第三章 模分析方法與分析結果
3.1 經驗正交函數
經驗正交函數(EOF)是物理海洋學常用的一種統計方法，係將資料分解成空間 和時間上的許多成份，藉以探討影響資料行為的主要因素。這種方法在不同的科 學領域裡有不同的名稱，例如海洋學和氣象學稱為經驗正交函數，統計學稱為主 成份分析(Principal Component Analysis, PCA)，心理學或經濟學領域則使用因素分 析(factor analysis)的名稱(Beckers and Rixen, 2003; Kerschen et al., 2005)。Kundu et al.
(1975)提到 EOF 法是個不需要任何動力假設，只需要做資料統計的分析方法。近 幾十年來，氣象學和海洋學方面更是廣泛地運用 EOF 法來分析資料(Beckers and Rixen, 2003)。由於 EOF 法可以從資料裡提取出主要的結構，能有效地將資料用簡 潔的形式，也就是少量的主分量表現出來(Kaihatu et al., 1998)，因此成為簡化或過 濾大量資料時常用的有用工具。EOF 法可以用於純量，例如海表溫(Kutzbach, 1967)，
或向量資料，如風(Hardy, 1977)或海流(Kundu and Allen, 1976)等。
Kaihatu et al. (1998)指出，對於向量型態的資料，EOF 法有兩種不同的處理方 式，其一如 Kundu and Allen (1976)係使用複數型態的 EOF 法，也稱為 CEOF (Complex Empirical Orthogonal Functions)法，是先將二維的水平流速向量以複數型 態表示，接著再根據EOF 法的步驟求解複數矩陣之特徵向量(各成份可能為複數)；
另一種則是稱為實向量EOF (real-vector EOF)法，此方法是使用向量原型直接進行 分析，所求出之特徵向量各成份均為實數。由於 CEOF 法算出的各組特徵向量其 方向並非固定值，但實向量EOF 法卻不會有此種情況，且後者並不侷限於二維，
可以延展至N 維向量(Kaihatu et al., 1998)，因此本文採用實向量 EOF 法來進行分 (fluctuation)。
( x
it
k) ( U x
it
k) ( ) U x
i 可以組成一個140×140的共變異數矩陣(covariance matrix)，以R表示：[ ]
, , 1,2, , ,( x t ) v ( ) x t i j M
( ) ( )
λ ，因此特徵值與變動流速之總變異數(variance)則有如下(6)式之關 係：
特徵值與各模組振幅。圖3-1 為特徵值之分佈情形，圖右側軸則為各模組特徵值相 對於全部 140 個模組特徵值總和之百分比，圖中之直方圖表示各模組可解釋之變 異數的大小，橘線紅點則代表可解釋之變異數的累積百分比，從圖3-1(a)可看出前 20 個模組即可解釋原始變動流速資料總變異數的 97.02%，而其餘的 120 個模組則 只能影響剩下的2.98%總變異數。至於前 20 個模組(圖 3-1b)中又以第 1 模組及第 2 模組可解釋總變異數的比例最大，二者合計約佔53%，而第 3~20 模組之特徵值則 呈指數衰減，此18 個模組特徵值總和約佔總變異數的 43%。
此外，取前20 個模組以重建合成變動流速資料，再分別計算各資料點所能還 原的可解釋之變異數大小(如圖 3-2)，並依(6)式計算重建流場變異數與原始觀測流 場總變異數之百分比稱為還原度，發現在SCONET 海域之東部以及東南部還原程 度較小，約為94~97%，但在其餘區域還原度均在 97%以上。由此特性可知在離雷 達站較遠處，第21~140 模組對總變異數之貢獻度會比離雷達站近處稍大一些，因 此造成前者還原度較小。
(a)
(b)
圖 3-1 實向量 EOF 分析法重建流場之特徵值分佈圖與累積特徵值分佈圖：(a)全 部140 個模組；(b)前 20 個模組。
圖3-2 實向量 EOF 法前 20 個模組重建流場與變動流場之變異數百分比空間分佈 圖。
圖3-3~圖3-5顯示最主要的三個模組向量之水平分佈(因篇幅關係，其餘模組未 列入)，各圖中(a)是各模組向量之空間分佈，(b)是該模組對應的振幅時間序列，將 振幅時間序列與空間分佈相乘後，即是該模組所代表的流場向量隨時間的變化情 形。在此三模組中，第1模組之特徵值(即其振幅之變異數)佔變動流速資料總變異 數的37.88%，其模組向量之分佈態勢(圖3-3a)與平均流場甚為相似，流場向量的主 要方向大致上是指向東北，只有在蘇澳附近較為偏北；再由圖3-3(b)來看，第1模 組振幅為負值的時間主要約在10~2月之間，表示這段期間第1模組流場呈現的是西 南向的海流，可能和這段期間冬季東北季風較強有關，因此第1模組所反映的應是 平均流場之消弱或增長的效應。其次，第2模組特徵值佔變動流速資料總變異數的 14.73%，圖3-4(a)是其模組向量之分佈情形，顯示似乎是一股沿宜蘭海岸的南向海 流和另一股從花蓮北上的東北向海流在24.25oN附近會合之後向東流出的情形；圖 3-4(b)則為對應之振幅時間序列，可發現在春夏季節(振幅多為正)此現象較明顯，
至於秋冬時(振幅多為負)則表示為一股西向海流在接近臺灣海岸後於24.25oN附近 分別向南、向北流。至於第3模組之特徵值則佔變動流速資料總變異數的10.64%，
觀察圖3-5(a)與圖3-5(b)，顯示此模組係表示在122.25oE以西有一股由西南向東北的 海流慢慢轉向東，最後再轉向南方的情形，猜測如果觀測範圍能夠更大，這種流 況或許顯示的是一個渦流(eddy)之部份構造。
(a)
(b)
圖3-3 實向量 EOF 分析法求出之第 1 模組：(a)模向量空間分佈；(b)模振幅之時 間序列。
(a)
(b)
圖3-4 實向量 EOF 分析法求出之第 2 模組：(a)模向量空間分佈；(b)模振幅之時 間序列。
(a)
(b)
圖3-5 實向量 EOF 分析法求出之第 3 模組：(a)模向量空間分佈；(b)模振幅之時 間序列。
使用實向量EOF法分析除了可以找出影響流場的主要因素外，不同階的模組亦 速偏差的均方根(root mean square, RMS)，即：
( ) [ ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ] (第一行為資料點編號，位置參照圖2-5)，整體而言偏差均方根大致介於3.68~8.40 cm/s之間，而70個點偏差均方根之平均為5.92 cm/s。從圖3-6中可看出SCONET海 域外圍及北部資料點的偏差均方根較大，表示還原程度較差，而在中央區偏差均 方根較小，還原程度較佳。
圖 3-6 原始觀測流場與實向量 EOF 法前 20 個模組重建流場之偏差均方根分佈 圖。
表3-1 原始觀測流場與實向量 EOF 法前 20 個模組重建流場之偏差均方根數值。
資料點 編號
RMS (cm/s)
資料點 編號
RMS (cm/s)
資料點 編號
RMS (cm/s)
資料點 編號
RMS (cm/s)
資料點 編號
RMS (cm/s) 1 8.36 15 4.03 29 5.06 43 7.00 57 5.79 2 6.55 16 6.82 30 5.17 44 6.25 58 6.09 3 7.02 17 6.87 31 5.03 45 5.53 59 8.38 4 4.83 18 5.65 32 6.00 46 5.43 60 8.40 5 4.33 19 5.03 33 6.29 47 4.69 61 6.31 6 4.14 20 5.15 34 6.30 48 5.07 62 6.47 7 5.46 21 5.10 35 6.09 49 5.29 63 5.97 8 7.85 22 5.26 36 5.13 50 5.73 64 5.88 9 5.76 23 5.76 37 5.11 51 6.21 65 6.29 10 4.83 24 5.03 38 4.47 52 8.13 66 7.59 11 5.13 25 6.08 39 5.47 53 5.31 67 6.47 12 6.78 26 7.05 40 5.81 54 5.42 68 7.95 13 3.68 27 4.95 41 6.30 55 6.16 69 6.78 14 4.31 28 4.82 42 6.02 56 6.50 70 8.38