第四章 模擬實驗與結果討論
4.1 實驗設計
我們選用2012 年 12 月完全沒有任何缺漏點的 CODAR 觀測資料組(共 734 組) 作為填補實驗之真實值。令wk =
[
u1k,v1k,u2k,v2k,,uMk,vMk]
代表tk時間之CODAR 觀測流場資料(k=1 ,2, ,734)，uik 與vik(i=1 , ,M )則為tk時觀測到的東西向以及 南北向流速分量，M為 CODAR 觀測區資料點個數(M =70)。填補實驗是將這些 資料以人為方式產生資料缺漏，也就是人為移除某些資料點的流速資料，然後假 設在這段期間內這些資料點上沒有觀測資料並以特定方法填補缺值，再將填補值 與真實值相比對以判別誤差大小，這種方法也是文獻上常用的作法(如 Boyd et al., 1994; Beckers and Rixen, 2003; Alvera-Azcárate et al., 2005)。對於 SCONET 海域的 70 個觀測點，發生資料不完整時其缺漏個數從 1 至 69 皆有可能(圖 2-4b)，不過由 於我們使用實向量EOF 法與 KLE 法的前 20 個模組來填補資料空缺，當以最小平 方法求解時至少需要生成20 個方程式，因此資料缺漏點的上限為 60。由排列組合公式知，70 個資料點中缺漏S點之變化種類共有
(
7070!)
! !70
S CS S
= − 種 組 合 情 形 ， 因 此 缺 1 點 時 共 有
(
70701!)
!1! 7070
1 =
= −
C 種 變 化 ， 缺 2 點 時 有
(
70702!)
!2! 35 69 241570
2 = × =
= −
C 種 變 化 ， 而 當 資 料 缺 漏 個 數 為 3 點 時 則 有
(
70703!)
!3! 70 23 34 5474070
3 = × × =
= −
C 種變化，至於其他大於3 之情況則可參閱表 4-1。
由表 4-1 知，當S>3時變化種類之數量級即達百萬次以上，以我們現有的有限計 算設備實在無法將所有情況一一計算，因此必須採用不同策略。在S≤3時，我們
採用窮舉法，即將所有的變化情形均予以計算；當S>3時則採用蒙地卡羅法(Monte Carlo simulation, Metropolis and Ulam, 1949)。蒙地卡羅模擬法是一種利用隨機亂數 來進行大量模擬實驗並解決問題的方法，若實驗次數越多則得到之結果會越趨近 於理論值。實際作法為：當缺漏個數大於3 時，我們使用 Matlab 的亂數產生器，
依照缺漏個數的多寡隨機產生1~70 間的整數作為缺漏資料點之編號，透過這種隨 機方式製造資料空缺再予以填補。在實際計算前，我們先做了前級的模擬試算，
其結果如圖4-1，顯示在實驗次數少時填補值與真實值的誤差均方根並不穩定，但 隨實驗次數變多(2000 次以上時)則會逐漸穩定且收斂，因此我們在缺漏個數為 4~60 時，係使用蒙地卡羅法執行 3000 次模擬實驗再求取填補值與真實值之偏差均 方根，作為研判結果良窳與否之根據。
表4-1 70 個資料點不同缺漏個數情況之變化種數。
缺漏個數 變化種數 缺漏個數 變化種數 缺漏個數 變化種數 缺漏個數 變化種數 1 70 16 2.48×1015 31 7.14×1019 46 3.51×1018 2 2415 17 7.88×1015 32 8.70×1019 47 1.79×1018 3 54740 18 2.32×1016 33 1.00×1020 48 8.58×1017 4 9.17×105 19 6.35×1016 34 1.09×1020 49 3.85×1017 5 1.21×107 20 1.62×1017 35 1.12×1020 50 1.62×1017 6 1.31×108 21 3.85×1017 36 1.09×1020 51 6.35×1016 7 1.20×109 22 8.58×1017 37 1.00×1020 52 2.32×1016 8 9.44×109 23 1.79×1018 38 8.70×1019 53 7.88×1015 9 6.50×1010 24 3.51×1018 39 7.14×1019 54 2.48×1015 10 3.97×1011 25 6.46×1018 40 5.53×1019 55 7.21×1014 11 2.16×1012 26 1.12×1019 41 4.05×1019 56 1.93×1014 12 1.06×1013 27 1.82×1019 42 2.80×1019 57 4.75×1013 13 4.75×1013 28 2.80×1019 43 1.82×1019 58 1.06×1013 14 1.93×1014 29 4.05×1019 44 1.12×1019 59 2.16×1012 15 7.21×1014 30 5.53×1019 45 6.46×1018 60 3.97×1011
圖4-1 蒙地卡羅法前級試算結果：假設缺漏個數為 5，以最小平方法搭配實向量
向、南北向流速的填補值，u 及O v 則分別是O 2012 年 12 月東西向與南北向流速的 真實值，K為資料筆數，由(20)式之結果可研判在各觀測資料點的填補效果，而(21) 式所算出的值則可以比較不同缺漏個數填補結果之好壞。實驗誤差的主要來源有 二：(1)實向量 EOF 法與 KLE 法僅使用前 20 個模組重建流場，由變動流速總變異 數(20 個模組之特徵值總和)來看本身即有約 3%的誤差；(2)使用不同方法填補缺漏 值所造成之誤差。此外，由於模重組法係使用有限個模組重建流速資料，為了消 除各資料點變異數本身在空間上就是不均勻之影響，我們亦將 2012 年 12 月無缺 值之流速資料進行了同樣的模分析，並根據(5)式與(11)式利用前 20 個模組重建資 料，再與填補值比較並另行統計分析。後二節將分別說明以窮舉法與蒙地卡羅法 進行之補遺統計，最後比較並討論各種方法之填補結果。