第三章 實證方法與實證模型
第一節 實證方法
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第三章 實證方法與實證模型
本文欲建構一包含六個變數的 SVAR 模型來討論當匯率、外國產出以及外國 生產成本等變數對我國出口量與貿易條件的影響，如先前所述，選擇 SVAR 模型 的原因為，SVAR 模型除了考慮變數本身過往數據對本期變數的解釋能力外，也利 用經濟理論建立短期下變數之間的交互關係，能進一步把變數之間的同期影響納 入考量，使分析過程更為完整。本文首先利用經濟論點建立各變數間的短期關係，
再使用衝擊反應函數（impulse response function）與變異數分解（variance
decomposition）分析各變數間的交互影響與關係。在第一節中將介紹文中所使用之 計量方法，第二節將說明本文的資料來源與實證模型的設定。
第一節 實證方法
向量自我迴歸模型
向量自我迴歸模型最早由 Sims（1980）所提出，主要的精神為將模型內所有 的變數都視為內生變數，變數間彼此可互相影響，如此一來即可避免傳統大型總 體計量模型在模型設定上過於武斷與模型限制過多的問題。傳統的 VAR 模型為縮 減式 VAR 模型（reduced-form VAR model），其一般式可表示如下：
y𝑡= Φ0+ Φ1y𝑡−1+ Φ2y𝑡−2+ ⋯ + Φ𝑝y𝑡−𝑝+ 𝑣𝑡 (3.1)
在式(3.1)中，y𝑡表示第 t 期的變數，且為一(n × 1)之矩陣，n為模型所包含之變數 個數；Φ0為一(n × 1)之常數向量；Φi, i = 0,1, ⋯ , p為待估參數，為(n × n)之方陣，
p為 VAR 模型之落後期數；𝑣𝑡為誤差項，為(n × 1)之矩陣，且Cov(𝑣𝑖t , 𝑣𝑗t) ≠ 0。
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雖然在縮減式 VAR 模型中，殘差項存在著同期相關的問題（Cov(𝑣𝑖t , 𝑣𝑗t) ≠ 0）， 但整體的縮減式 VAR 模型是一個具有相同解釋變數的近似無關迴歸模型
（seemingly unrelated regressions model，簡稱 SUR 模型），可直接利用普通最小平 方法（ordinary least squares method）進行估計。
在 VAR 模型的分析中，單一係數估計值的經濟分析是比較困難的。若以 VAR(p) 為例，在模型中不同變數落後 p 期的落後項都會是當期單一變數的解釋變數，當 解釋變數過多自然會造成單一變數解釋能力下降的情況。所以在進行 VAR 模型分 析時，主要是利用衝擊反應函數與變異數分解進行經濟分析。但是在 VAR 模型中，
由於各變數的誤差項可能存在著同期相關的問題，無法得到單一組的衝擊反應函 數與變異數分解，將造成分析上的困難，但若改採結構式 SVAR 模型時則可避免 此一問題。
結構式向量自我迴歸模型
在 SVAR 模型中利用經濟理論建立各變數間的同期關係，誤差項將不具同期 相關（Cov�z𝑖t , z𝑗t� = 0），故只有唯一之一組的衝擊反應函數和變異數分解結果。
設 SVAR(p)結構式如下：
y𝑡= D0y𝑡+ D1y𝑡−1+ D2y𝑡−2+ ⋯ + D𝑝y𝑡−𝑝+ Bz𝑡 (3.2)
在式(3.2)中，y𝑡表示第 t 期的變數，且為一(n × 1)之矩陣；Di, i = 0,1, ⋯ , p為待估 參數，為(n × n)之方陣；z𝑡為誤差項，為(n × 1)之矩陣，且z𝑡~(0, 𝐼)；Bz𝑡為結構性 衝擊。
將D0y𝑡移項至等號左邊，可得
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(I − D0)y𝑡 = D1y𝑡−1+ D2y𝑡−2+ ⋯ + D𝑝y𝑡−𝑝 + 𝐵z𝑡 (3.3)
再將(3.3)式兩邊同乘(I − D0)−1得
y𝑡= (I − D0)−1D1y𝑡−1+ ⋯ + (I − D0)−1D𝑝y𝑡−𝑝 + (I − D0)−1𝐵z𝑡 (3.4)
令 Φ𝑗 = (I − D0)−1Dj，j = 1, 2, ⋯ , p，v𝑡= (I − D0)−1𝐵z𝑡代入式(3.4)得
y𝑡= Φ1y𝑡−1+ Φ2y𝑡−2+ ⋯ + Φ𝑝y𝑡−𝑝+ v𝑡 (3.5)
在經過一系列推導過程後，可將原先的 SVAR 模型轉換至式(3.5)的形式，即 可利用 VAR 模型進行估計。但比較式(3.2)與式(3.5)後可發現，原先的 SVAR 模型 中，待估的參數有D0, D1⋯ D𝑝, B，共k2× (𝑝 + 1) + k2個，而當對式(3.5)進行估計，
可得到的資訊為Φ� , Φ1 � ⋯ Φ2 � , Σ𝑝 � =𝑣 𝑇1∑𝑇𝑡=1𝑣� v𝑡� ′𝑡，共k2 × 𝑝 + k +𝑘(k−1)2 個，兩者相差
𝑘(3k−1)
2 個，其中T為資料之總期數。所以僅依式(3.5)所提供的資訊是不足的，還需
要對D0和B，加上𝑘(3k−1)2 個認定條件，才能順利進行估計。
認定條件
一般在 SVAR 模型中，均假設B為對角矩陣，D0之主對角線元素為 0，即
𝐵 = �
𝑏11 0 ⋯ 0 0 𝑏22 ⋮
⋮ ⋱ 0
0 ⋯ 0 𝑏𝑘𝑘
� 、 D0 =
⎣⎢
⎢⎡ 0 𝐷012 ⋯ 𝐷01𝑘 𝐷021 0 ⋯ ⋮
⋮ ⋱
𝐷0𝑘1 𝐷0𝑘2 ⋯ 0 ⎦⎥⎥⎤
(3.6)
此假設提供了k 和k2− k個條件，因此我們還需要𝑘(k−1)2 個其他認定條件。在本 文中，將其他認定條件限制在D0矩陣上，此一限制稱為短期限制（short-run
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restriction）。欲進行 SVAR 模型的估計，則至少需要𝑘(k−1)
2 個其他認定條件，但若 當其他認定條件超過𝑘(k−1)
2 時，則需進行過度認定檢定（over-identification tests），
藉以判定是否對模型加入了過多的限制。
過度認定檢定
在 SVAR 模型中進行估計時，除了設定B為對角矩陣，D0之主對角線元素為 0 的基本假設外，還需要對D0矩陣中的其他參數進行假設，而當D0矩陣中的限制條 件數目小於𝑘(k−1)
2 時，稱為不足認定（under-identified）；限制條件數目等於𝑘(k−1)
2 時，
為適足認定（just-identified）；限制條件數目大於𝑘(k−1)
2 時，為過度認定
（over-identified）。當模型為不足認定時，無法進行估計；當模型為適足認定或是 過度認定時，可順利進行估計，但當模型為過度認定時，則必須對模型進行過度 認定檢定以確保模型的正確性。
過度認定檢定可表示如下：
LR = 2(𝑙𝑢− 𝑙𝑟) (3.7)
𝐻0: 模型正確 𝐻1: 模型不正確
式(3.7)中，𝑙𝑢和𝑙𝑟分別為「未受限」與「受限」的對數概似函數。當虛無假設 為真時，LR將收斂至χ2(R)，R為多過𝑘(k−1)2 的認定條件數目（the number of extra restrictions）。當LR的值大於給定信心水準下所對應之卡方分配臨界值時，則拒絕 虛無假設，表示在該信心水準下不接受模型為正確的假設。
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ADF 檢定
在利用時間序列資料進行分析時，資料必須不具有時間趨勢，若使用具有時 間趨勢的資料進行分析，可能會有迴歸係數小樣本向下偏誤（small-sample
downward bias）、t-統計量極限分配不為常態分配以及虛假迴歸（spurious regression）
等問題，故在進行分析前需先對資料進行單根檢定，檢驗該資料是否具有時間趨 勢。本文選用 ADF 檢定（Augmented Dickey-Fuller Test）作為資料檢驗之判定工具。
ADF 檢定共分為三種類型，可分別表示如下：
（一）Δy𝑡 = 𝛿y𝑡−1+ ∑𝑝 γ𝑖Δy𝑡−𝑖
𝑖=1 + u𝑡 (3.8)
（二）Δy𝑡 = 𝛽0+ 𝛿y𝑡−1+ ∑𝑝𝑖=1γ𝑖Δy𝑡−𝑖+ u𝑡 (3.9)
（三）Δy𝑡 = 𝛽0+ 𝛼𝛼 + 𝛿y𝑡−1+ ∑𝑝 γ𝑖Δy𝑡−𝑖
𝑖=1 + u𝑡 (3.10) 𝐻0: 𝛿 = 0 𝐻1: 𝛿 < 0
第一類是模型不包含截距項與時間趨勢，第二類則將截距項納入模型中，第 三類則是截距項與時間趨勢都包含在內，不論哪一類模型虛無假設，皆為資料具 有隨機趨勢，即該資料具有單根。而∑𝑝 γ𝑖Δy𝑡−𝑖
𝑖=1 為檢定統計量中的增廣項
（augmented part），其期數的選擇可利用 AIC 準則（Akaike Information Criterion）
或 BIC 準則（bayesian information criterion）進行判定。但由於 ADF 檢定之檢定統 計量並不服從 T 分配，其極限分配亦不是常態分配，故其臨界值需查 ADF 特定的 表。
VAR 模型落後期數選取
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不論是在 ADF 檢定或是 VAR 模型落後期數的選取中，我們都可以利用 AIC 準則以及 BIC 準則協助我們進行判斷。
（一）AIC 準則
AIC(p) = ln �∑ 𝜀�𝑡𝑇𝑡2� + (𝑝 + 1)2𝑇 (3.11)
𝜀̂𝑡= 𝑦𝑡− 𝑦�𝑡 = 𝑦𝑡− 𝛽̂0− ∑𝑝 𝛽̂𝑖𝑦𝑡−𝑖
𝑖=1 (3.12)
（二）BIC 準則
BIC(p) = ln �∑ 𝜀�𝑡𝑇𝑡2� + (𝑝 + 1)lnT𝑇 (3.13)
𝜀̂𝑡= 𝑦𝑡− 𝑦�𝑡 = 𝑦𝑡− 𝛽̂0− ∑𝑝 𝛽̂𝑖𝑦𝑡−𝑖
𝑖=1 (3.14)
其中，∑ 𝜀̂𝑡 𝑡2為殘差平方和，𝑇為樣本數，𝑝為最適落後期數。
比較式(3.11)和式(3.13)，可發現 AIC 準則和 BIC 準則皆由兩個部分所組成，
第一部分兩個準則都相同，都是由殘差平方和所組成，所以當 AIC 與 BIC 的值越 小時，模型的殘差越少，代表模型的解釋能力越佳。第二部分則是落後期數的懲 罰項，因為若只單看殘差平方和來選擇模型，則變數越多的模型殘差平方和勢必 越小，如此一來將會選擇過於龐大的模型，加入懲罰項則能使模型在增加新變數 時，一方面使殘差平方和下降，另一方面則會讓懲罰項的值上升，藉此避免選擇 過多的解釋變數。
而 AIC 準則和 BIC 準則不同的地方在於懲罰項的不同，當T > 8 時，lnT > 2，
表示當樣本數較大時，BIC 準則的懲罰項較重，故當樣本數T > 8時，BIC 準則將 傾向選擇解釋變數較少的模型。
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