類比推理教學法對國中學生線型函數學習影響之研究

國立臺中教育大學課程與教學研究所

碩士論文

指導教授：徐照麗 博士

類比推理教學法對國中學生線型函數

學習影響之研究

The Research of Teaching With Analogy Reasoning

Instructional Method on the Learning of Linear

Function among Junior High School Students

類比推理教學法對國中學生線型函數

學習影響之研究

陳惠媚

國立臺中教育大學課程與教學研究所

摘 要

本研究主要目的在探討「類比推理教學法」與「傳統式教學法」兩種不同教學法對 國一學生線型函數單元學習成就之影響。研究方法採準實驗研究法，實驗樣本來自臺中 市某國中一年級兩個班的學生 72 名，該校皆為 S 型常態編班之班級。以一班為實驗組， 實施「類比推理教學法」（analogical reasoning teaching method）；另一班為控制組，實 施「傳統式教學法」。 研究者依據文獻探討發展檢索（retrieval）、對應（mapping）、學習（learning） 的類比推理教學法（簡稱 RML），結合訊息處理論的認知策略進行教材設計，以「檢 索（R）－對應（M）－學習（L）」三階段實施教學，活動設計最核心部份在類比對應 過程。教材內容由分析線型函數的各表徵：表列、代數式、圖形及文字敘述等，以類比 推理教學呈現「線型函數」概念新舊知識之間的連結，以及個別表徵及表徵之間的連結。 在正式教學之前施以前測，教學後再施以一次相同試題的測驗（後測）；最後進行資料 統計分析。 本研究達到以下結論： 1、實驗組與控制組學生接受「類比推理教學法」與「傳統式教學法」兩種不同教學法 之後，在數學學習成就測驗上有顯著差異存在。顯示「類比推理教學法」對於線型 函數單元的學習成就是有幫助的。 2、實驗組與控制組學生接受「類比推理教學法」與「傳統式教學法」兩種不同教學法 之後，在內化、壓縮、物化層次的數學學習成就測驗試題之表現上並無顯著差異。 最後，根據本研究的結果加以討論，提出結論與若干教學建議，衷心希望可供教師 在其教學呈現及教材編排上作為參考，而對學生的學習有所助益，並對未來研究者提供 一些建議。 關鍵詞：類比推理、訊息處理論、線型函數

The Research of Teaching With Analogy Reasoning

Instructional Method on the Learning of Linear Function

among Junior High School Students

Hui-mei Chen

Graduate Institute of Curriculum and Instruction

National Taichung University

Abstract

The purpose of this study was to explore the effect on the mathematics achievement of learning on linear function of junior high school students from different instructional method between analogy reasoning instructional method and traditional instructional method. The study uses quasi-experimental research, experiment samples were taken from Taichung County 1st grades of the two classes of 72 students (where students were normally allotted), one for the experimental group which taught by analogy reasoning teaching method, and the other for the control group taught by traditional teaching method.

After a thorough literature review, the research develops a RML instructional strategy, kind of analogy reasoning instructional method. In such a RML, it has retrieval, mapping, and learning stages, originating from information processing theory. The core stage is the process of “analogy by mapping”. The design of this study was to analyze the representation of linear function, in terms of table, formula, graph, and text description. Then, this study compared the difference of students’ achievement before and after learning linear function.

The study reached the following conclusions:

1. There was a significant difference in the students’ conception about linear function before and after their learning the concept of function for the first time. It showed that the study of RML analogy reasoning courses can improve students learning.

2. There were not significant differences in the students’ conception about linear function from the phase of “condensation” to the phase of “reification.”

Finally, the results of this study were discussed, and conclusion and several teaching suggestions were provided, in the hope that teachers could use them for reference in their teaching and preparing the teaching materials. It was hoped that this study could help students in their learning process and offer good ideas for future researchers.

目 錄

中文摘要……… i

英文摘要……… ii

目錄……… iii

表次………vi

圖次……….……….. vii

第一章 緒論………... 1

第一節 研究緣起與動機………... 2

第二節 研究目的與待答問題………... 4

第三節 研究假設………...…….... 5

第四節 研究範圍與限制………... 5

第五節 名詞釋義………... 7

第二章 文獻探討………... 9

第一節 類比推理的理論基礎………... 9

第二節 類比推理的理論模式………...22

第三節 線型函數之相關研究………... 29

第三章 研究方法………...…... 43

第一節 研究流程………...…... 43

第二節 研究設計………...…... 46

第三節 研究對象………...…... 48

第四節 研究工具………...…... 50

第五節 實驗處理………...…... 51

第六節 資料分析………...…... 63

第四章 研究結果與討論………...…... 65

第一節 「類比推理教學法」對實驗組學生線型函數學習成就之影響 65

第二節 「類比推理教學法」對實驗組學生線型函數概念層次學習

成就之影響 ………... 67

第五章 結論與建議………...…... 71

第一節 結論………...…...…… 71

第二節 建議………...…...…… 71

參考文獻

中文部份……….…...…...…… 75

英文部分……….…...…...…… 78

附錄

附錄一 變數與函數學習單 ……….…...…...…… 83

附錄二 函數與函數值學習單……….…...…...….. 85

附錄三 函數的判別學習單……….…...…...…….. 89

附錄四 函數圖形的判別學習單……….…...…... 95

附錄五 畫線型函數的圖形學習單……….…...…. 97

附錄六 線型函數及其圖形上的點學習單 .………. 101

附錄七 「類比推理教學法」教學單元活動設計……….…...…...…. 103

附錄八 線型函數成就測驗預試試題及其測驗目標.…...…...……….. 117

附錄九 線型函數成就測驗預試試題結果分析.…...…...………... 123

附錄十 線型函數及其圖形成就測驗前測試題……….…...….... 129

附錄十一 線型函數及其圖形成就測驗後測試題……….…...… 133

附錄十二 線型函數及其圖形成就測驗後測試題雙向細目表...……. 137

表 次

表 2-1-1 工作記憶與長期記憶比較表……… 13

表 2-3-1 線型函數概念發展層次表……… 36

表 2-3-2 國中階段函數教學目標對照表……… 41

表 2-3-3 函數部分歷年基測出題分析表……… 42

表 3-2-1 實驗研究變項表……… 47

表 3-3-1 研究對象分組人數表……… 48

表 3-3-2 實驗組與控制組學生線型函數學習成就前測成績獨立樣本 t 檢

定摘要表……… 49

表 3-5-1 線型函數教材地位分析表……… 55

表 3-5-2 類比推理教學法目標領域、來源領域及其對應關係表………… 58

表 4-1-1 實驗組與對照組學生之成就測驗統計……… 65

表 4-1-2 實驗組與控制組學生數學成就測驗迴歸係數同質性檢定摘要表.66

表 4-1-3 實驗組與控制組學生數學成就測驗共變數分析摘要表………… 66

表 4-1-4 實驗組與控制組學生數學成就測驗前後測及調整後之平均值摘

要表……… 67

表 4-2-1 實驗組與對照組學生數學成就測驗內化層次試題共變數分析摘

要及描述性統計表……… 68

表 4-2-2 實驗組與對照組學生數學成就測驗壓縮層次試題共變數分析摘

要及描述性統計表……… 68

表 4-2-3 實驗組與對照組學生數學成就測驗物化層次試題共變數分析摘

要及描述性統計表……… 69

圖 次

圖 2-1-1 訊息處理論系統結構圖……… 11

圖 2-1-2 工作記憶與長期記憶學習認知歷程……… 15

圖 2-1-3 類比推理解題教學示範……… 21

圖 2-2-1 RML 類比推理教學法……… 29

圖 2-3-1 線型函數各表徵連結關係圖……… 32

圖 2-3-2 線型函數發展流程圖……… 38

圖 2-3-3 國中數學課程與線型函數有關之發展流程圖……… 39

圖 3-1-1 研究流程圖……… 44

圖 3-2-1 研究設計模式……… 46

圖 3-5-1 類比推理教學法發展流程圖……… 52

圖 3-5-2 本研究教材架構與理論結合圖……… 56

圖 3-5-3 類比對應概念層次關係圖……… 57

第一章 緒論

近幾年的教育趨勢在落實以學生為本位的觀點之下，很多人認為只有在學生主動參 與教學活動之下，學習才會發生；而有意義的學習之落實，一定要將課程內容由學生具 體的感覺經驗和日常生活情境中著手，並且配合其認知發展，由其自然的想法開始，逐 步聯結到形式的知識。當學生在學習歷程中遭遇問題，需要去解決時，都會由舊經驗中 提取資訊來設法解決，在此過程中，會產生一些推理思考的連結，使其學習更臻完整。 在我國現行的九年一貫課程十大基本能力中，對於「獨立思考與解決問題」的闡釋，乃 是指解題者本身獨自去做推理及解決問題的歷程；在數學領域中，「連結」的主題能力 指標也提到推理思考的重要性（教育部，2003）。此外，在美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics)所提的中小學學校數學課程標準與定則之建議中，也 提出了「數學推理與證明」的一些細目，將數學推理與證明能力的養成，列入其國中小 的數學課程中，可見推理在國中小數學課程教學與學習的重要性（NCTM, 2000）。 類比推理（analogical reasoning）是獲得新知識的一種重要方式，藉著使用一個或 數個類比推理，把已知的事物（類比物）比擬到新事物（標的物）上，可以將新知識與 舊知識進行比對的工作，以確認不同概念間的相似處，最後可將新舊知識統整成為有系 統、有組織的知識體系。此種類比推理的能力能幫助人類解決問題和學習新知，是人類 理解萬物的重要能力（涂金堂，2001；黃幸美，1994；陳雅君，2007）。英國著名的哲 學家B. Russell（引自劉福增，1997）認為，如果學生在學習的過程中，能夠利用自己數 學推理產出的結果來解題的話，那麼他們會持續的參與數學的活動。因此，學生需要積 極的練習探究變數之間的關係，並對其推理的過程加以說明，形成推理的習慣，如此才 能對新的問題進行獨自的探索。Philipp（1992）也同意幫助學生成為有技巧的推理者， 導引他們採取建設性的方法進行思考，是非常重要的。 類比推理時常運用在日常生活中，而在日常生活中，有許多事物與函數是密不可分 的，然而國中學生對函數的感覺是陌生且抽象的。謝豐瑞與陳材河（1997）指出：「函 數的觀念是一種很自然的觀念，它與人類生活經驗息息相關；…函數的概念是一種人們 心中自然生成的概念。」（p.34）函數的思維常被運用在日常活動中，學生接收訊息且 在心中組織它卻不自覺，只是在課堂上卻很少提及這些就在我們生活週遭的資源，所以 教師應該協助學生意識到有關他們日常生活中一些與教材有關的活動，並運用函數的關 係來描述學生已知的資訊，以幫助他們學習函數概念。

第一節 研究緣起與動機

壹、研究緣起 當我們在面對新事物時，常會藉由已有的經驗，並運用腦中舊有的心智影像來思 考、連結，進而產生有意義的學習。王文科（1991）指出，教師若要能判斷學生的學習 是有意義的或是機械的，必須瞭解符號所代表的新知識與學習者認知結構中原有的觀念 的相連（簡稱為新舊知識的相連）的性質，並且要以有意義學習來取代機械式教學。建 構主義主張學習是經由學習者應用其先前知識，將外來的訊息加以判斷、解釋，所主動 建構的過程。Glynn, Britton和Muth（1990）指出，無論是教師或教科書的作者，都需要 協助學生將新的概念與他們過去所熟悉的事物之間做有效的連接。Duit（1991）也認為 介於「已知知識」與「欲獲得的知識」間的相似性非常重要。 根據認知心理學的觀點，有效的學習必須建基於學習者將新知識與舊經驗做有意義 的聯結。而類比推理就是可以將新知識與舊經驗做比對的工作，以獲得它們之間的關連 性，最後，將新舊知識統整成為有系統及組織的知識體系。類比推理在科學教育上的應 用相當地廣泛，例如：類比推理是最常用來產生學習遷移、提高學習動機及概念轉變的 有效工具之一（Venville & Treagust, 1996）。除此之外，類比推理對於增加理解與記憶 （Galpern, Hansen, & Riefer, 1990）及發展學生批判性思考（Middleton, 1991）等方面亦 有正面的影響，因此，類比推理一直以來都被視為是有效的學習策略之一。許多研究均 指出，類比推理無論在促進學生理解新概念（Glynn, Duit, & Thiele, 1995）及幫助解題 上（Clement, 1993），都頗具成效，尤其在學習較為抽象且屬微觀世界的概念與現象時， 利用具體熟悉的模型或實例來說明，可以減少學習上的困難（邱美虹，1993）。在教學 與學習活動中，類比推理也常用來幫助學生建構抽象概念，類比遷移以學習新知識，例 如：教師在教導新觀念時，常引用相關的具體範例或學生熟悉的例子、模型等方式，進 行比對解說，導引學生學習較抽象的觀念（呂益昇，2005；黃幸美，2001）。此外，吳 正己（1995），陳恆迪（1993），陳恆迪和徐順益（1994），郭人仲、徐順益和王國華 （1995），林建隆（2001）都明白指出類比推理對學習有正面效益。許瑀庭（2006）以 類比學習環（analogical learning circle）融入教學，結果是能有效克服學生電學迷思概念， 而江佳惠（2001）也研究出類比能有效克服學生的迷思概念。

由上可知，許多學者給予類比推理正面的評價，Gentner（1989）指出類比推理是 一種重要的思考機制，Duit（1991）認為類比推理有助於概念的建構。不論在生活上或

學習上，類比推理幫助人們站在舊有知識的基礎上推導至未知的領域，正是使用類比推 理思考可以成功的將新概念引入學習者腦中的重要因素之一。由此概念出發，藉由合適 的類比物引導，可以幫助學習者對新的（未知的）概念有種似曾相識的感覺，再經由類 比思考機制，使學習者快速地對新概念從陌生到熟悉、化抽象為具體，進而達成有意義 的學習。 貳、研究動機 研究者在多年的數學教學過程中，常用比喻與提問來刺激學生的思考，而在學生解 題上，常發現學生遇到不會的題目時，不是瞎猜就是放棄做答。在數學學習過程中，許 多原理原則都是收集證據後，經過比較、分類、分析、歸納，找出其組織與關聯性推理 而成的（李靜、宋立軍、張大松，1994）。類比推理不論是在日常生活中，或是學校的 教學或學習活動中，對人類的思考都有重大的影響，Howe（1999）指出當學生擁有這 種能力之後，除了在學習上會有明顯的進步外，也會促進學生閱讀的能力。當學生能夠 擁有穩定的類比推理的思考能力時，不論在學校或日常生活中，不論是經由提示的或自 發性的類比，學生都將會受益無窮。因此，研究者想瞭解運用類比推理教學與傳統式教 學法對於學生的數學學習成就是否有差異。 九年一貫課程數學綱要（2003）的基本理念與實施要點指出：演算能力、抽象能力 及推理能力的培養是數學教育的主軸。此三者是連貫而非獨立分開的，也是培養學生數 學能力的三個具體面向。在國中階段，函數概念是數學學習的核心單元，從常數、未知 數到變數等概念的轉變，由靜態思維到動態思維、由離散到連續、由運算進入了關係， 並且在運算式、符號、圖表之間有多重表徵的轉換。在國中階段，也是學生在思維跨越 形式具體概念的界限，進入了抽象概念的起步（曹亮吉，2000）。根據研究者的教學經 驗發現，函數單元對初次接觸的國中生來說，學習成效並不彰。在2002年至2004年「九 年一貫課程暫行綱要」中，函數單元被刪除，在當時學生升上高中之後產生嚴重的學習 斷層。直至2005年實施九年一貫課程正式綱要，函數單元才又重新被納入數學課程中。 事實上，整個數學我們可以看成是在探討數、量、形這些事物之間的錯綜複雜的關係， 而函數就是其中一種很特別的關係。楊弢亮（1992）指出，在數學學習中引進變數及函 數等概念，就可以運用數學方法來研究事物的運動、變化的現象及過程，從而更深刻地 揭示物質世界的客觀規律。陳創義（2003）於國科會研究計劃中亦指出，國內的國中學

生對於函數圖形的圖形表徵，和幾何圖形與函數之圖形的判別能力均明顯不足，建議教 師在教學時應加強學生對於函數的整體概念學習及各表徵間的轉換能力。由此可看出函 數概念的重要性，本研究選擇以「線型函數」為研究主題，在線型函數概念表徵的架構 下，依據Sfard的線型函數概念發展理論，將線型函數概念分為三個層次：內化、壓縮及 物化層次，配合單元成就測驗，以提升學生在線型函數單元的學習成效。 綜合以上所述，學習是由先前的概念來幫助新知識的學習，利用以前學過並且具體 的知識，來克服學生對抽象概念的學習。因為國中階段線型函數的先備知識為二元一次 方程式，因此研究者希望藉由二元一次方程式與線型函數的相似性，運用類比推理教學 法，引導學生藉由類比推理的對應及思考過程，學習線型函數概念，以促進其數學學習 成就，並培養獨立思考與解決問題的能力。

第二節 研究目的與待答問題

本研究主要目的在探討類比推理教學法在國一學生線型函數單元的學習成就。在安 排實驗組接受｢類比推理教學法｣與控制組接受｢傳統式教學法｣的情況下，來探討線型函 數單元學習成就的改變。基於上述動機，本研究擬探討的問題如下： 一、｢類比推理教學法｣與｢傳統式教學法｣兩種不同教學法，對學生在線型函數單元 的學習成就之影響。 （一）｢類比推理教學法｣與｢傳統式教學法｣兩種不同教學法，對學生在線型函數單 元的學習成就上是否有顯著差異？ 二、｢類比推理教學法｣與｢傳統式教學法｣兩種不同教學法，對學生在線型函數概念 發展層次之影響。 （一）｢類比推理教學法｣與｢傳統式教學法｣兩種不同教學法，對學生在線型函數概 念發展的內化層次上是否有顯著差異？ （二）｢類比推理教學法｣與｢傳統式教學法｣兩種不同教學法，對學生在線型函數概 念發展的壓縮層次上是否有顯著差異？ （三）｢類比推理教學法｣與｢傳統式教學法｣兩種不同教學法，對學生在線型函數概 念發展的物化層次上是否有顯著差異？

第三節 研究假設

本研究主要對象為臺中市某國中一年級學生，在安排實驗組接受｢類比推理教學法｣ 與控制組接受｢傳統式教學法｣的情況下，來探討線型函數單元學習成就的差異情形。基 於上述動機，本研究擬考驗的虛無假設如下： 一、針對國一線型函數單元，實驗組與控制組學生在線型函數單元學習成就上，並 無顯著差異。 二、針對國一線型函數單元，實驗組與控制組學生在線型函數概念發展的內化層次 上，並無顯著差異。 三、針對國一線型函數單元，實驗組與控制組學生在線型函數概念發展的壓縮層次 上，並無顯著差異。 四、針對國一線型函數單元，實驗組與控制組學生在線型函數概念發展的物化層次 上，並無顯著差異。

第四節 研究範圍與限制

壹、研究範圍 一、本研究以接受「類比推理教學法」的學生為實驗組，以接受「傳統式教學法」 的學生為控制組。控制組教材使用康軒版數學科第二冊課本，第四章線型函數單元。實 驗組教材使用研究者依據九年一貫課程正式綱要及康軒版數學科第二冊教師手冊第四 章線型函數單元教學目標自行設計之類比推理教學教材學習單。主要探討兩組學生於第 二冊第四章線型函數單元的學習成就是否有差異。 二、選取樣本以研究者任教國中一年級之班級學生為研究對象，以本研究進行第一 年之任教班級為控制組，實施「傳統式教學法」，以第二年之任教班級為實驗組，實施 「類比推理教學法」，研究者本身擔任教學實驗之教學者。 三、本研究控制組教學時間為2008年5月19日至2008年6月6日止共三週，實驗組教 學時間為2009年5月20日至2009年6月10日止共三週。 貳、 研究限制 一、研究推論的限制 本研究的研究樣本以非隨機分派的方式，將兩個班級分為實驗組及控制組，因此研

究樣本並不具一般代表性，因此若要將研究結果推廣，需審慎評估。加以研究者偏見以 及統計的結論，似乎言之成理的相對假設，如：學習者在前－後測間的時距若稍長些， 可能由於足以分心的事實或其他無關因素的影響而產生變化。另外，學習者可能變成熟 了，或者感到疲倦、沒熱忱或較不注意了，都會對本研究構成影響。因此，本研究只適 合初探性研究，在研究結果之推論上有其限制。 二、研究方法的限制 本研究採用準實驗研究設計，除了類比推理教學法以外，會影響學生數學成就的變 項很多，如智力、性別、焦慮等，在研究中可能會成為中介變項。 此外，在研究過程中，本研究只選取臺中市某國中一年級的兩班，若要將本實驗結 果推論至其它縣市或年級，則需考慮種種因素，如地區、年級…等母體差異不大的樣本， 否則並不適用。 三、研究工具的限制 本研究採用前後測成就測驗為量化資料，施測時曾很清楚告訴學生此測驗為研究所 撰寫論文所需的研究資料，對學生而言並沒有分數的壓力。因此，其作答時的專心程度 將會影響其解題表現，學生在填答時可能因情緒、認知、情意、社會期望、先備知識以 及經驗等多因素而影響內在真實的反應，前測可能會改變後測的態度，或者有可能干擾 學生思考的因素存在，不能確保處理是因前後測差異造成的唯一或主要因素。因此結果 會有誤差存在。 四、研究時間與範圍的限制 本研究以線型函數為教學單元，因受限於學校教學進度上的安排，採用類比推理教 學法進行教學實驗時間僅三週，實驗時間並不長，若欲推廣為長時間使用，仍有待進一 步研究。實驗組的時間量是否足夠反映出類比推理教學法在學習成就上的影響，以及是 否具有學習保留及學習遷移效果、是否能推廣到其他數學單元，有待相關研究驗證。 五、教學者的限制 本研究受限於研究者的個人特質、蒐集的資料、對能力指標的解讀、教法以及班級 學生的程度、城鄉差距、學生特質、學生家庭背景等內在、外在因素的影響，故研究結 果不宜過度推論至其他年級或性別或區域的學生，且因為研究者的人力與時間限制，僅 以研究者任教的國一學生為研究對象，並且由研究者自己進行教學，在樣本的取樣以及 評量的設計上有深度及廣度的限制。

六、研究結果的限制 本研究的目的並不是要形成某種理論或普遍的共同原則，而是要讓讀者瞭解在特定 的數學能力指標下，研究者如何設計與試行類比推理教學法，提供讀者作為設計九年一 貫課程與教學的參考。研究結果只宜用來推論到其他相似類型的學校、研究對象及不同 學科的學習，因此，不宜做廣泛性的推論。

第五節 名詞釋義

壹、類比推理教學法 類比推理（analogical reasoning）是從兩個物件的某些相似性，和一個物件的一個 已知特性推導出另一個物件的推理過程。Duit（1991）指出類比推理是兩個不同領域的 知識系統，藉由彼此間某種關係的相似性，由已知的知識系統推導到欲知的知識系統， 從而獲得或理解知識的過程。Glynn（1991）認為類比推理是利用學習者原來熟悉的概 念當類比物，所欲學習的陌生概念當作目標知識（target knowledge），在兩個概念之間 確認相似性的過程。所以類比推理即是強調，利用概念間的相似性來幫助學習，將新知 識建構在已知的基礎上，讓學習者面對新的事物不需從零開始，是一種學習抽象、微觀 之科學概念有效的方法。 本研究透過文獻分析各學者觀點，將類比推理認知歷程整合而成檢索（retrieval）、 對應（mapping）、學習（learning）的類比推理教學法（analogical reasoning teaching method），根據二元一次方程式與線型函數兩個單元對應關係的相似性去配對，注意並 提取可應用的檢索、類比對應以及學習與應用等三個階段所產生的解決方案，以幫助學 生學習。 貳、傳統式教學法 在本研究中係指在班級中以教師講、學生聽的方式進行的傳統講述式教學。 叁、數學成就 郭生玉（1990）認為成就測驗（achievement test）是在測量由教育或訓練所獲的實 際能力。本研究所稱的數學成就（mathematics achievement）是指學生在數學成就測驗 上的得分。

本研究以研究者自編之線型函數單元成就測驗來評量學生的學習成就。預試卷以研 究者任教國三學生進行施測，進行試題之難易度、鑑別度、雙向細目表分析，以完成正 式測驗卷，列於附錄八至附錄十二。 肆、線型函數 Yen與Law(1993)強調在孩子的函數概念中，線型函數（linear function）是第一個出 現的。在線型函數課程內容的安排上，函數的概念以問題切入，然後給予文字定義的方 式來進行介紹：「對於任意給定的一個x值都恰有一個y值與它對應」（引自康軒，2006）； 進而將此函數基礎與先前的二元一次方程式的經驗聯結，形成一次函數，緊接著又介紹 常數函數，並將一次函數與常數函數結合成為線型函數的主體。 本研究以康軒版國民中學數學第二冊第四章線型函數及其圖形為教學實驗單元，教 材內容如下：一、變數與函數。二、函數圖形。

第二章 文獻探討

本章首先探討類比推理的理論基礎：類比推理的內涵、訊息處理論、類比推理的運 作歷程，以及數學觀點的類比；接著探討類比推理各理論模式內涵；最後探討國中階段 之線型函數概念。

第一節 類比推理的理論基礎

壹、類比推理的內涵 類比推理為一種邏輯思考方式，其思考為以兩事物相似之處為基礎，並根據當中一 項關係，推論至其他類似關係，此種思考也被視為是一種智力成分（張春興，2001）。 在研究類比推理思考的學者中，Gick 和 Holyoak（1987）認為類比推理為將已有的 知識推論到另一個新的情境，以使來源訊息與標的訊息進行一對一的對應，而且來源與 標的的兩方面所對應的訊息特徵，具有某種程度的相似性，但是未必需要完全對應，即 可將習得的知識作遷移。Vosniadou 和 Ortony（1989）指出類比推理的機制為：1.從知 識系統提取一個熟悉的例子與概念（來源領域），以使此例子能滿足某些解題目標（目 標領域）。2.從來源引伸的概念對應到標的問題，以使此概念能確實配合標的問題。3. 經檢視、辨明概念適合標的問題以後，便可結論該概念適合解題目標。Goswami（1991） 和Gentner（1983）認為類比推理的重心在於關係推理，注意關係之間的相似性，繼而 建立此組關係與彼組關係的對應。所謂對應，則包含兩種形式：一為系統對應，即建立 兩個物體屬性或關係的對應，另一為概念對應，為兩個概念特性的對應。 Gick 和 Holyoak（1987）並指出，類比推理是在兩個相似的對象之間有關一些功能、 結構、相關、過程、語意或屬性等的類比過程，既可以是單一的一個類比推理，也可以 是多重的類比推理。因此，類比是具有較為模糊的前提，而且在推理的過程中，可以在 不同種類事物的範圍之間加以類推，如此類比推理的過程也就顯得較為靈活，就使得類 比推理具有較大的創造性；相對的，類比推理的結論也更具有不確定性。依性質上的差 異，可將類比概略地區分成表面、結構與功能相似的三種類比（戴翠華，2001）： 一、表面上的類比：屬於較低層次的認知，只有探究來源問題與標的問題，在表面 上是否能有對應關係。由於表面特徵較容易被捕獲，所以表面上的類比最常被使用。 二、結構式的類比：屬於較高層次的認知階層，對應關係的產生必須要使來源與標 的物之間的基本原理、結構或規則間具有相似性。因此，在解題的時候，結構式的類比，

遠較表面特徵來得重要。例如：水流與電流的類比。 三、功能性的類比：強調來源與標的物二者之間是以操作時的功能為對應的關係。 例如：眼睛與照相機的類比。 而如果要將類比推理的形式，依照比較兩者間的相似性或相異性來進行類推，則可 以將類比推理的形式，分成相似性類比與相異性類比兩類： 一、相似性類比：即在類比推理的過程中，盡量找出來源與標的之間相似之點，再 加以一一的比較。如果兩者之間被確認出的相似點愈多，則結論的可靠性也將愈高。例 如：富蘭克林對打雷時的閃電，與實驗中產生的電火花進行比較，列出了兩者間的相似 點（如兩者都有光、會擊斃動物、可以點燃易燃物等）。因而去確立了關於雲層中的閃 電和實驗產生的電火花是相同的假設。 二、相異性類比：即在類比推理的過程中，盡量找出來源與標的間相異之處，再去 加以比較，用來確認兩者間的差異性。因此，如果能跟上面的相似性類比同時加以檢驗， 就可以增強相似性類比的可靠性程度。 貳、訊息處理論 Gagné（1985）融合了行為和認知心理學觀點，並強調教師教學和學生學習的密切 配合，他發現訊息處理論的學習觀點，最適宜解釋人類內在的學習過程。他以「訊息處 理模式」解釋人類的內在學習歷程，學習包括了刺激與反應之間的聯結，以及刺激與反 應之間中介歷程的探討（林清山，1997）。在此分別從記憶的結構、學習認知的歷程、 類比推理的運作歷程，與數學觀點的類比推理逐一探討。 一、記憶的結構 訊息處理論認為：人類記憶是動態且複雜的訊息處理系統，此系統會利用許多不同 的活動，而這些活動的共同目標有二：一為理解重要的感官訊息，二為忽略或遺忘比較 不重要的細節。吳幸宜（1994）認為：人類的記憶能夠主動地選取感官資料，加以處理 後轉換成有意義的訊息，並把大部分的訊息儲存起來以供日後使用。環境中的刺激為學 習者的感官接受器所接受，這些訊息經感官記錄作短暫停留，當訊息需進一步處理時， 則進一步儲存於工作記憶區中，此時的學習進入了內在的歷程，這一個歷程取決於記憶 的交互作用，長期記憶中的既存知識，與外在刺激所產生的短期記憶，經由學習個體在 腦中的作用，而達成學習的目的，因此訊息處理論與記憶息息相關。下圖 2-1-1 是由

Woolfolk（2004）觀點所導出的典型的記憶訊息處理模式，為了瞭解這個模式，以下分 別說明每個部份： 圖2-1-1 訊息處理論系統結構圖（Woolfolk, 2004, p.239） 茲將各種記憶介紹如下： （一）感官記憶 感官記憶（sensory memory）是指來自外在環境中的刺激（影像、聲音、氣味等） 所發出的訊息，經由個體注意而由感官接受器接收，將訊息轉換為神經訊號隨即送入， 短暫地保留在感官記憶區的感覺記錄器中，假若感官記憶區的訊息沒有引起個體的注意 或處理，則會很快地消失，其持續的時間很短。此階段的訊息保留了訊息的原始形式， 以感官特性的方式來表徵訊息，故稱為感官記憶。感官記憶的容量很大，能接受超過我 們可以同時處理的訊息。但是這些大量的感官訊息可以維持的時間卻很短，大約持續1~3 秒鐘之間。 執行控制 內隱記憶 感官 記憶 工作 記憶 長期 記憶 知識影響 學習(貯存) 知覺 檢索(觸發記憶) 引導注意力 訊息是在感官記憶中編碼，知覺和注意力決定什麼會保留在工 作記憶，以供進一步使用。在工作記憶，新訊息和長期記憶的知識 連結。完全被處理和連結過的訊息變成長期記憶的部份，並且可以 被激發而回到工作記憶。內隱記憶是不需透過意識的努力而形成。

1.知覺：知覺是偵測刺激並賦予意義的歷程。意義的建構基於物理表徵和現存知識 兩者之間的連結。例如「13」這個符號，如果問這個字母是什麼？你會回答「B」。如 果問這個數字是什麼？你會回答「13」。對於一個沒有適當知識來知覺是數字或是字母 的學生而言，這些符號並沒有意義。也就是說，你已經知道的會影響你能夠知覺的。在 知覺中，知識的角色呈現在圖2-1-1 從長期記憶（貯存的知識）向左指向工作記憶和感 官記憶的箭頭。 2.注意：注意是學習的第一步，學生無法處理他們不瞭解或沒有知覺到的訊息，如 果顏色、聲音、氣味等各種變化，在工作記憶時就結束了，學習就會變得不可能。藉由 對刺激的選擇性注意，限制了將要處理的潛在事物。要注意哪些有很大的部份，是由我 們已經知道的和我們需要知道的所引導。所以，注意與圖2-1-1 的三個記憶階段都有關 係，也受到這三個階段的影響。 （二）短期記憶與工作記憶 對於感官接收到的外在訊息，若個體給予注意，那可能會將部分的訊息轉送到短期 記憶（short-term memory）中，短期記憶是訊息處理系統的短暫記憶成分的早期名稱。 訊息在短期記憶區中作短暫停留，以供我們使用與處理，所以一般又稱工作記憶 （working memory），但短期記憶和工作記憶並不完全相同。這些經注意的訊息在個體 複誦後，在短期記憶中儲存下來，但時間很短，而且若不再複誦，很快就會被新的訊息 取代。 當感官記憶的訊息受到注意，並轉換為影像或聲音的型態（或也許是其他種類的感 官編碼）時，它就可以獲得進一步的處理。工作記憶是「暫時貯存的訊息，在任何層級 的認知工作中處理」。工作記憶是記憶系統的「工作台」，是新訊息暫時保留，以及與 長期記憶中的知識結合之界面。工作記憶包含當下你在想的是什麼。因此，有些心理學 家將工作記憶與意識視為同義。不像感官記憶或長期記憶，工作記憶的容量非常有限， 對新訊息能保留約5~20 秒鐘的記憶，然而這個限制可以藉由使用意元集組或群組的策 略克服。工作記憶至少包含三個元素：控制注意和其他心理資源的中央執行者（工作記 憶的「工作者」）、保留言語和聲響訊息的語音圈，以及處理視覺和空間訊息的視覺空 間速寫簿（如圖2-1-2）。 （三）長期記憶 若個體將工作記憶區的訊息加以編碼（encode），送入長期記憶（long-term memory）

貯存，那麼此一訊息的某些部分將會被永久地保留下來。我們可以馬上取出工作記憶中 的訊息，是因為我們隨時在思考這些訊息，但要取出長期記憶中的訊息，就要一些時間 和努力。長期記憶的容量是非常大的，而且它可以儲存訊息較久，至於訊息的遺忘是因 為在檢索某一目標訊息時，受到其他訊息的干擾所致。當各種記憶能被個體靈活的檢 索、運用，而達成其目的時，即表示個體已經順利進行認知的歷程。 表2-1-1 為工作記憶與長期記憶比較表，瞭解各階段的記憶歷程後，將有助於瞭解 學習認知歷程。 表2-1-1 工作記憶與長期記憶比較表 記憶的種類 進入 容量 維持時間 內容 檢索 工作記憶 很快 有限 很短 5~20 秒 文字、影像、觀念、 句子 即時 長期記憶 相當慢 實際上無限 實際上無限 命題網絡、基模、作 品、情節、影像 依賴表徵 和組織 資料來源：柴蘭芬、林志哲、林淑敏（2006，p.347） 二、學習認知歷程 學習的認知歷程是指學習進行當中學習者內在認知的過程，如：學習者如何選擇、 組織及統整新的訊息於現存的知識（謝哲仁、何政謀，2005）。當個體產生學習時，訊 息便在記憶系統中運作，學習者不斷地使外在訊息與現存知識發生關聯，這樣的統整歷 程是在工作記憶中進行，結果則是貯存在長期記憶。如圖2-1-2 所示，中央執行者指導 注意、做計畫、檢索和整合訊息，以及將語言理解、推理、複誦等訊息轉換為長期記憶。 例如，當解題時，工作記憶中之中央執行者會將注意力集中在需要解題的事實上，先檢 索運算的規則，再回想如何運算。而幫助和支持中央執行者的兩個系統為語音圈和視覺 空間速寫簿。語音圈是複誦文字和聲音以進入短期記憶的緩衝系統，視覺空間速寫簿則 是操縱影像的地方。 因為工作記憶中的訊息是脆弱且容易消失的，因此，必須保持活化才能保留，只要 越加注意訊息，活化程度就越高。但是當注意轉移時，活化會很快的消退或消失，而為 了保持工作記憶中的訊息活化超過20 秒鐘，大部分的人都會在心裡複誦訊息。複誦的 方法有兩種：保持複誦與精緻複誦。保持複誦是在心中專注重複訊息，當你重複訊息， 它可以在工作記憶中無限期地被保留，保持複誦對於你想要用了之後就忘記的事情很有

用。而精緻複誦是將你要記憶的訊息連結你已經知道的事情，也就是連結長期記憶中的 知識。由此可知，在工作記憶中最初的處理方法，會影響將來的學習和記憶。 當建構理解時，會將新訊息整合到長期記憶中已經貯存的知識。此時，精緻化、組 織和脈絡就扮演了重要的角色。精緻化是指藉由連結已經存在的知識，增加意義到新的 訊息上。也就是說，應用基模和已經存在的知識建構理解。在此過程中，我們頻繁地改 變既存的知識，通常自動化的進行精緻化。若第一次學習就將材料精緻化，日後將會比 較容易回憶。首先，精緻化是複誦的形式之一，它可以讓訊息在工作記憶中保持足夠的 活化時間，以有機會讓新訊息和長期記憶中的知識產生連結。其次，精緻化可以建立和 現存知識的額外連結。學生愈能精緻化新的訊息，愈能將它們變成自己的，他們對這些 知識愈能深入瞭解並記得愈好。當我們要學生將訊息轉成自己的文字、圖示，或應用訊 息來解決新問題時，就是在幫助學生精緻化。組織是增進學習程序的第二種元素，有良 好組織的材料，會比片段的訊息容易學習和記憶，尤其當訊息是複雜或龐大的時候。脈 絡是影響學習歷程的第三個元素，如果現在的脈絡和原來的相似時，會較容易回憶。 在訊息處理系統中，複誦是中央執行者控制的程序，以管理訊息處理系統中訊息的 流動，而訊息可能會因為工作記憶的干擾或消退而消失（遺忘）。干擾是非常直接的： 處理新訊息時會干擾或混淆舊訊息。當新的想法累積時，舊訊息就會從工作記憶中消 失。訊息也會經由時間的消退而消失。如果沒有持續注意訊息，活化的程度就會消退（減 弱），最後下降到很低時，訊息就無法再活化，甚至全部消失。而事實上，遺忘是有用 的。如果沒有遺忘，人們的工作記憶很快的就會超過負荷，學習就會停止。也就是說， 能提供暫時貯存，並且除去你所經驗的每件事的部份訊息，這種系統是有益的。 工作記憶能保留當下被活化的訊息，而長期記憶保留已有良好學習的訊息。工作記 憶與長期記憶有很多不同的地方，訊息進入工作記憶非常快速，但將訊息移入長期記憶 則要花較長時間和一些努力。用視覺和語言編碼的訊息最容易學習，這可說明為什麼一 個觀念會同時用文字解釋和用視覺圖形呈現，被證明對學生學習是有幫助的。影像實際 上是以語言碼貯存，然後當需要影像時，再將語言碼轉為視覺訊息。

圖2-1-2 工作記憶與長期記憶學習認知歷程（取自柴蘭芬、林志哲、林淑敏，2006，p.345） 綜合訊息處理論觀點，以下說明學習的認知歷程： （一）注意 外來訊息必須經由學習者加以注意，才能進入工作記憶運作，所以引起注意是有效 教學的起點。因此，訊息及刺激的模式會影響學習的認知歷程。 工作記憶 中央執行者 (心理資源庫) 活動： 開始控制和決定歷程 推理，語言理解 經由複誦和紀錄， 將訊息轉為長期記憶。 語音圈 (短期緩衝) 活動： 為立即回憶而循環的項目 發音的歷程 (如果發音工作困難， 執行者資源會耗竭) 視覺空間速寫簿 活動： 視覺想像工作 空間視覺搜尋工作 (如果想像或空間工作 困難，執行者資源會耗竭) 長期記憶中的知識 檢索(再建構) 長 期 記 憶 精緻複誦 精緻化，組織，脈絡 Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö 保持複誦 消退(遺忘) 干擾(遺忘) 干擾 (遺忘或 錯置) 消退 (遺忘) 注意 (擁有先備 知識-基模) (內在聯結) (外在聯結) 中央執行系統是心理資源庫，例如集中注意、推理和理解等認知 活動。語音圈保留語言和聲響訊息。視覺空間速寫簿保留視覺和空間訊 息。這系統是受限制的，如果訊息太多或太困難，就會無法承受。 工作記憶中的訊息可以透過保持複誦來維持活化，或者連結長期 記憶中的訊息，以轉進長期記憶（精緻複誦）。

（二）擁有先備知識 在訊息加以注意而進入工作記憶區時，學習者會檢索在長期記憶中儲存的、以往學 習過程中累積下來的大量知識和策略，能夠提供學習者去注意、選擇和處理從外在環境 進入工作記憶的訊息，這些知識與策略即稱為先備知識，亦稱為基模（schemata）。 （三）建立內在聯結 由感官印象，至保留在工作記憶，乃至長期記憶，這些處理過程涉及到許多重要的 活動，如組織、分析、歸納、推理、複習等，這些活動幫助學習者將外來之知識訊息保 留至長期記憶區，這個部份為建立內在聯結。 （四）建立外在聯結 外在聯結是指學習者在面對工作記憶區中的多樣訊息時，必須將儲存在長期記憶的 有關先備知識轉移至工作記憶，進行編碼或是收錄後，將訊息從工作記憶轉送到長期記 憶中，以便學習者能將新訊息與長期記憶中的現存知識統整在一起，再用自己的語言、 文字將訊息表達出來，這一個工作的重要關鍵就在於學生先備知識結構的品質。工作記 憶中的新訊息若能連結到長期記憶內，則已有的背景知識就容易留存。 （五）基模 認知理論將概念的知識結構稱為基模（schema）。基模乃是個體與周圍環境中事物 接觸時，為求瞭解或認知事物的性質，而產生的一種基本行為模式。一個基模之所以能 收錄該刺激，是由於該刺激的特徵與其長期記憶中既有的知識有相關性。認知理論認為 學生是主動的訊息處理者，而非被動的接受者，因此，學生在面對新的問題時，不只是 從記憶中檢索有關的經驗，也會重組相關的經驗來創造一個可行的解題計畫。所以有意 義的學習必須以學生的先備知識及經驗作為新的學習起點。 叁、類比推理的運作歷程 類比推理是指從來源問題（source problem）中尋找相似的關係，並且把這相似的 關係轉換到標的問題（target problem）的一種心理認知歷程。它的心理運作過程，大致 可以區分為下列四個階段（劉曼麗，2007）： 一、編碼 在進行類比推理時，首先是必須要對來源問題與標的問題進行編碼（encoding）的 工作，這個步驟主要是要將所接受到的訊息輸送到工作記憶中，再由工作記憶對接收來

的訊息進行編碼的工作。 編碼工作的適當性，對於訊息的回憶有很大的影響，也就是說，若有越細緻化的編 碼，就越有助於類比推理的進行。 二、檢索 編碼階段完成後，面對標的問題時，就必須要對來源問題的訊息進行檢索（retrieval） 的工作，如果沒有辦法順利地從來源問題檢索出跟標的問題相關的訊息，那麼類比推理 將無法產生。訊息的檢索，通常有兩種不同的種類： （一）檢索表面結構的相似性：這種檢索只有注意到來源問題與標的問題表面形式 上的相似性。 （二）檢索深層結構的相似性：這種方法是重視來源問題與標的問題所共同具有的 抽象性原理原則。 不同的檢索類型通常是影響類比推理成功與否的重要因素，根據研究顯示，深層結 構的檢索比表面結構的檢索，更容易導致成功的問題解決（Chi, Feltovich, & Glaser, 1981）。 三、對應 當我們從來源問題檢索出相關的訊息後，就要在來源問題與標的問題之間搭設出一 座橋，以便能使來源問題中的相關訊息，藉由這座橋，能夠順利的遷移到標的問題。在 遷移過程中，必須要根據來源問題與標的問題之間的某些相似性進行比對的工作，對應 （mapping）是一種複雜的心理運作活動，它通常是類比推理能否成功的關鍵。這也就 是說，如果來源問題與標的問題間的對應強調表面結構的相似性，那麼類比推理成功的 機率通常較低；相對地，如果從深層結構的相似性去考量，則類比推理的機率較高。 四、類比遷移 對應工作完成後，就進入最後階段，也就是類比遷移（analogical transfer）的階段。 類比遷移主要是將來源問題所獲得之抽象解題的原則，遷移出去解決標的問題。根據研 究結果顯示，如果能夠對來源問題形成解題基模，就比較能夠順利的將解題基模由來源 問題遷移到標的問題，而類比推理成功的機率也會較高（Catrambone & Holyoak, 1989）。

綜上所述，在類比推理的運作過程中，其經歷的每一個階段對類比推理的成功與否 都扮演了非常關鍵的角色。也就是說，如果要能夠進行成功的類比推理，通常要經歷編 碼、檢索、對應及類比遷移等四個階段的心理運作歷程。

就認知理論的觀點而言，學習的關鍵在學習者本身，而學習是主動建構認知的歷 程。就訊息處理論的觀點而言，訊息不是保留在任何一個位置，而是分配在許多的位置， 且藉著複雜的神經路徑相聯結。學習中認識訊息的過程是有脈絡的，所以要適時引用教 學策略（劉嘉茹、邱鴻麟，2007）。重視先備知識對學習的影響，以及新、舊知識的統 整，教材設計上宜先進行概念分解，再進行先備知識的設計與新知識的結合。因此，以 類比推理的歷程進行學習，新的學習就不是無意義的，因為它會連接到一個人已經知道 的，就如同在一個文件櫃裡正確歸檔的一個文件夾，而不是隨意地將它堆在櫃子上。這 樣子的話，新知識在將來也可以被容易地取出和使用，如果沒有這樣的聯結，學習者將 無法知道新的知識適合或不適合先前的概念。 肆、數學觀點的類比推理 類比推理是在兩類不同的事物之間進行比對，找出若干相同或相似點後，再從一類 事物的已知屬性，推測出另一類事物也可能具有相同或相似性質的一種邏輯推理方法。 用數學符號表示如下（劉曼麗，2004）： A：a1、a2、a3…an-1、an→ 得 an B：b1、b2、b3…bn-1、bn→？ 得 bn 類比推理是在實作過程中運用過去的經驗以達成觸類旁通的一種學習機制。這種在 實作過程中將先前經驗類推以解決現在問題的能力似乎是人天生的一種能力，亦是人類 學習的一種重要方式（江淑卿，2001；Goswami, 1991）。類比推理是用當前問題中的 線索激發長期記憶中的相關訊息，以提取相關的解題程序的歷程。類比推理成功的要件 是前後問題間的結構對應關係，結構相同的問題即使表面特徵不同，仍可使用相同的解 題方法（Bowdle & Gentner, 2005; Gentner, 1983; Reeves & Weisberg, 1994; Ross, 1987）。 如：麻雀和雞的外型雖不盡相同，但生理結構卻有共同點，因此當遇到生病的麻雀時， 我們可以利用已知的治療雞的疾病的方式幫麻雀治療。又如，看到「已知等腰三角形ABC 的三邊長，計算其面積」，若知道等腰三角形可分解成兩個相等的直角三角形時，便可 套用畢氏定理求出三角形ABC的高，即可以計算其面積（吳庭瑜、黃麗分、洪瑞雲、黃 永昌，2007）。 然而，一般人在面對此類問題時，往往覺得困難，困難的原因除了缺乏相關知識外， 更常見的理由是不知道目標問題（target problem）跟記憶中的來源問題（source problem）

是同構但不同形（isomorphic）的問題。因此，成功的類比往往要藉助目標問題與來源 問題間的表面相似性來作為回憶的線索，例如，看到一個等腰直角三角形時，一般學生 很容易的就可以認出它是直角三角形，就可以套用直角三角形的知識來解題。但缺乏表 面相似的線索就不易產生類比，例如：「計算連續數列（如1至100）的和」的算數問題 可直接套用梯形面積的計算公式「(上底＋下底) ×高÷2」，而迅速的算出解答，但是「1 至100的連續數列的和」和「梯形面積」外觀不同，因此就不易產生類比（吳庭瑜、黃 麗分、洪瑞雲、黃永昌，2007）。 此外，問題間表面相似並不能保障其內部結構相似。例如，機械錶和石英錶雖然表 面看來相同，但其實內部的機械構造不同，此時，套用機械錶的知識來修理故障的石英 錶是不會成功的。因此，類比推理亦牽涉猜測、預測與探索、試誤。 類比推理作為一種數學思想方法，具有其自身獨特的顯著特徵（黃加衛，2006）， 主要表現在： 一、或然性 類比推理是不同於演繹，也不同於歸納的一種獨立的推理形式。著名的數學教育家 波利亞（1953）在「數學與猜想」中指出：「類比推理是歸納推理的基礎，而演繹推理 則是類比推理進一步發展的結果。類比推理由已知的相似點推出未知的可能的相似點， 其思維過程是從特殊過渡到特殊（引自李心燦、王日爽、李志堯，1996）。」（p.12） 由此可見，類比推理缺乏邏輯上的嚴格性和充足的理由，而帶有假定和猜測的色彩。因 此，它所推出的結論就帶有或然性，可能是真的，也可能是假的。 二、相似性 無論在我們的學習與生活中，還是在各個學科領域中，甚至在自然界中都處處充滿 著相似性，存在著大量的類比。正如波利亞（1953）於「數學與猜想」中所說：「類比 與進行思考的人的相似概念和意向有關。譬如你看到兩個事物之間（或者，寧可說是兩 組事物之間）的某種相似性並有意地把這種相似歸納為明確的概念，就可說你是在進行 類比推理。」（p.331）萊布尼茲也指出：「我們必須使自己習慣於進行區分，即對兩個 或兩個以上極其相似的事物，立即找出它們之間的所有差別。」「我們必須使自己習慣 於進行類比，即對兩個或兩個以上極其不同的事物，找出它們的相似點（引自李心燦、 王日爽、李志堯，1996）。」（p.29） 三、探索性和預測性

不同於演繹與歸納，類比推出的結論可靠程度也許最低，但往往卻是最富於創造性 的思想方法。因為運用類比的時候，研究物件的範圍內沒有相應的一般原理，因而不受 現成的原理的約束。相反地，它可以提出種種可能的新原理，供人們去探索和檢驗。同 時，由於類比推理適用範圍廣，可以把看起來差別很大的兩類事物聯繫起來，提出種種 設想，這就有利於人們發揮思維的創造能力，獲得新的啟發、新的思想，從而發現新的 原理。可見，類比推理正是由於其猜測和想像，才會探索和預見到更多的科學發現。在 數學教學中，類推思想的滲透教學常蘊涵在類比推理的解題教學之中。科學家牛頓曾經 說過：「沒有大膽的猜想就做不出偉大的發現。」波利亞（1953）認為：「在數學教學中 必須有猜想的地位。…數學的創造過程是與任何其他知識的創造過程一樣。在證明一個 數學定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全作出詳細證明之前，你先得推測 證明思路。你先得把觀察到的結果加以綜合然後加以類比。你得一次又一次地進行嘗試 （引自李心燦、王日爽、李志堯，1996）。」（p.Ⅰ）因此，類比推理對於數學學習與 發現有其重要的意義。 在數學教學上，一般可分為概念教學、命題教學與解題教學，類比推理在這三個教 學探究活動中的應用如下（趙微，2006）： 一、類比推理在概念教學中的應用 數學概念是整個數學知識結構的基礎。數學概念的教學是進行能力訓練，實施素質 教育的重要管道。在引入新概念的教學中，首先就要使學生「感知」新材料，為了把能 力訓練和素質教育有意識地融入課堂教學中，教師必須根據教學內容精心設計這種感知 的過程，因為這種「感知」過程也正好是對學生能力的一種有益訓練。例如：在學習等 比數列概念時，教師可明確地告訴學生等比數列與等差數列有著緊密的聯繫，學生可以 根據已學過的等差數列來研究等比數列。接著提出下列問題：1.什麼樣的數列是等差數 列？2.你能由此類比猜想什麼是等比數列嗎？3.請舉出一兩個例子，試說出等比數列的 定義。這樣的概念引入過程，學生參與程度很強，在幾乎沒有任何揭示情況下，讓學生 自己動腦、動手去研究。這種方法不僅在於訓練和培養學生的類比思想，也可以進一步 培養學生分析問題和解決問題的能力。 再如，在研究抛物線的切線概念時，可以提出下列問題：1.什麼叫圓的切線？什麼 叫圓的割線？2.能否像定義圓的切線那樣給出抛物線切線的定義？3.過圓上一點的切線 是由過這點的圓的割線怎樣形成的？師生透過複習、觀察、類比，從而給出抛物線切線

的定義。這樣透過新舊概念的類比聯繫進行教學，不僅能做到通俗易懂，降低學生理解 抛物線概念的難度，而且強化了學生觀察類比的能力。 由於國中數學內容具有加強的系統性，前後知識銜接緊密，所以由舊知識類比導入 新概念是培養學生推理的重要手段，由此導入新概念必然會使學生從中運用類比的思維 方法去猜想和發現新問題及解決問題的能力，從而落實能力的訓練和素質的培養。 二、類比推理在命題教學中的應用 從數學問題的發現或提出新命題的過程來看，一般是從具體問題或素材出發，經過 類比—聯想或觀察、實驗、歸納等兩條不同的途徑，形成命題或加以確認。因此在命題 教學中常常運用類比推理，抓住其發生過程、內涵、結構、性質等方面的相似性來研究 問題。例如在學習立體幾何時，可以透過平面與空間的類比，引導學生猜想出許多空間 圖形的性質。例如：由平面上的直線，若L//M，M//N，則 L//N，可類比出空間內的平 面若α//β，β//γ 則 α//γ；另外，平行四邊形可類比推出平行六面體的類似性質。都是類 比的思想方法獲得運用的體現與展示。 因此，在教學中，隨時注意幫助學生掌握和善於運用類比的思想方法，不僅可複習 舊知識，加速對新知識的形成、理解和記憶，促進知識的正遷移，又能培養學生的創新 能力以及思維的廣闊性。 三、類比推理在解題教學中的應用 解題的重要性是不言而喻的，科學的進行解題教學，可以為學生提供一個發現，創 造新的環境和機會。類比不僅是一種從特殊到特殊的推理方法，也是一種探索解題思 路、猜測問題答案或結論的一種方法。「選出一個類似的，較易的問題，去解決它，改 造它的解法，以便它可以用作一個模式。然後，利用剛剛建立的模式，以達到原來的問 題的解決。」對數學教學中培養學生的創新能力和創造性思維能力有著極其重要的作 用。例如： ： ＝ ： 圖2-1-3 類比推理解題教學示範（研究者整理） 總之，在平時的學習與生活中處處充滿著類比，可以說，類比是探索問題、解決 問題與發現新結果的一種有效的思維方法。在數學中，類比是發現概念、方法、定理和

公式的重要手段，也是開拓新領域和創造數學新分支的重要途徑。學生在數學的學習中 應該學會運用這種獨特的思維方法，教師在教學過程中則應努力培養學生運用類比方法 進行推理的能力，使學生的思維更具創造力。

第二節 類比推理的理論模式

關於類比推理的研究，已經有許多學者提出理論模式，試圖要對類比推理加以系統 化的解析。實際上，類比推理的心智運作歷程是非常複雜的，瞭解類比推理理論模式有 助於發展系統化的教學模式。 壹、Piaget 的認知結構階段論

Piaget 的認知結構階段論（structural stage model）將類比推理的發展階段區分為前 運思期（preoperational）、具體運思期（concrete operational）及形式運思期（formal operational）等三階段（張春興，2001）。Piaget 對於類比推理的研究，採用的是傳統的 研究取向，也就是讓受試者作答「A：B→C：D」的問題。他將 A 與 B 或 C 與 D 的關 係稱為「低階關係」，而A：B 與 C：D 的對應關係則稱為「高階關係」。 一、前運思期（約5~6 歲） 根據Piaget 的研究顯示，處於類比推理前運思期的兒童，進行類比推理時，常是以 自我中心為考量的依據，因此，常出現了許多奇異的類比關係。他們能夠將圖片成對地 排列，也就是能夠連結A 與 B 的關係及 C 與 D 的關係，但不知道 A：B 與 C：D 兩對 間的高階關係，而且每一位兒童對於他的排列關係的解釋都不一樣。例如：「鳥：羽毛 →狗：狗毛」的類比中，兒童的解釋可能是：狗把鳥吃掉，最後剩下羽毛，而不是像大 人所想的一樣。而此時期又可以分成兩個階段： （一）階段a：即使是對於低階關係，兒童也是無法形成，需要藉助實驗者的幫助， 呈現出可能的答案讓他選擇。 （二）階段b：兒童能形成低階關係，但無法應用來建立高階關係的類比。例如對 於「鳥：羽毛→汽車：方向盤」的題目，階段 a 的兒童無法理解「鳥與羽毛」或「汽車 與方向盤」有何關連性，但階段b 的兒童已可掌握低階關係，但還無法找出高階關係。 二、具體運思期（約8~11 歲） 這時期的兒童已經能充分瞭解低階關係，但仍然無法從低階關係擴展到高階關係。

這時期也分為兩個階段： （一）階段a：透過嘗試錯誤的方法，兒童有時可以建構出高階關係或形成類比， 但是如果實驗者提供錯誤的高階關係時，他們無法區辨出來。 （二）階段b：兒童能正確區辨實驗者所提供的高階關係是否正確，但尚未很穩定。 三、形式運思期（約11 歲以上） 這階段的兒童能進行抽象性的思考，完全的類比能力已經發展，他們可以充分掌握 高階關係，並且從其中分析出抽象的關係，以進行類推的工作。同時，他們也能明確地 陳述出類比推理觀念的基礎，可以做各種類型的類比推理。 綜觀Piaget 的認知階段發展模式，兒童的類比推理能力與其認知發展階段的認知能 力是有關連的，隨著年齡的增長，兒童能逐漸地建構低階關係，應用其種類型式建構類 比推論出高階關係。 貳、Sternberg 的類比推理成分理論

Sternberg 的類比推理成分理論（the components theory of analogical reasoning）係根 據訊息處理理論的觀點，且基於「A：B→C：D（？）」的模式。Sternberg 所謂的推論， 是將心理所呈現的兩個或兩個以上的特徵之關係，進行理解。在交互關係的學習方面， 即相關的推論，判斷特徵與關係之間的關聯性，並作推論（劉曼麗，2007）。在此類比 推理包含了六個運作部分： 一、編碼：編碼（encoding）即辨認類比問題中 A、B、C、D 的相關屬性，提取意 義，並儲存在短期記憶或工作記憶區中。 二、推論：推論（inference）係建立出 A 與 B 的各種關係，儲存在工作記憶中。 三、對應：對應（mapping）中發現 A 與 C 的各種可能的高階（連結）關係。 四、應用：應用（application）推論出的任何關係或原則，來對應出 C 與 D 的屬性 關係，找尋出正確的D 答案。 五、辨明：從所提供出的各種選項中進行辨明（justification），刪除跟 D 不相同的 答案。 六、準備/反應：準備（preparation）將解答反應（response）出來。 類比推理舉例：解決語文類比問題「蘋果（A）：吃（B）→牛奶（C）：（D）？」 時，選項「牛、甜的、喝、白色」，由上述的六個成分運作歷程為：

（一）先將呈現出的語詞編碼，並從記憶中提取每一個詞與類比相關的屬性。 （二）推論「蘋果」與「吃」的關係，再認知「吃蘋果」。 （三）對應前段的關係到後段，瞭解「蘋果」與「牛奶」皆是被操作處理的食物。 （四）應用從「蘋果」推論而得的關係，從待選的選項中選出一個詞與牛奶的關係 相似於「吃蘋果」的關係。 （五）將理想的語詞選出。 （六）將選擇的答案「喝」反應出來。 Sternberg 的類比推理成分雖然提出一系列的步驟來說明類比解題過程，但在訓練學 生使用類比推理的時候，對於如何檢索適當的來源領域對應至目標領域則未提及（Keane, 1988）。 叁、Gentner 的結構對應理論 Gentner（1988）依據事物間具有的屬性和共有的結構關係之相似性，提出了結構對 應理論（structure mapping theory，簡稱 SMT），同時指出類比是由來源領域知識對應 到目標領域知識的結構關係。在類比對應時，各個不同物體或事物之間的對應應捨棄物 體或事物間的表面屬性，主要是藉由內部蘊含的共同結構關係來做對應。一組互有關聯 的關係結構遠比單一獨立的關係更具有對應能力，即遵循系統性原則，兩者結構間的相 似性愈大，愈容易做對應。此點說明了系統性原則在類比對應過程中是一個相當重要的 因素（高淑芬、邱美虹，1998）。實施類比時，學習者是否能察覺來源領域和目標領域 之間的共同結構高階關係，而忽略、捨棄兩領域之間不相關的表面屬性低階關係，是類 比成敗的關鍵。依據系統性原則作為兩領域間之對應，較容易達成類比推理或解題的任 務。 在這結構對應中，自發性的類比學習須歷經五個階段： 一、接觸來源領域（accessing the base system）。

二、來源領域和目標領域間的對應（performing the mapping between base and target）。類比時從來源問題的知識，對應到另一個目標問題的層面。

三、評量配對（evaluating the match）。從這兩個層面中找尋出一對一的對應關係， 並且獲得最大的結構相配。

五、抽取共同性（extracting the commonalities）。注意來源與目標問題間的對應系 統，找尋出兩者間的共同關係，並且將兩者各自所包含的非共同關係之外的屬性特徵， 獨立在外，然後去做高階的預測。 類比推理舉例：某人已有太陽系的先備知識，要去解決「太陽：原子→行星：電子」 的類比題，他的思考步驟可能如下： 一、設定兩層面的一對一對應：太陽對應原子，行星對應電子。 二、放棄物體的屬性，譬如放棄「太陽是黃色的」概念。 三、注意來源層面的系統化原則，並且將它保留作為高階的關係。例如「太陽比行 星大」及「太陽吸引行星」的關係。 四、將「太陽比行星大」及「太陽吸引行星」的關係對應到目標領域的「原子」， 而成為「原子吸引電子」的結論。 Gentner 認為來源與目標兩個系統的實體，不一定要完全一樣，對應的重心在於高 階關係的配對，也就是「系統化原則」。當來源領域及目標領域之間在表面相似性有高 度相關時，較容易使解題者注意到可以類比的關係，對應就愈容易正確。 肆、Gick 和 Holyoak 的基模歸納理論 Gick 和 Holyoak（1987）等人認為，類比推理基本上是包含兩組命題的對應。命題 是根據其對應關係的相似性去配對。所謂相似性，就是並非要完全地同形或相同，只要 具有相當程度地滿足部份對應關係的準同形，使得兩組命題能夠達成部分的對應與遷移 即可推理。而且，人類記憶的搜尋是靠語言線索目標導向的，當來源問題跟目標問題皆 是來自於不同的系統領域時（即來源與目標問題間缺乏相對應的特徵時），潛存在這類 比題中的基模就是重要的中介角色，人們可以應用基模分析兩個的問題結構，注意、趨 近並提取高層次的知識表徵，進而導引出適當的結論（高淑芬、邱美虹，1998）。 Gick 和 Holyoak 等人的研究，就是設計兩組問題情境，讓受試者注意並應用來源 問題的關係，對應到目標問題，而進行類比推理。其基模歸納理論（schema induction theory）的重要論點說明如下： 一、類比推理過程分為四個基本歷程：

（一）檢索或選擇可能有用的來源類比物（the retrieval or selection of a plausibly useful source analog）。

（二）對應：對來源問題與目標問題進行比對（mapping）的工作。 （三）類比的推論或遷移（analogical inference or transfer）。

（四）後續的學習與應用：擴展對應中所產生的解決方案，進行學習與應用 （subsequent learning）。 二、注意並且選擇重要的成分表徵，是類比解題能否成功的重要步驟。 推理者常從來源問題中自發性地提取可以類比的特徵，並根據來源與目標問題之間 的相似性去判斷，包括了相似的目標或者限制。如果推理者只注意到誤導的表面相似， 就可能會導致錯誤的趨近與負向遷移。 三、抽象的問題表徵是類比遷移的媒介。 Gick 和 Holyoak 就指出，抽象問題的表徵係儲存於記憶系統的心智表徵，包含知 識內容在記憶中所建構的形式與知識結構的表徵，最普遍的問題是觀念以及程序。 觀念，指的是各種類屬性或者特殊事例。例如：河流、動物或數字等。程序：指的 是應用在處理特殊目標時的操作步驟，其表徵的形式可以條件－行動規則的方式來編 碼。由此可知，基模是由日常生活中的經驗及知識建構而成，其品質的良窳也將會影響 推理的判斷。

伍、Novick 的類比解題思考歷程理論（analogical solving of thinking processing theory） Novick（1988）在探討生手與專家在類比解題的策略時，提出了類比解題應具備四 個過程，又稱為類比解題思考歷程理論（analogical solving of thinking processing theory）：

一、問題表徵（representation）。 二、搜索/檢索（research/retrieval）。 三、對應（mapping）。 四、適應（adaptation）。 Novick 將問題表徵列為首要步驟，先呈現問題表徵再去檢索適當的源問題類比物以 進行之後的步驟。 陸、類比學習環理論 國內學者徐順益（1999）綜合 Sternberg 所提的類比推理成分理論和 Novick 的類比 解題思考歷程理論，並架構在一個能凸顯結構關係之類比物，發展出類比推理機制四步