綜合討論

若將不同缺漏個數填補實驗之誤差均方根互相比較，其結果如圖4-8 所示，圖 中 標 示 了 四 種 方 法 在 各 種 缺 漏 個 數 情 形 之 誤 差 均 方 根 平 均 值 ， 其 信 賴 區 間 (confidence interval)範圍參照表 4-4，其估算公式(Bendat and Piersol, 1971)為：

2 1

; 2

;  = −



 



 − ≤ < + n H H

x st H

x st^nα μ_x ^{nα (22)}

式中H是樣本數(即實驗次數)，x 、 s 分別是在各種缺漏個數情形下進行填補實驗 後 ， 由H 次 樣 本 中 所 得 之 誤 差 均 方 根 的 平 均 值 與 標 準 差 ，t_n;α2則 是 t 分配 (t-distribution)表中當自由度為 n 、顯著水準為α^{時的數值。}

表4-4 顯著水準α=0.05時與各自由度相對應之信賴區間。

樣本數(H) 自由度(n= H−1) 信賴區間

70 69 x−0.2384s≤μ_x <x+0.2384s 2415 2414 x−0.0399s≤μ_x<x+0.0399s 54740 54739 x−0.0084s≤μ_x <x+0.0084s

3000 2999 x−0.0358s≤μ_x < x+0.0358s

綜合來說，圖4-8(b)即填補值與 20 個模組重建值之誤差均方根平均值分佈，

其數值皆比圖 4-8(a)填補值與真實值之間的誤差還小，不過分佈情況類似；由圖 4-8 可以發現，在缺漏個數介於 1~40 間時，以最小平方法填補的結果之誤差均方 根分佈近似水平，表示填補誤差隨缺點數增加變化不大，但當缺漏個數大於40 之 後，誤差即開始逐漸變大，當缺漏個數大於50 時，誤差會呈指數成長；而以迭代 法進行填補實驗所得之結果，缺漏1 點時之誤差就已經比最小平方法的誤差還大，

並隨著缺漏個數增多而呈線性增長，圖4-8(a)、(b)中迭代法誤差均方根平均值之斜

率分別大約為 0.37、0.38，且相鄰的任意兩種缺漏情形之誤差平均值皆大約相差 0.5 cm/s。

(a)

(b)

圖4-8 以實向量 EOF 法、KLE 法與最小平方法、迭代法進行填補不同缺漏個數 實驗結果：(a)填補值與真實值之誤差均方根平均值；(b)填補值與 20 個模組重建流 場之誤差均方根平均值分佈。

理論上H次樣本得到之誤差均方根會呈現常態分佈，圖 4-8 為H次樣本的平 均值，而H次樣本中與平均值的偏差程度可用標準差來觀察，與圖 4-8 相對應之 各種缺漏情形的誤差均方根標準差如圖 4-9。圖 4-9(a)是填補值與真實值之誤差均 方根標準差，當以最小平方法填補缺漏資料點時，可以發現標準差從2 cm/s 左右 開始逐漸減小，在缺漏個數為20~30 之間有最小值，約 0.5 cm/s，之後又繼續增大，

直到缺漏個數大於50 時即呈現指數成長；另以迭代法填補缺值時，當缺漏個數為 1 的狀況下其標準差約 3 cm/s，隨著缺漏個數漸增，標準差會依斜率約-0.04 的趨

勢逐漸變小。此外，圖4-9(b)是由填補值與 20 個模組重建資料所算出之結果，亦 有類似的分佈情形。如前述，標準差即表示誤差均方根的變動幅度，由此可知，

當缺漏個數大約在5~35 之間時，以最小平方法進行填補實驗所得到之誤差均方根 分佈較集中，變動幅度不大，而當缺漏個數越大時則其誤差均方根分佈會越分散；

若使用迭代法補遺，其誤差均方根分佈隨缺漏個數變多而越集中，即在H次實驗 中，因為大部分資料點補遺後已有相當大的誤差，因此所得到的誤差數值都相當 接近其平均值並在一定範圍內，因此使用此方法算出之標準差會隨缺漏點數增多 而變小。

(a)

(b)

圖4-9 以實向量 EOF 法、KLE 法與最小平方法、迭代法進行填補不同缺漏個數 實驗結果：(a)填補值與真實值之誤差均方根標準差；(b)填補值與 20 個模組重建流 場之誤差均方根標準差分佈。

接下來比較實向量EOF 法與 KLE 法的填補結果，將圖 4-8 中二法之誤差均方 根平均值互相比較(圖 4-10a)，可以發現使用最小平方法填補缺漏時，實向量 EOF 法的誤差均方根平均值幾乎都小於KLE 法的結果，最多其差值可達到-8 cm/s 左右；

但當使用迭代法時，則有可能是KLE 法之結果較小，但其差值大約在±0.3 cm/s 之 間。

圖4-10 實向量 EOF 法與 KLE 法誤差均方根平均值之比較。

由以上分析可知，若以填補值與真實值計算誤差均方根時，比較最小平方法 與迭代法的結果以前者之誤差較小，另比較實向量EOF 法與 KLE 法，當搭配最小 平方法時是以實向量EOF 法為佳，若搭配迭代法則有可能是以 KLE 法之誤差較小；

再比較填補值與20 個模組重建流場二者間之誤差均方根，則同樣是使用最小平方 法與實向量EOF 法二者搭配時的填補效果較佳。此結論是僅以目測觀察實驗結果 所得，但實向量EOF 法與 KLE 法誤差均方根之間的差異相當小，較不易判斷上述 結論是否正確，因此我們將使用F 檢定(F-test)對實向量 EOF 法與 KLE 法的實驗結 果進行檢測，以確認其正確性。

F 檢定法可以透過檢測實向量 EOF 法與 KLE 法實驗結果之變異數，推測在設 定之顯著水準為α的情況時二者是否相同(Bendat and Piersol, 1971)；首先定義虛無 假設H0為s_EOF² =s_KLE² ，而其對立假設H1則為s²_EOF ≠s_KLE² ，其中s_EOF² 是實向量EOF

法在各種缺漏個數情形時誤差均方根平均值的變異數，而s_KLE² 則是KLE 法的誤差 均方根平均值變異數；接下來需計算二變異數之比值F：

2 2

KLE EOF

s

F = s

再由F 分配(F-distribution)表中與顯著水準α^{及自由度 n(}n= H −¹，H為樣本數) 相對應的上、下限數值(表 4-5)，即可得知檢測結果。在顯著水準α =5%時其結果 如圖4-11，圖中紅線為填補值與真實值之誤差均方根結果，藍線為填補值與 20 個 模組重建流場誤差均方根間的比較，灰色虛線則是α =5%的F 值範圍，若由二者 變異數計算得之F 值在此範圍內，則 H0成立；由圖4-11 可知在α =5%時，使用 最小平方法時，在每種缺漏個數情形下實向量EOF 法得出之誤差變異數幾乎均小 於KLE 法，而迭代法的檢測結果則在大部分情況時是 H0成立。因此可知在四種填 補結果中以最小平方法搭配實向量EOF 法的填補效果較佳。此外，由圖 4-8 之誤 差變化情形亦可推測當缺漏個數大於50(即缺漏量達 71%)時，本文所述的這些方 法均不適合用來補遺。

表4-5 F 分配表中，顯著水準為α及自由度為 n 時的上、下限數值。

樣本數(H) 自由度(n= H−1) F 70 69 0.62≤ F<1.61 2415 2414 0.92≤ F <1.08 54740 54739 0.98≤ F<1.02 3000 2999 0.93≤ F<1.07

(a)

(b)

圖4-11 F 檢測：比較(a)最小平方法；(b)迭代法之結果。