實驗處理

本研究發展之類比推理教學法，主要分為三個階段，如圖 3-5-1：

一、資料蒐集階段：透過文獻探討，整合各理論及相關資料以作為教學實驗編寫之 依據。

二、教學發展與實施階段：主要參考「類比推理教學法」來發展設計。

三、評估與修改階段：此階段在「類比推理教學法」初步設計之後，與資深數學教 師討論進行教學法的評估，並依據討論加以修正。修正完成後，則於教學實驗中進行教 學，在教學過程或學生反應中，如需修改，則依照學生反應及研究者發現進行修改，並 由研究者本身加以評估及完成。

圖 3-5-1 類比推理教學法發展流程圖

針對本研究中類比推理的教學實驗，研究者參閱類比推理相關文獻，以及當下教育 實務工作者所設計與發展的教材實例，輔以研究者自身具備的實際教學經驗，發展「線 型函數」之類比推理教學教材。整個類比推理教學法的發展歷程分為四個階段：一、決 定教學主題，二、建立教學單元，三、擬定教學目標，四、設計單元活動內容。茲將實 驗處理說明如下：

一、決定教學主題

函數概念對國中學生是很抽象的，研究者在以往的教學經驗中，在函數單元的教學 時，若是直接就介紹函數的定義，對國中學生而言是很難理解的。而在研究者的教學經 驗中也發現，學生對於邏輯推理的數學題型，通常願意動腦去思考。因此，研究者透過 圖書館與網際網路之資源，閱讀教材設計之相關書籍、教育期刊、教育論文、數學教育 研究專刊等資料，而設計出一份運用類比推理來學習線型函數的教材，讓學生能從類比 推理的思考，比對發現線型函數與二元一次方程式具有結構對應的相似性，由此過渡學 習線型函數的多重表徵與其之間的關係，並知道表徵之間如何進行轉換；而類比推理過 程中的對應，也隱含了函數對應關係的概念，則當函數定義引入時，也許可以讓學生更 容易感受到函數的對應關係。

二、建立教學單元

由於考慮學校教學進度的限制，研究者參考現行國中教材內容，先將在國中階段所 有與主題相關的概念與學生所需學習的概念一一列出，由相關文獻將各概念間的關係找 出，以概念圖的方式呈現，並參考九年一貫國中數學能力指標以及歷年國中基本學力測 驗試題，作為教學目標以及評量的依據。本單元中有幾個重要的基礎概念：自變數、應 變數、函數、函數值、函數的圖形、線型函數的圖形、一次函數與常數函數等，以此設 計教材。此外，研究者著手發展類比推理教學法的架構圖，將教學內容與各個概念間的 關係加以連結，總計包含六個教學活動，預計教學時數大約為十二堂課，以一週四節課 的方式進行為期三週的教學實驗課程。

三、擬定教學目標

研究者參考九年一貫課程綱要之分段能力指標，擬定教學目標。本教學實驗主要目 的是探討實施類比推理教學法對於學生學習線型函數等相關概念之學習成就。以下分別 就線型函數之能力指標、教學目標、教材地位分析以及教材解析說明之。

（一）能力指標：我國現行九年一貫課程綱要中，線型函數安排在國一，其能力指 標細目如下：

7-a-12 能認識變數與函數。

7-a-13 能舉出例子，說明一次函數是一種特殊的比例對應關係。

7-a-14 能在直角座標平面上描繪一次函數的圖形。

（二）教學目標：研究者任教學校國一數學採用康軒版教材，其教師手冊第二冊第 四章「線型函數」單元內容及目標如下：

4-1 變數與函數

1. 能認識變數與函數。

2. 能用符號及算式文字敘述對應值的表列來描述函數的結構。

3. 能瞭解自變數與應變數之間的關係。

4. 能知道一次函數是一種特殊的對應關係。

4-2 函數圖形與線型函數

1. 能說出函數圖形的意義。

2. 能認識一次函數。

3. 能在直角座標平面上描繪一次函數、常數函數的圖形。

（三）教材地位分析：

依據康軒版國一數學第二冊教師手冊，進行線型函數教材地位分析。如表 3-5-1：

表 3-5-1 線型函數教材地位分析表

已習教材 本章概念 未習教材

數量關係與解題 一元一次方程式 平面直角坐標系 二元一次方程式 比例

比與比例式 正比與反比

自變數與應變數 函數 函數值 函數圖形 線型函數 線型函數的圖形 非線型函數的圖形

多項式 二次函數 二次函數的圖形

數列與級數

資料來源：康軒版國中數學第二冊教師手冊

（四）教材解析：

Dubinsky 與 Harel（1992）提出基因分解（genetic decomposition）的方式設計教學 活動，把複雜的數學概念結構分解成不同的圖示。並且把圖示間的關係描述出來，建立 數學概念的不同認知結構層次，更重要的是如何從較低層次達到較高層次的認知結構。

因此，研究者將線型函數概念分解及教材架構與理論結合整理如圖 3-4-2：

圖 3-5-2 本研究教材架構與理論結合圖（研究者整理）

本研究教材架構由先備知識出發，類比對應到核心概念，再進入高階概念，並配合 互動式活動，由學習者互動討論中學習新的概念。在核心概念及高階概念中，亦強調函 數各表徵之間的連結與轉換，最後進行評量學習。

函數的多重表徵 訊息處理論：認知歷程

函數

先備知識 核心概念 高階概念 活動與例題

生活中的數量 關係

圖形變化的數 量關係

數的運算

正比與反比

基模

變數

函數的關係式

函數的定義

二元一次方程式

描點

平面直角座標

線型函數

常數函數

線型函數的平移

線型函數的斜率

活動 星座大調查

活動 搭公車活動

牛刀小試 新的基模

四、設計單元活動內容

研究者在參閱了一些線型函數的教學設計實例、以及線型函數概念發展相關文獻 後，希望藉由活潑且生活化的活動設計，引導學生使用類比推理思考，由舊經驗以及日 常生活週遭簡單且具體的事物或觀念，對應到線型函數較抽象的概念。

本研究將「線型函數」分成六個教學單元，在每個單元中，學生透過類比推理思考、

討論進行學習，並依循研究者整理出的類比推理教學之檢索、對應、學習三個類比推理 思考步驟，將各個概念藉由學習單中教學情境的引導，逐一串聯起來，讓學生在經歷一 次次的類比推理學習的課程中，逐漸學會線型函數各層次概念，以及線型函數各表徵之 間的連結與轉換。本類比推理教學法中各活動的目標領域、來源領域以及所呈現出的對 應過程以圖 3-5-3 及表 3-5-2 說明之，由此發展設計教學活動流程詳如附錄七。

圖 3-5-3 類比對應概念層次關係圖（研究者整理）

目標領域 來源領域

目標領域 來源領域

表 3-5-2 類比推理教學法目標領域、來源領域及其對應關係表 單元一：變數與函數

目標領域：變數與函數（自變數、應變數、函數）

來源領域：二元一次方程式表列表徵

類比對應：二元一次方程式表列的 x  x 自變數 x

二元一次方程式表列的 y  f(x) 應變數 y＝f(自變數) 單元二：函數與函數值

目標領域：一次函數與函數值 來源領域：二元一次方程式及其解

類比對應：二元一次方程式  一次函數

二元一次方程式表列的 x  輸入 x  自變數 x

二元一次方程式表列的 y  輸出 f(x)  應變數 y＝f(自變數) 函數值

單元三：函數的判別

目標領域：函數的對應關係（一對一、多對一）

來源領域：座號與星座對應、座號與搭車對應 類比對應：座號  x

星座、公車站名  y＝f(x) 單元四：函數圖形的判別

目標領域：函數圖形（斜直線、拋物線、點狀圖、折線圖、水平直線）

來源領域：直線方程式的圖形、拋物線圖形

類比對應：直線方程式的圖形（x 與 y）  一對一 拋物線圖形（x 與 y）  多對一

單元五：畫線型函數的圖形 目標領域：畫線型函數的圖形

來源領域：畫二元一次方程式的圖形

類比對應：二元一次方程式表列數對直角座標描點畫直線圖形

一次函數方程式表列數對直角座標描點畫斜直線圖形

常數函數方程式表列數對直角座標描點畫水平直線圖形

單元六：線型函數及其圖形上的點

目標領域：線型函數圖形通過點的座標及方程式的解

來源領域：二元一次方程式圖形通過的點座標及方程式的解 類比對應：二元一次方程式圖形通過點座標求方程式及其解

線型函數圖形通過點座標求方程式及其解 資料來源：研究者整理

以下針對類比推理教學法中六個單元活動設計理念及主要內容說明如下：

單元一：變數與函數

本活動設計理念是以二元一次方程式中表列的 x、y 值為類比物，再以類比推理思 考的檢索、對應、學習三步驟引導學生進行變數與函數的概念學習。

單元二：函數與函數值

一、由二元一次方程式 y 值與一次函數 f(x)函數值的對應，瞭解函數與函數值的差 別。

二、藉由網路資源中的速算生肖遊戲，讓學生體驗輸入一個 x 可以得到一個對應的 輸出 y，感受函數的意義並瞭解函數與函數值的關係。

單元三：函數的判別

一、瞭解 x 與 y 的對應情形，並引導至下面的活動。

二、設計星座調查與搭公車遊戲，體驗合理的函數對應是一對一與多對一的關係。

單元四：函數圖形的判別

藉由通過直線圖形以及拋物線圖形上的點：x 與 y 座標對應，讓學生瞭解函數圖形 的各種形式。

單元五：畫線型函數的圖形

由畫二元一次方程式的圖形過程，過渡到學習畫線型函數的圖形，並由例題引導出

由畫二元一次方程式的圖形過程，過渡到學習畫線型函數的圖形，並由例題引導出