_?)dJ_?

………..…

(4-2)

由 Pedler (1972) 推導的兩階段佔據時間聯合機率分配可知：

f(J_?) = 𝑒^Bôõ^²^Bö(NBõ^²⁾．{𝜋_?𝛿(T-J_?)+ 𝜋_;𝛿(J_?)}

+ [ 𝜋_?( _NBõ^ôöõ^²

² )^²⁶ + 𝜋_;( ^ôö(NBõ_õ ^²⁾

² )^²⁶ ] · I?[2(𝜆𝑣J_?(𝑇 − J_?))^²⁶]

+ ( 𝜋_?𝜆 + 𝜋_;𝑣 ) · I_‹[2(𝜆𝑣J_?(𝑇 − J_?))^²⁶]

………..……….…....…

(4-3)

其中，

𝜆 = 𝜆_?? , 𝑣 = 𝜆_;; ;

𝜋_ì 是初始狀態為 i 的機率 , i = 1,2 ;

I_ñ[𝑧] = ∑ ^?

ü!(üKê)!

∞

ÀÌ‹ (^þ

; )^;üKê ; 𝛿 是狄拉克 𝛿 函數

結合 (4-2) 式與 (4-3)

式後，即可利用 R 語言寫出 ODMMTD 定價模型，

並可利用 R 語言內建的“ HMMCont“ 套件中的 Baum-Welch 演算法迭代出歷史波動率的隱藏馬可夫鏈各項參數。然而，Baum-Welch 演算法迭代出的參數為初始狀態機率 𝜋_ì 及離散變數的轉移機率矩陣 P，但歷史波動率在市場上應為連續型變數，且 Pedler (1971) 推導的兩狀態佔據時間聯合機率分配也是將變數視為

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在離散型馬可夫鏈中，轉移機率矩陣 P(t) (Transition probability matrix) 代表馬可夫鏈在不同狀態間的轉移機率，即若給定 X(t) 為一馬可夫鏈，則 P(t) 的移速率矩陣 (Transition rate matrix) 又稱為生成矩陣 (Generator matrix)。而轉移速率矩陣 Q 的各項矩陣元素 𝑞_]¾(𝑡) 定義如下：

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二、轉移機率矩陣轉換

假設 X(t) 為一連續型的隱藏馬可夫鏈，且具有 2 種不同的隱藏狀態，則其轉移速率矩陣可以下式表示：

Q = F−α α

𝛽 −𝛽J 為轉移速率矩陣

且已知離散過程下，轉移機率矩陣定義如下：

P(t) = {𝑝_]¾(𝑡)} i , j = 1,……,n 為轉移機率矩陣其中，𝑝_]¾(𝑡) = P( X(t) = j | X(0) = i )

根據 Kolmogorov’s forward equation 與 Kolmogorov’s backward equation 可得：

P^œ(t) = QP(t) 且 P^œ(t) = P(t)Q

…..………..……….…...…

(4-4)

若再給定起始條件： P(0) = I = F1 00 1J 則可推得：

P(t) = exp(Q．t) = í 1 − 𝑎(𝑡) 𝑎(𝑡) 𝑏(𝑡) 1 − 𝑏(𝑡)ï

根據 (4-4)

^式：

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P^œ(t) = QP(t)

⇒ í −𝑎^œ(t) 𝑎^œ(t))

𝑏^œ(t) −𝑏^œ(t)ï = í −α + α𝑎(𝑡) + 𝛽𝑎(𝑡) α − α𝑎(𝑡) − 𝛽𝑎(𝑡)

−α𝑏(𝑡) + 𝛽 − 𝛽𝑏(𝑡) α𝑏(𝑡) − 𝛽 + 𝛽𝑏(𝑡)ï

⇒ 𝑎^œ(t) = α − α𝑎(𝑡) − 𝛽𝑎(𝑡) = α,1 − 𝑎(𝑡)- − 𝛽𝑎(𝑡)

𝑏^œ(t) = −α𝑏(𝑡) + 𝛽 − 𝛽𝑏(𝑡) = 𝛽(1 − 𝑏(𝑡)) − α𝑏(𝑡)

又給定 P(0) = I = F 1 00 1J

⇒ 𝑎(0) = 0 , 𝑏(0) = 0

⇒ 𝑎(𝑡) = _.KÒ^. (1-𝑒^B(.KÒ)O) , 𝑏(𝑡) = _.KÒ^Ò (1-𝑒^B(.KÒ)O)

⇒ P(t) = _.KÒ^? / 𝛽 + α𝑒^B(.KÒ)O α(1 − 𝑒^B(.KÒ)O) 𝛽(1 − 𝑒^B(.KÒ)O) α + 𝛽𝑒^B(.KÒ)O 0

令 A = α𝑡 , B = 𝛽𝑡

P(t) = _1K2^? / 𝐵 + A𝑒^B1B2 A(1 − 𝑒^B1B2) 𝐵(1 − 𝑒^B1B2) A + 𝐵𝑒^B1B2 0

若已知 P(t) = F 1 − 𝑈 U

𝑉 1 − VJ ：

P(t) = _1K2^? / 𝐵 + A𝑒^B1B2 A(1 − 𝑒^B1B2)

𝐵(1 − 𝑒^B1B2) A + 𝐵𝑒^B1B2 0 = F 1 − 𝑈 U 𝑉 1 − VJ

⇒ A = -ln(1-U-V)．_6K7⁶ , B = -ln(1-U-V) ．_6K7⁷

……….…….…...…

(4-5)

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有了 (4-5)

式後，即可利用此式子將轉移機率矩陣轉換成轉移速率矩陣，

因此可以利用 Baum-Welch 法先迭代出轉移機率矩陣的各項參數後，再利用轉換過後的轉移速率矩陣參數代入 ODMMTD 模型中進行買權的定價。建構出 ODMMTD 模型後，同樣想觀察利用兩狀態隱藏馬可夫鏈配適波動率，與用常數估計波動率的模型差異之處，因此我們將波動率的馬可夫鏈圖畫出。

圖 3-5 馬可夫鏈配適圖

<圖 3-5> 為台股指數資料 2020/04/01 前 60 天的波動率走勢圖，可以清楚地發現，圖型中接近 20 與 50 處波動率皆有明顯跳動，若是在此種狀況下以常數做波動率的配適，則會造成定價模型的巨大偏誤，若是以下圖的馬可夫鏈來配適此過程，則可以清楚地掌握到波動率的跳動以及群聚性，進而增進模型定價的績效。

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透過第三章與第四章的推導，我們建立了 TDB-S 模型與 ODMMTD 兩選擇權定價模型，第五章將利用台股指數選擇權市場 2019/04/01 至 2020/04/01 的日收盤資料，比較此兩模型跟 B-S 模型與 ODMM 模型在台指數市場的定價績效，

觀察修正過後的定價模型相較於原始的 B-S 模型與 ODMM 模型，新建構的模型定價是否更貼近於市場實價。比較方式不僅比較權證在不同價位下的績效，也觀察了權證交割長短對模型績效的影響，詳細的比較方式在第五章進行說明。

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l C h engchi U ni ve rs it y 第五章定價模型績效評估

第五章將比較 B-S 模型、ODMM 模型、TDB-S 模型與 ODMMTD 模型，四者在不同的參數估計下，對於台股指數選擇權市場的定價績效。其中，B-S 模型與 TDB-S 模型的參數可以由歷史波動率、動差估計法以及最大概似估計法來估

在文檔中以 t 分配的隨機誤差項與隱藏馬可夫鏈建構選擇權定價模型－以台股指數市場為例 (頁 41-0)

建立 TDB-S 定價模型

第三章 TDB-S 模型建立

第五節 建立 TDB-S 定價模型

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第五節 建立 TDB-S 定價模型

,t) +

為一無風險投資組合。

……...……..

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圖 3-4 資產報酬率配適分佈比較圖

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l C h engchi U ni ve rs it y 第四章 ODMMTD 模型建立

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第一節 隱藏馬可夫模型

一、 隱藏馬可夫模型簡介

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二、 HMM 架構

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三、 Baum-Welch 演算法

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二、 轉移機率矩陣轉換

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第五節建立 TDB-S 定價模型

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第一節隱藏馬可夫模型

一、隱藏馬可夫模型簡介

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二、轉移機率矩陣轉換

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l C h engchi U ni ve rs it y 第五章定價模型績效評估