實證方法

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第三章 研究方法

本文的研究方法是參考 Pissarides and Weber (1989) 所發展之實證模型，以 此來估計實際所得與申報所得之差異，算出所得低報的比例，並進而導出地下 經濟規模。本章共分為四節，第一節為實證方法，介紹 Pissarides and Weber (1989) 所發展之方法；第二節為本研究所使用之實證模型；第三節為資料來 源，介紹本研究使用之資料庫及採用年度；最後一節為變數說明，對各變數進 行定義以及說明各變數之衡量方式。

第一節 實證方法

Pissarides and Weber (1989) 之實證方法主要建立在三個假設之下：(1)所有 人在某些支出項目上所申報的所有支出都是正確的 (2)受雇者申報的所得是正 確的 (3)所有人對某些項目的支出函數是相同的。

首先，我們必須假設樣本中所有家戶的食物支出申報是正確的，而且所有 家戶的家庭特質都被正確記錄。再來，我們將所有家戶之戶長從業身份分成自 雇者與受雇者，其中，我們用

Y

_i 來表示每個家戶的真實所得，並假設受雇者申 報的稅後所得都會誠實申報，我們以

Y

_i^'來表示申報的稅後所得，所以對於受雇

者來說 

Y

_i =

Y

_i^'，但對於自雇者而言： 

  ^'

i i

i

k Y

Y



        ,       

k

_i

 1

  (1)

       

k

i 為一個隨機變數，代表自雇者低報所得的程度。

k

_i 越大，代表自雇者 家戶所得低報情形越嚴重。 

        同時，我們可將支出函數設為： 

  ij

P i j i j

ij

Z Y

C 







ln 



ln

  (2)

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        其中，

C

ij為家戶 i 對項目 j 的消費，

Z

_i代表家庭特質向量，



_j是各種家庭 特質的係數向量，



_j為對於財貨 j 的邊際消費傾向，



_ij是誤差項， 

Y

_i^P 是會影 響消費決策的恆常所得。在此我們使用恆常所得(

Y

_i^P )而非資料中的申報所得

(

Y

_i^')是因為，根據恆常所得假說，只有恆常所得會影響消費決策，暫時所得的 增減對消費影響不大，因此用恆常所得來評估消費決策比較合理。但是實際所 得不僅只是恆常所得，同時也包含暫時所得。所以我們再假設

Y

_i^P 與真實所得 間的關係為： 

  ^P

i i

i

p Y

Y

   (3)

        ^其中

p

i為一個隨機變數，個別家戶的期望值

p

_i 決定於總和事件，在

「好」的年度時，

p

_i的平均值較高。另外，我們還做了一個嚴格的假設，即

p

_i 的平均值在受雇者及自雇者間是相同的，但其變異數在不同的群組中可能會不 相同，一般我們預期自雇者

p

_i的變異數比受雇者

p

_i 的變異數大。 

        從(1)式和(3)式中可知恆常所得的對數型態可顯示為： 

  i i i

P

i

Y p k

Y

ln ln ln ln  ^'  

  (4)

        再將(4)式帶入(2)式，則可以得到： 

 

ln C

ij



j

Z

i



j

ln Y

i^'



j

ln p

i



j

ln k

i



ij  (5)         如此一來便可以得出迴歸式： 

 

ln C

ij



j

Z

i



j

ln Y

i^'



j

SE

i



i  (6)

        其中

SE

_i 是一個虛擬變數，若納稅人為自雇者則數值為 1，若為受雇者其數 值為 0；



_i為誤差項。除了依戶長從業身份分成自雇者與受雇者外，同時我們

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也會分別估算兩大職業群體「白領」工作人員和「藍領」工作人員的迴歸，最 後再利用求得之係數來進行所得申報逃漏程度之估計。 

        回到前面部分，在(4)式中，我們用申報所得來代替觀察不到的恆常所得，

因此多了兩個隨機迴歸式

ln p

_i和

ln k

_i，但由於我們沒有任何

p

_i 或

k

_i 的數據，

所以我們必須對家戶分配做了一些假設，使估計更容易處理。我們假設

p

_i和

k

_i 都是對數常態分配(log‐normal)，並可寫成： 

  ln

p

i 



p

u

i  (7)

 

ln k

i

 

k

 v

i  (8)

        其中，隨機變數

u

_i 與

v

_i 的平均值為零，且變異數



_u²與



_v² 在個別職業中 為固定值。將這個加以考慮並帶入(5)式後，我們可以得到： 

 

ln C

ij



j

Z

i



j

ln Y

i^'



j

(

p



k

) 

j

( u

i

 v

i

) 

ij  (9)         與(5)式相比，(9)式不只有截距項，還多了自雇者與受雇者間不同的變異 數，而使整個方程式顯得更清楚。假定我們將此等式分成自雇者與受雇者兩類 後分開估計，且加入_j與_j這兩個共通的限制，等式的截距就會因為



_p



_k

在個別群體中的相異而有所不同，各等式的殘差變異數應該也會有所差異，包 括我們所預期的自雇者會有比較大的變異。透過估計中的這些差異，便可以用 來獲得一個自雇者所得低報的估計值。 

而為了得到一個獨立的所得殘差變異數的估計值，我們需要一個簡易的所 得迴歸式以計算自雇者與受雇者的所得殘差變異數，如下式： 

  ln

Y

i^' 



₁

Z

i 



₂

X

i 



i  (10)

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        其中

X

_i 是一組工具變數¹。誤差項



_i是由三個誤差所組成，分別是：恆常 所得因不明原因的變化、恆常所得的實際誤差項

u

_i 以及申報所得的實際誤差項

v

i 。而根據我們先前討論可知，通常自雇者的所得殘差變異數(



_YSE² )應該會大 於受雇者的所得殘差變異數(



_YEE² )。 

        接著，為了得到

u

_i 與

v

_i 的變異數，我們將之前(6)式中的



_j估計為： 

 

 

   

 ( )

2

1

_{2 2}

uEE uSE k

j

j    

   (11)

       



_u²為

p

_i 的變異數，下標的 SE 與 EE 則分別代表自雇者家戶與受雇者家戶。

不過由於ln

p

_i 在自雇者家戶與受雇者家戶之間並不相同，因此這個估計式並無 法求得



_k。 

        我們最終的目標是要估出

k

_i 的平均值，假設這個數字為k ，然後再用申報

的平均自雇所得乘以k 後，得出平均的真實所得。首先我們需假設

k

_i 為對數常 態(log‐normality)，因此可得到： 

  ²

2

ln k 

_k

 1

_vSE   (12)

        其中，



_VSE² 為

k

_i 的變異數，下標的 SE 代表自雇者家戶。假設(10)式的恆常 所得因不明原因的變化所產生的誤差，對於自雇者與受雇者皆相同，則藉由受 雇者不會短報所得的假設，可得到： 

 

var 

SE

 var 

EE

 var( u  v )

SE

 var u

EE  (13)         將var(uv)展開並轉換成先前的符號之後，我們可將(13)式改寫成：   

       

1 本研究所使用的工具變數包含是否有臨時所得、戶內汽機車數、房地產價值、配偶自雇與

否、戶長是否為自雇者和房地產價值、戶內電視機數、戶內汽機車數、年齡、年齡平方、戶內 小孩數目、戶內冷氣機數、戶內洗衣機數、住宅面積、住宅自有與否等的交叉項。

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

_YSE²

 

_YEE²

 

_uSE²

 

_vSE²

 2 cov( uv )

_SE

 

_uEE²   (14)

        前面曾經提過，我們無法求得第(11)式的



_k，但是若以



_j替換(11)式中的



k_{，則可以得出：} 

 

) 2 (

1 2

ln 1

² _vSE² _uSE² _uEE²

j j vSE

k

k   



 



    



  ₍₁₅₎

        當



_vSE² 與



_uSE² 隨著合理的範圍變化，我們在(15)式中對平均低報的估計值也 會在一個範圍中變化。因此，我們設定一組相關係數 ，由於在本研究中我們 並無法計算出實際的相關係數，因而允許 在一個範圍中變化，如果 =0，情 況比較簡單，平均低報的估計值會有一個小而明確的範圍，當



_vSE² 為最小值

時，(15)式算出來的結果為下限；當



_uSE² 為最小值時，(15)式算出來的結果為上 限。 

        從(14)和(15)式可知，我們對於兩個群體的估計並沒有足夠的資訊算出所得 低報的程度，所以透過所得等式的計算，可以分別估計出自雇者的所得殘差變 異數(



_YSE² )與受雇者的所得殘差變異數(



_YEE² )，並據此計算出自雇者平均低報

的範圍，其下限(

k

_l)及上限(

k

_u)各為： 

 

) 2(

ln 1 _YSE² _YEE²

j j

kl  



  

   (16)

 

) 2(

ln 1 _YSE² _YEE²

j j

ku  



  

   (17)

        如此一來，我們便可以透過自雇者家戶平均低報的上下限，求出所得低報的 程度範圍。 

但如果 0，就會產生一些問題，使得估計變得很困難。舉例來說，如果 u 與 v 之間的關聯性不高，就可能顯示我們低報的估計值是被低估的。因此，

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我們需考慮當相關係數 為正時，我們的上限

k

_u的變化。 

        當0時會產生共變異數，而共變異數的計算需要相關係數 以及標準差



vSE與



_uSE的數值。透過假設我們可以得到



_uSE的上限估計值，

u

_i 的變異數不 能超過受雇者的所得殘差變異數，因為後者是來自

u

_i 的總變異數以及恆常所得

的殘差變異數。因此可將



_YEE² 的估計值視為



_uEE² 的上限，並註記



_uSE² =

2



uEE ，則從(14)式中我們可以改寫成： 

 



_YSE² 



_YEE² 



_vSE² 2



_YEE



_vSE  (18)         等式(18)是用來找出



_vSE² ，當結合我們所假設的



_uSE² 的上限時，給定一個

uv )

SE

cov(

_{的上限估計值} ，可以獲得先前平均低報上限新的估計值。但是我 們推論即使兩者之間有一個正相關，會提升我們平均低報估計值，不過這個效 果並不會對估計有太大的影響。 

在文檔中 我國地下經濟規模及所得申報之估計 - 政大學術集成 (頁 18-23)