第一章 緒論
第三節 研究架構與流程
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移動的狀態，使模型在定價時不再受到波動率高峰期與低峰期的影響而嚴重高估 或低估選擇權價格，進而使模型定價能更貼近市場價格。
第三節 研究架構與流程
本文總共分成五個章節，首章節緒論闡述研究動機與目的，使讀者能快速了 解此論文的主軸與研究方向。第二章為文獻探討，主要講述此篇論文所使用的技 術來源，以及 B-S 模型修正有關與波動率轉換有關的佐證論文，其中包含隱藏馬 可夫鏈 ( Banachweicz, K., and A. Lucas. 2008 )、雙狀態佔據時間的聯合機率分配 ( Pedler 1972 )、制度轉換對選擇權定價的影響 ( Elliot, Chan, and Siu 2005 )、
forward Kolmogorov equation 以及二維馬可夫調整模型 ( Son-Nan Chen, Hsu , and Liang 2019 ) 等文獻探討。
第三章闡述建立新評價模型的過程，首先會以台股指數的歷史數據來說明 B-S 模型假設在台股指數市場的不合理之處，接著利用推導出的廣義 Ito-lemma 證明某投資組合 𝜋 為無風險的投資組合，而後建立以學生 t 分配配飾隨機誤差的 選擇權定價模型 ( t-distribution based B-S model, 後簡稱 TDB-S model )。
推導出初步模型後，第四章再將波動率視為有兩種狀態的隱藏馬可夫鏈，利 用兩狀態佔據時間 (occupation time) 的聯合機率分配與 TDB-S 模型做結合成為 新 的 選 擇 權 定價 模 型 稱作 一 維 馬可 夫 調 整 t 分 配 評 價模 型 (One-dimension Markov-modulated t distribution model, 後簡稱 ODMMTD model)，並簡單介紹轉
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移速率矩陣 (Transition Rate Matrix) 與 Baum-Welch 迭代法如何解決 HMM 模型 的學習問題。
第五章利用推導出的 TDB-S 與 ODMMTD 兩模型，與 B-S 模型和 ODMM 模 型 (Son-Nan Chen, Hsu , and Liang 2019) 四種不同模型搭配歷史估計量、最大概 似估計量與動差估計量三種不同估計量利用 2019/4/1 至 2020/4/1 的台指選擇權數
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l C h engchi U ni ve rs it y 第二章 文獻探討
自 1973 年 Black & Scholes 模型問世以來，便有許多學者對於資產報酬率的 常態分配假設存有質疑並加以研究，如 Mandelbort (1963)、Fama (1965) 等學者，
研究發現常態分配並無法完全掌握資產報酬率的分配，因為其厚尾與高峰現象是 常態分配無法表現出來的特性，因此多數學者認為常態分配不足以用來配飾資產 報酬率的分佈，應以比常態分配更具厚尾特性的學生 t 分配取代之。
Engle (1982) 利用時間序列配飾股價波動率時時提出了 ARCH 模型，其模型 中首度將利用時間序列配適波動率，使得波動率的假設不再為恆定值。在 ARCH 模型提出後，各式以 ARCH 模型為基礎的修正模型紛紛問世，如 GARCH、ARCH-M、NARCH 等等。在這些將波動率視為隨機過程的定價模型問世之後，許多學 者也開始研究利率恆定性的問題，並將利率視為隨機過程來建立定價模型，之後 更出現了隨機利率結合隨機波動模型與跳躍波動模型等等。
本章共分為三個小節討論，第一節將整理古今中外各國學者對於資產報酬率 分佈服從常態分配的懷疑，並指出資產報酬率的分配應為具厚尾的學生 t 分配；
第二節將探討波動率自恆定性假設演變到如今的隨機波動的過程與各個波動率 估計與配飾方式的優缺點；第三節會介紹至今為止的幾個定價模型，並觀察各模 型在不同市場下的定價績效表現，並比較優劣。
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第一節 資產報酬率分配
1973 年 Black and Scholes 提出了著名的公式解選擇權定價模型簡稱 B-S 模 型，此模型的問世對當時的金融領域造成了一股轟動，之後更引發多位學者在 B-S 模型的基礎上建立新的選擇權定價模型。B-S 模型是假設在資產價格服從幾 何布朗運動、無風險利率為定值與波動率為定值下，利用資產價格與其衍生性產 品相互對沖的無風險投資組合推導出的定價模型，模型如下：
（一）模型假設
1. 股價變動服從幾何布朗運動：
即 𝑑S&
=
rS&𝑑𝑡+ σS&𝑑Z&
2. 無風險利率 r 是恆定值
3. 市場不存在稅收與交易成本
4. 證券完全可分割（可取得任意張數的股票）
5. 歐式期權
（二）定價模型
S= = S&・N(d?) – K・eBC(=B&)・N(d;)
其中，
d? = DEF
GHIJK(LKM66)(NBO)
P・√ NBO ；
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d; = 𝑑?
–
𝜎・√ 𝑇 − 𝑡；
S=：期權合理價格 ；
S&：交易的金融資產現價 ；
K：期權交割價格 ；
r：連續複利記無風險利率 ；
N()：常態分配累積分佈函數。
B-S 模型在發表後受到眾人的推廣，Black and Scholes 兩位學者並在 1997 年 時獲得了諾貝爾經濟學獎的肯定。然而， B-S 模型對於資產報酬率服從常態的假 設在發表之後便受到眾多學者的挑戰與懷疑。
最早提出資產報酬率不服從常態分配的學者為 Mandelbort (1963) 與 Fama (1965)，他們以時間序列的方法分析資產報酬率的分佈，其研究結果除了顯示資 產報酬率不服從常態外，也發現資產報酬率分佈具有厚尾、尖峰與不對稱的特性，
並指出股票市場具波動群聚現象 (volatility clustering) 或稱波動率的持續性，即 表示當市場處於大波動時，伴隨而來的將是大波動；反之，小波動出現後將跟隨 著小波動。
而後 Praetz (1972)、Blattberg and Gonedes (1974) 分別針對雪梨交易所及美 國道瓊指數的資產報酬率進行研究，Praetz (1972) 取自 1958 年後 8 年期間的 30 檔股票的報酬率分佈作為研究樣本，研究時利用學生 t 分配、常態分配、柏拉圖
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分配等多種不同分配對此 30 檔股票資料集做檢驗，其研究結果顯示，在眾多分 配比較過後，學生 t 分配對於資產報酬率具有最佳的配飾度；而 Blattberg and Gonedes (1974) 是取 1957 年至 1962 年美國道瓊指數內 30 個股票價格做單日報酬 率分析，同樣地，其研究結果也顯示，學生 t 分配相較於其他分配更能掌握資產 報酬率分配。
Upton and Shannon (1979) 與 Gray and French (1990) 兩者的研究結果也顯 示，單純以常態分配來闡述資產報酬率的分配並不夠精確，因為資產報酬率的厚 尾現象是常態分配無法表現出來的。其中，前者是隨機挑選美國 50 家上市公司 235 個月的資料進行分別進行單公司與多公司投資組合的日報酬、月報酬、季報 酬與年報酬的常態分配檢定，結果顯示：多公司投資組合的報酬率分配較單公司 報酬率分配更為貼近常態、單公司報酬率分配在考慮月報酬率、季報酬率、年報 酬率下，其分配與常態分配有所差異，而若考慮日報酬率的分配會相較於前三者 貼近於常態；Gray and French 的研究是以 S&P500 指數與多檔美國個股的股價 報酬率作為研究的目標，其研究以各個可能的分配做資料適合度檢驗，除了先前 的 Praetz (1972) 檢驗過的分配外，Gray and French (1990) 再加入了幾項特別的 分配，如羅吉斯分配等，來做資料分配的檢定，其結果仍顯示眾多分配中，以學 生 t 分配最適合用於模擬股價報酬率分配。
Aparicio and Estrada (2001) 對歐洲十三個證券市場的日資料做股價報酬率 分佈的分析，結果顯示：幾乎所有資料都可以利用學生 t 分配來描述，僅一小部 分的資料可以用兩常態分佈的結合來表現，更進一步表示若僅使用一般的常態分 配做為報酬率分配模擬時，相較於其他分配會與市場實際狀況有最大的誤差。
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近年來，Lu (2005)、Xu and Hou (2006) 等學者也以不同方法與不同的市場實 際資料驗證了典型財務數據普遍具有高峰厚尾的特性，並一致認為常態分配不能 完全反映出實際數據的特徵；Hu and Kercheval (2009) 以美國五檔個股 2002/01 至 2005/04 的資訊做資產報酬率分佈的分析，其結果發現在多個分配中，以學生 t 分配與偏學生 t 分配配飾資產報酬率分佈最佳，Daniel, Michael and Rachid (2010) 研究了 S&P500 指數與道瓊指數報酬率分配，並指出在描述上述兩種市場的報酬 率分配時，以學生 t 分配來配飾非常合適。
台灣學者林楚雄、吳欽杉、劉維琪 (2000) 以台灣店頭市場為研究目標，以 1995 年至 1999 年共計 949 筆的日資料作為分析樣本，其研究結果發現，台灣店 頭市場的波動率具有高度的持續性，且指出有明顯證據拒絕台灣店頭市場報酬率 服從常態的假設。
除了台灣學者外，中國學者張慧蓮、汪紅駒 (2006) 與黃德龍、楊曉光 ( 2008 )，
兩者皆研究了上海證券綜合指數與深圳證券交易所的股價指數，其結果都指出，
兩市場的股價報酬率具有尖峰厚尾的特性，學生 t 分配相較於常態分配更能配飾 其分配的特性；同為中國學者的 Chen and Yu ( 2013 ) 在研究中國歐式選擇權波 動率現象時，利用 Q-Q 圖檢測發現對數報酬率的分配不服從常態，且明顯看得出 厚尾現象。
第二節 波動率性質
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在時間序列分析模型中，Engle (1982) 首度提出了以時間序列形式表現波動 率狀態的自我回歸條件變異數 ( ARCH ) 模型，此模型不僅使波動率假設不再是 定值，更因為自我相關回歸的特性而能表現出波動率的群聚效應，使得 ARCH 模 型在當時的計量經濟領域中獲得了廣大的迴響。然而，因為 ARCH 模型僅假設當 期條件變異數與過去 p 期條件變異數誤差有相關即：
如果
ε O
～ARCH(q) 𝑌O = 𝛽𝑋O +ε O ε O
=YhOVO
E(
ε O
)= 0、Var(
ε O
) = 𝜎𝑡
; > 0 且 E(ε 𝑡 ε 𝑡−1
) = 0其中，VO ～]]^
N(0,1) ，hO = c + a?ε;OB? + …… + a`ε;OB`
且 ∀ i > 0 , VO 與
ε OB]
獨立因為僅假設與過去 q 期誤差有相關，為了更充分刻畫出波動率的波動過程，
往往會需要很多參數，也就表示在建立模型時需取較長的遞延期，如 AR(4)、AR(8) 等等，這種長期的遞延雖然能讓模型模擬出更細微的波動率變化，但是會增加解 釋上的困難。因此，Bollerslev (1986) 在 ARCH 模型的基礎上提出廣義自我回歸 條件變異數模型( GARCH )，除了假設當期條件變異數與前 q 期條件變異數誤差 有相關外，也假設當期條件變異數與前 p 期條件變異數有相關即：
ε O
～GARCH(p,q) 𝑌O = 𝛽𝑋O +ε O
ε O
=YhOVO ,
ε O ~ N(0,
hO)
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E(
ε O
)= 0、Var(
ε O
) = 𝜎𝑡
; > 0 且 E(ε 𝑡 ε 𝑡−1
) = 0 其中，VO ～]]^N(0,1)
hO = c + a?ε;OB? + …… + a`ε;OB` + β?hOB? + …… + βfhOBf 且 ∀ i > 0 , VO 與
ε OB]
獨立
其研究結果發現，GARCH 模型相較於 ARCH 模型不僅更具解釋能力、更能 掌握資產報酬率的厚尾現象且遞延期較具一般性，即不用像 ARCH 模型因為假 設的不足而需要取較長的遞延。而 Bollerslev (1987) 再提出了 GARCH-T 模型，
其模型以學生 t 分配取代原始 GARCH 模型的資產報酬率誤差項的常態分配，分 析結果顯示 GARCH-T 模型在報酬率厚尾的表現上更為突出。ARCH 與 GARCH 模型同時也表現出股價各期間的波動並非獨立，而是有前後相關的，也代表了股 票波動具有持續性（波動群聚性）。
1987 年全球股市大崩盤，各國投資人更開始對波動率的恆定性產生懷疑，
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