實證模型描述與估計

實證研究中，如果需要同時考慮多個金融時間序列資料的條件變異數會隨時 間變動時，一般是建立一個多變量 GARCH 模型來進行實證分析。而從單變量 GARCH 模型擴充而來的多變量 GARCH 模型，因為其均數方程式的殘差項有可 能會彼此影響，所形成的條件共變異數矩陣都十分複雜，造成實證研究在估計上 的困擾，且會因所設定的參數假設不同，而有不同的差異。主要的差異在於參數 條件之條件變異數與條件共變異數的函數設定，一般會使用三種方式來簡化複雜 的條件共變異數：(1) 固定相關型式 (constant correlation form)、(2) 對角化型式 (diagonal form)、(3) BEKK 型式 (BEKK form)。

本研究所使用的是 BEKK 型式，故在此僅介紹之，BEKK 型式是由 Baba, Engle, Kraft, and Kroner (1990) 所提出，用來把複數條方程式動態的多變量之波 動模型化，Engle and Kroner (1995) 將之更進一步討論，因為 (1) 固定相關 (constant correlation)、(2) 對角化 (diagonal) 這兩個方法可能會因為模型假設的 結構性關係，在實證上難以有效縮減參數，並維持正定 (positive define)，因此提 出 BEKK 來解決上述問題。BEKK 可以當作將對角化型式予以正定，它是利用 設定模型中的變異數只受到本身落後期誤差項平方與前一期變異數的影響，共變 異數只受到本身落後期交叉項與前一期共變異數的影響。

在本研究的實證模型中，首先考慮一個三變數時間序列觀察值的股、匯市報 酬^{y_t},t = 1, ..., T，每期皆有三個元素在此序列中，即y_t=(y y_1t, _2t,y_3t)^'，其中 、

、 分別代表美國股市報酬、本國股市報酬、本國匯市報酬，由這些基本假 設，可用來描述下列模型：

y1t

y2t y_3t

(1)~(3)主要是敘述三個金融市場報酬的平均數。

t =

μ ε

+ t

結構 (time-varying structure) 型態，(5)~(7) 式為條件變異數方程式，服從GARCH (1,1)。

H

t

2 本研究針對在國與國之間股匯市報酬相關性之中，非線性關係與結構性 轉變對其的影響，故應用Teräsvirta (1994) 所提出的平滑轉換迴歸 (Smooth Transition Regression, STR) 模型，來同時分析以及區分非線性和結構性轉變 (time-varying coefficients) 兩種特性。其中轉換函數G s( _{ij t}, ;γ_ij,c_ij)，其值介於 0 與 1 之間，假設為一個羅吉斯函數 (logistic function) 的型式，定義如下：

2 變異數方程式選擇GARCH(1,1)模型是因為該模型已被許多有關股市報酬的研究文獻拿來使 用，且已證明此模型是有效的，它經常被拿來捕捉股市報酬的重大特徵，如波動的群聚現象與厚 尾現象，由Franses and van Dijk (2000)所提出。

1 檻值，在此主要擴充了Berben and Jansen (2005) 在其研究中所使用的單門檻平滑 轉換相關係數之雙變數GARCH (Smooth Transition Correlation- Bivariate GARCH model, i.e., STC-GARCH ) 模型，或為允許兩個或兩個以上門檻值來敘述非線性 設與Berben and Jansen (2005) 最大的不同在於門檻值c的個數K的設定，Berben and Jansen (2005) 他們認為股市報酬的相關性存在一個遞增或遞減的特性，而非 一般CC-GARCH模型所描述的固定相關係數，故在其研究中將相關係數加入一 個轉換函數，藉此來控制相關係數的長期變化趨勢，並設定轉換函數的門檻個數 為單一門檻，在這樣假設下的STC-GARCH模型，只能單純描述一段樣本期間內 的市場與市場之間的相關性持續遞增或遞減的情況，為一個單調轉換的變化，而 本研究則擴充Berben and Jansen 的設定，假設轉換函數含有多個門檻值存在的可 能，來描述在市場 、

MSTC-MGARCH 模型可以用來捕捉一個廣範圍的相關係數變化之形式。如

3 在實證上，藉著轉換變數t T 的標準差，

σ

_{t T}，來規模化 (t T - c ) 以估計交錯在不同區間

的轉換速率γˆ。在理論上，任何變數只要符合經濟理論皆可以當作轉換函數。

果

ρ

₁^ij和

ρ

₂^ij不同，相關係數會在不同動態區間做移動，而隨著時間增加，改變的 速度可能會隨之而增加。相關係數在不同區間之間的移轉急劇程度與否會因轉換 速率γ 的大小而不同，若γ 很大，則移轉會十分劇烈，反之則移轉十分平緩。於 單一門檻的情形下，

ρ

₁^ij與

ρ

₂^ij的大小決定了非線性相關係數轉換函數的初始值，

當γ =0，即相關係數退化為線性時，此為 Bollerslev (1990) 所提出的固定相關係 數模型，為 STC-GARCH 模型設定ρ₁^ij =ρ₂^ij或γ =0 的特殊情況。而當γ ≠0，即此 相關係數為非線性時。且ρ₁^ij <ρ₂^ij則表示相關性將會被觀察到呈現一直遞增的狀

態，反之ρ₁^ij >ρ₂^ij則表示相關性將會被觀察到呈現一直遞減的狀態，而當轉換函 數的門檻值不只一個時，此時相關係數的變化情形就必須由本研究所設定的 MSTC-MGARCH 模型來觀察。而門檻值的個數與位置和轉換速度的大小亦會影 響轉換函數的圖形，如圖二所示。

多門檻平滑轉換相關係數的多變數 GARCH 模型(Multi-threshold Smooth Transition Correlation of Multivariate GARCH model)可以應用於捕捉一個更廣範 圍變動程度的變化，不僅僅是在各個國家自己國內的金融市場而且也可以用來追 蹤國與國之間金融市場在各個時期的相關性。

結合 (9) 與 (10) 並依照 Teräsvirta (1994) 定義的邏輯斯平滑轉換函數 (logistic STR, LSTR) 模型，且依據不同門檻個數 K 值可以定義不同型態的轉換 函數而組成不同型態的非線性平滑轉換迴歸模型，

當門檻個數K= 1 時，稱作 LSTR1 為以下型式：

( ; , )_t [1 exp{ ( _t )}]

G s γ c = + −γ s −c ^-1,

γ

> . 0

LSTR1 模型可藉由單一門檻值區分成兩個動態區間，分別為較低區間與較

高區間 (lower regime and upper regime)，當轉換變數等於門檻值時 (即 =0)

LSTR2 模型的轉換函數與 LSTR1 的不同在於擁有兩個門檻值， 與 ，故 可區為分成三個動態區間 (regime)，分別為兩個外部區間 (outer regime) 與一個 內部區間 (Mid regime)，

c

1

c

₂

在外部區間 (outer regimes) 會有對稱的動態行為，而和轉換變數落在兩門檻值 以內的內部區間 (middle regime) 會有明顯不同的非線性調整。另外，當 γ = 0 數，例如以應變數、自變數的落後期或是其它外生變數作為轉換變數 (Teräsvirta,

1994)。如果考慮轉換變數與時間有相關時，則可以考慮以時間趨勢項作為轉換 變數之轉換函數 (Lin and Teräsvirta, 1994)。

在假設常態下，概似函數 (log-likelihood function) 在樣本數為 T 個觀察值下 可被描述為 (maximum likelihood estimate, MLE) 是以概似函數對所有參數同時進行估計求 出最接近母體的最大概似值。

H

t

在文檔中 英、法、德、加四國股匯市報酬與美國股市報酬連動關係之研究 (頁 14-20)